esercizi su soluzioni elettrolitiche e magnetismo

SOLUZIONI ELETTROLITICHE
1)
Una cella elettrolitica contenente una soluzione di idrato sodico è attraversata per 24
ore da una corrente di 5 A. La massa dello ione ossigeno è m = 2,67×10-23 g e z = 2. Calcola
quale massa di ossigeno si libera durante il processo.
Per risolvere il problema consideriamo per prima cosa la carica trasportata dalla corrente, ossia:
Q = i ⋅t
Possiamo ora calcolare il numero totale di ioni che hanno reagito con l’elettrodo, considerando la
carica di ciascuno di essi e il fatto che gli ioni sono bivalenti. Si ha:
N=
Q i ⋅t
=
2e 2e
La massa corrispondente si ottiene moltiplicando il numero di ioni per la massa di ciascuno di essi,
ossia:
m = N ⋅ mA =
i ⋅ t ⋅ m A 5 × 86400 × 2,67 × 10 −23
=
= 0,036 Kg = 36 g
2e
2 × 1,60 × 10 −19
CAMPO MAGNETICO
2) Un fascetto collimato di elettroni, tutti aventi la stessa velocità, penetra in un dispositivo
sperimentale in cui è praticato il vuoto (vedi figura). All’interno di esso è presente un campo
magnetico uniforme di intensità B = 2,0 × 10-4 T, perpendicolare alla direzione del moto. La
regione in cui agisce il campo si estende per una lunghezza di 20 cm. All’uscita dal dispositivo,
il fascetto risulta deviato di un angolo di 60° rispetto alla direzione originaria. Calcola la
velocità degli elettroni. (me = 9,11×10-31 Kg; e = 1,60×10-19 C)
Gli elettroni del fascio sono soggetti alla forza di Lorenz:
F = qvB
e si muovono lungo un arco di circonferenza. Tenendo conto che la forza di Lorenz agisce come
forza centripeta, si può scrivere l’uguaglianza:
qvB =
mv 2
R
→ v=
qBR
m
Per risolvere il problema dobbiamo solo ricavare il raggio di curvatura della traiettoria, in quanto
tutte le altre grandezze sono note.
Consideriamo lo schema seguente:
Da esso si vede che, chiamando L la lunghezza della regione in cui è presente il campo magnetico,
risulta:
L = R ⋅ sin 60°
→ R=
L
sin 60°
In definitiva si ha:
v=
1,6 × 10 −19 × 2 × 10 −4 × 0,20
qBL
=
= 8,1 × 10 6 m / s
− 31
m sin 60°
9,11 × 10 × 0,866
3) A particle with charge 20 μC experiences a force of 2.8 × 10-4 N when moving with a speed
of 20 m/s perpendicularly to a magnetic fileld. Find the force exerted on the particle when it
moves in the same magnetic field with a speed of 9,8 m/s and direction forming an angle of
28° with respect to the magnetic field.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Una particella con carica 20 μC subisce una forza di 2.8 × 10-4 N quando si muove con velocità di
20 m/s perpendicolarmente ad un campo magnetico. Trova la forza esercitata sulla particella
quando essa si muove all’interno dello stesso campo magnetico con una velocità di 9,8 m/s e una
direzione che forma un angolo di 28° rispetto al campo magnetico”
Dal conteso si evince che è richiesto solo il modulo della forza, ossia:
F = q ⋅ v ⋅ B sin α
Con i dati della prima parte del problema possiamo calcolare l’intensità del campo magnetico:
B=
2,8 × 10 −4
F
=
= 0,7 T
q ⋅ v ⋅ sin α 20 × 10 −6 × 20 × 1
La forza richiesta è quindi:
F = q ⋅ v ⋅ B sin α = 20 × 10 −6 × 9,8 × 0,7 × sin 28 = 6,4 × 10 −5 N
4) Un protone con un’energia cinetica di 8,9×10-16 J si muove perpendicolarmente ad un
campo magnetico di 0,26 T. Calcola il raggio della sua traiettoria. [mP = 1,67 × 10-27 Kg]
Ricordiamo che il raggio di curvatura, per una particella carica che si muove perpendicolarmente ad
un campo magnetico, è dato dalla relazione:
R=
mv
qB
Possiamo ricavare la velocità a partire dall’energia cinetica:
EC =
1 2
mv
2
→ v=
2 EC
m
Sostituendo nella precedente relazione si ottiene:
R=
2 EC m
qB
→ R=
2 × 8,9 × 10 −16 × 1,67 × 10 −27
= 4,1 × 10 − 2 m
−19
1,6 × 10 × 0,26
5) Due lunghi fili rettilinei sono orientati perpendicolarmente al foglio, come mostrato in
figura. La corrente nel filo A è di 3,0 A con verso entrante e quella nel filo B è di 4,0 A con
verso uscente. Trovare l’intensità, la direzione e il verso del campo magnetico nel punto P.
Osserviamo che, per la legge di Biot-Savart, le due correnti in A e in B producono rispettivamente i
campi magnetici B1 e B2 riportati nello schema seguente:
Le intensità dei due campi magnetici sono rispettivamente:
μ I
4π × 10 −7 × 3
B1 = 0 A =
= 1,2 × 10 −5 T
2
2πR A
2π × 5 × 10
B2 =
μ0 I B
4π × 10 −7 × 4
=
= 1,1 × 10 −5 T
2πRB 2π × 5 × 10 2 × 2
Per determinare l’intensità del campo magnetico risultante occorre calcolare le componenti dei due
vettori:
B1x = 1,2 × 10 −5 T
B1 y = 0
B2 x = B2 cos 45° = −0,80 × 10 −5 T
B2 y = B2 sin 45° = −0,80 × 10 −5 T
da cui:
B x = B1x + B2 x = (1,2 − 0,8) × 10 −5 = 0,4 × 10 −5 T
B y = B1 y + B2 y = −0,8 × 10 −5 T
B = 0,4 2 + 0,8 2 = 0,89 × 10 −5 T
⎛ − 0,8 ⎞
⎟ = 243°
⎝ 0,4 ⎠
α = tan −1 ⎜
6) Una sbarretta conduttrice di lunghezza 60 cm e massa 50 g, è sospesa tramite due fili sottili
e flessibili in una regione dove è presente un campo magnetico B di intensità 0.05 T, come
schematizzato in figura. Calcola quale corrente deve fluire nella sbarretta affinché essa possa
levitare nel campo magnetico. Stabilisci inoltre (motivando) se la corrente deve fluire verso
destra o verso sinistra.
La sbarretta potrà levitare se la forza magnetica dovuta all’interazione della corrente con il campo
magnetico uguaglia la forza peso, ossia:
FB = P
→ L⋅I × B = m⋅ g
→ I=
mg
BL
→ I=
0,050 × 9,8
= 16 A
0,05 × 0,60
Per individuare il verso che deve avere la corrente affinché la forza magnetica sia rivolta verso
l’alto, possiamo ricordare le proprietà del prodotto vettoriale I × B oppure ricorrere alla regola della
mano destra: corrente allineata con il pollice, campo magnetico allineato con le altre dita, forza
diretta come il palmo della mano. Se ne deduce in ogni caso che la corrente deve essere diretta da
sinistra a destra.
7) Two currents I1 = I2 =2,0 A flow in the same direction through the wires 1 and 2 as shown
by the picture. A third current flows in the wire 3. What should be the direction and
intensity of the current in wire 3 so that the magnetic field in point A is 0 ?
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Due correnti I1 = I2 =2,0 A fluiscono nella stessa direzione attraverso i fili 1 e 2 come mostrato in
figura. Una terza corrente fluisce nel filo 3. Quale deve essere la direzione e l’intensità della
corrente nel filo 3 affinché il campo magnetico nel punto A sia 0 ?”
Osserviamo per prima cosa che le correnti nei fili 1 e 2 creano nel punto A due campi magnetici B1
e B2, come rappresentato in figura
I due vettori hanno entrambi modulo:
B1 = B2 =
μ0 I
2πL
e hanno per somma il vettore B di modulo:
B =
μ0 I
⋅ 2
2πL
La corrente nel filo 3 dovrà generare un campo magnetico Bx opposto a B.
Per prima cosa osserviamo che dovrà avere verso uscente. Inoltre, dalla geometria del problema, si
vede che nel punto A il campo magnetico Bx avrà, come richiesto, verso opposto a quello di B.
Il modulo del campo magnetico Bx nel punto A è dato da:
Bx =
μ0 I 3
2π ⋅ L 2
Dovrà quindi essere:
μ0 I3
μ I
= 0 ⋅ 2
2π ⋅ L 2 2πL
→
I3
2
=I 2
→ I 3 = 2I
→ I 3 = 4,0 A
8) Una barra di rame di lunghezza 0,40 m e massa 0,15 kg è percorsa da una corrente di 18 A
nel verso positivo dell’asse x. Trova l’intensità, direzione e verso del campo magnetico
necessario a far levitare la sbarra
La situazione è schematizzata in figura:
Osserviamo per prima cosa che la forza magnetica agente sul filo deve essere rivolta verso l’alto per
contrastare la forza peso. Pertanto, utilizzando la regola della mano destra, si vede che il campo
magnetico deve avere verso entrante.
(regola della mano destra: corrente nella direzione del pollice, campo magnetico in direzione delle
dita e forza in direzione del palmo)
Il modulo della forza che agisce sul filo è:
F = I ⋅L⋅B
Dovrà quindi essere:
I ⋅ L ⋅ B = mg
9)
→ B=
mg 0,15 × 9,8
=
= 0,20 T
0,4 × 18
IL
Nella figura seguente A e B rappresentano in sezione due lunghi conduttori rettilinei e
paralleli, che distano fra di loro 10 cm e sono percorsi da correnti di verso opposto,
rispettivamente di intensità 2,0 A e 3,0 A. Determina l’intensità del campo magnetico nei
punti P1, P2 e P3 essendo note le distanze:
P1 A = 3 cm
P2 A = 2 cm
P3 B = 5 cm
Osserviamo preliminarmente che in ciascuno dei punti assegnati, P1, P2, P3, il campo magnetico è
dato dalla somma algebrica dei campi dovuti alle correnti dei conduttori A e B. Dovremo dunque
stabilire se, in ciascun punto, i campi magnetici hanno lo stesso verso o verso opposto. Per
comprendere meglio la situazione consideriamo lo schema seguente, in cui sono riportati i versi dei
campi magnetici determinati dalle due correnti.
Esaminando lo schema notiamo che in P1 e in P3 i campi magnetici hanno versi opposti, quindi
vanno sottratti, mentre in P2 hanno lo stesso verso, quindi si sommano.
Tenuto conto delle distanze di ciascun punto dai conduttori A e B, si ottiene:
B1 =
μ0
2π
⎛ iA
i
⎜⎜
− B
⎝ dA dB
B2 =
μ0
2π
⎛ iA
i ⎞
3 ⎞
⎛ 2
⎜⎜
+ B ⎟⎟ = 2 × 10 −7 × ⎜
+
⎟ = 2,75 × 10 −5 T
d
d
0
,
02
0
,
08
⎝
⎠
B ⎠
⎝ A
B3 =
μ0
2π
⎛ iB
i ⎞
2 ⎞
⎛ 3
⎜⎜
− A ⎟⎟ = 2 × 10 −7 × ⎜
−
⎟ = 8,7 × 10 −6 T
⎝ 0,05 0,15 ⎠
⎝ dB dA ⎠
⎞
3 ⎞
⎛ 2
⎟⎟ = 2 × 10 −7 × ⎜
−
⎟ = 8,7 × 10 −6 T
⎝ 0,03 0,13 ⎠
⎠
Notare che il problema chiedeva solo l’intensità del campo magnetico e non il verso, quindi si può
trascurare il segno.
10) Due fili paralleli lunghi 1,5 m, che distano tra loro 3 cm, sono percorsi da una corrente di
3 A che fluisce in versi opposti. Determinare intensità, direzione e verso della forza che si
esercita tra i due fili.
Come noto la forza che si esercita tra due fili paralleli percorsi da corrente ha intensità:
F=
μ 0 I1 I 2 ⋅ l
2π ⋅ d
Si ha quindi:
F=
4π × 10 −7 × 3 × 3 × 1,5
= 9 × 10 −5 N
2π × 0,03
la direzione della forza è perpendicolare ai fili ed è repulsiva perché le correnti hanno versi opposti.

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