PPT Lezione su circuiti caotici

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA E TECNOLOGIE DELL'INFORMAZIONE
Corso di Teoria dei Circuiti
Laurea specialistica in Ingegneria
Informatica, Elettronica e delle Telecomunicazioni
Prof. Massimiliano de Magistris
Caos deterministico nei circuiti:
introduzione, simulazioni ed un esperimento
Introduzione/1
Caos deterministico :
comportamento aperiodico a lungo termine in un sistema
deterministico caratterizzato da una alta dipendenza alle condizioni
iniziali Æ impredicibilità!
Abbiamo dinamiche caotiche se, in qualche regione
dello spazio di stato accade che:
–
si verifica alta sensibilità alle c.i. (eventualmente
esponenziale)
–
c’è il “folding” delle traiettorie (che mantiene le
traiettorie limitate nonostante la divergenza
esponenziale)
–
esiste una regione “densa” di orbite nello spazio di stato
(attrattore strano)
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2
Introduzione/2
È possibile avere dinamiche caotiche (cond. necessarie)
in sistemi almeno del secondo ordine non autonomi o
del terzo ordine autonomi.
Lo studio sperimentale del caos deterministico è stato
prevalentemente effettuato su circuiti …
due esempi classici ….
Circuito “RLD” (Hasler)
Circuito di Chua
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Circuito caotico con diodo (Hasler)
Circuito non autonomo del 2°ordine (RLCD), con elemento
non lineare a-dinamico (D) e dinamico (C), forz. sinusoidale
.
A variare del parametro ampiezza EM si osserva (tÆ∞) una
sequenza di raddoppiamenti di periodo e transizioni al caos
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4
Circuito RLCD: dinamica asintotica/1
Em=0.8 Æ sol. asintotica periodica (T )
charge dynamics
qC [nC]
4
2
State space plot
0
-2
0
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
iL [mA]
t [ms]
current dynamics
.
2
iL [mA]
0.5
0.2
0
1
-0.2
0
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-0.4
-0.5
t [ms]
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0
0.5
1
qC [nC]
5
Circuito RLCD: dinamica asintotica/2
Em=2 Æ sol. asintotica periodica (2T )
charge dynamics
qC [nC]
4
2
State space plot
0
-2
0
1.5
0.1
0.2
0.3
0.4
iL [mA]
t [ms]
current dynamics
.
2
iL [mA]
0.5
1
0.5
0
-0.5
0
-1
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1
-2
-1
t [ms]
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0
1
qC [nC]
2
3
6
Circuito RLCD: dinamica asintotica/3
Em=2.4 Æ sol. asintotica periodica (4T )
charge dynamics
qC [nC]
4
2
State space plot
1.5
0
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
iL [mA]
t [ms]
current dynamics
.
2
iL [mA]
0.5
1
0.5
0
1
-0.5
0
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1
-2
t [ms]
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0
2
4
qC [nC]
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Circuito RLCD: dinamica asintotica/4
Em=4 Æ sol. asintotica “caotica”
La dinamica è caratterizzata
da un attrattore strano
charge dynamics
qC [nC]
10
5
State space plot
0
-5
0
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
4
iL [mA]
1
iL [mA]
t [ms]
current dynamics
.
0
2
-1
0
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-2
-2
0
t [ms]
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2
qC [nC]
4
6
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Circuito RLCD: attrattore “strano”
La curva descritta (che è già epurata del transitorio)
è aperiodica e non si chiude mai su se stessa. Ciò
nonostante rimane sempre confinata ad una certa
regione (attrattore strano)
.
Le soluzioni caotiche così determinate risultano
instabili: soluzioni arbitrariamente vicine in un istante
si separano in modo netto successivamente
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Circuito RLCD: sensibilità alle c.i.
6
x 10
-9
in it ia l c o n d it io n s e n s it ivit y (q )
re fe re n c e
0 . 0 5 % p e rt u rb e d
5
4
3
q
2
1
.
0
-1
-2
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t
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4
4.5
x 10
-4
10
Circuito RLCD: diagramma di biforcazione
.
iL [mA]
Campionando (a regime)
la sequenza temporale
3
ogni T si ottiene il
2.5
diagramma
2
di biforcazione
Byfurcation diagram
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
Em [V]
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6
8
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Circuito RLCD: Mappa di Poincarè
Poincarè map
2.5
2
1.5
1
i [mA]
.
Se sull’attrattore (nel
piano di stato)
segnamo i punti
campionati ogni T
realizziamo una
mappa (o sezione) di
Poincaré
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-4
-2
0
2
4
6
q [nC]
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Il circuito di Chua/1
iN
iL
iN
R
+
L
v2
C2
+
v1
C1
-
-
G<|dg/dv|
v1
G>|dg/dv|
.
v1
v 2 i N (v 1 )
⎧dv 1
=
−
+
−
⎪ dt
RC 1 RC 1
C1
⎪
⎪dv 2
v1
v2
iL
=
−
+
⎨
RC 2 RC 2 C 2
⎪ dt
⎪di
v2
L
=−
⎪
dt
L
⎩
G=|dg/dv|
⎧G bv + (G b − G a ) E 1
⎪
i N (v ) = ⎨G av
⎪
⎩G bv + (G a − G b ) E 1
se v ≤ -E 1
se
v < E1
se v ≥ E 1
Si tratta di un circuito autonomo del terzo ordine con un
resistore non lineare (a tratti)
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Il circuito di Chua/2
Il circuito presenta le tre condizioni teoriche minime per
avere dinamiche complesse:
• dinamica almeno del terzo ordine (per i circuiti autonomi)
• almeno un componente non lineare
• almeno un componente attivo
.
L’elemento non lineare, detto anche “diodo di Chua” è al
tempo stesso attivo e non lineare. Gli elementi dinamici sono
invece lineari (due condensatori ed un induttore)
Come parametro di biforcazione consideriamo il valore del
resistore lineare R
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Il circuito di Chua/3
.
Se consideriamo il caso stazionario otteniamo il circuito in figura. A
seconda del valore di G individuiamo una oppure tre possibili soluzioni
stazionarie. Sappiamo però che per un circuito non lineare possiamo avere
anche soluzioni non stazionarie per t Æ∞!
Quale sarà il comportamento asintotico del circuito? Come vedremo
dipenderà in modo piuttosto “spettacolare” dal valore della conduttanza G.
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Dinamiche del circuito di Chua/1
• Per valori di R sufficientemente grandi si ha che i punti
di equilibrio delle regioni esterne sono stabili, mentre
l’origine è un punto instabile. Il sistema si porterà,
con traiettoria a spirale, su uno dei punti di equilibrio
stabile (a seconda del suo stato iniziale)
.
• Al diminuire di R si può osservare dapprima come il numero
di oscillazioni per raggiungere l’equilibrio cresce, per poi
transitare al caso di una soluzione periodica (ciclo limite) di
periodo T, attorno al precedente punto di equilibrio
• Per valori di R ancora più bassi si osservano
raddoppiamenti del periodo, con orbite di periodo 2T e 4T.
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Dinamiche del circuito di Chua/2
• Al diminuire ulteriore di R i cicli limite assumono periodo 8T,
16T, 32T …, fino a diventare praticamente infinito.
• Si raggiunge un moto della soluzione apparentemente
irregolare in una regione di tipo a spirale, detto “attrattore
di Chua”.
.
• Continuando a diminuire il valore di R si ottiene, oltre alla
variazione della forma dell’attrattore, alcune regioni
ambigue o “finestre” nel caos con soluzioni periodiche.
• Infine si raggiunge un diverso attrattore, caratterizzato da
valori di segno opposto per almeno una variabile detto
attrattore “double scroll”.
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Circuito caotico di Chua: simulazione SPICE
R= 2050 Ω
SOLUZIONE STAZIONARIA
STABILE
.
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R= 1980 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (T)
R= 1980 Ω
SOLUZIONE PERIODICA
STABILE (periodo T)
Fast Fourier Transform
.
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R= 1950 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (2T)
R= 1950 Ω
SOLUZIONE PERIODICA
STABILE (periodo 2T)
Fast Fourier Transform
Fast Fourier Transform
.
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20
R= 1938 Ω: SOLUZIONE PERIODICA STABILE (4T)
R= 1938 Ω
SOLUZIONE PERIODICA
STABILE (periodo 4T)
Fast Fourier Transform
.
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R= 1900 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “A SPIRALE”
R= 1900 Ω
SOLUZIONE CAOTICA
Fast Fourier Transform
.
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R= 1840 Ω: SOLUZIONE CAOTICA “DOUBLE SCROLL”
R= 1840 Ω
SOLUZIONE CAOTICA
“DOUBLE SCROLL”
Fast Fourier Transform
.
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R= 1810 Ω: “FINESTRA NEL CAOS” (CICLO 8T)
R= 1810 Ω
“FINESTRA NEL CAOS”
SOLUZIONE PERIODICA
STABILE (periodo 8T)
Fast Fourier Transform
.
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Applicazioni analisi dei circuiti caotici
• Progetto robusto (a prova di caos) di sistemi (es. power converters)
• Controllo del caos per la stabilizzazione di sistemi di varia natura (es.
defibrillatore?)
• Generatori di rumore, generatori di dinamiche “universali”
.
• Modulazione con portanti caotiche di segnali al fine della trasmissione
sicura dei dati (crittografia basata sul caos)
• Test-bed per la validazione di tecniche di controllo robusto
• Realizzazione oggetti basati su dinamiche caotiche per migliorarne
prestazioni “statistiche” (lavatrice, forno a microonde ..)
• Dinamiche e sincronizzazione di reti complesse (complex networks)
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Una implementazione del circuito di Chua
Nome
.
Descrizione
Tipo di elemento
valore
unità
C1
Capacità
10
nF
C2
Capacità
100
nF
L
Induttanza
18
mH
R
Resistenza
1.780
kΩ
Ga
Conduttanza
-0.756
mS
Gb
Conduttanza
-0.409
mS
E1
Tensione
1.089
V
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Una implementazione del circuito di Chua
.
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27
Il circuito concretamente realizzato
.
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Dispositivo di misura/acquisizione dati
.
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29
Controllo USB del parametro di biforcazione
DG412DJZ
Switch
UM245R
USB Interface
R5
R6
R7
R8
R4
R3
R2
R1
R0
DG412DJZ
Switch
.
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Riferimenti bibliografici
1.
M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits, Artech House, Inc, 1986.
2.
F. C. Moon, Chaotic and Fractal Dynamics, John Wiley & Sons, 1992
3.
H. G. Schuster, Deterministic Chaos, VCH, 1988
4.
Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory, Springer-Verlag 1995.
5.
M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part I: Evolution, IEEE Trans. On Circuits and
Systems -I, 40-10, 1993.
6.
M. P. Kennedy, Three Steps to Chaos – Part II: A Chua’s Circuit Primer, IEEE Trans. On
Circuits and Systems -I, 40-10, 1993.
7.
D. C. Hamill, Learning about Chaotic Circuits with SPICE, IEEE Trans. On Education, 361, 1993.
8.
L. O. Chua, R. Madan, Sights and sounds of chaos, IEEE Circuits and Devices magazine,
3-13, 1988.
9.
C. Tan, M. Varghese, P. Varaiya, F. F. Wu, Bifurcation, chaos, and voltage collapse in
power systems, IEEE Proceedings, 83, 1484-1496, 1995.
10. R.N. Madan. Observing and Learning Chaotic Phenomena from Chua’s Circuit. IEEE 07803-0510-8/92, 1992
11. L.O.Chua, L.T. Huynh. Bifurcation Analysis of Chua’s Circuit. IEEE 1992
12. H. Anshan. A study of the Chaotic Phenomena in Chua’s Circuit. IEEE CH24588/88/0000-0273, 1988
13. T.S. Parker, L.O. Chua. Chaos: A tutorial for Engineers. IEEE 0018- 9219/87/0800-0982,
1987
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