Elettromagnetismo

r
Qint

Φ Schiusa ( E ) = ε
0

r
Φ Schiusa ( B ) = 0

r
 r
dΦ S ( B )
C ( E ) = −
dt

r
 r
dΦ S ( E )
)
C ( B ) = µ o ( I + ε 0
dt

1
Anno scolastico 2013 2014
Unità di
misura
grandezza
definizione
formula
Forza di Lorentz
Forza agente su una carica q in
r
moto con velocità v in una
regione in cui è presente un
r
r r
F = qv ∧ B
r
campo magnetico B
N
r r
r
r r r
F = qv ∧ B ; F = Il ∧ B
Casi particolari:
Campo generato da un filo infinito percorso da
corrente di intensità I (Legge di Biot-Savart)
Campo magnetico o
vettore induzione
magnetica
Perturbazione dello spazio
dovuta a sorgenti magnetiche,
definibile attraverso un ago
magnetico e una carica in moto
o una corrente, secondo la forza
di Lorentz o la 2° formula di
Laplace
B=
µ0 I
2πr
Campo generato da una spira di raggio R percorsa da
corrente di intensità I in un punto dell’asse:
µ 0 IR 2
B=
3
2 2
2( z + R )
2
Ns
,
Cm
Wb
,
m2
T
Campo generato da un solenoide infinito con n spire
per unità di lunghezza, attraversato da corrente di
intensità I:
B = µ 0 nI
()
Coefficiente di
autoinduzione
Costante di proporzionalità tra
il flusso magnetico attraverso
un circuito e l’intensità di
corrente
r
ΦB
L=
I
Caso particolare:
Autoinduttanza di un solenoide di lunghezza l,
sezione S e N spire
µ 0µ r N 2 S
L=
l
Coefficiente di
mutuainduzione
Costante di proporzionalità tra
il flusso magnetico generato da
un circuito 1 attraverso un
circuito 2 e l’intensità di
corrente che circola nel circuito
1 o viceversa
r
r
Φ 2 ( B1 ) Φ 1 ( B2 )
M =
=
I1
I2
Momento magnetico di
una spira
Prodotto tra l’intensità di
corrente e il vettore superficie
della spira con verso del pollice
quando la mano destra si
chiude nel verso della corrente
r
r
m = IS
Wb Tm 2
,
A
A
Ωs; H
Wb Tm 2
,
A
A
Ωs; H
Am 2
2
Anno scolastico 2013 2014
W = Ltotale
N
W =∑
Energia magnetica
Lavoro necessario a creare una
data configurazione di correnti
e quindi di campo magnetico
i =1
1
Bi2 τi
2µ 0 µ r
Casi particolari:
J
Energia magnetica di un circuito di induttanza L
percorso da corrente di intensità I
W =
1 2
LI
2
Teorema o proprietà
Enunciato
Formula
1° Formula di Laplace
Il campo magnetico generato da un circuito
percorso da corrente di intensità I è la somma dei
campi infinitesimi generati dai tratti di filo
Oppure , meglio:
r
r N µ 0 li ∧ rri
B=∑ I 3
ri
i =1 4π
r r
r
µ Idl ∧ r
B=∫ 0
4π
r3
Caso particolare:
La forza agente su un filo rettilineo percorso da
corrente di intensità I, immerso in un campo
magnetico uniforme
2° Formula di Laplace
r r
Il e B ;
r
B è il prodotto vettoriale tra
se il filo non è rettilineo o il campo non è uniforme,
la forza è la somma vettoriale delle forze
infinitesime
Caratteristiche del moto di
una carica in un campo
magnetico uniforme
Teorema di Gauss
Teorema della circuitazione
di Ampère
Momento meccanico
Il moto di una carica in un campo magnetico
uniforme è un moto uniforme:
- rettilineo se la velocità è parallela al campo
- circolare se la velocità è perpendicolare al
campo
- elicoidale in generale
Il flusso del campo magnetico attraverso un
superficie chiusa è nullo
La circuitazione del campo magnetico è il prodotto
tra la permeabilità magnetica e la somma algebrica
delle intensità di correnti concatenate
Una spira percorsa da corrente di intensità I,
immersa in un campo magnetico subisce l’azione di
forze magnetiche che producono un momento
torcente dato dal prodotto vettoriale tra il momento
magnetico della spira e il vettore induzione
magnetica
forza agente su un filo rettilineo
immerso in un campo uniforme
r r
r
F = Il ∧ B
r N r r
F = ∑ Ili ∧ Bi
i =1
Oppure , meglio:
r r
r
F = ∫ Idl ∧ B
r r
v⊥B
R=
Casi particolari:
mv
qB
T =
2πm
qB
r r
r
v = v ⊥ + v //
R=
2πmv //
mv ⊥
P=
qB
qB
r
Φ Schiusa ( B ) = 0
r
C ( B) = µ 0 I concatenate
r r r
M =m∧B
3
Anno scolastico 2013 2014
ESERCIZI 1,2:
Legge di Biot-Savart
Principio di sovrapposizione degli effetti
1) Quattro fili infiniti percorsi da correnti di intensità I sono disposti ai vertici di
un quadrato di lato L, come in figura. Determina il campo magnetico da essi
generato:
a) al centro del quadrato
b) nel punto medio di un lato del quadrato
•
•
⊗
⊗
2) Due fili infiniti percorsi da correnti di intensità sono posti a distanza 2d. Determina il campo
magnetico da essi generato in un generico punto P dell’asse del piano
P
equidistante dai due fili, in funzione della coordinata x indicata.
Rappresenta in un riferimento cartesiano l’andamento della funzione
x
ottenuta.
⊗
⊗
ESERCIZIO 3:
Circuitazione di un campo vettoriale
Teorema della circuitazione di Ampère
3) Un filo infinito di raggio R è percorso da corrente di intensità I uniformemente distribuita nella
sua sezione. Determina il campo magnetico da essa generato in funzione della distanza
dall’asse. Rappresenta in un riferimento cartesiano il grafico della funzione ottenuta.
ESERCIZIO 4:
Legge di Biot-Savart
Campo generato da un solenoide infinito
Principo di sovrapposizione degli effetti
4) Considera il filo infinito e il solenoide infinito
rappresentati in figura. (il filo e l’asse del solenoide
giacciono nel piano del foglio). Calcola il campo in
modulo, direzione e verso in un generico punto del
piano del foglio in funzione della posizione, sapendo
che: nel filo circola una corrente di intensità I1, il
solenoide ha raggio R, una densità di spire ned è
attraversato da una corrente di intensità I2 in un verso
arbitrario.
ESERCIZI 5, 6:
II equazione di Laplace
Momento magnetico e momento meccanico
Campo generato da un solenoide
3R
r
5) Una spira triangolare di lato L è immersa in un campo magnetico B
uniforme, come mostrato in figura. Determina la forza agente su ciascun
tratto della spira quando la spira è percorsa da corrente di intensità I in
senso orario e la forza risultante. Cosa cambia se si cambia verso alla
corrente?
6) Considera un solenoide infinito percorso da corrente
I1 con una densità di spire pari a n ed una spira
⊗
⊗
⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
⊗
⊗
⊗
Piano della
spira
4
Asse del solenoide
Anno scolastico 2013 2014
•
•
•
•
•
•
quadrata di lato L posta al suo interno con il piano inclinato di un angolo α rispetto all’asse del
solenoide. Determina le forze agenti su ciascun tratto della spira e il momento meccanico
risultante.
ESERCIZI 7, 8:
Coefficiente di mutuainduzione
7) Un primo circuito è costituito da un filo infinitamente lungo, mentre un
secondo circuito è costituito da una spira quadrata di lato l=1 mm.
Calcolare il coefficiente di mutuainduzione nei due seguenti casi:
a) filo e spira giacciono sullo stesso piano, la spia si trova a d=12 m dal
filo;
b) la spira giace su un piano perpendicolare al filo ed il suo centro si
trova sul filo.
D
8) Considera due spire circolari di raggi rispettivamente a=1 cm e b=1 m,
poste a distanza D=2 m come in figura. Determina il coefficiente di
mutuainduzione.
5
Anno scolastico 2013 2014
Teorema o proprietà
Enunciato
Legge di FaradayNeumann-Lenz
In un circuito attraversato da un flusso
magnetico variabile nel tempo si genera una
forza elettromotrice indotta pari al rapporto
tra la variazione di flusso infinitesima e
l’intervallo di tempo infinitesimo.
La corrente indotta circola in verso tale da
opporsi alla causa che l’ha generata
Formula
femindotta
femindotta
r
∆Φ ( B )
= lim −
∆t
∆t → 0
r
= −Φ ' ( B )
Caso particolare:
forza elettromatrice autoindotta
femautoindotta = − LI '
ESERCIZI 9, 10,11,12
Legge di Faraday-Neumann-Lenz
II formula di Laplace
1° legge di Ohm
9) Una spira quadrata di lato L ed una spira circolare di raggio a=100L sono complanari e con
centri coincidenti. Nella spira quadrata circola una corrente variabile nel tempo secondo la legge
I = I 0 ⋅ e − kt . Determina la corrente indotta nella spira circolare sapendo che la sua resistenza
vale R.
10) Una spira quadrata di superficie S, induttanza trascurabile e resistenza R si trova in un campo di
r
induzione magnetica B uniforme e inclinato di un angolo α rispetto al piano della spira.
L’intensità del campo varia nel tempo secondo la relazione: B = Bo − kt , dove k è una costante
positiva. Per t=0 la corrente nella spira è nulla. Scrivi il problema di Cauchy relativo e calcola
in funzione del tempo la corrente che circola nella spira.
11) All’interno di un solenoide lungo 20 cm, composto da 1000 spire e attraversato da una corrente
di intensità 3,0 A è disposta una seconda bobina di 50 spire circolari di raggio 5,0 cm. La
bobina, posizionata inizialmente con il suo asse parallelo a quello del solenoide, viene messa in
rotazione attorno ad un asse perpendicolare alle linee di forza del campo magnetico prodotto
dal solenoide, con una frequenza di 100 giri/s. Determina la forza elettromotrice indotta nella
bobina e rappresentala in funzione del tempo.
12) Una spira quadrata di lato a esce con velocità costante v da una regione di spazio in cui è
r
presente un campo magnetico B uniforme, diretto ortogonalmente al piano della spira.
Assumendo pari ad R la resistenza della spira, determina:
a) la forza elettromotrice indotta nella spira
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
b) la forza che è necessario applicare affinché l’estrazione avvenga
a velocità costante
v ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗r ⊗ ⊗
c) il lavoro fatto dalla forza applicata durante l’estrazione
B
d) l’energia dissipata per effetto Joule
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
e) la carica transitata complessivamente all’interno della spira
⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
durante l’estrazione.
6
Anno scolastico 2013 2014

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