Programma dettagliato del corso di Metodi matematici dell’Ingegneria e lista dei teoremi per i quali si assume la conoscenza della relativa dimostrazione in sede di esame orale. • Analisi Complessa Campo complesso e sua struttura di spazio metrico, campo complesso esteso. Formula di De Moivre. Funzioni continue di variabile complessa. Derivata in senso complesso. Differenziabilità delle funzioni derivabili. Condizioni di Cauchy-Riemann (C-R). La funzione esponenziale. Condizioni di C-R in coordinate polari. Funzione argomento principale. Logaritmo principale e radice principale. Loro derivabilità fuori dal semiasse reale negativo. Derivabilità e analiticità delle serie di potenze. Integrazione in campo complesso. Sua interpretazione come integrale di seconda specie e relative proprietà. Primitiva complessa. Funzioni olomorfe e funzioni intere. Dimostrazione che le forme differenziali lineari relative all’integrale di una funzione olomorfa sono chiuse (teorema integrale di Cauchy). Esistenza della primitiva di una funzione olomorfa. Formula di Cauchy. Estensione della formula di Cauchy al calcolo della derivata n-ima. Analiticità delle funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni analitiche; zeri isolati. Esempi di funzioni C ∞ ma non analitiche. Diseguaglianza di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema Fondamentale dell’Algebra. Esempi di calcolo tramite la formula di Cauchy. Punti singolari. Loro classificazione. Residui e loro calcolo (nel caso di poli di ordine n). Serie bilatere e serie di Laurent. Caratterizzazione dei punti singolari isolati tramite la serie di Laurent. Teorema dei residui. Lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. • Trasformata di Laplace Funzioni Laplace-trasformabili. Ascissa di convergenza. Funzione di Heaviside. Trasformate di Laplace. Espressione della derivata della L(f )(s) in termini della trasformata di Laplace di tf (t). Trasformata della derivata. Applicazioni alla soluzione di equazioni differenziali. Soluzioni di equazioni lineari con sec1 ondo membro discontinuo. Convoluzione. Trasformata di una convoluzione. Esempi: equazioni integro-differenziali. Soluzione impulsiva e soluzioni di equazioni differenziali tramite convoluzione con la soluzione impulsiva. Sue proprietà. Una formula per l’antitrasformata tramite un integrale complesso. Calcolo dell’ antistrasformata di F come somma dei residui di F (s)est . • Integrale di Lebesgue Cenni su misura e integrale di Lebesgue. Insiemi misurabili. Proprietà della misura (in particolare numerabile additività). Funzioni semplici. Integrale di una funzione positiva come limite di integrali di funzioni semplici. Funzioni sommabili. Differenze con l’integrale improprio secondo Riemann (funzione sin x/x). Proprietà vere quasi ovunque (in particolare convergenza q.o.). Teoremi principali: Beppo Levi, Lebesgue, FubiniTonelli. 24. Gli spazi Lp . Norma sugli spazi Lp . Convergenza negli spazi Lp e loro completezza. Inclusioni di spazi Lp . • Spazi vettoriali e spazi di Hilbert Spazi vettoriali con prodotto scalare. Norma Hilbertiana. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Identità del parallelogramma (esempi di norme non hilbertiane). Lo spazio l2 . Lo spazio di Lebesgue L2 . Ortogonalità. Teorema di Pitagora. Insiemi ortogonali e ortonormali. Lineare indipendenza di insiemi ortogonali. Esempi (funzioni esponenziali e funzioni trigonometriche). Spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni. Diseguaglianza di Bessel. Il metodo di Gram-Schmidt. • Serie di Fourier Polinomi di Fourier. Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier (forma esponenziale e forma trigonometrica). Esempio: la serie di Fourier della funzione segno. Lemma di Riemann-Lebesgue. Nucleo di Dirichlet. Criterio di Dini. Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni C 1 a tratti. Convergenza 2 della serie di Fourier in L2 e Identità di Parseval. • Trasformata di Fourier (dagli appunti del Prof. Benfatto http://www.mat.uniroma2.it/~benfatto/note_FM2_new.pdf) Introduzione alla trasformata di Fourier come "limite" di serie di Fourier. Trasformata di Fourier di una funzione L1 . Formula di inversione per funzioni in F(R). Proprietà ed esempi. Trasformata di Fourier di funzioni a decrescenza rapida. Trasformata di Fourier e derivazione. Trasformata di Fourier delle Gaussiane. Trasformata di Fourier in L2 e sua compatibilità con il prodotto scalare. Identità di Plancherel. Trasformata di una convoluzione. • Distribuzioni Spazio delle funzioni test C ∞ a supporto compatto (ed esistenza di tali funzioni) e convergenza in tale spazio. Definizione di distribuzione. Esempi. Identificazione delle funzioni sommabili con distribuzioni di forma integrale. La delta di Dirac come distribuzione. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivata di una funzione continua e C 1 a tratti. Derivata della delta. Derivate di ordine superiore nel senso delle distribuzioni. Convergenza di distribuzioni. Concentrazione e oscillazioni. Legame con il lemma di Riemann-Lebesgue. La distribuzione valor proprio di 1/x. Operazioni su distribuzioni. Distribuzioni temperate. Funzioni a crescenza lenta come distribuzioni temperate. Le funzioni L1 , L2 , L∞ e i polinomi sono a crescenza lenta. Trasformate di Fourier di distribuzioni temperate. Esempi: trasformate della δ, 1, x, xn , sign(x). Proprietà delle trasformate di Fourier di distribuzioni temperate. 3