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DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
Nella forma più usuale la distribuzione esponenziale assume la forma:
Le relazioni teoriche dei momenti sono:
DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE a 2 parametri (con soglia)
Se esiste un limite inferiore della variabile, diverso da zero, la
distribuzione esponenziale assume la forma:
Le relazioni teoriche dei momenti in questo caso sono:
MODELLO DEL MASSIMO VALORE
Si consideri una serie di n variabili casuali
e sia
Se gli Xi sono indipendenti:
Se gli Xi sono identicamente distribuiti con funzione di distribuzione cumulata
Fx(x)
o semplicemente
Esempio:
Nota, dall esperienza passata, la distribuzione della massima piena in un anno, o
piena annuale X, si può valutare la distribuzione della massima piena in n anni,
se n è la durata di progetto del sistema idrico.
DISTRIBUZIONI ASINTOTICHE
Per n grande:
Al crescere di n la distribuzione di
è relativamente insensibile alla esatta forma
della distribuzione delle Xi. E stato dimostrato che, a seconda della caratteristica
della distribuzione delle Xi nella coda destra, la distribuzione della massimo
tende a solo 3 distribuzioni asintotiche:
1) 
2) 
3) 
La distribuzione asintotica del tipo 1 o di Gumbel vale quando la coda superiore
della variabile originaria cade in maniera esponenziale, cioè se, per
grande vale:
abbastanza
Coda di tipo esponenziale
essendo g(x) una funzione crescente di x.
Esempio:
Distribuzione esponenziale:
con
Il massimo di n variabili esponenziali con media
Gumbel per n abbastanza grande.
è distribuito secondo la legge di
DISTRIBUZIONE DEL VALORE ESTREMO DI 1° TIPO (EV1) o DI GUMBEL
Interpretazione:
1.  Asintotica
•  Zi indipendenti ed identicamente distribuiti con leggi di tipo esponenziale.
• 
• 
• 
2. Esatta:
•  K numero variabile da anno ad anno con la legge di Poisson.
• 
• 
Zi vedi sopra ed inoltre indipendenti da K.
X: massimo in un intervallo [0,t], esempio l anno, di un numero variabile secondo la
legge di Poisson, con media Λ, di variabili indipendenti ed esponenzialmente
distribuite con media θ2.
DISTRIBUZIONE EV1 o DI GUMBEL
con:
Significato dei parametri:
•  Λ : Numero medio di eventi indipendenti in [0,t], esempio in un anno.
•  θ2 :Valore medio della grandezza dell evento, esempio portata al colmo.
dipende solo da Λ
Coefficiente di asimmetria, indipendente dal valore dei
parametri.
θ1 è la moda di x
θ2 : è proporzionale a σ (misura di dispersione).
: dipendono solo dal coefficiente di variazione .
Variabile ridotta:
• 
• 
• 
• 
• 
costante di Eulero
Carta probabilistica di Gumbel
Serie di dati molto asimmetriche non si allineano in carta di Gumbel
Orco a Pont Canavese (Cuorgné)
1000"
Probabilità cumulata"
0.999"
GUMBEL"
0.995"
200 "
0.99 "
100"
0.95 "
20"
0.90 "
10"
0.80 "
5"
0.70 "
0.60 "
0.50 "
0.40 "
0.30 "
0.20 "
0.10 "
0.05 "
0.02 "
0.01 "
2"
[T]"
0"
500"
1000"
1500"
2000"
2500"
Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]"
3000"
dipendenza del valore di progetto dal metodo di stima
IL METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Consiste nel determinare i valori dei parametri in modo da massimizzare la funzione
di verosimiglianza:
che è la funzione di densità congiunta del campione per osservazioni indipendenti.
La stima dei parametri
si ottiene dal sistema di r equazioni in r incognite.
Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione normale
verificata se
verificata se
Stima di Massima Verosimiglianza: Distribuzione di Gumbel
con n=numero di dati del campione.
Il valore a primo membro è determinato sulla base di un valore di tentativo
assegnato al secondo membro. Il procedimento si arresta quando i due valori
differiscono di una quantità inferiore alla tolleranza assegnata (per es. 0.001 per
θ2).
Il primo valore di tentativo potrà essere quello derivante dalla stima dei momenti.
La correzione che si può apportare ad ogni tentativo per accelerare la convergenza
può essere quella suggerita da Gumbel:
L-momenti
Gli L-momenti sono un modo alternativo di descrivere la forma
delle distribuzioni di probabilit`a.
Derivano dai probability weighted moments (PWM) o
momenti pesati in probabilit`a.
Per una variabile casuale x con funzione di probabilit`a
cumulata F (x) si ha
Mp,r ,s = E [x p {F (x)}r {1
D. Ganora
L-momenti
F (x)}s ]
2
L-momenti vs momenti
r
Mr = E [(x
= M1,r ,0 = E [x{F (x)}r ]
Z
inf
inf
r
x {F (x)} · f (x)dx
Z
inf
(x
inf
µ(x))r ]
µ(x))r · f (x)dx
PWM ! lineari nella variabile casuale (la x non `e mai elevata
a potenza, ma lo `e solo F (x))
Momenti ! la x `e elevata a potenza per r > 1
D. Ganora
L-momenti
3
L-momenti
I PWM possono essere usati per stimare i parametri di una
distribuzione, ma sono difficili da interpretare direttamente
come misure di dispersione, forma, ...
Tali informazioni sono per`o presenti in particolari combinazioni
di PWM
1 = 0 ! media
2 = 2 1
0 ! dispersione
6 1 + 0 ! asimmetria
3 = 6 2
30 2 + 12 1
4 = 20 3
0
D. Ganora
L-momenti
4
Coefficienti adimensionali
⌧=
2
1
⌧3 =
3
2
⌧4 =
4
2
in generale ⌧r =
D. Ganora
! L-CV
! L-skewness
! L-kurtosis
r
1
L-momenti
5
L-momenti
Notazione:
x1 , x2 , . . . , xi . . . xn campione
x(1)  x(2)  . . .  x(i)  . . .  x(n) campione ordinato in
senso crescente
x1:n  x2:n  . . .  xi:n  . . .  xn:n campione ordinato in
senso crescente
D. Ganora
L-momenti
6
L-momenti
D. Ganora
L-momenti
8
L-momenti
D. Ganora
L-momenti
9
Propriet`a
esistenza se la media della distribuzione esiste, allora
esistono tutti gli L-momenti
unicit`a se la media della distribuzione esiste, allora gli
L-momenti definiscono in maniera univoca la
distribuzione (non ci sono due distribuzioni con gli
stessi L-momenti)
I
I
I
I
0
|⌧r | < 1 per tutti r 3
1
(5⌧32 1)  ⌧4 < 1
4
per distribuzioni che assumono solo valori positivi ⌧3 `e
limitato in funzione di ⌧ 2⌧ 1  ⌧3 < 1
2
D. Ganora
L-momenti
10
PWM campionari
n
1X
b0 =
xj:n
n j=1
n
1 X (j
b1 =
n j=2 (n
n
1 X (j
b2 =
n j=3 (n
n
1 X (j
br =
n j=r +1 (n
D. Ganora
1)
xj:n
1)
1)(j
1)(n
1)(j
1)(n
2)
xj:n
2)
2) . . . (j r )
xj:n
2) . . . (n r )
L-momenti
12
L-momenti campionari
l1 = b 0
l2 = 2b1
b0
l3 = 6b2
6b1 + b0
l4 = 20b3
D. Ganora
30b2 + 12b1
b0
L-momenti
13
Distribuzioni degli estremi a 3 parametri
Per T abbastanza grande, in genere superiore ai 20 anni, vale:
Di conseguenza una XT GUMBEL varia linearmente con Ln T (linea blu)
LEGGE GENERALIZZATA DEI VALORI ESTREMI
(GEV)
L espressione della GEV è :
θ3≠0
θ3=0
θ1
parametro di posizione
θ2
parametro di scala
θ3
parametro di forma
θ3 = 0
!
distribuzione EV I (Gumbel)
θ3 < 0
!
EV II (Fréchet) - limitata sup. da θ1+θ2/θ3
θ3 > 0
!
EV III (Weibull) - limitata inf. da θ1+θ2/θ3
3
6
La GEV si adatta a serie con elevata asimmetria
Orco a Pont Canavese (Cuorgné)
1000"
Probabilità cumulata"
0.999"
GUMBEL"
0.995"
200 "
GEV"
0.99 "
100"
0.95 "
20"
0.90 "
10"
0.80 "
5"
0.70 "
0.60 "
0.50 "
0.40 "
0.30 "
0.20 "
0.10 "
0.05 "
0.02 "
0.01 "
2"
[T]"
0"
500"
1000"
1500"
2000"
2500"
Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]"
3000"
Formulazioni per la stima della probabilità cumulata della
popolazione dipendenti dalla distribuzione che si sta testando:
Si hanno ad esempio:
- Distribuzioni debolmente asimmetriche (Cunnane)
- Distribuzioni debolmente asimmetriche (Gringorten)
- Distribuzioni fortemente asimmetriche (Hazen)
4
1
Scelta della distribuzione
D. Ganora
L-momenti
14
Scelta della distribuzione
D. Ganora
L-momenti
15
Scelta della distribuzione
D. Ganora
L-momenti
16