Esercizio 1
Nella regione di spazio circolare di raggio R in figura esiste un campo magnetico variabile nel tempo
B(t) = t2 /2 + 3t T diretto come in figura. Determinare il campo elettrico in un punto P1 a distanza
r1 < R e in un punto P2 a distanza r2 > R .
ϕ
O
Soluzione 1
Il flusso del campo magnetico attraverso le due superfici che si appoggiano su due circonferenze centrate
in O e di raggi r1 e r2 si ricava come segue:
Z
Z
2
~
~ ·n
Φ1 = B · n
ˆ dA = BA = Bπr1
Φ2 = B
ˆ dA = BA = BπR2
In accordo con la Legge di Faraday per cui l’opposto della derivata del flusso rispetto al tempo
corrisponde alla forza elettromotrice indotta:
f.e.m.1 = −
dΦ1
= −πr12 (t + 3)
dt
f.e.m.2 = −
dΦ2
= −πR2 (t + 3)
dt
~ nei punti
Ricordando la relazione generale fra f.e.m. e campo elettrico si ricava il valore di E
richiesti:
I
~ · d~s
f.e.m. = E
E1 · 2πr1 = −πr12 (t + 3)
→
~ 1 = − r1 (t + 3)φˆ
E
2
E2 · 2πr2 = −πR2 (t + 3)
→
~ 2 = − R (t + 3)φˆ
E
2r2
2
La variazione del flusso magnetico ha come effetto principale la generazione di un campo elettrico
~ Se poi esso dovesse agire all’interno di un conduttore che forma un circuito chiuso si otterrebbe
E.
anche una corrente indotta, ma non `e l’unica soluzione possibile, anche se una delle pi`
u importanti
a livello applicativo. Da notare infine il segno negativo dei due campi elettrici (Legge di Lenz ) che
indica proprio come il campo elettrico indotto agisca sempre nella direzione di opporsi alla variazione
di flusso magnetico.
Esercizio 2
Un filo rettilineo indefinito, percorso da una corrente sinusoidale i(t) = io sin(2πf t) con io =10 A e
f =50 Hz, giace in un piano in cui `e presente una spira triangolare di altezza h=10 m, base a = 2h e
distante xo =1 cm dal filo. Scrivere l’espressione della f.e.m e della corrente indotta nella spira se essa
presenta una resistenza R=2 Ω e indicare i valori massimi.
z
o
o
+
o
o
Soluzione 2
~ in funzione della coordinata radiale r appliRicaviamo inizialmente il valore del campo magnetico B
cando la Legge di Amp`ere al filo rettilineo indefinito
I
~ = − µo i zˆ
~ · d~l = µo ic
~ = µo i φˆ
→
B
B
→
B
2πr
2πx
Il campo magnetico non `e costante nel tempo e neppure uniforme nello spazio nell’attraversare
la superficie di geometria triangolare della spira. Per trovare il flusso `e dunque necessario integrare
su tutta la superficie. Orientiamo la superficie in modo che il versone normale n
ˆ sia concorde con il
campo megnetico (ˆ
n = −ˆ
z ). In questo modo sono definite positive le correnti che scorrono nella spira
in senso orario:
~ ·n
dΦB = 2(B
ˆ dA) = 2BdA
dA = ydx = (x − xo )dx
Z
xo +h
ΦB = 2
xo
uo i
µo i
µo
h
xo +h
(x − xo )dx =
[x − xo ln x]xo = i
h − xo ln 1 +
=K ·i
2πx
π
π
xo
|
{z
}
K
Dove K si calcola essere 4 µH. Ricavato il flusso si procede a derivarlo nel tempo, in accordo con la
Legge di Faraday, per ottenere la forza elettromotrice indotta nella spira e la corrispondente corrente
circolante:
dΦB
di
= −K = −2πf io K cos(2πf t)
dt
dt
f.e.m.M AX = | − 2πf io K| ∼
= 12.5 [mV ]
f.e.m. = −
f.e.m.
2πio f K
=−
cos(2πf t)
R
R
f.e.m.M AX ∼
iind,M AX =
= 6.2 [mA]
R
La corrente indotta iind scorre quindi in senso antiorario (segno “-” finale rispetto alla convenzione
assunta all’inizio) nella spira triangolare in modo tale da opporsi alla variazione di flusso indotta dalla
corrente di conduzione i che scorre nel filo indefinito.
iind =
2
iHtL, f .e.m.HtL
0.5
5
10
15
t
-0.5
-1.0
Figura 1: Andamento qualitativo della corrente i(t) (in blu) e della f.e.m. indotta nella spira triangolare
(in viola).
Esercizio 3
Al centro e al bordo di un disco metallico di raggio a = 15 cm sono collegati due contatti striscianti e
il contatto viene chiuso su un resistore; la resistenza totale risulta R = 8 · 10−2 Ω. Il disco `e immerso
in un campo magnetico uniforme e costante B = 0.03 T parallelo all’asse. Calcolare il momento
meccanico τext da applicare al disco per mantenerlo in rotazione ad una frequenza ω = 200 rad/s, la
potenza P dissipata nel circuito in queste condizioni e la carica q che passa nel circuito in T = 1 min.
ω
B
_
O
R
+
a
ϕ
i
z
Soluzione 3
Questo problema pu`
o essere affrontato equivalentemente in due modi: descrivendo il comportamento
elettromagnetico tramite la Legge di Faraday o tramite la Forza di Lorentz. In questo modo si ha
l’opportunit`a di apprezzare come all’origine del fenomeno di induzione vi sia la Forza di Lorentz.
Applichiamo prima la Legge di Faraday dell’induzione:
ds = adφ = ωadt
dΦB
d
|f.e.m.| =
=
dt
dt
Z
dφ = ωdt
1
1
dA = ads = a2 ωdt
2
2
dA
1
~ ·n
B
ˆ dA = B
= Bωa2 = 67.5
dt
2
[mV ]
i=
|f.e.m.| ∼
= 0.84
R
[A]
Dove si `e considerato il modulo e il verso della corrente indotta `e riportato in figura. Considerando
invece la definizione di Forza di Lorentz :
~
~ ∗ = Fl = ~v × B
~ = vBˆ
E
r = rωBˆ
r
q
I
Z +
Z a
Z a
1
∗
~
~
~
f.e.m = E · dl =
E d~r =
rωBˆ
r · d~r =
rωB dr = ωBa2 = 67.5
2
−
0
0
~l = q~v × B
~
F
[mV ]
La forza elettromotrice risulta in generale l’integrale del campo elettrico totale lungo un cammino
chiuso. I campo elettrico totale, tuttavia, `e la somma diH quello elettrostatico Eel pi`
u quello elettro~ el · d~l = 0 e la forza elettromotrice risulta
motore E ∗ . Poich`e il campo elettrostatico `e conservativo E
R+ ∗
~ d~l.
proprio definita come f.e.m=V + − V − = − E
3
La sola presenza di una f.e.m. non sarebbe necessaria a provocare un cambiamento nella velocit`
a
di rotazione del disco. Tuttavia, nel momento in cui il circuito viene chiuso su una resistenza, questa
dissipa potenza, potenza che viene sottratta all’energia cinetica rotazionale del disco. Dal punto di
vista elettromagnetico possiamo osservare che il fluire della corrente nel circuito comporti la nascita
di una forza che puntualmente tende a frenare il disco. Pi`
u propriamente si realizza un momento
frenante di tipo viscoso chiamato Momento di attrito elettromagnetico:
~
dF~ = id~r × B
Z
ˆ = −irBdr(ˆ
ˆ = −irBdrˆ
d~τ = ~r × dF~ = ~r × (−idrB φ)
r × φ)
z
a
dτ zˆ = −
~τ =
0
B 2 a4
ω zˆ ∼
= −2.85 · 10−4 zˆ [N m]
4R
~τext = −~τ
Il momento esterno τext da applicare al disco per tenerlo in rotazione a velocit`a costante `e dunque
uguale ed opposto a quello frenante di natura elettromagnetica. E’ infine interessante notare come la
potenza fornita dall’esterno sia esattamente equivalente a quella dissipata sul resistore: Nulla si crea,
nulla si distrugge, tutto si trasforma - Antoine-Laurent de Lavoisier.
P = τext ω = −τ ω = Ri2 ∼
= 57
[mW ]
q = iT = 50.4
[C]
Esercizio 4.
Una sbarra di massa m e resistenza R, trasla senza attrito su rotaie parallele distanti L l’una dall’altra
e inclinate di un angolo θ rispetto all’orizzontale. Nello spazio insiste un campo magnetico uniforme
e costante B orientato come in figura. Si determini l’espressione e il verso della corrente indotta I, la
forza magnetica Fm agente sulla sbarretta e l’andamento della velocit`a della sbarretta in funzione del
tempo v(t).
X
X
B
I
I
B
Fm,x
Fm
mg
R
θ
s
x
mgsinθ
L
Figura 2: A sinistra: sezione trasversale del piano inclinato. A destra: vista dall’alto.
Soluzione 4
Innanzitutto valutiamo il flusso del campo magnetico (e la sua variazione) attraverso l’area compresa
fra i binari e la sbarretta
dΦ(B)
dx
= L B cos θ = vBL cos θ
dt
dt
In realt`a `e ancora una volta possibile dedurre questo risultato applicando direttamente la forza
di Lorentz. La variazione del flusso, dunque, indurr`a una forza elettromotrice che determiner`
a un
corrente indotta nel circuito in modo tale da opporsi alla variazione esterna del campo inducente,
quindi:
Φ(B) = LxB cos θ
→
|f.e.m.|
vBL cos θ
=
R
R
Dove per comodit`
a si `e considerato il modulo della corrente indotta mentre il suo verso `e riportato
in figura. Nel momento in cui circola corrente nel circuito, la sbarrett`a risulta soggetta alla forza
magnetica:
I=
4
F~m = I
Z
L
0
vB 2 L2 cos θ
~ = −IBLˆ
d~s × B
s=−
sˆ
R
La forza magnetica `e diretta lungo sˆ mentre quella gravitazionale lungo yˆ. E’ necessario dunque
considerare le componenti delle due forze lungo l’asse x
ˆ:
P~x = mg sin θˆ
x
vB 2 L2 cos2 θ
F~m,x = Fm cos θˆ
x=−
x
ˆ
R
Sommando le due forze lungo x
ˆ:
X
Fris = ma =
Fi = mg sin θ −
i
vB 2 L2 cos2 θ
R
da cui l’equazione differenziale del primo ordine, risolvibile agilmente con il metodo di separazione
delle variabili :
dv
B 2 L2 cos2 θ
v = a − bv
= g sin θ −
| {z } | mR
dt
{z
}
a
Z
0
v
dv 0
=
a − bv 0
Z
b
t
dt
0
→
0
eln(a−bv)/a = e−bt
ln(a − bv 0 )
−b
v
=t
0
a − bv = ae−bt
→
quindi sostituendo:
a
mgR sin θ
B 2 L2 cos2 θ
−bt
= 2 2
1−e
1 − exp −
t
v(t) =
b
B L cos2 θ
mR
Dove le dimensioni di B 2 L2 cos2 θ/mR sono proprio 1/s e chiamiamo 1/τ ; mentre l’espressione a
moltiplicare le quadre ha le dimensioni di una velocit`a e risulta proprio la velocit`a raggiunta a regime
(t → ∞) e chiamiamo v∞ :
v(t) = v∞ 1 − e−t/τ
Come si osserva in figura, al crescere della velocit`a della sbarretta, la forza magnetica si fa sempre
pi`
u intensa. Dal bilancio fra le due forze (gravitazionale e magnetica) si raggiunge la velocit`a di regime
v∞ con legge esponenziale.
v(t)
v(t=∞)
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
t
Figura 3: Andamento qualitativo della velocit`a della sbarretta nel tempo (in blu). Andamento
qualitativo della velocit`
a della sbarretta se non vi fosse il campo magnetico B (in rosso).
5
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