Elisa Cali, Claudio Marini
Dispense di fisica per il proggetto
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Teoria ed esercizi svolti e commentati
Contenuti
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Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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La cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 La cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Il punto materiale: le equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Posizione e spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Velocit`
a media e velocit`
a istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Accelerazione media e accelerazione istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Moto uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Il moto circolare uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Il moto di un proiettile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Esercizi sulla cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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La
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Esercizi sulla dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
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Lavoro ed energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Lavoro, energia e potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Lavoro di una forza non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Energia Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Energia potenziale elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Conservazione delle energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Esercizi sul lavoro e l’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il concetto di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Primo principio della dinamica o principio di inerzia . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Terzo principio della dinamica o principio di azione e reazione . . . . . . .
4.4 Forze elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Legge di Hook e moti armonici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Forza centrifuga e forza centripeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Contenuti
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Termologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1 Termologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Definizione operativa della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Dilatazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Effetti della dilatazione termica nella vita quotidiana . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Calorimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Quantit`
a di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 La legge fondamentale della termologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 La propagazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Trasmissione di energia mediante calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 La conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.3 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.4 Il corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 I gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 La legge di Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Gas reali: equazioni di Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Esercizi sulla termologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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Prefazione
2
1 Prefazione
Prefazione
L’essere umano `e, per sua natura, sperimentatore. Fino dalla pi`
u tenera et`a i bambini mettono alla prova i cinque sensi toccando, ascoltando e manipolando tutti gli oggetti che
attraggono la loro attenzione: per questo possiamo tranquillamente affermare che ognuno di
noi, nel suo piccolo, `e un fisico. Ma l’affermarsi della Fisica come scienza in s´e, `e stato un
percorso lungo e tortuoso; l’uomo ha dapprima cercato di dare risposte ai suoi dubbi e alle
sue paure ricorrendo alla Mitologia, da Zeus che puniva gli empi con i suoi fulmini al dio
` per`o grazie alla
Vulcano chiuso nelle viscere della terra a fabbricare armi per gli eroi. . . E
Filosofia e al suo porre il dubbio al centro di ogni processo di indagine che si imbocca la
giusta strada di quello che chiamiamo progresso scientifico. Storicamente una svolta fondamentale di tale percorso `e il periodo compreso tra la seconda met`a del 1500 e la fine 1600,
durante il quale si assistette alla nascita degli Stati nazionali e all’affermazione della civilt`a
borghese. Questi due fattori instillarono nuova linfa vitale in un mondo fino dominato dalla
Teologia, cio`e dalla tradizione culturale della Chiesa la quale, sentendo minacciata la propria
autorit`
a da parte della scienza, non esit`
o a mettere all’indice e a perseguitare una nutrita
schiera di illustri scienziati colpevoli di voler ribaltare la visione aristotelica e tomista di
indagine della natura. Ma non era ovviamente con i roghi e le scomuniche che si poteva negare l’evidente o imbavagliare gli scienziati, i quali proseguirono nel loro percorso di ricerca
e studio della natura iuxta propria principia (Telesio). Si afferm`o pertanto una descrizione
non pi`
u qualitativa, ma quantitativa del mondo che ci circonda, verificata sperimentalmente
ed espressa in termini matematici. Questo nuovo modo di procedere rispondeva alle precise
esigenze progressiste di una societ`
a in evoluzione che necessitava pertanto dell’intervento
di studiosi con basi scientifiche sempre pi`
u approfondite: si cre`o in questo modo un legame
strettissimo, proficuo e inseparabile tra scienza e tecnologia. Tale percorso ci ha condotto
e indotto a considerare la Fisica la pi`
u fondamentale tra le scienze, protesa allo studio di
fenomeni molto complessi e variegati, riguardanti l’energia, la materia, i principi che governano il moto di onde e particelle, le propriet`a di atomi, molecole, nuclei atomici e di sistemi
composti; non vogliamo ovviamente sottrarre spazio e importanza ad altre scienze quali la
Chimica, la Biologia, l’Astronomia ed ovviamente la Matematica che ha fornito alla Fisica
il suo linguaggio.
Lo studio della Fisica si articola in varie branche; quelle classiche che prenderemo in esame
sono: la Meccanica suddivisa a sua volta in Cinematica e Dinamica, e la Termodinamica. Le
nostre dispense sono cos`ı strutturate:
Nel primo capitolo si affronta lo studio della Cinematica, il cui padre fondatore pu`o a buon
diritto essere considerato Galileo Galilei; essa si occupa di comprendere e prevedere il moto
dei corpi, indipendentemente dalle cause che lo determinano.
Lo scienziato toscano cominci`
o a studiare la connessione esistente tra gli spazi percorsi e le
velocit`
a con cui essi venivano percorsi in diversi intervalli temporali quando, ancora giovanissimo, ricopriva la cattedra di Filosofia naturale allUniversit`a di Pisa. L’argomento successivo
che viene affrontato `e la Dinamica: le basi concettuali di questa branca della Meccanica, la
quale si occupa delle cause che producono il moto dei corpi, furono gettate dallo scienziato inglese Isaac Newton. Egli, partendo dalle osservazioni e dalle verifiche sperimentali di
Galileo, studi`
o approfonditamente il Sistema solare collegando il moto di caduta dei gravi e
il moto orbitale dei pianeti all’attrazione di gravit`a.
I tre Principi fondamentali della Dinamica, in suo onore, sono conosciuti anche con il nome
di Principi di Newton. Segue il capitolo sull’Energia e il Lavoro: il tema dell’energia `e fondamentale per l’umanit`
a, che deve confrontarsi con un mondo dalle risorse limitate ma in
continua espansione. Non a caso le tematiche inerenti il lavoro e l’energia hanno cominciato
a essere studiate alla fine del 1700, in concomitanza con la Rivoluzione industriale.
Nell’ultimo capitolo preso in esame viene trattata la Termodinamica (sarebbe pi`
u appropriato parlare di termologia): questa parte della Fisica indaga le cause delle variazioni di
temperatura nei corpi materiali e degli scambi di calore ed energia.
Ci concentreremo inizialmente sulla Termologia: essa si occupa di capire e di rendere oggettiva la sensazione di caldo e di freddo che proviamo toccando gli oggetti. Alla fine del nostro
percorso, che si articola nello studio di Termologia, Termometria e Calorimetria, avremo
1 Prefazione
3
compreso cosa avviene ai solidi, ai liquidi e ai gas quando la loro temperatura aumenta o
diminuisce spiegando anche molti aspetti della nostra vita quotidiana, da quando cuciniamo
a quando guardiamo le previsioni del tempo.
Consigli per gli studenti.
Nella trattazione di tutti i principi affrontati se da una parte si `e posta molta attenzione sul
formalismo matematico, parallelamente abbiamo cercato di dare una spiegazione qualitativa
dei fenomeni in questione senza dover ricorrere ad un uso pesante di strumenti matematici
non ancora familiari allo studente, di modo da offrire un doppio piano di lettura vincolato
alla preparazione e alle conoscenze dello studente.
Dopo ogni capitolo in cui viene esposta dettagliatamente la teoria, ne troviamo uno in cui
`e presentato un ampio ventaglio di esercizi tutti accuratamente svolti, cosicch´e lo studente
possa testare immediatamente il suo livello di comprensione degli argomenti presi in esame e
quindi consolidare le conoscenze acquisite. Gli esercizi non sono stati posti in ordine crescente
di difficolt`
a, e sono esposti in un linguaggio (il pi`
u possibile) chiaro e vivace e si rifanno tutti
al mondo dell’esperienza quotidiana. Naturalmente si consiglia prima di provare a svolgerli
senza guardare le soluzioni, ragionando con calma, eseguendo tutti i calcoli e verificando
sempre l’esattezza delle unit`
a di misura.
2
La cinematica
6
2 La cinematica
2.1 La cinematica
2.1.1 Il punto materiale: le equazioni del moto
Un corpo si dice in moto relativamente ad un altro corpo quando la sua posizione, misurata
rispetto all’altro corpo, cambia nel tempo. Si dice cinematica lo studio del moto di un corpo
indipendentemente dalla cause che lo hanno generato. Per una completa determinazione del
movimento di un corpo occorre conoscere il moto di ciascuna particella che lo compone.
In questa prima parte prescindiamo dalle sue dimensioni, dalla forma, della composizione
chimica, ecc. considerandolo unicamente come un punto, che denomineremo punto materiale.
Questa rappresentazione dei corpi risulta efficace in tutte le circostanze in cui le loro reali
dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze coperte lungo il percorso che ne caratterizza il moto. Lo studio del moto di un corpo richiede la specificazione di un sistema di
coordinate cartesiane: si fissa un sistema spaziale di riferimento e si stabilisce un istante
iniziale a partire dal quale misurare gli intervalli di tempo. Il moto di un punto materiale
P `e quindi determinato una volta nota la legge di variazione nel tempo delle sue coordinate
(equazioni orarie):
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Con le equazioni orarie `e possibile scrivere la legge di variazione nel tempo del vettore
posizione.
2.1.2 Posizione e spostamento
Nel moto rettilineo il punto materiale si sposta lungo una linea retta; fissata un origine e una
direzione, questo tipo di moto descrivibile adoperando una sola coordinata, generalmente
x = x(t) (oppure s = s(t)). Quindi, per esempio, se il tempo viene misurato in secondi,
s = s(0) indica la posizione del corpo nell’istante iniziale, s = s(10) indica la posizione del
corpo dopo 10 secondi, etc...
Pu`
o essere utile avere una rappresentazione grafica del moto utilizzando un sistema di riferimento cartesiano nel quale poniamo il tempo nell’asse delle ascisse e lo spazio in quello delle
ordinate. A tale grafico si d`
a il nome di diagramma orario.
2.1.3 Velocit`
a media e velocit`
a istantanea
Da un grafico posizione-tempo possiamo leggere anche quanto velocemente si `e spostato un
corpo. Per farlo dobbiamo suddividere l’asse del tempo in intervalli uguali ∆t e confrontare
gli spostamenti in tali intervalli temporali. Se gli intervalli non risultano tutti uguali, sorge
naturale confrontare i rapporti fra il cambiamento di posizione x = x2 − x1 e il tempo
trascorso associato t = t2 − t1 . A tale rapporto si d`a il nome di velocit media nell’intervallo
di tempo fra t1 e t2 e si indica con:
vm =
x2 − x1
∆x
=
∆t
t2 − t1
(2.1)
La velocit`
a media ci fornisce un’indicazione sul moto del punto P nell’intervallo di tempo
∆t durante il quale il punto si sposta lungo il segmento di lunghezza ∆x. Se rappresentiamo
su un diagramma cartesiano la legge oraria del moto x = x(t), in tale grafico risulta che la
velocit`
a media calcolata tra i tempi t1 e t2 pu`o essere interpretata come la pendenza della
retta passante per i punti (t1 ; x1 ) e (t2 ; x2 ).
` importante sottolineare che la velocit`a media `e legata all’intervallo di tempo ∆t e non
E
permette, ad esempio, di stabilire il valore che assume la velocit`a in corrispondenza di un
particolare istante di tempo compreso nell’intervallo considerato. Tuttavia si pu`o pensare
di applicare il procedimento di calcolo della velocit`a media ad intervalli ∆t di ampiezza via
2.1 La cinematica
7
via decrescenti, al cui interno `e contenuto l’istante in cui si vuole stabilire il valore della
velocit`
a.
Se scegliamo quindi dei valori di t2 sempre pi`
u vicini a t1 , il punto B si muove verso il
punto A e la retta r : AB congiungente i due punti tende ad identificarsi con la tangente
in A alla curva. Pertanto anche il valore della pendenza di r : AB tende ad un valore
ben definito e cio`e a quello della pendenza di tale tangente. Questo valore limite della
velocit`
a media viene chiamato velocit`
a istantanea. In altre parole, guardando il diagramma
orario del moto di un corpo, possiamo dire che il punto materiale si muove in un istante
t tanto pi`
u velocemente quanto pi`
u `e la pendenza della grafico in quel determinato punto.
Nel moto rettilineo uniforme la velocit`
a istantanea `e costante e coincide con il valore della
velocit`
a media indipendentemente dalla scelta dell’intervallo di tempo. Si possono trarre
alcune informazioni dai grafici:
a) Quando il grafico x(t) `e crescente (decrescente), la velocit`a `e positiva (negativa) poich´e
l’oggetto va in avanti (indietro);
b) Nei punti in cui l’oggetto cambia direzione, la velocit`a istantanea `e nulla;
c) Nei punti in cui la velocit`
a raggiunge un massimo (minimo) locale, il grafico della posizione passa da concavo a convesso (da convesso a concavo).
2.1.4 Accelerazione media e accelerazione istantanea
Quando la velocit`
a di un corpo varia, si dice che il corpo `e sottoposto a una accelerazione.
L’accelerazione media am durante un intervallo di tempo ∆t definito da t1 e t2 `e data da:
v2 − v1
∆v
=
(2.2)
∆t
t2 − t1
In modo simile a quanto fatto in precedenza per passare dal concetto di velocit`a media a
quello di velocit`
a istantanea possiamo definire l’accelerazione istantanea a(t) come il limite
a cui tende il valore dell’accelerazione media quando l’intervallo di tempo diventa sempre
pi`
u piccolo.
Se poniamo in un grafico la velocit`
a nell’asse delle ordinate e il tempo nell’asse delle ascisse: l’accelerazione istantanea a(t) rappresenta quindi il coefficiente angolare della tangente
alla curva v(t) nell’istante t. La sua unit`
a di misura nel S.I. `e il m/s2 .
Si possono fare alcune considerazioni:
am =
a) L’accelerazione `e nulla quando la velocit`a raggiunge i suoi valori massimi o minimi locali;
b) Quando l’accelerazione `e positiva (negativa), la velocit`a sta aumentando (diminuendo),
quindi la pendenza del grafico v(t) `e positiva (negativa);
c) Quando l’accelerazione `e positiva (negativa), il grafico x(t) corrispondente `e concavo
(convesso).
2.1.5 Moto rettilineo uniforme
Un corpo si muove di moto rettilineo uniforme se mantiene una velocit`a costante in modulo,
direzione e verso; in altre parole si pu`
o dire che il corpo si muove di moto rettilineo uniforme
se percorre spazi uguali in tempi uguali. Se la velocit`a v `e costante, ∆v = 0 e quindi
l’accelerazione a `e nulla. S = v × t da cui
S = S0 + vt
(2.3)
dove S0 `e la posizione all’istante t = 0. Quando il punto materiale parte dall’origine del
sistema di riferimento, la precedente equazione diventa:
S = vt
(2.4)
La posizione di un corpo in un moto uniforme `e descritta da una retta la cui pendenza
fornisce la velocit`
a. L’intersezione con l’asse delle ordinate rappresenta la posizione all’istante
t = 0.
8
2 La cinematica
2.1.6 Moto uniformemente accelerato
Il moto di un corpo `e detto uniformemente accelerato se l’accelerazione `e costante in modulo, direzione e verso. Ne risulta che la variazione di velocit`a del punto `e direttamente
proporzionale al tempo in cui essa avviene. In questo caso, il diagramma accelerazionetempo `e costituito da una generica retta orizzontale. In base al significato geometrico
dell’accelerazione si ottiene:
v(t) = v0 + at,
(2.5)
cio`e se un corpo, con accelerazione costante a, che parte con velocit`a iniziale v0 , dopo t
secondi raggiunge la velocit`
a v0 + at. Nel caso in cui il punto materiale parta da fermo,
l’equazione precedente diventa:
v(t) = at.
(2.6)
Per il moto uniformemente accelerato il grafico v(t) legato all’equazione precedente `e
quindi una linea retta che interseca l’asse delle velocit`a in un punto con ordinata pari alla
velocit`
a iniziale v0 . Dato che la pendenza di questa retta corrisponde, a meno dei fattori di
scala, all’accelerazione, se a > 0 il diagramma forma un angolo acuto con l’asse delle ascisse,
mentre se a < 0 l’angolo `e ottuso. Ne segue, risparmiamo le motivazioni teoriche che esulano
dall’intento di queste dispense, che
1
(2.7)
S(t) = S0 + v0 t + at2 .
2
Nel caso in cui il punto materiale parta dall’origine del sistema di riferimento e da fermo,
l’equazione precedente diventa:
1 2
at .
(2.8)
2
Dunque, la coordinata di una particella che si muove di moto uniformemente accelerato
`e una funzione quadratica del tempo e l’equazione `e la relazione richiesta. Il grafico S(t) nel
diagramma orario `e quindi quello di una parabola.
S(t) =
2.1.7 Il moto circolare uniforme
Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme, se percorre archi di circonferenza
uguali in tempi uguali. Il moto circolare assume importanza per il fatto che la velocit`a e
l’accelerazione variano in funzione del cambiamento di direzione del moto. Tale cambiamento
si pu`
o misurare comodamente usando le misure angolari per cui le equazioni del moto,
introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure angolari. La retta
passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa prende il nome di
asse di rotazione. Per semplificare l’analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che
l’osservatore si ponga sull’asse di rotazione. Ci`o `e possibile per l’isotropia e omogeneit`a dello
spazio.
A differenza dei moti considerati finora, quello circolare uniforme `e un moto bidimensionale (la circonferenza `e una figura piana). Analizziamo il moto circolare uniforme in cui
un corpo si muove su un cerchio o su un arco di cerchio a velocit`a costante. Il fatto che
il corpo si muova su una circoferenza con velocit`a costante non implica che l’accelerazione
del corpo sia uguale a 0. Questo concetto risulter`a ovvio quando si sar`a acquisita una certa
dimestichezza con i principi della dinamica, in quanto a = 0 implicherebbe che il corpo non `e
soggetto a forze esterne e quindi, per il primo principio dovrebbe muoversi di moto rettilineo
uniforme!
Quando vediamo una particella che si muove a velocit`a (scalare) costante v su una
circonferenza di raggio r, possiamo affermare che possiede un’accelerazione, diretta verso il
centro del cerchio, avente modulo:
2.1 La cinematica
9
v2
.
(2.9)
r
Inoltre, mossa da questa accelerazione a velocit`a costante, la particella percorre l’intera
circonferenza (pari a 2πr) nel tempo
ac =
T = 2πrv.
(2.10)
Questo tempo si definisce periodo di rivoluzione, o semplicemente periodo per il moto
in oggetto. In generale si pu`
o definire il periodo come il tempo necessario a un corpo per
percorrere una traiettoria chiusa esattamente una volta.
Una grandezza molto usata, quando si parla di moto circolare uniforme, `e la frequenza
che si definisce come l’inverso del periodo. In formule:
f=
1
.
T
(2.11)
L’unit`
a di misura della frequenza `e l’Hertz (Hz), definito come s−1 . In pratica un corpo
che ha frequenza di 1Hz vuol dire che compie una rotazione completa in un secondo.
Nel moto circolare un ruolo molto importante `e giocato dalla velocit`a angolare, ovvero
l’angolo percorso in un certo intervallo di tempo, che viene indicato con ω. Cio`e se un corpo
percorre un angolo ∆α in un intervallo di tempo ∆t, allora la sua velocit`a angolare (media)
`e
∆α
.
∆t
La velocit`
a angolare ω `e legata a quella lineare v dalla relazione
ω=
(2.12)
v = ω × r.
(2.13)
Mettendo questa formula nella 2.9, si ottiene anche che
ac = ω 2 × r.
(2.14)
2.1.8 Il moto di un proiettile
Con il moto dei proiettili, si intende un corpo che si muove sotto l’influsso dell’accelerazione
di gravit`
a g costante diretta verso il centro della Terra. Come `e noto, l’accelerazione g `e
indipendente dalle caratteristiche dell’oggetto quali la massa, la densit`a, la forma ed `e la
stessa per qualsiasi oggetto. Nel vuoto, una mela e una piuma subiscono la stessa accelerazione. Al livello del mare, nelle latitudini medie, g vale approssimativamente 9, 8m/s2 . Per lo
schiacciamento ai poli, g varia da 9, 79 m/s2 a 9, 83 m/s2 . L’approssimazione con g costante
si pu`
o applicare per quote non troppo elevate (qualche chilometro).
Si pu`
o facilmente notare, con qualche esperimento, che il moto verticale di una penna
lasciata cadere da un tavolo e di una penna lanciata fino a oltrepassare il bordo del tavolo `e
identico, visto che ciascuna copre la stessa distanza verticale nello stesso intervallo di tempo.
Il fatto che una delle due si muova orizzontalmente mentre cade non ha alcun effetto sul suo
moto verticale. Quindi, in assenza di resistenza dell’aria, si pu`o affermare che, facendo un
esempio meno intuitivo, se si sparasse una fucilata orizzontalmente e contemporaneamente
si lasciasse cadere un proiettile dalla stessa altezza, i due proiettili toccherebbero il terreno
nello stesso istante.
Quindi il moto del proiettile si pu`
o dividere in due moti indipendenti: quello verticale
(moto uniformemente accelarato) e quello orizzontale (moto rettilineo uniforme). Da semplici
considerazioni di carattere matematico, segue che la traiettoria descritta da un proiettile ha
un andamento parabolico.
Facciamo un semplice esempio. Prendiamo un cellulare su una scrivania alta 0, 80 metri.
Lanciamolo verso il bordo con velocit`
a 4 m/s. Trascurando gli attriti di aria e tavolo, dopo
quanto tempo avverr`
a l’impatto col suolo e a che distanza dalla base della scrivania atterer`a
10
2 La cinematica
il cellulare. Poich´e, per quanto detto sopra, il moto verticale (che `e indipendente da quello
orizzontale) `e un
accelerato con accelerazione g, il tempo che impiega
q
qmoto uniformemente
2×0,80
a cadere `e t = 2h
g =
9,81 s = 0, 40 s. Quindi per calcolare la distanza percorsa dalla
base della scrivania `e sufficiente applicare la legge del moto rettilineo uniforme S = vt =
4 × 0, 40 m = 1, 61 m.
3
Esercizi sulla cinematica
12
3 Esercizi sulla cinematica
3.1 Esercizi
1. Penka sta viaggiando in autostrada (limite di velocit`a 130 Km/h) alla velocit`a v =
40 m/s. Passando davanti a un autovelox attivo, prender`a la multa o no? E a quanti
metri al secondo corrisponde invece il limite di velocit`a della Siena-Firenze, che `e di
90, Km/h?
Soluzione
Per rispondere a questo quesito, bisogna solo ricordarsi che per passare da metri al
secondo a chilometri orari, `e sufficiente moltiplicare la velocit`a per il coefficiente 3, 6.
Segue che Penka sta viaggiando a 3, 6 × 40, Km/h = 144 Km/h. Quindi prende la foto!
Viceversa per passare da chilometri orari a metri al secondo, baster`a dividere per 3, 6.
Quindi il limite nell’autopalio `e di 90 : 3, 6 m/s = 25 m/s.
2. Sofia viaggia da Siena a Poggibonsi (30 Km) in automobile alla velocit`a di 90 Km/h.
Calcolare il tempo che impiega nel percorrere il tragitto. Il ritorno lo percorre in un
tempo che `e di 5 minuti minore del tempo di andata. Qual `e la sua velocit`a media nel
ritorno? E quella complessiva?
Soluzione
Per prima cosa dobbiamo convertire tutte le unit`a di misura, secondo il Sistema Internazionale. Quindi trasformiamo la velocit`a da Km/h a m/s e le distanze da Km a m.
La distanza d = 30 Km = 30 × 103 m e la velocit`a di andata `e v = 90 Km/h = 90 :
3, 6 m/s = 25 m/s. Quindi il tempo che Sofia impiega per andare da Siena a Poggibonsi
S
30 × 103
`e t = =
= 1200 s, ovvero 20 minuti per capirci!
v
25
Se il tempo di ritorno `e di 5 minuti inferiore a quello di andata, vuol dire che lo
percorre in 15 minuti, ovvero in 15 × 60 = 900 s. La velocit`a media del ritorno `e
S
30 × 103
vM = =
= 33, 33 m/s, ovvero vM = 33, 33 × 3, 6 Km/h = 119, 98 Km/h.
t
900
Per calcolare la velocit`
a media totale `e necessario fare lo spazio totale diviso il tempo
S
=
totale impiegato a percorrerlo. Tutti dati di cui siamo in possesso. Quindi vM =
t
3
(30 + 30) × 10
= 28, 57 m/s = 28, 57 × 3, 6 Km/h = 102, 86 Km/h. Si osservi che la
1200 + 900
velocit`
a media totale non `e la media aritmetica della velocit`a di andata e di quella di
ritorno!
3. Un automobile viaggia da Siena a Firenze con la seguente tabella oraria: SienaPoggibonsi (30 Km) a 120 Km/h, Poggibonsi-San Donato (20 Km) a 100 Km/h e San
Donato-Firenze (20 Km) a 90 Km/h. Quanto tempo impiega ad arrivare a Firenze e
qual `e la sua velocit`
a media nell’intero percorso? Rappresentare sul piano cartesiano il
diagramma orario dell’intero percorso.
Se l’autovelox prima di Poggibonsi `e attivo e supponendo che, per avere una perfetta
inquadratura della targa, la foto deve essere scattata a 5 metri di distanza dall’autovelox,
dopo quanti secondi dal passaggio dell’auto davanti
all’autovelox deve essere scattata la foto?
Soluzione
Anche in questo esercizio, la prima cosa da fare `e convertire tutte le unit`a di misura
in base al Sistema Internazionale. Quindi la distanza Siena-Poggibonsi d1 = 30 Km =
30 × 103 m, la distanza Poggibonsi-San Donato d2 = 20 Km = 20 × 103 m e la distanza San Donato-Firenze d3 = 20 Km = 20 × 103 m; la velocit`a con cui percorre il
primo tratto diventa v1 = 120 Km/h = 33, 33 m/s, v2 = 100 Km/h = 27, 78 m/s,
v3 = 90 Km/h = 25 m/s. Per calcolare il tempo impiegato per arrivare a Firenze, dob-
3.1 Esercizi
biamo calcolare i tempi dei singoli tratti. Poich´e t =
ovvero 900 : 60 = 15 minuti; t2 =
13
S
30 × 103
, quindi t1 =
s = 900 s,
v
33, 33
20 × 103
s = 720 s, ovvero 720 : 60 = 12 minuti;
27, 78
20 × 103
t3 =
s = 800 s, ovvero 800 : 60 = 13 minuti circa. Quindi il tempo totale del
25
viaggio Siena-Firenze `e t = t1 + t2 + t3 = 15 + 12 + 13 = 40 minuti circa.
St ot
. Lo spazio totale `e 30+20+20 =
La velocit`
a media dell’intero viaggio `e quindi: vM =
t
70 × 103
70 Km, il tempo totale `e 40 × 60 = 2400 s. Quindi vM =
= 29, 17 m/s, ovvero
2400
29, 17 × 3, 6 = 105 Km/h.
Se l’autovelox prima di Poggibonsi `e in funzione (ricordando che il limite velocit`a
S
=
dell’Autopalio `e di 90 Km/h), per scattare una bella foto, deve attendere t =
v
5
s = 0, 15 s.
33, 33
4. Mentre Mirela sta stendendo i panni di casa, inavvertitamente le cade una molletta
dal balcone sulla testa di Marco che, per qualche strano motivo che non ci `e dato di
sapere, si trovava l`ı sotto. Sapendo che l’altezza del balcone `e di 15 metri, con quale
velocit`
a la molletta colpir`
a la testa di Marco (che supponiamo alto 175 cm)? Per qualche
altrettanto strana ragione, qualche minuto dopo Marco si trova a dover fuggire sulla sua
moto. Sapendo che la sua accelerazione `e di 5 m/s2 , partendo da fermo, dopo quanto
tempo raggiunge la velocit`
a di 100 Km/h?
Soluzione
In questo esercizio siamo di fronte al moto di caduta di un corpo, che sappiamo essere, con buona approssimazione, un moto uniformemente accelerato di accelerazione
g = 9, 8 m/s2 . Lo spazio percorso dalla molletta `e l’altezza del balcone meno quella
di Marco, cio`e S = 15 − 1, 75 m = 13, 25 m. Per prima cosa calcoliamo il tempo
1
che la molletta impiega a compiere l’intera caduta. Poich´e S = gt2 , segue che
2
r
r
2S
2 × 13, 25
t =
=
s = 1, 64 s. Ricordando che in un moto uniformemente acg
g
celerato la velocit`
a, quando il corpo parte da fermo, `e v = at, allora la velocit`a con
cui la molletta colpisce il povero Marco `e v = g × 1, 64 m/s = 16, 12 m/s, ovvero
16, 12 × 3, 6 Km/h = 58, 01, Km/h.
Prima di calcolare il tempo che impiega ad accelerare da fermo fino a 100 Km/h, convertiamo la velocit`
a, come al solito, in metri al secondo. 100 Km/h = 100 : 3, 6 m/s =
v
27, 78
27, 78m/s. Il tempo che impiega a raggiungere tale velocit`a `e t = =
s = 5, 56s.
a
5
5. Stefania decide di andare a Firenze con il suo nuovissimo Apecar. Parte da Siena e
accelera con un accelerazione a = 3m/s2 per 10 secondi, poi viaggia per mezzora a
quella velocit`
a. A questo punto sente il motore perdere colpi e comincia a decelerare con
una decelerazione a = −1m/s2 . Calcolare lo spazio totale percorso a partire da Siena e
il tempo trascorso nel percorrerlo.
Soluzione
Possiamo dividere il percorso di Stefania in tre parti: il primo, di 10 secondi, in cui
viaggia di moto uniformemente accelerato, il secondo in cui viaggia di moto rettilineo
uniforme e l’ultimo in cui viaggia di moto uniformemente decelerato.
Per calcolare quanta strada fa nel primo tratto `e sufficiente utilizzare la nota formula
1
1
S = at2 = × 3 × 102 = 150 m.
2
2
Per quanto riguarda il secondo tratto bisogna prima capire con che velocit`a Stefania
14
3 Esercizi sulla cinematica
si appresta a percorrerlo. Baster`
a quindi conoscere v = at = 3 × 10 m/s = 30 m/s. A
questo punto sappiamo che in mezzora, ovvero in 1800 s, percorre S = vt = 30×1800 m =
54000 m.
Nell’ultimo tratto, Stefania partendo dalla velocit`a iniziale di v0 arriva ad arrestarsi
a seguito di una decelerazione a = −1 m/s2 . Per prima cosa dobbiamo sapere quanto
∆v
tempo impiega la macchina a fermarsi. Poich´e a =
allora il tempo cercato `e t =
∆t
v0
30
1
=
s = 30 s. Allora lo spazio che percorre prima di fermarsi `e S = v0 t − at2 =
a
1
2
1
2
30 × 30 − × 1 × 30 m = 450 m.
2
Quindi in tutto Stefania ha percorso Stot = 150 + 54000 + 450 m = 54600 m. Il tempo
che ha impiegato per percorrere tale distanza `e t = 10 + 1800 + 30 s = 1840 s. Cio`e circa
30 minuti.
6. Sofia e Fabrizio stanno passeggiando in direzioni opposte lungo una spiaggia deserta.
Quando si vedono si trovano a una distanza di 100 metri e, come nei migliori film,
cominciano a correre l’uno verso l’altra per abbracciarsi. Tenendo conto che Fabrizio
corre con una velocit`
a di 6 m/s e Sofia con una velocit`a di 4 m/s, dopo quanto tempo si
incontreranno e a che distanza (prendendo come riferimento il punto in cui Fabrizio ha
cominciato a correre) avverr`
a il fatidico abbraccio.
Soluzione
Questo problema pu`
o essere risolto in due modi differenti.
Il primo metodo consiste nel porre in un sistema le condizioni del problema e vedere
a quali risultati ci portano. Se prendiamo un sistema di riferimento unidimensionale
(soltanto l’asse x per intenderci) e mettiamo l’origine nel punto in cui Fabrizio comincia
a correre, allora Sofia sar`
a in un punto di coordinata x = 100 (metri si intende). Lo
spazio x percorso da Fabrizio dopo t secondi, essendo un moto rettilineo uniforme, `e
dato da x = vf t, dove con vf intendiamo la velocit`a di Fabrizio. Similmente lo spazio,
a ritroso, percorso da Sofia dopo t secondi `e 100 − x = vs t. Poich´e quando si incontrano
il tempo trascorso `e lo stesso per entrambi, sar`a sufficiente risolvere il sistema di primo
grado:
x
= vf t
x
= 6t
x
= 6t
x = 6t
Da cui si ricava che si
100 − x = vs t
100 − x = 4t
100 − 6t = 4t
10t = 100
incontrano dopo 10 secondi a 60 metri dal punto in cui Fabrizio aveva iniziato a correre.
Un altro modo, computazionalmente pi`
u semplice ma concettualmente, forse, leggermente pi`
u complicato, `e quello di cambiare sistema di riferimento. Prendiamo per esempio come origine del sistema di riferimento inerziale (vedere i prinicipi della dinamica),
Fabrizio stesso. A questo punto la sua velocit`a sar`a 0 m/s in quanto si muove insieme
al sistema di riferimento! Per`
o vedr`
a muoversi pi`
u velocemente Sofia verso di lui, con
la nuova velocit`
a vs = 6 + 5 m/s = 10 m/s. La domanda da porsi in questo caso `e la
seguente: quanto impiegher`
a Sofia con questa nuova velocit`a a percorrere i 100 metri
` facile vedere che il tempo che impiega `e t = S = 100 s = 10 s. Ma
che li seprarano? E
v
10
se vogliamo saperlo rispetto alla partenza di Fabrizio? Ovviamente nel nuovo sistema di
riferimento l’incontro avviene esattamente nell’origine. Per rispondere a questa domanda
ci si pu`
o chiedere quanto spazio Sofia, nel vecchio sistema di riferimento, percorre in 10
secondi. Ecco allora che giungiamo esattamente alle stesse conclusioni di prima.
7. Se lanciamo una palla verso l’altro con una velocit`a v0 = 10 m/s, trascurando la resistenza dell’aria, che altezza raggiunger`a la palla? E con quale velocit`a passer`a nuovamente per il punto da dove `e stata lanciata?
Soluzione
3.1 Esercizi
15
Se trascuriamo la resistenza dell’aria, ci troviamo di fronte a un caso di moto uniformemente decellerato con decellerazione g. Quindi possiamo per prima cosa, calcolare il
v
10
tempo che impiega a passare da v0 = 10 m/s a vf = 0 m/s: t =
=
s = 1, 02 s.
a
9, 8
Quindi, trattandosi di un moto uniformemente accelerato con accelerazione −g e ve1
locit`
a iniziale v0 = 10, m/s si ha che l’altezza raggiunta dalla palla `e h = v0 t − gt2 =
2
1
10 × 10, 2 − × 9, 8 × (1, 02)2 = 5, 1 m. Ovviamente a questo andrebbe aggiunta l’altezza
2
da cui la mano ha lasciato andare la palla. Ma in questo contesto non lo riteniamo importante.
Risolviamo il secondo quesito: si tratta di determinare la velocit`a con cui la palle raggiunge il punto da cui era partita. La palla, partendo da ferma, percorre con moto
rettilineo uniformemente accelerato lo spazio S = 5,
Quindi per prima cosa, posr1 m/s. r
2S
2 × 5, 1
=
s = 1, 02 s (non `e
siamo calcolare in quanto tempo lo percorre: t =
g
9, 8
una coincidenza!). Quindi la velocit`
a cercata `e v = at = 1, 02 × 9, 8 = 10 m/s. Identica a
quella di partenza. Questo spiega perch´e non `e consigliato per le feste prendere un fucile
e sparare colpi in aria. Salvo lievi aggiustamenti, la questione non `e troppo differente
che salutare l’anno nuovo sparando direttamente tra la folla!
8. Erika sta percorrendo la Siena-Firenze a 110 Km/h. Sfreccia davanti a un posto di
blocco. La polizia, riconoscendo l’auto, decide di partire all’inseguimento. Sapendo che
la polizia parte dopo 20 secondi che Erika `e passata e viagga alla velocit`a di 150 Km/h,
dopo quanto tempo riescono a raggiungerla? E quanta distanza hanno percorso per
intercettarla dal posto di blocco?
Soluzione
Per prima cosa, convertiamo tutte le velocit`a da chilometri orari a metri al secondo: la
velocit`
a di Erika diventa quindi ve = 30, 56 m/s (solita conversione vista negli esercizi
precedenti), e quella della polizia si converte in vp = 41, 67 m/s. A questo punto vediamo
quanta strada ha fatto Erika dal posto di blocco al momento che la pantera dei poliziotti
inizia l’inseguimento: S = t × ve = 20 × 30, 56 m = 611, 20 m. Il metodo pi`
u semplice per
calcolare il tempo necessario per completare l’inseguimento `e quello di porre l’origine
del sistema di riferimento sulla macchina di Erika. In questo modo possiamo considerare
la macchina di Erika ferma e la macchina della polizia che si avvicina con velocit`a
v = vp − ve = 41, 67 − 30, 56 m/s = 11, 11 m/s. Quindi il tempo impiegato a questa
611, 2
velocit`
a per colmare la distanza che li separa `e t =
s = 55, 01 s.
11, 11
Allora la polizia in questo tempo, dal posto di blocco, ha percorso la distanza d = t×vp =
55, 01 × 41, 67 m = 2292, 41 m.
9. Se in un tavolo sposto una penna con una certa velocit`a v1 fino al bordo lasciandola
cadere e poi faccio lo stesso con un’altra penna, ma spingendola sul tavolo con velocit`a
v2 = 2v1 , quale delle due penne toccher`a per prima il suolo? Cosa si pu`o dire riguardo
all’effettivo punto di caduta delle due penne?
Soluzione
Toccheranno il suolo nello stesso istante in quanto le penne descrivono quello che in fisica
`e noto come moto del proiettile, il quale si usa scomporre nella componente orizzontale
(moto rettilineo uniforme) e in quella verticale (moto uniformemente accelerato con
accelerazione g). Quindi, cadendo dalla stessa altezza il tempo che impiegheranno a
raggiungere il pavimento `e lo stesso. L’unica cosa che cambia `e la distanza dalla base
del tavolino che `e data dal tempo di caduta moltiplicato la componente orizzontale della
velocit`
a (nel nostro caso proprio v1 e v2 ), quindi possiamo concludere che la seconda
penna cadr`
a a una distanza dal tavolino doppia rispetto alla prima.
16
3 Esercizi sulla cinematica
10. Se spingo una pallina su un tavolino di altezza 70 centimetri con una velocit`a di 3 metri
al secondo, a che distanza dalla base del tavolino devo mettere un bersaglio per fare in
modo che la pallina lo centri?
Soluzione
Si tratta di un tipico esempio del moto di un proiettile (per la cui breve descrizione
si rimanda alla teoria e all’esercizio precedente). Per prima cosa possiamo calcolare il
tempo che la pallina impiega a cadere (che, ricordiamo, `e indipendente dalla velocit`a
orizzontale che gli abbiamo impresso). Si tratta quindi del moto di caduta di un
rcorpo
2h
e, come `e noto, il tempo che impiega a percorrere 70 cm = 0, 7 m `e dato da t =
=
g
r
2 × 0, 7
s = 0, 38 s. A questo punto `e sufficiente calcolare quanto spazio percorre in
9, 8
orizzontale (di moto rettilineo uniforme), cio`e s = v × t = 3 × 0, 38 m = 1, 14 m. Questa
`e dunque la distanza dalla base del tavolo alla quale si deve mettere il bersaglio.
11. Un caccia viaggia lentamente alla velocit`a di 400 Km/h e a un’altezza di 500 m. Sgancia quindi una bomba per colpire un hangar nemico che si trova alla distanza di un
chilometro e mezzo. Riuscir`
a il pilota nell’intento di colpire il bersaglio nemico?
Soluzione
Il problema `e del tutto simile a quello dell’esercizio precedente (bellicosit`a arparte).
2h
Calcoliamo subito il tempo che la bomba impiega a toccare terra: t =
=
g
r
2 × 500
s = 10, 1 s. Convertiamo quindi la velocit`a del velivolo in metri al secondo:
9, 8
v = 111, 11 m/s. A questo punto vediamo qual `e la distanza orizzontale percorsa dalla
bomba: s = v × t = 111, 11 × 10, 1 m = 1122, 22 m. Quindi non riuscir`a a colpire il
bersaglio nemico!
12. Federico, per fare un simpatico scherzo, lascia cadere le chiavi di Erika in un pozzo
profondo 100 metri. Dopo quanto tempo le chiavi arriveranno al suolo? E dopo quanto
tempo, dal momento che le lascia cadere, Federico sentir`a il rumore delle chiavi che
impattano il suolo? (Considerate che la velocit`a del suono `e di 340 m/s).
Soluzione
r
2h
Per calcolare il tempo di caduta possiamo utilizzare la nota formula t1 =
=
g
r
2 × 100
S
100
s = 4, 52 s. Dal momento dell’impatto il suono impiega t2 =
=
s =
9, 8
v
340
0, 29 s per giungere all’orecchio di Federico. Quindi il tempo totale richiesto `e t = t1 +t2 =
4, 52 + 0, 29 s = 4, 81 s.
13. Mentre Daniela lavora al bancone di un bar, un cliente le lancia un boccale di birra
vuoto per farselo riempire. Purtroppo al momento del lancio si distrae un pochino e non
vede il bicchiere che supera il bancone, che `e alto 0, 80 metri, e cade a una distanza di
1, 50 metri dalla fine del bancone stesso. Con quale velocit`a il bicchiere `e arrivato alla
fine del bancone e quanto tempo ha impiegato a cadere?
Soluzione
Per quanto detto nella teoria e negli esercizi precedenti, il tempo di caduta `e indipendente
dalla velocit`
a con
boccale arriva al bordo del bancone e, come visto precedenter cui il r
2h
2 × 0, 80
mente, vale t =
=
s = 0, 4 s. Quindi ci dobbiamo chiedere che velocit`a
g
9, 8
3.1 Esercizi
17
deve avere il bicchiere per percorrere, in moto rettilineo uniforme, 1, 5 metri in 0, 4
S
1, 5
secondi. Questo calcolo `e semplice e porta a v = =
m/s = 3, 75 m/s.
t
0, 4
14. Supponiamo che, per un gioco del tutto sadico, Marco venga messo in cima ad una
colonna molto alta e un pendolo, con una lama al posto del peso, venga fatto oscillare
partendo dalla distanza di un millimetro dal naso di Marco. Cosa conviene fare al povero
studente: aspettare tranquillo (diciamo...) il ritorno del pendolo o gettarsi dalla colonna
ignaro di quello che pu`
o trovare sotto?
Soluzione
Da semplici considerazioni (che in parte verranno riprese nel capitolo dell’energia e del
lavoro) `e chiaro che il pendolo non pu` tornare in un punto pi`
u alto di quello da cui
era partito. Anzi, causa attriti con l’aria e con i vari perni verosimilmente diminuir`a
piano piano l’ampiezza delle oscillazioni. In ogni caso, sfido anche il fisico pi`
u bravo a
non indietreggiare in una situazione simile!
15. Un bambino fa ruotare un sasso di massa 2 Kg legato a una corda lunga 0, 5 metri.
Quale forza centripeta deve esercitare per ruotare il sasso con una frequenza di 2 giri al
secondo con velocit`
a costante?
Soluzione
1
1
=
f
2
6, 28 × 0, 5
2πr
=
0, 5 Hz. La velocit`
a lineare in un moto circolare `e data da v =
T
0, 5
v2
(6, 28)2
6, 28 m/s. Poich´e l’accelerazione centripeta `e data da ac =
=
m/s2
r
0, 5
78, 9 m/s2 . La forza centripeta (vedi principi della dinamica) `e data da Fc = mac
2 × 78, 9 N = 157, 8 N .
Sappiamo dalla teoria che il periodo `e uguale al reciproco della frequenza: T =
=
=
=
=
16. Se un pendolo di lunghezza l ha un periodo di oscillazione T , quanto vale il periodo se
la lunghezza l diventa quattro volte pi`
u grande?
Soluzione
r
l
, quando la lunghezza del pendolo
g
quadruplica, essendo l una quantit`
a sotto radice, il periodo del pendolo raddoppia.
Poich´e il periodo del pendolo `e dato da T = 2π
17. Dalla cima di una torre pende una corda, che arriva a un metro da terra e oscilla con
un periodo T = 12 secondi. Trascurando tutti gli attriti, quanto `e alta la torre?
Soluzione
r
Sappiamo dalla teoria che il periodo di oscillazione del pendolo vale T = 2π
l
, da
g
gT 2
9, 8 × 122
=
m = 35, 75 m. Quindi ag4π 2
4 × π2
giungendo il mezzo metro da terra ne segue che la torre `e alta 36, 25 m.
questa si pu`
o ricavare facilmente che l =
18. Fabrizio sta facendo una passeggiata con la bicicletta, viaggiando alla velocit`a di 10 m/s.
Si accorge che sta per entrare in un centro abitato e decide di diminuire la sua velocit`a
di 5 m/s. Se lo vuole fare in un intervallo di tempo di 3 secondi, quale decelarazione deve
imprimere alla bicicletta? E quanto spazio percorre prima che la sua velocit`a si stabilizzi
sui 5 m/s?
Soluzione
18
3 Esercizi sulla cinematica
Per rispondere al primo quesito, non abbiamo bisogno di sapere il valore della velocit`a
∆v
5
iniziale, infatti a =
= m/s2 = 1, 76 m/s2 . Per capire quanta strada ha percorso
Deltat
3
1
1
nel frattempo basta applicare la ben nota formula S = v0 t − at2 = 10 × 1, 76 − ×
2
2
1, 76 × 32 = 22, 49 metri.
19. Quanto vale la velocit`
a angolare delle lancette di un orologio?
Soluzione
Ricordando che la velocit`
a angolare ω di un corpo che si muove di moto circolare uniforma
`e definita come il rapporto tra l’angolo percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, la
2π
velocit`
a cercata `e, per la lancetta delle ore: ω =
Rad/s = 0, 00015 Rad/s.
12 × 3600
2π
Per quella dei minuti ω =
Rad/s = 0, 0017 Rad/s. Per quella dei secondi: ω =
3600
2π
Rad/s = 0, 105 Rad/s.
60
20. La centrifuga di una lavatrice compie 1500 giri al minuto. Se il cestello ha un diametro
di 0, 55 m, si determini:
a) il periodo, la frequenza e la velocit‘a angolare del moto rotatorio;
b) il modulo della velocit‘a e il modulo dell’accelerazione centripeta di un punto che si
trova sul bordo del cestello.
Soluzione
Il raggio del cestello della lavatrice misura 0, 55 : 2 = 0, 275 m. Quindi, utilizzando le
formule del moto circoalre uniforme si ha:
Giri
1500
1
1
2π
2π
a) f =
=
Hz = 25 Hz; T =
=
s = 0, 04 s; ω =
=
Rad/s =
60
60
f
25
T
0, 04
157 Rad/s.
b) v = ω × R = 157 × 0, 275 m/s = 43, 2 m/s; ac = ω 2 R = 1572 × 0, 275 m/s2 =
6785, 4 m/s2 .
4
La dinamica
20
4 La dinamica
4.1 I principi della dinamica
La Dinamica si occupa del moto dei corpi in dipendenza dalle cause che lo provocano; infatti
se notiamo che la velocit`
a di un corpo cambia o in valore assoluto o in direzione, intuiamo che
qualcosa deve aver causato quel cambiamento e che la variazione di velocit`a `e da correlarsi
a un’interazione tra il corpo e qualcos’altro che sta nelle vicinanze. Una tale interazione che
imprime un’accelerazione a un corpo `e detta forza; che nel linguaggio comune, corrisponde
generalmente a un urto, una spinta, una trazione, ecc. Questa relazione concettuale tra la
forza e l’accelerazione da essa provocata si deve a Isaac Newton (1642 - 1727) e lo studio della
stessa, cos`ı come la present`
o Newton, si chiama meccanica newtoniana o meccanica classica.
`
Porremo la nostra attenzione in particolare sulle sue tre fondamentali leggi del moto. E
bene subito chiarire che la meccanica newtoniana non si applica a tutti i casi. Infatti, se le
velocit`
a coinvolte nell’interazione raggiungono un’apprezzabile frazione della velocit`a della
luce, dobbiamo sostituire la meccanica newtoniana con la teoria della relativit`a ristretta
di Einstein, che `e invece valida per qualsiasi velocit`a, anche prossima a quella della luce.
Se, al contrario, i corpi interagenti hanno dimensioni su scala atomica, come gli elettroni
all’interno di un atomo, la meccanica newtoniana va sostituita con la meccanica quantistica.
Oggi si considera la meccanica newtoniana come un caso particolare di queste due pi`
u ampie
teorie. Naturalmente rimane un caso particolare di grande importanza, visto che si applica
ottimamente al moto di oggetti le cui dimensioni variano dal molto piccolo (quasi alla scala
della struttura atomica) al molto grande (oggetti come galassie e agglomerazioni di galassie).
4.2 Il concetto di forza
Come abbiamo affermato nel paragrafo precedente, le cause che provocano il moto di un
corpo sono le forze; tutti noi quotidianamente abbiamo sperimentato che per spostare un
oggetto, ad esempio per trasportare una poltrona, per sollevare un vaso da fiori o per spingere un’automobile in panne, dobbiamo compiere uno sforzo, cio`e dobbiamo applicare ai
vari corpi un certo tipo di forza: la forza muscolare. In modo analogo un magnete attrae
oggetti metallici applicando ad essi una forza magnetica. Gli esempi di questo tipo che possiamo produrre sono numerosissimi; ma il nostro scopo `e principalmente quello di dare una
definizione operativa di forza, stabilire cio`e tutte le caratteristiche di questa grandezza fisica.
Per caratterizzare completamente una forza dobbiamo specificarne l’intensit`a, la direzione
e il verso: una forza `e quindi una grandezza vettoriale. Questo ci consente di poter combinare l’effetto dell’applicazione di due o pi`
u forze a uno stesso corpo utilizzando le regole
di somma e sottrazione tra vettori; enunceremo quindi il Principio dell’indipendenza della
forze (storicamente attribuito a Galileo):
Due o pi`
u forze, applicate allo stesso punto, non si influenzano tra loro e il moto avviene
come se sul corpo agisse solo la forza risultante, ottenuta attraverso le regole di addizione
tra vettori.
Per misurare l’intensit`
a di una forza utilizziamo uno strumento, detto dinamometro (dina
in greco significa energia, potenza), in grado di paragonare la forza incognita con un’altra
di intensit`
a nota. Il dinamometro pi`
u semplice `e costituito da una molla con un’estremit`a
libera e con l’altra estremit`
a vincolata tramite un gancio, ad esempio, al soffitto del nostro
laboratorio. All’estremit`
a libera applichiamo di volta in volta le forze che vogliamo misurare.
Allo strumento si associa una scala graduata dopo aver effettuato un’attenta operazione di
taratura, eseguita applicando forze peso note (in pratica, appendendovi una serie di masse
campione) e riportandone il corrispondente allungamento. In questa operazione di taratura
prenderemo come unit`
a di forza, il peso della massa campione depositato al Bureau International des Poids et Mesures di Sevrs. Si tenga sempre presente che strumenti di questo tipo
presentano il difetto intrinseco di non fornire misure assolute, a meno che queste non vengano
condotte nella medesima localit`
a in cui lo strumento `e stato tarato. Infatti, l’accelerazione
di gravit`
a g varia a seconda della posizione geografica e di conseguenza varieranno anche
gli allungamenti prodotti dalle masse campione sulla molla. Per questo sar`a opportuno applicare alla scala graduata un fattore di correzione che rappresenti di quanto sono variate
4.3 I principi della dinamica
21
latitudine e altezza sul livello del mare rispetto alle condizioni originali in cui `e avvenuta la
taratura.
In Fisica le forze possono essere classificate in due categorie principali: le forze di contatto
e le forze a distanza. La forza di contatto nasce per effetto del contatto di due corpi; essi
possono essere fermi o in moto relativo uno rispetto all’altro. Le forze a distanza come, ad
esempio, la gi`
a citata forza magnetica, la forza elettrica, la forza di gravit`a, ecc invece si
manifestano senza che ci sia alcun contatto tra i corpi. La forza di contatto c’`e tra materiali
di tutti i tipi e, a un’attenta osservazione, non pu`o sfuggire che la possibilit`a che tra due o
pi`
u corpi si esplichi una forza di contatto discende dal principio fisico dell’ Impenetrabilit`
a
dei corpi materiali. Questa caratteristica deriva dalla presenza di cariche elettriche di repulsione attive tra le cariche elettriche positive o negative possedute dagli elettroni degli atomi
all’interno dei corpi materiali. In ultima analisi si nota che tra cariche elettriche di segno
contrario agiscono le cosiddette forze di coesione, responsabili della stabilit`a della materia a
livello macroscopico. Concludendo possiamo aggiungere che la distinzione fra forze di contatto e forze a distanza soffre di una certa ambiguit`a in quanto anche le forze di contatto
possono essere ricondotte a forze di tipo elettrostatico. Inoltre la definizione di forza fatta
adoperando il dinamometro non `e applicabile a tutti i tipi di forza esistenti in natura.
4.3 I principi della dinamica
La dinamica `e quella branca della fisica che si occupa di studiare il moto dei corpi estesi.
Isaac Newton, filosofo e scienziato inglese del XVII secolo, nella sua opera Philosophiae
Naturalis Principia forniva una prima formulazione di tre assiomi empirici, i principi della
dinamica.
I Principia consistono in tre libri, il pi`
u importante dei quali `e De motu corporum (Sul
movimento dei corpi) `e un’esposizione delle definizioni dinamiche di base (le tre leggi del
moto) e delle conseguenti deduzioni basate su di queste. Inoltre contiene le risoluzioni a
varie questioni che hanno a che fare con la dinamica. Le definizioni date da Newton nei
Principia sono esattamente le stesse che si trovano in tutti i manuali odierni. Egli definisce
la massa come la quantit`
a di materia di un corpo e parte da ci`o per definire la “quantit`
a
di movimento” (oggi chiamata quantit`
a di moto). Egli introduce poi il concetto di forza
` interessante notare come Newton nei
inteso come cambiamento degli stati di un corpo. E
primi due libri non dia una definizione precisa di molte quantit`a che utilizza (come, ad
esempio, il momento angolare). Tuttavia, il numero di fenomeni che la teoria spiegava era
cos`ı impressionante che i filosofi pi`
u giovani presto adottarono i metodi e il linguaggio dei
Principia.
4.3.1 Primo principio della dinamica o principio di inerzia
Il primo principio della dinamica stabilisce che un corpo persevera nel suo stato di quiete o
di moto rettilineo uniforme fino a quando un agente esterno (forza) non ne varia lo stato. Si
noti che in base a questo principio la quiete `e un caso particolare del moto di un corpo.
Allora perch´e nella vita reale, se diamo un calcio ad un pallone prima o poi questo si ferma?
Perch´e nella vita reale il pallone non `e lasciato a se stesso ma agiscono su di esso le forze
di attrito con l’aria e con il terreno che ne variano lo stato di moto. Una conseguenza tanto
interessante quanto importante del primo principio riguarda i sistemi di riferimento inerziali
che andremo brevemente a spiegare.
Sia lo stato di quiete che lo stato di movimento devono essere considerati in relazione
ad un sistema di riferimento: il medesimo corpo pu`o, ad esempio, trovarsi in moto rispetto
ad un dato sistema di riferimento ed in quiete rispetto ad un altro; inoltre bisogna sempre
precisare l’ambito di applicazione del Principio di inerzia. I vari sistemi di riferimento in cui
ci imbattiamo nei problemi di fisica sono e devono essere classificati.
22
4 La dinamica
Definiamo sistema di riferimento inerziale un sistema rispetto al quale `e valido il principio
dinerzia. Questa definizione ci consente di verificare l’inerzialit`a o meno di un sistema di riferimento: osserviamo rispetto ad esso il moto di un corpo libero che non risente dell’interazione
con altri oggetti; se il moto di questo corpo risulta uniforme rispetto al nostro sistema,
` importante tenere
quest’ultimo sar`
a sicuramente inerziale. In caso contrario non lo sar`a. E
presente che le leggi della dinamica sono valide solo se il moto dei corpi `e riferito a sistemi
di riferimento inerziali. Vediamo un esempio che ci aiuta a chiarire le idee. Immaginiamo di
trovarci su un treno che si muove con velocit`a costante e di aver poggiato a fianco del nostro
sedile una valigia-trolley. Se il treno frena all’improvviso o all’improvviso accelera, la valigiatrolley si muover`
a in avanti o indietro (rispetto alla direzione della velocit`a del treno) proprio
come se su di essa agisse una forza. Si faccia attenzione: ad avanzare o a indietreggiare non
`e la valigia in s´e, ma e il sistema di riferimento (il treno in questo caso) ad aver modificato il suo stato di moto. Un altro esempio in cui non vale il principio di inerzia riguarda
l’apparente moto circolare uniforme delle stelle rispetto ed un sistema di riferimento solidale
con la Terra; per secoli, anzi per millenni, il fatto che le stelle sorgessero, culminassero e
tramontassero `e stato attribuito all’esistenza di forze che deviavano i corpi astrali mentre la
Terra era considerata immobile al centro dell’universo. Nonostante la difficolt`a di evidenziare
gli effetti della rotazione terrestre, il comportamento di tutti i corpi rispetto al sistema di
riferimento della Terra `e identico al comportamento della valigia sul treno che accelerava o
frenava allimprovviso: per tali corpi il principio di inerzia non vale. Questa digressione pu`o
essere conclusa affermando che un sistema di riferimento rigidamente collegato con la Terra
non pu`
o essere inerziale, mentre lo `e qualsiasi altro sistema che si muova rispetto ad esso
con velocit`
a vettoriale costante. Le conseguenze sono fondamentali:
•
•
•
Le leggi della dinamica sono invarianti rispetto ai sistemi di riferimento inerziali.
Non esiste un sistema di riferimento assoluto.
Lo stato di quiete o di moto di un corpo non hanno significato assoluto, ma relativo ad
un dato sistema di riferimento.
4.3.2 Secondo principio della dinamica
Il secondo principio della dinamica pu`
o esssere enunciato come segue: una forza che agisce
su un corpo di massa m imprime al corpo un’accelerazione diretta nello stesso verso della
forza, avente modulo proporzionale alla forza stessa e inversamente proporzionale alla massa
del corpo. In formule scriveremo:
→
−
−
a
F = m→
(4.1)
L’unit`
a di misura della forza nel S.I. `e il Newton, simbolo N.
Questo principio evidenzia come una forza produca un’accelerazione su un corpo; si noti
che se la stessa forza agisce su corpi aventi masse diverse, il corpo di massa maggiore subir`a
un’accelerazione minore rispetto a quella subita dall’altro corpo.
Le osservazioni sperimentali fatte su corpi liberi, cio`e su corpi non soggetti a forze, hanno
consentito di stabilire che essi si muovono con velocit`a costante rispetto ad un sistema di
riferimento inerziale; vediamo quale `e la legge che descrive, quantitativamente, il moto di
corpi soggetti a forze. Fu Galileo ad indagare la dipendenza del moto dalle forze applicate e
grazie ai numerosi esperimenti da lui condotti con pendoli e piani inclinati si pu`o concludere
che la proporzionalit`
a tra forza ed accelerazione sussiste solo quando il moto si riferisce
ad un sistema di riferimento inerziale. Galileo ripet`e pi`
u volte questi esperimenti, variando
lintensit`
a delle forze applicate e le caratteristiche dei corpi; ricorriamo anche noi a qualche
esempio tratto dell’esperienza quotidiana. Per far muovere il carrello di un supermercato,
dobbiamo spingerlo; pi`
u il carrello `e pieno, maggiore `e la forza necessaria che dovremo
applicare per farlo muovere rispetto a quando `e vuoto. Se poi spingiamo il carrello e lo
lasciamo libero di muoversi, noteremo che si muover`a pi`
u velocemente se la spinta `e forte,
pi`
u lentamente se la spinta `e lieve. Quindi una forza costante imprime al corpo su cui
agisce un’ accelerazione che dipende dalla massa del corpo: maggiore `e la massa, minore `e
4.3 I principi della dinamica
23
l’accelerazione impressa; se si mantiene costante la massa e si aumenta l’intensit`a della forza,
l’accelerazione aumenta in proporzione. Forza, massa e accelerazione sono dunque legate da
una relazione precedentemente enunciata: F = ma.
Un corpo soggetto a forze si muove con una accelerazione sempre proporzionale alla
risultante delle forze applicate. Definiamo massa inerziale la costante di proporzionalit`a
caratteristica del corpo. Le grandezze che entrano in gioco sono tutte grandezze vettoriali; il
fatto di aver compreso la proporzionalit`
a esistente tra forza e accelerazione costitu un punto
di svolta grandioso nella comprensione e nella descrizione dei fenomeni fisici.
Massa inerziale e massa gravitazionale
Abbiamo adesso i mezzi per capire la relazione che intercorre tra massa gravitazionale
dei corpi e la massa inerziale appena definita attraverso secondo il secondo principio. La
massa inerziale `e una grandezza fisica scalare che esprime l’inerzia al moto di un corpo, cio`e
la sua attitudine a opporsi a variazioni del proprio stato di quiete o di moto.
La massa gravitazionale rappresenta e misura la propriet`a dei corpi responsabile dell’attrazione
che si esercita tra essi. Questa `e una distinzione che ha un significato solo teorico, dal momento che `e superata dal principio di equivalenza. Tra il valore della massa inerziale e il
valore della massa gravitazionale esiste una proporzionalit`a che `e stata studiata accuratamente attraverso misure sperimentali; questa proporzionalit`a tra la massa inerziale `e un
fatto osservato, ma non spiegato dalla fisica classica di Newton. Esso `e alla base della teoria
della relativit`
a generale, proposta da Albert Einstein nel 1916, che descrive l’interazione
gravitazionale uscendo dallambito di validit`a della teoria gravitazionale classica. A causa di
questo legame tra massa inerziale e massa gravitazionale si `e scelto come campione di entrambe il cilindro di platino-iridio conservato a Sevr`es. In conclusione si pu`o dire che massa
inerziale e massa gravitazionale, nonostante siano grandezze definite in modo indipendente
l’una dall’altra, risultano sperimentalmente proporzionali quindi `e possibile far coincidere i
loro valori per ogni corpo semplicemente scegliendo lo stesso campione come unit`a di misura.
` necessario fare un’ultima osservazione prima di chiudere il paragrafo sul secondo prinE
cipio. Si `e soliti infatti nella vita quotidiana confondere due grandezze fisiche completamente
differenti quali la massa e il peso di un corpo. In ambito scientifico `e per`o necessario fare
alcune distinzioni. Innanzitutto, per peso di un corpo si intende la forza gravitazionale alla
quale esso `e soggetto; quindi il peso, essendo una forza, `e una grandezza vettoriale, diversamente dalla massa che `e una grandezza scalare. Inoltre la massa `e considerata una
caratteristica intrinseca del corpo che non dipende in alcun modo dalla situazione fisica in
cui il corpo si trova, mentre il peso varia al variare delle situazioni in cui un corpo viene a
trovarsi. Ad esempio, se un corpo si trova sulla Terra o nelle immediate vicinanze di essa,
il suo peso `e determinato dalla forza con la quale `e attratto dalla Terra; ma lo stesso corpo
avr`
a un peso inferiore sulla Luna, poich`e quest’ultima ha massa inferiore a quella della Terra.
Come abbiamo affermato in precedenza bisogna tenere conto del fatto che il peso di un corpo
varia in minima misura anche sulla Terra, al variare della latitudine e dell’altitudine.
Caduta dei gravi
Il filosofo greco Aristotele riteneva che un oggetto pesante in caduta libera arrivasse al
suolo pi`
u rapidamente di uno leggero lasciato cadere dalla stessa altezza. Questo ragionamento `e stato considerato valido per secoli, fino a quando nel XVI secolo, uno scienziato
toscano, Galileo Galilei, ha completamente ribaltato queste convinzioni; Galileo infatti era
dell’opinione che tutti i corpi, pesanti o leggeri, dovessero impiegare lo stesso tempo per arrivare al suolo a causa del proprio peso, spiegando le piccole differenze riscontrate sui tempi
di caduta con l’azione di disturbo esercitata sul moto dell’oggetto da altri fattori esterni.
Egli cerc`
o quindi, sia attraverso prove sperimentali sia attraverso ragionamenti speculativi,
di dimostrare la validit`
a della sua teoria. La leggenda vuole che Galileo abbia fatto cadere
dalla torre di Pisa due palle, una di ferro e l’altra di legno e sia cos`ı riuscito a convincere i
suoi detrattori che queste arrivavano al suolo quasi contemporaneamente; ed in effetti, nella
maggior parte dei casi osservati, i corpi pesanti cadono solo poco pi`
u in fretta rispetto a
quelli pi leggeri. Per Galileo la ragione va cercata nella resistenza dellaria; egli inoltre non
24
4 La dinamica
si limit`
o ad affermare che corpi di peso diverso cadono nel vuoto con la stessa velocit`a, ma
cerc`
o anche di determinare le leggi matematiche che descrivono il moto di caduta dei gravi,
che `e un caso particolare del moto rettilineo uniformemente accelerato.
4.3.3 Terzo principio della dinamica o principio di azione e reazione
Possiamo enunciare in questa maniera il terzo principio della dinamica, meglio conosciuto
come principio di azione e reazione: se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo
B eserciter`
a sul corpo A una forza avente la stessa intensit`a e verso contrario. In formule
scriveremo:
→
−
→
−
F 12 = − F 21
(4.2)
Da questo principio segue che le forze agiscono sempre in coppia, uguali in intensit`a ma
opposte in verso; inoltre azione e reazione sono forze che non vengono applicate allo stesso
corpo.
Il terzo ed ultimo principio della dinamica afferma che le forze si presentano sempre a
coppie. Se un oggetto A esercita una forza F su un oggetto B, allora l’oggetto B eserciter`a
sull’oggetto A una forza F uguale e contraria. In altre parole: ad ogni azione corrisponde una
reazione uguale e contraria. Molti esempi di applicazioni del terzo principio della dinamica
possono essere tratti dalla nostra vita di tutti i giorni. Se ad esempio nuotiamo a stile libero,
spingiamo indietro l’acqua con le nostre mani. Come conseguenza del terzo principio della
dinamica, l’acqua esercita una forza sul nostro corpo e ci consente di avanzare.
L’impugnatura di un grosso idrante ha delle maniglie che i pompieri devono afferrare
saldamente, poich´e il getto dell’acqua che fuoriesce spinge energicamente il tubo all’indietro.
Se facciamo un’escursione su un lago a bordo di una piccola imbarcazione, a remi o a
motore, prima di saltare dalla barca sul molo di attracco, `e opportuno legare la barca al molo
e afferrare una presa. Altrimenti, durante il salto, la barca si allontana dal molo, facendovi
finire in acqua. Tutto questo `e dovuto alla terza legge di Newton: quando le gambe spingono
il vostro corpo verso il molo, esse esercitano anche sulla barca una forza uguale e in verso
opposto, e questa forza spinge la barca lontana dal molo.
Il moto in avanti di un razzo `e dovuto alla reazione al violento getto di gas caldo che
fuoriesce dalla sua parte posteriore.
Legato strettamente al terzo principio `e il concetto di vincolo.
Il problema della caduta di un corpo `e un problema che pu`o essere risolto senza eccessiva
` per`o difficile che
difficolt`
a nell’ipotesi che il punto P sia soggetto soltanto alla forza peso. E
un punto sia completamente libero; pu`
o accadere che sul punto P agiscano dei dispositivi tali
da impedire al punto stesso di assumere una posizione qualunque nello spazio. Per esempio
le pareti di una stanza costituiscono dei vincoli per un punto poich´e quest’ultimo non pu`o
attraversarle. Diamo ora la seguente definizione: il vincolo `e un dispositivo che limita la
posizione del punto sul punto su cui esso agisce; esso non permette al punto di assumere la
pi`
u generica posizione nello spazio. Il vincolo, che `e fatto di materia, esplicher`a una forza
sul singolo punto detta reazione vincolare; se ne deduce che il vincolo pu`o essere sostituito
a tutti gli effetti da una forza definita reazione vincolare.
4.4 Forze elastiche
Tutti i corpi, se soggetti all’azione di una forza, subiscono una deformazione che dipende
dall’intensit`
a della forza applicata e dalla natura della struttura della materia che costituisce
il corpo stesso. Le deformazioni, in generale, sono di due tipi: elastiche, se scompaiono quando
la forza viene rimossa, e anelastiche che invece non si annullano neppure dopo la rimozione
della forza. In base a quanto detto, i corpi si distinguono in rigidi, plastici ed elastici, in base
a come reagisce il corpo alle deformazioni.
•
I corpi rigidi mantengono inalterata la propria forma anche a seguito dell’applicazione
di una forza;
4.4 Forze elastiche
•
•
25
i corpi plastici, deformati dall’azione di una forza, non riprendono il loro aspetto primitivo;
i corpi elastici vengono deformati ma riprendono il loro aspetto primitivo quando viene
meno l’azione della forza.
Queste propriet`
a dipendono dal fatto che, a livello microscopico, i corpi solidi sono formati da un insieme di particelle disposte spazialmente in reticolo cristallino. Quando un
corpo si deforma, la disposizione iniziale delle particelle si altera e studiando la tendenza
del reticolo del corpo a ricreare la configurazione iniziale `e possibile dare una misura dellelasticit`
a del corpo. Se l’intensit`
a della forza applicata `e troppo elevata, i corpi si deformano
permanentemente e possono, oltre certi limiti, rompersi; la deformazione massima a cui un
corpo pu`
o essere sottoposto senza che esso modifichi permanentemente il proprio aspetto
viene detta limite di elasticit`
a.
4.4.1 Legge di Hook e moti armonici
La formulazione della legge sulle forze elastiche si deve al fisico inglese R. Hooke. La legge
di Hooke stabilisce che: la forza elastica `e direttamente proporzionale all’intensit`a della
deformazione (per valori inferiori al limite di elasticit`a) ed `e sempre opposta a quella che
provoca la deformazione stessa. Vediamo alcuni esempi. Consideriamo una molla che subisce
un allungamento tanto maggiore quanto pi`
u grande `e la forza applicata. In base alla legge
di Hooke, il modulo della forza elastica `e dato dall’espressione:
F = −k × d
(4.3)
dove k `e una costante positiva, detta costante elastica, caratteristica del materiale considerato e d `e il vettore spostamento, che nel caso della molla `e pari al suo allungamento.
Il segno meno indica che la forza ha verso opposto allo spostamento, opponendosi alle deformazioni con un’intensit`
a a loro direttamente proporzionale e che tende a riportare la
molla allo stato iniziale. Una molla elicoidale `e in grado di sviluppare una forza elastica con
limiti assai maggiori. Consideriamo un corpo di massa m che, sotto l’azione di una forza
di tipo elastico, si muove con accelerazione a = F/m = −(kd)/m dove d `e la deformazione
subita dalla molla e anche la posizione del punto misurata a partire dalla posizione che corrisponde alla molla a riposo. Quando una forza elastica di questo tipo agisce su un punto,
quest’ultimo compie un moto oscillatorio armonico poich´e l’accelerazione `e proporzionale
2
2
allo spostamento e diretta in verso
r opposto. Ponendo ω = k/m si ha a = ω d e il periodo di
m
2π
= 2π
. Il periodo di oscillazione dipende dalla costante elastica
oscillazione vale T =
ω
k
della molla e dalla massa del corpo, mentre `e indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione.
Un altro esempio di moto armonico `e il moto del pendolo semplice: un corpo di massa m `e
sospeso a un filo inestensibile fissato a un punto e lasciato libero di oscillare. La massa m,
spostata leggermente rispetto alla sua posizione di equilibrio, osciller`a sotto l’azione di una
forza elastica in base alla legge del moto armonico. Ad essere precisi il moto del pendolo `e
armonico solo nell’ipotesi delle piccole oscillazioni, se cio`e il periodo non dipende dalla massa
del pendolo, ma solo dalla lunghezza del filo e dal valore della locale accelerazione di gravit`a.
Questa approssimazione equivale a considerare rettilinea la frazione di traiettoria r
circolare
l
, che
percorsa dal corpo di massa m. Per oscillazioni sufficientemente piccole si ha T = 2π
g
descrive il periodo di un pendolo semplice di lunghezza l che compie oscillazioni dell’ordine
di 5 − 10 gradi. Il periodo risulta indipendente sia dalla massa che dall’ampiezza delle oscillazioni; questa legge fu scoperta da Galileo e va sotto il nome di legge dell’isocronismo
del pendolo: tutte le oscillazioni di un pendolo semplice hanno la stessa durata. Questo spiega perch´e non serviva nei secoli passati la presenza di un fisico per azionare un orologio
a pendolo, visto che il tempo di oscillazione del pendolo stesso, dipende soltato dalla sua
lunghezza.
26
4 La dinamica
4.5 Forza centrifuga e forza centripeta
Poniamo la nostra attenzione sui limiti di validit`a del secondo principio nei casi in cui il moto
`e riferito a un sistema di riferimento non inerziale. Se ci trovassimo su un treno che si muove
di moto rettilineo uniforme e facciamo scendere una sfera lungo un piano inclinato di fronte
a noi vedremo che esso scende con un moto uniformemente accelerato. Proviamo a ripetere
lo stesso esperimento mentre il treno sta frenando con una accelerazione (negativa) at . Se la
direzione lungo la quale si muove il corpo sul piano inclinato `e contrario alla direzione nella
quale si muove il treno, vedremo scendere la sferetta con una accelerazione minore di quella
precedente o potremmo addirittura vederla risalire, a seconda del valore di at . In questo
caso particolare non possiamo ritenere valido il secondo principio, altrimenti dovremmo
ammettere che sul corpo agiscono tre forze: la forza peso, la reazione vincolare ed una terza
forza fittizia di valore Ft = −mat dove m `e la massa del corpo a at l’accelerazione del
sistema di riferimento del treno rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Definiamo la
forza fittizia, dovuta al fatto che il moto `e riferito a un sistema di riferimento inerziale, forza
d’inerzia. Continuiamo ad immaginare di essere su un treno, in piedi stavolta; se il treno
frena o accelera all’improvviso, per non cadere in avanti o indietro dobbiamo sviluppare
una forza per bilanciare la forza dinerzia che agisce su di noi; in altre parole dobbiamo
applicare una forza Fm che ci permetta di restare fermi rispetto ad sistema di riferimento
non inerziale. Per il capostazione, il quale ci osserva fermo sotto il suo casello, vede la nostra
velocit`
a variare con accelerazione at e quindi pu`o essere indotto a pensare che su di noi
agisca una forza Fm = mat ; dal suo punto di vista non esiste nessuna forza d’inerzia. In
parola povere il secondo principio della dinamica non `e valido quando si riferisce a sistemi di
riferimento non inerziali; in questo caso lespressione della forza dinerzia `e Ft = −mat , dove
m `e la massa del corpo e at l’accelerazione del sistema non inerziale in moto rispetto a quello
inerziale. Quindi, per rendere valido il secondo principio quando in gioco abbiamo sistemi di
riferimento non inerziali, si devono introdurre forze ipotetiche dette, appunto, forze fittizie.
Un classico esempio di forza di inerzia `e la forza centrifuga; l’esempio `e del tutto analogo
al precedente: siamo seduti su un’auto che percorre una curva; essa costituisce un sistema
di riferimento non inerziale. La forza centrifuga che noi sperimentiamo durante la curva `e
una forza apparente, dovuta al fatto che ci stiamo trovando in un sistema di riferimento
non inerziale. Se osservassimo la macchina dal di fuori cio`e da un sistema di riferimento
inerziale, vedremmo la macchina curvare ed il corpo della persona che, per inerzia, continua
a muoversi a velocit`
a costante in linea retta. La macchina, allora, agisce sul passeggero con
una forza diretta verso il centro della curva, una forza questa volta centripeta, in maniera
tale da far percorrere al corpo una traiettoria curva come quella della macchina stessa.
L’accelerazione centripeta ha espressione at = ω 2 R. L’intensit`a della forza centrifuga alla
quale `e sottoposto un corpo di massa m il cui moto `e riferito ad un sistema accelerato si
scrive Ft = −mat = −mω 2 R
Il ruolo della forza centripeta `e visibile, per esempio, nel lancio del martello, dove latleta
fa ruotare una sfera metallica di moto circolare uniforme; poi improvvisamente la lascia, per
scagliarla lontano. La sfera tende per inerzia a muoversi in linea retta lungo la tangente, ma
l’atleta la tira verso di s´e, obbligandola continuamente a modificare la direzione della velocit`a.
La forza verso il centro serve per mantenere la sfera su un’orbita circolare, impedendo che
sfugga lungo la tangente, come accade quando l’atleta la lascia andare. Altri esempi di forza
centripeta: per una sferetta della roulette che segue il profilo circolare della ruota con le
caselle numerate, la forza centripeta `e la reazione vincolare della parete; per un’automobile
che curva lungo un tornante stradale, la forza centripeta `e la forza di attrito della strada.
La differenza sostanziale tra la forza centrifuga e la forza centripeta, a parte il segno,
risiede nel fatto che la prima `e una forza fittizia, un artificio matematico che rende il secondo
principio della dinamica formalmente ineccepibile; la forza centripeta `e invece una forza reale
che si applica ogni qualvolta si voglia vincolare un corpo a muoversi lungo una circonferenza.
5
Esercizi sulla dinamica
28
5 Esercizi sulla dinamica
5.1 Esercizi
1. Perch´e, sebbene il chilogrammo sia l’unti`a di misura della massa e il Newton della forza
(quindi anche della forza peso), nella stragrande maggioranza degli stati si continua a
usare l’espressione Il peso di Tizio `e di n Kg?
Soluzione
Per il secondo principio della dinamica F = ma, nel caso della forza peso, P = mg,
dove g = 9, 8m/s2 . Il valore di g, a parte piccole oscillazioni, possiamo considerarlo
costante su tutto il pianeta, quindi la massa `e direttamente proporzionale alla forza
peso. Questo fa si che se Tizio ha massa doppia rispetto a Caio allora anche il peso di
Tizio `e doppio rispetto a quello di Caio. Quindi il chilogrammo `e un’unit`a di misura
affidabile per quanto riguarda la stima del peso di una persona o di un oggetto. Quando
i nostri commerci si estenderanno oltre il pianeta Terra allora questo discorso sar`a tutto
da rivedere. Ma per un po’ possiamo stare tranquilli.
L’ambivalenza (o meglio l’abuso di linguaggio) del chilogrammo `e stato in parte sanata,
inserendo tra le unti`
a di misura il chilogrammo-peso, dove 1KgP = 9, 8N , che per
i motivi sopra descritti non pu`
o essere annoverato tra le unti`a di misura del sistema
internazionale.
2. Penka, nota commerciante di oro, tiene i suoi affari tra il polo Nord e l’equatore. Quale
sarebbe per Penka la strategia pi`
u conveniente: comprare l’oro al polo e rivenderlo
all’equatore o viceversa?
Soluzione
Il peso di un oggetto `e dato da P = mg, dove m `e la massa e g l’accelerazione di
gravit`
a. Sulla terra il valore di g vale circa 9, 8m/s2 . Quel circa sta a indicare che
non `e costante su tutto il globo ma ci sono delle sensibili in base al punto in cui ci
troviamo a misurarla. Poich´e la terra `e leggermente schiacciata ai poli, il valore di g sar`a
sensibilmente pi`
u grande l´ı piuttosto che all’equatore. Per questo motivo Penka comprer`a
il suo oro all’equatore e l’andr`
a a rivendere al polo Nord. Per chi fosse interessato:
g = 9, 823m/s2 ai poli e g = 9, 789m/s2 all’equatore.
3. Se Marco ha una massa di 70 Kg sulla terra, qual `e la forza peso che agisce su di lui?
E se Marco andasse sulla Luna, dove l’accelerazione di gravit`a `e pari a 1, 6 m/s2 , quale
sarebbe la sua massa e quale invece la forza peso che agirebbe su di lui?
Soluzione
Per calcolare la forza peso che agisce su Marco `e sufficiente applicare la legge P = mg,
dove g = 9, 8 m/s2 `e l’accelerazione di gravit`a sulla Terra. Si ricava quindi che
P = (70 × 9, 8)N = 686, 0N . Se Marco andasse sulla Luna la sua massa (che per semplicit`
a possiamo pensare come il numero di atomi che compongono Marco) rimarrebbe
la stessa, la forza peso invece sarebbe, utilizzando sempre la formula precedente ma con
l’accelerazione gravitazionale della Luna, P = (70 × 1, 6)N = 112N .
4. Se un corpo ha accelerazione nulla, possiamo concludere che su di esso non agisce nessuna
forza?
Soluzione
No, vuol dire che la risultante delle forze applicate al corpo `e uguale a 0. Si pensi ad
esempio ad un libro appoggiato su una scrivania, nel quale la forza peso a cui `e soggetto
`e controbilanciata perfettamente dal vincolo della scrivania.
5. Marianna sta affogando nel lago Trasimeno. Viene avvistata e mandato in suo soccorso
un elicottero dal quale si caler`
a con una corda un soccorritore di massa 75 Kg per
5.1 Esercizi
29
salvarla. Sapendo che la massa di Marianna `e di 58 Kg e che la fune pu`o sopportare una
tensione massima di 1500 N , quale sar`a l’esito del salvataggio?
Soluzione
Per capire come andr`
a a finire il salvataggio, bisogna pensare alla forza peso che verr`a
esercitata sulla corda quando sia Marianna che il soccorritore vi saranno aggrappati.
Senza perdita di generalit`
a possiamo supporre Marianna e il soccorritore (al quale sta
saldamente abbracciata) come un’unica massa di M = (58 + 75)Kg = 133Kg. La forza
peso esercitata su tale massa `e dunque pari a P = (133 × 9, 8)N = 1303, 4N che `e al di
sotto della tensione massima che la corda pu`o sopportare. Quindi, per nostra fortuna,
la missione andr`
a a buon fine.
6. Mirela va al supermercato e prende un carrello per fare la spesa. La massa del carrello
`e di 4 Kg e Mirela lo spinge con una forza costante F = 4 N per 10 secondi. Calcolare
l’accelerazione del carrello, lo spazio percorso e la velocit`a che raggiunge. E se Mirela
lasciasse spingere il carrello al marito con una forza costante che `e il doppio della sua,
raddoppierebbero tutte le grandezze calcolate in precedenza?
Soluzione
Per calcolare l’accelerazione del carrello, possiamo sfruttare il secondo principio della dinamica che lega forza, massa e accelerazione
di un oggetto secondo la legge F = m × a,
4
F
m/s2 = 1m/s2 . Poich´e la forza applicata `e
da cui segue che a = , ovvero a =
m
4
costante il moto che ne risulta `e uniformemente accelerato, quindi lo spazio percorso in
1
un determinato intervallo di tempo t `e dato dalla formula S = at2 , che nel nostro caso
2
1
2
× 1 × 10 m = 50m. Nel moto uniporta a dire che il carrello ha percorso S =
2
formemente accelerato la velocit`
a la ricaviamo dall’accelerazione e dal tempo mediante
la legge v = at, da cui v = (1 × 10)m/s = 10m/s.
Se il carrello fosse spinto dal marito, tutte le grandezze calcolate nei punti precedenti, essendo direttamente proporzionali all’accelerazione (a sua volta direttamente
proporzionale alla forza) raddoppierebbero in modulo.
7. Supponiamo di essere in cima a canyon molto alto, dove come in tutti i cartoni dello
struzzo bee-bee e del coyote c’`e un pezzo di roccia che si protende sottile sul precipizio.
Se questa roccia di massa m = 5 Kg si stacca, qual `e la forza che agisce su di essa,
trascurando l’attrito dell’aria? Supponiamo che, come sempre accade, la roccia cade con
sopra il coyote di massa m = 30 Kg. Perch´e l’accelerazione del sistema roccia-coyote
non cambia, pur essendo aumentata la massa rispetto al caso precedente?
Soluzione
L’unica forza che agisce sulla roccia se si tralascia l’attrito dell’aria `e la forza peso, quindi
P = m × g = (5 × 9, 8)N = 49N .
L’accelerazione del sistema roccia-coyote non cambia perch´e se `e vero (come `e vero) che `e
aumentata la massa, in maniera proporzionale `e aumentata di conseguenza la forza peso
che agisce su tale massa, quindi per il secondo principio della dinamica, l’accelerazione
`e rimasta costante.
8. Per andare a pesarsi sulla Luna (vedi esercizio 1), Marco utilizza un razzo di massa
3000 Kg, con un serbatoio che contiene 1000 Kg di carburante. La forza che spinge
il razzo verso l’alto `e pari a 45000 N . La resistenza dell’aria `e trascurabile. Quanto
vale l’accelerazione del razzo alla partenza? E con quale accelerazione si muove il razzo
quando ha bruciato met`
a del suo carburante?
Soluzione
30
5 Esercizi sulla dinamica
Per il secondo principio della dinamica, sappiamo che F = m×a, dove F `e la risultante di
tutte le forze applicate al razzo. Sul razzo oltre la forza esercitata dal motore (in verticale
dal basso verso l’alto) agisce, con la stessa direzione ma verso contrario, la forza peso P .
Quindi Ftot = F −P . Per quanto visto negli esercizi precedenti la forza peso P = mtot ×g
ovvero P = [(3000+1000)×9, 8]N = 39200N . Da cui Ftot = (45000−39200)N = 5800N .
L’accelerazione al momento
della partenza, dal secondo principio della dinamica, risulta
Ftot
5800
a=
da cui a =
m/s2 = 1, 45m/s2 .
mtot
4000
Per calcolare l’accelerazione quando si `e dimezzato il carburante nel razzo, possiamo
riapplicare, con i dati aggiornati, il secondo principio della dinamica. La massa del
sistema razzo-carburante `e m = (3000 + 500)Kg = 3500Kg. La forza peso che agisce sul
razzo `e quindi P = (3500×9, 8)N = 34300N . Da cui si ricava, come prima per differenza,
che la forzatotale che
agisce sul sistema `e F = F − P = (45000 − 34300)N = 10700N ,
10700
m/s2 = 3, 06m/s2 .
quindi a =
3500
9. A Erika `e arrivato un pacco di massa m = 15 Kg che `e stato appoggiato sul tavolo. Erika
spinge questo pacco con una forza parallela al piano di 40 N . Si consideri trascurabile
l’attrito col tavolo. Calcolare il valore dell’accelerazione del pacco. Se l’attrito dell’aria
e del tavolo non fosse trascurabile ma equivalesse ad una forza costante di modulo 10 N
che si oppone al moto, quale sarebbe l’accelerazione dell’oggetto?
Soluzione
Da una sempliceapplicazione
del secondo principio della dinamica si ha che l’accelerazione
F
40
2
vale a =
=
m/s = 2, 67m/s2 . Se l’attrito, la forza risultante che agisce sulla
m
15
Ftot
scatola `e Ftot = F − Fa = (40 − 10)N = 30N . Quindi in questo caso a =
=
m
30
m/s2 = 2m/s2 .
15
10. Stefania sta percorrendo la Siena-Firenze con il suo Apecar di massa 1000 Kg. Ad
un certo punto la vettura va in panne e Stefania chiede aiuto a qualche automobilista
caritatevole. Si fermano in suo soccorso Marco e Daniele che, dopo averla preso un po’ in
giro, si decidono di aiutarla a spingere l’Apecar in una piazzola di servizio. Marco spinge
con una forza F1 = 200 N e Daniele con una forza F2 = 250 N nella stessa direzione
e nello stesso verso. L’attrito sull’asfalto produce una forza Fa = 300 N . Calcolare la
forza risultante e l’accelerazione dell’auto. Spingendo con la stessa forza per 20 secondi,
riusciranno a raggiungere la piazzola di servizio che dista 25 metri?
Soluzione
Poich´e Marco e Daniele spingono nella stessa direzione e nello stesso verso mentre la
forza di attrito si oppone a queste due, la forza risultante sar`a Ftot = F1 + F2 − Fa =
(200 + 250 − 300)N = 150N . Applicando il secondo principio della dinamica si trova
150
Ftot
che l’accelerazione `e a =
=
m/s2 = 0, 15m/s2 . Lo spazio che percorrono in 20
m
1000
1
1
secondi (si tratta di un moto uniformemente accelerato) `e S = at2 = 0, 15202 m =
2
2
30m. Quindi riusciranno a raggiungere la piazzola di servizio.
11. Rossella, dopo un’abbondante nevicata, decide di legare a una slitta di massa m = 10
Kg il suo cane, che la traina con una forza costante e si muove con un’accelerazione
a = 1, 5 m/s2 . La forza `e parallela allo spostamento. Trascurando l’attrito, qual `e la
forza esercitata dal cane? Quale forza dovrebbe esercitare se il coefficiente di attrito
dinamico fosse µd = 0, 2?
Soluzione
5.1 Esercizi
31
Ancora una semplice applicazione del secondo principio della dinamica ci porta a concludere che la forza esercitata dal cane `e F = ma = 10 × 1, 5N = 15N . Se consideriamo l’attrito la forza risultante Ftot = F − Fa , dove con F ho indicato la forza
esercitata dal cane e con Fa quella di attrito che vale Fa = P × µd = m × g × µd =
10 × 9, 8 × 0, 2N = 19, 6N . Quindi considerando che, per il secondo principio della
dinamica, vale Ftot = F − Fa = ma, segue che F = ma + Fa = (15 + 19, 6)N = 34, 6N .
12. Wilma decide di andare a sciare in una pista ghiacciata lunga 600 metri, inclinata di
30 gradi rispetto al piano orizzontale. L’attrito `e trascurabile. Con quale accelerazione
scende lungo la pista? Quanto tempo impiega per percorrerla?
Soluzione
Se vengono schematizzate correttamente le forze applicate a Wilma durante la discesa,
si nota che solo la componente parallela al piano della pista della forza peso contribuisce
alla discesa di Wilma. Per ragioni di similitudini (o di trigonometria) si vede che Fk =
mg
1
. Applicando il secondo principio della dinamica si ha
P × cos 60 = m × g × =
2
2
Fk
Fk = m×a. Quindi a =
= g/2 = 4, 9m/s2 . Poich´e si tratta di un moto uniformemente
m
r
r
1 2
2S
2 × 6000
accelerato da S = at si ricava che t =
=
s = 15, 65s.
2
a
4, 9
13. Un Tir di massa m = 20000, 0 kg procede a velocit`a costante v0 = 80 Km/h su una
strada rettilinea. L’autista si accorge che alla distanza di 100 metri c’`e una mucca ferma
in mezzo alla strada. Comincia quindi a decelerare con una forza frenante costante
F = 45 × 105 N . Quale destino attende alla povera mucca in mezzo alla strada?
Soluzione
Dal secondo principio della dinamica possiamo calcolare la decelerazione che `e pari a
1, 5 × 105
m/s2 = 7, 5 m/s2 . Prima di procedere riportiamo la velocit`a v del Tir in m/s.
2, 0 × 104
Quindi v0 = 80 Km/h:3, 6 = 22, 2m/s. In un moto nel quale l’accelerazione `e costante
sappiamo che a = ∆v/∆t. Poich´e la velocit´a finale `e vf = 0m/s (si deve fermare) e
∆v = vi − vf = 22, 2m/s2 , possiamo calcolare il tempo che impiega ad arrestarsi: t =
∆v
22, 2
∆t =
=
s = 3s. Deltat = tf − ti = t in quanto cominciamo a contare il tempo
a
7, 5
dall’inizio della frenata, ci`e poniamo ti = 0s. Ricordando che nel moto uniformemente
1
1
decelerato si ha S = v0 t − at2 , otteniamo S = 22, 2 × 3 − × 7, 5 × 9m = 32, 9m. La
2
2
mucca `e salva.
14. Un’automobile di massa m = 1200 Kg procede alla velocit`a v = 90 Km/h. L’autista
intravede un tronco caduto sulla strada alla distanza di d = 100 m e inizia a decelerare
con una decelerazione di −1, 2 m/s2 . Qual’`e la forza frenante? Riuscir`a a fermarsi in
tempo?
Soluzione
Il problema `e simile al precedente. Questa volta ci viene chiesto di ricavare la forza
frenante che, dal secondo principio della dinamica, risulta F = m × a = 1200 × 1, 2N =
14401 N . Per capire se l’auto riuscir`
a a fermarsi per tempo, ricaviamo il tempo di arresto
della vettura dalla formula: vf = v0 − at, dove vf = 0m/s in quanto vogliamo che l’auto
v0
25
=
s = 20, 8 s. Dalla
si arresti. v0 = 90 : 3, 6 m/s = 25 m/s. Si ricava dunque t =
a
1, 2
1
1
formula S = v0 t − at2 , si ricava che S = 25 × 20, 8 − × 1, 2 × (20, 8)2 m = 260 m.
2
2
Quindi l’auto non riesce ad evitare l’impatto con il tronco sulla strada.
32
5 Esercizi sulla dinamica
15. Una sfera di 40 grammi si muove su una circonferenza di raggio 30 cm con una frequenza
di 2 Hz. Determinare la sua velocit`
a angolare e la forza centripeta.
Soluzione
2π
= 2πRf = 4π Rad/s. La forza centripeta `e F = ma =
T
2
−2
2
mω r = 4 × 10 × 16π × 0, 3 = 1, 89 N .
La velocit`
a angolare `e ω =
16. Se lascio cadere dalla torre del Mangia due sfere identiche di raggio r = 3 cm, una di
piombo l’altra di sughero, quale toccher`a per prima il suolo?
Soluzione
Se le due palline venissero fatte cadere nel vuoto, l’unica forza che agirebbe su di esse
sarebbe quella di gravit`
a, quindi subirebbero entrambe la stessa accelerazione g e toccherebbero il suolo contemporaneamente. L’esperienza (non so quanto sia il caso di
sperimentarla) ci mostra invece che `e quella di piombo a raggiungere per prima il suolo.
Questo perch´e nella realt`
a alla forza di gravit`a si oppone quella di attrito, che aumenta
con la velocit`
a di caduta. Nella pallina di sughero la forza di attrito arriva presto ad
equilibrare la forza peso che agisce su di essa. Dunque in questo caso l’accelerazione
diventa nulla. Nel caso della sfera di piombo la forza peso continua a prevalere invece
sulla forza di attrito facendo accrescere la sua velocit`a.
17. Perch´e gli autori di Star Trek hanno dotato la famosa navicella Enterprise di ammortizzatori inerziali, ovvero di un dispositivo che salvaguarda l’equipaggio quando l’astronave
in pochi secondi raggiunge velocit`
a dello stesso ordine di quelle della luce?
Soluzione
Quando l’astronave accelera con una certa accelerazione a (come quando stai semplicemente decollando con un aereo) senti che il sedile ti spinge in avanti con una certa forza
F . Se l’accelerazione a cui sei soggetto raddoppia, raddoppier`a anche la forza. Quanto
maggiore `e l’accelerazione tanto maggiore `e la spinta che subirai dal sedile. La questione
`e che nulla pu`
o resistere ad una accelerazione che porta in pochi secondi a velocit`a
prossime a quelle della luce. Non certo il nostro corpo. Gli ammortizzatori inerziali (di
cui si ignora il funzionamento) hanno il compito proprio di contrastare questa pressione
ed evitare di fare andare l’equipaggio incontro a morte certa prima ancora di iniziare
la missione! Senza bisogno di salire sull’Enterprise, anche i piloti di aerei supersonici
indossano delle particolari tute pressurizzate che forzano il sangue a salire dalle gambe
durante brusche accelerazioni ed evitare, come spesso succede in questi casi, che perdano
coscienza.
18. Elisa `e seduta su un treno che si muove a velocit`a costante rispetto al suolo (che in
questo caso pu`
o essere considerato un sistema di riferimento inerziale) lungo un binario
rettilineo. A un certo istante, lancia una pallina verticalmente verso l’alto. La pallina
ricadr`
a nella sua mano, pi`
u avanti o pi`
u indietro?
Soluzione
La pallina lanciata verticalmente ricadr`a esattamente sulla sua mano in quanto il treno
che viaggia di moto rettilineo uniforme `e un sistema di riferimento inerziale: questo
vuole dire che dal punto di vista di un viaggiatore del treno, quello che succede dentro
la cabina, dal punto di vista fisico, `e esattamente identico a quello che accadrebbe con
lo stesso esperimento fatto alla stazione.
Anche se prendiamo il punto di vista del capostazione, fermo al suo casello, la situazione `e
chiara, perch´e al momento che Elisa lancia la pallina, rispetto al suo punto di riferimento
(del capostazione intendo) sia Elisa che il pallina hanno una certa velocit`a vt , per tanto
la pallina ricadr`
a esattamente nelle sue mani.
5.1 Esercizi
33
19. Perch´e se sbattiamo la testa contro il muro ci facciamo male e tanto pi`
u forte la sbattiamo
tanto maggiore `e il dolore che avvertiamo?
Soluzione
Perch´e per il terzo principio della dinamica il muro reagisce con una forza uguale e
contraria a quella applicata dalla nostra testa. Quindi tanto pi`
u grande `e la forza di
reazione tanto pi`
u ci facciamo male.
20. Se viaggiamo con un’automobile in una strada pianeggiante e rettilinea a velocit`a
costante, secondo il primo principio della dinamica, non dovrei fare altro che godermi il
panorama, invece ci accorgiamo che per mantenere la velocit`a costante siamo costretti
a tenere il piede sopra l’acceleratore. Come si spiega questa contraddizione?
Soluzione
Non c’`e alcuna contraddizione in quanto non `e vero che sull’auto non agiscono forze.
Sulle ruote infatti agisce la forza di attrito dinamico esercitata dalla strada, quindi per
mantenere una velocit`
a costante, il motore deve fornire alla macchina una forza uguale
e contraria a quella di attrito.
21. Perch´e un cacciatore tiene il fucile ben saldo sulla spalla quando spara?
Soluzione
Perch´e, al momento che viene premuto il grilletto, sul proiettile agisce una forza che
lo spinge fuori dalla canna. Per il terzo principio della dinamica, una forza uguale e
conraria si esercita sul fucile facendolo muovere in verso opposto (il cosiddetto rinculo).
Se il fucile non fosse tenuto ben saldo alla spalla, per effetto del contraccolpo, urterebbe
contro la spalla e potrebbe far male al cacciatore stesso.
22. Perch´e quando stiamo sul tram, in piedi, e il mezzo frena bruscamente, tendiamo a
cadere in avanti?
Soluzione
Perch´e se siamo dentro il tram, sia noi che il mezzo abbiamo la stessa velocit`a rispetto
alla strada. Quando il tram frena, viene applicata una forza alle ruote che provoca una
variazione di velocit`
a del veicolo. Tale forza frenante non agisce per`o su di noi, che
continuiamo a muoverci in avanti con la velocit`a che aveva il mezzo prima della frenata.
Quindi, per il primo principio, ci troviamo a cadere in avanti. Meglio tenersi ben saldi a
qualche appoggio!
6
Lavoro ed energia
36
6 Lavoro ed energia
6.1 Lavoro, energia e potenza
I concetti di lavoro, potenza ed energia sono fondamentali nello studio della fisica applicata.
Per parlare in modo corretto della definizione fisica del lavoro occorre prima chiarire che
cosa s’intende per forza. Se vogliamo spingere un’automobile in panne, dobbiamo esercitare
una forza contro la carrozzeria, nella direzione in cui intendiamo far avanzare l’auto; la
forza che esercitiamo deve essere tale da vincere la resistenza causata dall’attrito delle ruote
come conseguenza del peso dell’auto. Se poi ci capita di sollevare un peso, dobbiamo ancora
esercitare una forza, questa volta diretta verso l’alto; la nostra forza dovr`a vincere un’altra
forza, quella di gravit`
a, che tende a tirare il peso verso il basso.
Dal punto di vista comune per spingere un’auto o sollevare un peso si compie fatica; dal
punto di vista della fisica si dice che si compie un lavoro; per misurare la quantit`a di lavoro
svolta sar`
a necessario conoscere anche il valore dello spostamento effettuato, cio`e dovremo
sapere per quanti metri l’auto dovr`
a essere spinta o nel caso del peso, di quanto questo
oggetto dovr`
a essere alzato.
Analizziamo quest’ultimo il caso (esprimendo il peso in Newton e l’altezza in metri): se si
solleva un peso di 20 N all’altezza di 2 metri, il lavoro compiuto sar`a: 20×2 = 40 N ×m, se si
solleva lo stesso peso all’altezza di 3 metri, si sar`a compiuto un lavoro pari a 20×3 = 60N ×m.
Possiamo scrivere la formula generale come segue:
L=F ×s
(6.1)
cio`e il lavoro `e uguale al prodotto della forza per lo spostamento. Tale formula `e corretta
se lo spostamento avviene esattamente nella direzione della forza resistente; se invece lo
spostamento avviene in una direzione diversa dalla direzione della forza resistente, la formula
deve essere modificata al fine di tenere conto dell’angolo formato dalle due direzioni. L’unit`a
di misura del lavoro `e il Joule (J) : 1 J `e pari al lavoro compiuto dalla forza di 1 newton
quando sposta il suo punto di applicazione di 1 metro nella sua stessa direzione.
Quando facciamo riferimento al tempo in cui un lavoro `e stato compiuto, si parla di
potenza: uno stesso lavoro pu`
o essere compiuto in un tempo pi`
u breve o pi`
u lungo; naturalmente minore `e il tempo impiegato nel compimento di un dato lavoro, maggiore sar`a
la potenza necessaria. Torniamo a parlare di automobili: far percorrere a un’auto 50 km
significa compiere un lavoro: infatti occorre applicare all’auto una forza sufficiente a farla
spostare, e quindi prolungare questo spostamento per una lunghezza di 50 km. Come si `e
visto, il lavoro corrispondente si calcola moltiplicando la forza per lo spostamento. Supponiamo che la forza necessaria a spingere l’auto sia di 81 N ; lo spostamento, in metri, ha il
valore di 50000. Il lavoro compiuto sar`
a allora pari a 81 × 50000 = 4, 05 × 106 N × m ovvero 4
milioni e cinquantamila N × m. Se l’auto percorre i 50 km in un’ora diremo che ha compiuto
un lavoro di 4, 05 × 106 N × m all’ora. Ma 1 ora equivale a 3600 secondi, per cui in 1 solo
secondo il lavoro compiuto sar`
a dato da (4, 0 × 106 ) : (3, 6 × 103 ) = 1125 N × m × s−1 (si
legge 1125 Newton per metri al secondo). Sappiamo infatti che un’auto dotata di maggiore
potenza corre di pi`
u. Per esempio, per effettuare lo stesso percorso di 50 km in 40 minuti,
la potenza necessaria diventa (4, 05 × 106 ) : (2, 4 × 103 ) = 1687, 5N × m × s−1 . La formula
per il calcolo della potenza `e quindi:
L
(6.2)
t
Le unit`
a di misura della potenza sono naturalmente legate a quelle del lavoro: nel sistema
S.I. la potenza di una forza che compie il lavoro di un Joule in un secondo si chiama Watt
(W ); nella vita quotidiana `e ancora usato il Cavallo Vapore (C.V.) che corrisponde alla
potenza di una forza che compie il lavoro di 75 kgm in un secondo. Tenuto conto che 1 kgm
pari a 9, 8 J, si ha il legame fra il C.V. ed il Watt.
P =
1C.V. = 735W
(6.3)
L’energia non `e altro che una quantit`
a di lavoro che si ha la possibilit`a di compiere. Pensiamo a un lago artificiale che, tramite una diga, trattiene una grande quantit`a d’acqua pi`
u
6.2 Lavoro di una forza non costante
37
in alto di 50 metri, rispetto a una vallata. La massa d’acqua racchiusa nell’invaso, completamente ferma, ha la possibilit`
a di compiere del lavoro; questa possibilit`a viene definita energia
potenziale, poich´e si tratta di una capacit`
a, in potenza, di compiere del lavoro (sebbene allo
stato attuale esso non venga compiuto). Per calcolare tale energia, analogamente a come
si procede per il lavoro, si moltiplica la forza per lo spostamento: la forza `e rappresentata
dal peso di tutta l’acqua contenuta nell’invaso, mentre lo spostamento `e costituito dalla
differenza di livello fra il bacino e la vallata; quanto pi`
u il bacino `e posto in alto rispetto
al punto di riferimento (la vallata) tanto maggiore sar`a l’energia potenziale. Se lasciamo
defluire la massa d’acqua, dovuta al peso dell’acqua e alla velocit`a con cui essa avanza, da
potenziale diventa cinetica (energia di movimento); la velocit`a dell’acqua, scorrendo verso il
basso, aumenta, per`
o diminuisce la sua altezza rispetto al punto di arrivo finale: in pratica
l’energia potenziale tende a diminuire mentre aumenta l’energia cinetica che `e dovuta alla
velocit`
a. Una volta arrivata a valle, l’acqua non possiede pi`
u energia potenziale perch´e essa
si `e trasformata tutta in energia cinetica, di movimento appunto.
` importante a questo punto introdurre una distinzione fra i tipi di lavoro; a seconda
E
della direzione relativa del vettore forza e del vettore spostamento, possiamo distinguere
tra lavoro motore e lavoro resistente. Quando le direzioni della forza e dello spostamento
hanno il medesimo verso, il lavoro `e positivo e viene definito lavoro motore; se invece forza e
spostamento hanno direzione e verso opposti, il lavoro `e negativo e viene definito resistente.
Vediamo qualche esempio. Un corpo cade da una certa altezza: in questo caso la forza peso,
che `e diretta verso il basso, compie un lavoro motore. Una molla viene compressa: la forza
elastica, che tenderebbe in teoria a riportarla alla sua lunghezza originale, compie un lavoro
resistente. C’`e un terzo esempio sul quale vale la pena riflettere: nel moto circolare uniforme
la forza centripeta, che provoca il moto, non compie lavoro, in quanto `e punto per punto
ortogonale allo spostamento.
6.2 Lavoro di una forza non costante
Se siamo in presenza di una forza non costante, cio`e di una forza la cui intensit`a varia
mentre viene compiuto il lavoro lungo la direzione dello spostamento, il lavoro si definisce
come l’area della parte di piano sottesa dalla curva che rappresenta la forza; rappresentiamo
la nostra forza che varia da punto a punto lungo la traiettoria del corpo in movimento. Il
lavoro fatto dalla forza per spostare il corpo dalla posizione iniziale A alla posizione finale
B si calcola come segue: in ogni tratto ∆s della traiettoria, che sia abbastanza piccolo da
permetterci di considerare la forza costante per la lunghezza del tratto, il lavoro ∆L `e dato
dalla relazione:
∆L = F 0 ∆s
(6.4)
Quindi avremo un lavoro ∆L1 = F10 ∆s1 nel primo tratto, ∆L2 = F20 ∆s2 nel secondo
tratto ecc . . . Il lavoro totale sar`
a dato dall’espressione
LAB = ∆L1 + ∆L2 + . . . + ∆Ln
(6.5)
dove n `e il numero dei segmenti in cui `e stata suddivisa la traiettoria. Il lavoro `e quindi
dato dalla somma di tutti i lavori elementari calcolati per i successivi elementi della traiettoria (in matematica questa operazione si definisce integrazione). Ad esempio la forza elastica
`e una forza non costante che esprimiamo attraverso la legge di Hooke:
Per comprimere una molla di un tratto x occorre applicare una forza uguale e contraria,
F = kx, rappresentata da una retta passante per l’origine, la cui pendenza rappresenta la
costante elastica k. Il lavoro compiuto sulla forza elastica per comprimere la molla di un
tratto generico x `e dato dall’area del triangolo che ha per lati il segmento x e la forza kx,
quindi:
L=
1 2
kx
2
(6.6)
38
6 Lavoro ed energia
Il lavoro compiuto dalla forza elastica (lavoro resistente) avr`a segno opposto. Nel caso
della forza di gravit`
a, che `e rappresentata da una retta parallela all’asse x , il lavoro che
la forza compie quando un oggetto cade liberamente di un tratto h `e dato dall’area del
rettangolo che ha per base il segmento h e per altezza la forza mg:
L = mgh
(6.7)
Per sollevare un corpo si dovr`
a agire contro la forza gravitazionale e compiere un lavoro
resistente, uguale e opposto.
6.3 Energia cinetica
L’energia cinetica `e l’energia posseduta da un corpo a causa del suo movimento. Corrisponde
al lavoro che si deve compiere su un corpo di massa m, inizialmente fermo, per portarlo ad
una certa velocit`
a assegnata; essa `e associata alla massa e alla velocit`a di un corpo in
movimento. L’energia cinetica di un punto materiale pu`o essere espressa matematicamente
dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocit`a
1
mv 2
(6.8)
2
dove m `e la massa del corpo e v la sua velocit`a; di conseguenza l’energia cinetica `e una
grandezza scalare, definita positiva e si misura, come il lavoro, in joule. Dimensionalmente
(come per il lavoro) si ha: [Ec ] = [m][v 2 ] = [L2 M T −2 ]. Utilizzando il secondo principio della
dinamica si ha che il lavoro fatto da una forza costante F che agisce su un corpo di massa
m che percorre una distanza s vale:
Ec =
L = F s = mas
(6.9)
La forza F `e costante quindi `e costante anche l’accelerazione, di conseguenza possiamo
usare le relazioni del moto uniformemente accelerato: s = 1/2at2 + v0 t a = (v − v0 )/t da cui
as = (v − v0 )v0 + 1/2(v − v0 )2 = 1/2(v 2 − v02 ). A questo punto possiamo enunciare il
Teorema dell’energia cinetica (o Teorema delle forze vive)
Il lavoro compiuto da una qualunque forza risultante F su un corpo di massa m che si sposta
lungo una data traiettoria, `e dato dalla variazione dell’energia cinetica tra l’istante iniziale
e l’istante finale:
1
1
mv 2 − mv02 = ∆Ec
(6.10)
2
2
Dove l’ultimo prodotto a destra indica la variazione di energia cinetica prodotta dal
lavoro L. Questo teorema vale anche per forze variabili con il tempo o con la posizione e per
sistemi a massa costante.
L = msa =
6.4 Energia Potenziale
Il campo gravitazionale, nel quale siamo costantemente immersi, `e un ottimo esempio di
campo conservativo. Consideriamo il rimbalzo di una palla di gomma sul pavimento: essa,
un attimo prima di cadere, trovandosi nel campo gravitazionale terrestre, ha la possibilit`a di
acquistare energia cinetica Ec e pertanto possiede energia potenziale U . L’energia potenziale
appartiene al sistema costituito insieme dalla palla e dalla Terra: la definiremo energia
potenziale gravitazionale in quanto associata alla forza di gravit`a. Durante il moto di caduta
il lavoro positivo della forza peso fa aumentare l’energia cinetica della palla mentre quella
potenziale gravitazionale diminuisce; al contrario, durante la salita, la stessa forza peso
compie un lavoro opposto e l’energia, da cinetica, ridiviene potenziale. Quando le forze in
gioco sono conservative (cio`e se il lavoro compiuto dalle forze dipende soltanto dalla posizione
6.5 Energia potenziale elastica
39
iniziale e finale del corpo), la palla riavr`
a la stessa energia potenziale che aveva all’inizio;
infatti l’energia potenziale di un corpo immerso in un campo conservativo `e una funzione
della posizione del corpo, cio`e la differenza fra i suoi valori nella posizioni iniziale e finale
`e uguale al lavoro compiuto sul corpo dalle forze del campo per fargli eseguire il medesimo
spostamento. In altre parole ogni variazione di energia cinetica corrisponde a una variazione
opposta di energia potenziale (gravitazionale)
∆Ec = −∆U
(6.11)
Questa relazione vale naturalmente solo per forze conservative; la presenza del segno - non
significa che ∆U `e sempre negativa ma che `e opposta a ∆Ec : se aumenta Ec , U diminuisce
e viceversa. Il calcolo della velocit`
a in funzione della distanza non richiede necessariamente
le equazioni del moto uniformemente accelerato. Le considerazioni energetiche sono molto
pi`
u immediate. Il teorema dell’energia cinetica dice che la variazione ∆Ec di energia cinetica
subita da un corpo `e uguale al lavoro della forza risultante. L’unica forza in gioco `e la forza
peso, quindi per ogni intervallo ∆h di caduta, si ha un aumento di energia cinetica
∆Ec = mg∆h = 1kg × 9, 8m/s2 × 1m = 9, 8 J
(6.12)
Considerando che l’energia cinetica iniziale `e nulla (il corpo parte da fermo)
per ogni
r
2Ec
. Poich´e
quota, il valore dell’energia cinetica Ec e della velocit`a corrispondente v =
m
la forza peso `e conservativa, ∆Ec = −∆U , il lavoro misura, oltre all’aumento di energia
cinetica, anche la diminuzione di energia potenziale. Quindi, per ogni metro di caduta,
l’energia potenziale U diminuisce esattamente di 9, 8 J:
∆U = −mg∆h = −9, 8 J
(6.13)
Finora abbiamo parlato di differenze ∆U di energia potenziale tra una posizione e l’altra:
per avere il valore U (h) in funzione della quota h, occorre scegliere un livello di riferimento o
livello zero in corrispondenza del quale si stabilisce che: U (livello zero) = 0. Una scelta immediata per il livello zero `e quella del pavimento (ma `e una scelta assolutamente arbitraria).
A questo punto possiamo definire l’energia potenziale gravitazionale; l’energia potenziale
gravitazionale U di un corpo di massa m che si trova ad una quota h rispetto al livello zero
`e data dal lavoro fatto dalla forza peso per portare il corpo dalla quota h al livello zero:
U (posizione h) = mgh
(6.14)
Le cose cambiano a seconda della scelta del livello zero. Possono esserci anche valori negativi
dell’energia potenziale gravitazionale (per i livelli al di sotto del livello zero) mentre l’energia
cinetica Ec `e sempre positiva. Le differenze ∆U di energia potenziale tra un livello e l’altro
(come le differenze ∆Ec ) rimangono uguali.
6.5 Energia potenziale elastica
Consideriamo la molla collegata alla massa m e deformiamola lasciando poi la massa libera
di scorrere lungo un piano senza attrito. Analizziamone il moto: definiamo k la di costante
elastica della molla e indichiamo con x la deformazione (in allungamento o in contrazione)
applicata alla molla stessa; si deve esercitare una forza contro la forza elastica di richiamo
che tende a riportare la molla stessa in condizioni non deformate. Una molla non deformata
(x = 0) si dice in posizione di equilibrio. La forza elastica di richiamo `e sempre diretta
verso la posizione di equilibrio (`e quindi una forza centripeta) ed `e uguale e contraria alla
forza impiegata per la deformazione, determinata dalla legge di Hooke. Se la molla `e lasciata
libera, l’unica forza sar`
a quella di richiamo (supponendo trascurabili le forze d’attrito non
conservative). Poich`e la forza di richiamo `e sempre diretta verso il centro di equilibrio,
quando la massa si avvicina ad esso, il lavoro della forza di richiamo `e positivo, quando se
40
6 Lavoro ed energia
ne allontana il lavoro `e negativo. Forza per deformare una molla: F = kx; forza di richiamo
della molla F = −kx. Il segno − indica semplicemente che la forza di richiamo `e sempre
opposta alla deformazione.
Come sappiamo, a un lavoro positivo corrisponde un aumento di energia cinetica della
massa, a un lavoro negativo corrisponde una diminuzione di energia cinetica. Poich´e la forza
elastica di richiamo `e una forza conservativa ogni variazione di energia cinetica sar`a compensata da una variazione opposta di energia potenziale. Una massa collegata ad una molla
elastica e libera di oscillare intorno al suo punto di equilibrio si chiama oscillatore armonico. Quando la molla `e deformata, l’oscillatore armonico possiede energia potenziale perch´e
ha la possibilit`
a di acquistare energia cinetica sotto l’azione della forza elastica di richiamo. L’energia potenziale associata alla forza di richiamo si dice energia potenziale elastica.
L’energia potenziale elastica appartiene sia alla massa sia alla molla che `e causa della forza.
Quando l’oscillatore `e nella posizione di equilibrio (x = 0) l’energia potenziale elastica `e
nulla, quindi questa posizione viene usualmente scelta come livello zero dell’energia potenziale elastica. In perfetta analogia con quanto visto nella sezione precedente: Ue (x = 0) = 0.
L’energia potenziale elastica Ue `e associata alla forza elastica di richiamo (conservativa);
l’energia potenziale elastica Ue per una massa m collegata a una molla di costante elastica
k e deformata di una quantit`
a x `e data dal lavoro fatto dalla forza di richiamo per portare
la massa da x alla posizione di equilibrio.
U e(posizione x) =
1 2
kx
2
(6.15)
. L’energia potenziale Ue appartiene al sistema massa + molla.
6.6 Conservazione delle energia meccanica
Consideriamo un esempio classico: un corpo di massa m = 1 kg cade da una altezza di tre
metri sotto l’azione della sola forza peso (conservativa). Se le uniche forze in gioco sono
conservative, per ogni posizione occupata dal corpo `e costante la somma di energia cinetica
e potenziale: questa somma si definisce energia meccanica E. L’energia meccanica del corpo
in questione vale costantemente 29, 4 J. Nei casi in cui le uniche forze che fanno lavoro sono
conservative vale la Legge di conservazione dell’energia meccanica E = Ec + U = costante.
Considerando due posizioni diverse hA e hB e le rispettive velocit`a vA e vB che un corpo di
massa m possiede nelle due posizioni, la legge di conservazione dell’energia meccanica si pu
scrivere:
KA + UA = KB + UB
1
1
2
mv 2 + mghA = mvB
+ mghB
2 A
2
(6.16)
(6.17)
Consideriamo di nuovo il caso di una molla fissata con un estremo a una parete verticale e collegata, all’altro estremo, ad un peso di massa m che pu oscillare liberamente
scivolando su di un piano orizzontale privo di attrito. Se allontaniamo il corpo di massa
m dalla sua posizione di equilibrio x, allungando la molla, vedremo che il corpo tender`a
ad essere riportato nella sua posizione iniziale da una forza elastica di richiamo. La forza
di richiamo `e una forza conservativa: questo significa che un corpo che `e soggetto solo alla
forza di richiamo (quindi senza attriti e resistenze del mezzo) conserva l’energia meccanica
totale, cio`e la somma dell’energia cinetica K e dell’energia potenziale U . Possiamo scrivere
la legge di conservazione dell’energia meccanica dell’oscillatore, esplicitando le espressioni di
K in funzione della massa m e della velocit`a v del corpo e di U in funzione della costante
1
1
elastica k e della posizione x: E = K + U = mv 2 + kx2 = costante Quando la massa
2
2
che oscilla transita per il punto di equilibrio (x = 0), la sua velocit`a `e massima ed `e quindi
massima anche l’energia cinetica, mentre l’energia potenziale `e nulla. Nelle due posizioni
di spostamento massimo (x = |A|), la massa oscillante avr`a energia potenziale massima ed
6.6 Conservazione delle energia meccanica
41
energia cinetica nulla. Nei punti di massimo spostamento (x = |A|), l’energia meccanica `e
solo potenziale e quindi `e possibile calcolarne il valore:
E=
1 2
kA
2
(6.18)
7
Esercizi sul lavoro e l’energia
44
7 Esercizi sul lavoro e l’energia
7.1 Esercizi
1. Erika abita al secondo piano di un palazzo. Tale piano `e situato a 8 metri da terra.
Qual `e il lavoro che Erika deve fare, contro la forza di gravit`a, per portare una cassa
da 6 bottiglie di acqua da un litro e mezzo dal piano terra a casa? Mirela, la sua
coinquilina, preferisce fare la stessa operazione con l’ascensore. Qual `e in questo caso il
lavoro compiuto dall’ascensore?
Soluzione
Poich´e il lavoro `e definito come il prodotto dello spostamento per la componente della
forza parallela alla spostamento, in formule L = Fk × s. Quindi lo spostamento che
fa Erika, paralello alla forza di gravit`a, `e soltanto quello verticale, ovvero gli 8 metri
dell’altezza del piano rispetto a terra. Quindi non resta che calcolare la forza peso della
cassa di acqua. Poich´e ogni bottiglia da un litro e mezzo pesa 1, 5 Kg (trascuriamo, a
ragione, il peso delle bottiglie), Fp = 1, 5 × 6 × 9, 8 = 88, 2 N . Quindi il lavoro fatto da
Erika `e: Le = −88, 2 × 8 J = −705, 6 J. Il meno sta ad indicare che il lavoro `e stato
svolto contro la forza di gravit`
a. Non cambia assolutamente nulla per quanto riguarda
il lavoro svolto dall’ascensore. Oddio nulla... andatelo a dire a Erika...
2. Se spostiamo una pila di libri del peso di 6 Kg di 50 cm sul piano della scrivania, quanto
vale il lavoro compiuto dalla forza di gravit`a?
Soluzione
Per quanto riportato nell’esercizio precedente, poich´e il lavoro `e uguale a L = Fk × s,
essendo la forza di gravit`
a perpendicolare allo spostamento, allora il lavoro compiuto da
tale forza `e nullo.
3. Giacomo sta sotto la finestra di Maria Antonietta per cantarle una serenata. Maria
Antognetta tende la sua mano fuori della finestra (all’altezza di 10 metri dal suolo)
con il mazzo di chiavi del peso 0, 5 Kg. Se il giovane Adone riuscir`a col suo canto a
conquistarla allora lei lascer`
a cadere le sue chiavi verso l’innamorato. Qual `e il lavoro
che compie Antognetta mentre tiene in mano le chiavi? E quale quello che farebbe la
forza di gravit`
a nel caso Maria Antognetta decidesse di lasciar cadere le chiavi?
Soluzione
Maria Antognetta per tenere ferme le chiavi esercita una forza verso l’alto di valore pari
alla forza di gravit`
a, cio`e F = m × g = 0, 5 × 9, 8 N = 4, 9 N . Poich´e per`o le chiavi non si
muovono, quindi lo spostamento `e pari a 0, il lavoro che compie `e L = Fk ×s = 4, 9×0 J =
0 J. Se Maria Antognetta decidesse di far cadere le chiavi, queste scenderebbero al suolo
sotto la forza di gravit`
a di 4, 9 N . E il lavoro che la forza compirebbe per portare le
chiavi a terra sarebbe uguale a Lg = 4, 9 × 10 J = +49 J. Questa volta il segno + sta a
indicare che il lavoro viene compiuto nella stessa direzione della forza di gravit`a.
4. Jovilyn sta tirando una cassa di libri, con una fune inclinata di 30◦ rispetto al pavimento,
esercitando una forza di 50 N . Quale lavoro compie per spostare la cassa di 10 metri?
Soluzione
Ricordando ancora una volta che nelle definizione di lavoro, L = Fk × s, conta solo la
componente parallela allo spostamento, dobbiamo concentrarci a calcolare quest’ultima.
√
F
50 √
Con un po’ di geometria elementare si vede che Fk =
× 3=
× 3 = 43, 3 N .
2
2
Quindi il lavoro `e uguale a L = 43, 3 × 10 J = 433 J.
5. Dopo un abbondante nevicata, Rossella decide di prendere il suo slittino di massa 10 Kg.
Amelie, il cane di Rossella, viene legato allo slittino per trascinarlo con una forza costante
7.1 Esercizi
45
di 40 N in direzione parallela al piano in cui avviene lo spostamento. Il coefficiente di
attrito tra slittino e strada vale 0, 1 e lo spostamento `e di 4 metri. Calcolare:
a) Il lavoro fatto da Amelie;
b) Il lavoro fatto dalla forza di attrito;
c) Il lavoro totale fatto sullo slittino.
Soluzione
a) Il lavoro compiuto da Amelie `e positivo in quanto compiuto nella stessa direzione
dello spostamento e vale La = 40 × 4 J = 160 J.
b) Per calcolare la forza di attrito dobbiamo calcolare la componente perpendicolare al
piano della forza peso. Poich´e stiamo supponendo che lo slittino sia in piano, essa
coincide per intero con la forza perso Fp = m × g = 10 × 9, 8 N = 98 N . La forza di
attrito vale quindi: Fa = P × µa = 98 × 0, 1 N = 9, 8 N . La forza di attrito si oppone
al movimento, quindi il lavoro che compie `e La = −9, 8 × 4 J = −39, 2 J.
c) Il lavoro totale sullo slittino `e uguale alla somma algebrica dei due lavori, ovvero
Ltot = 160 − 39, 2 J = 120, 8 J.
6. Francesco deve sollevare 500 Kg mattoni ad un altezza di 10 metri utilizzando un montacarichi. Tale lavoro deve essere fatto in, al massimo, un minuto di tempo. Qual `e la
minima potenza che deve avere il montacarichi?
Soluzione
L
, ovvero lavoro diviso il tempo impiegato
La potenza (vedere teoria) `e definita da P =
∆t
a compierlo. Calcoliamo quindi il lavoro necessario per sollevare i mattoni. La forza che
agisce sui mattoni `e quella di gravit`
a, ovvero Fg = 500 × 9, 8 N = 4900 N . Il lavoro fatto
dal montacarichi `e quindi L = Fg × s = 4900 × 10 J = 49000 J. La potenza minima che
49000
deve avere il montacarichi vale quindi P =
= 816, 7 W .
60
7. Grazia va al supermercato a fare spesa e spinge il carrello di massa 2 Kg con un forza
costante di 10 N per 5 secondi. Il carrello si sposta nella stessa direzione della forza
applicata. Dimostrare che il lavoro fatto `e numericamente equivalente all’energia cinetica
che il carrello possiede dopo 5 secondi (Teorema delle forze vive).
Soluzione
Possiamo applicare il secondo principio della dimanica (vedi teoria) per calcolare
F
10
l’accelerazione del carrello. Da F = m × a si ricava che a =
=
m/s2 = 5 m/s2 .
m
2
Applicando le equazioni del moto uniformemente accelerato si ricava che la velocit`a dopo
5 secondi vale v = a × t = 5 × 5 m/s2 = 25 m/s2 . L’energia cinetica del carrello dopo
1
1
5 secondi `e dunque, K = × m × v 2 = × 2 × 252 J = 625 J. Per calcolare il lavoro
2
2
fatto dalla forza dobbiamo calcolare lo spostamento. Utilizzando ancora le formule del
1
1
moto uniformemente accelerato si ha s = × a × t2 = × 5 × 52 m = 62, 5 m. Quindi
2
2
il lavoro `e L = 10 × 62, 5 J = 625 J. In perfetto accordo con i conti precedenti!
8. Sonia sta guidando la sua macchina di massa 800 Kg alla velocit`a di 108 Km/h. Sta
per entrare in un centro abitato e decide di rallentare fino alla velocit`a di 54 Km/h.
Per compiere tale decelerazione impiega un minuto di tempo. Quale lavoro `e stato fatto
sull’automobile? Quale forza media `e stata applicata?
Soluzione
Per prima cosa, riportiamo le velocit`
a in metri al secondo. 108 Km/h = 108 : 3, 6 m/s =
30 m/s e 54 Km/h = 54 : 3, 6 m/s = 15, m/s. Calcoliamo quindi le energie cinetiche:
46
7 Esercizi sul lavoro e l’energia
1
1
1
iniziale e finele. Ki = mvi2 =
× 800 × 302 J = 3, 6 × 105 J e Kf = mvf2 =
2
2
2
1
800152 J = 9 × 104 J. Per il teorema delle forze vive L = Kf − Ki = 9 × 104 −
2
3, 6 × 105 J = −2, 7 × 105 J. Per calcolare la forza media, troviamo prima l’accelerazione
15 − 30
∆
=
m/s2 = −0, 25 m/s2 . Utilizzando la seconda
utilizzando la definizione a =
∆t
60
legge della dinamica, troviamo che la forza media `e uguale a F = m × a = 800 ×
(−0, 25) N = −200N , dove il segno − indica che la forza si oppone al moto (altrimenti
non causerebbe la decelerazione del veicolo).
9. Se lascio cadere una palla della massa di 0, 5 Kg da un’altezza di 10 metri, quanto vale
il lavoro fatto dalla forza gravitazionale? E quanto vale invece l’energia potenziale persa
dalla palla cadendo?
Soluzione
Come negli esercizi precedenti, la sola forza che agisce sulla palla `e quella di gravit`a che
vale Fg = mg = 0, 5 × 9, 8 N = 4, 9 N . Il lavoro compiuto sulla palla da tale forza vale
quindi Lg = Fg × h = 4, 9 × 10 J = 49 J.
Calcoliamo ora la variazione di energia potenziale. Rispetto al suolo possiamo considerare
Uf = 0. Al punto di partenza invece Ui = mgh = 0, 5 × 9, 8 × 10 J = 49 J. Quindi
∆U = Uf − Ui = −49 J. Quindi l’energia persa dalla palla cadendo `e di 49 J.
10. Perch´e un fattorino che sorregge una valigia di 4 Kg per 5 minuti non compie lavoro?
Soluzione
Perch´e, come gi`
a spiegato negli esercizi precedenti, la valigia non subisce alcuno spostamento nella direzione della forza. Quindi il lavoro `e 0. Ma se in questi minuti non compie
lavoro `e giusto pagarglieli? Si, in quanto il facchino fa uno sforzo fisico per sorreggere la
valigia. Ma sforzo `e diverso dal lavoro.
11. Perch´e la forza di attrito fa diminuire l’energia cinetica degli oggetti in movimento?
Soluzione
Poich´e la forza di attrito `e una forza sempre opposta al moto degli oggetti, quindi ha
verso opposto a quello dello spostamento che compie l’oggetto. Di conseguenza fa un
lavoro negativo. Per il teorema delle forze vive L = ∆K con DeltaK, quindi, negativa.
Questo vuol dire che l’energia cinetica iniziale `e maggiore di quella finale.
12. Che cosa significa che una forza `e conservativa e cosa che una forza `e dissipativa?
Soluzione
Una forza si dice conservativa quando il lavoro fatto per spostare un oggetto da punto
A a un punto B non dipende dal percorso ma solo dalla posizione iniziale A e da quella
finale B. Una forza che non `e conservativa si dice dissipativa.
13. Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza centripeta su una particella che ruota su una
circonferenza?
Soluzione
Poich´e istante per istante la direzione della forza centripeta (diretta verso il centro della
circonferenza) `e perpendicolare al moto della particella (diretta verso la tangente alla
circonferenza), il lavoro fatto dalla forza centripeta `e uguale a 0.
14. Marco sta andando con la moto. Parte da fermo e raggiunge inizialmente la velocit`a
di 20 m/s. In un secondo tempo decide di accelerare ancora e raggiunge la velocit`a di
7.1 Esercizi
47
40 m/s. Il lavoro necessario per fare la prima accelerazione `e minore, maggiore o uguale
a quello fatto per compiere la seconda accelerazione?
Soluzione
Per il teorema delle forze vive sappiamo che L = ∆K. Calcoliamo quindi le due variazioni
1
di energia cinetica. K0 = 0 in quanto parte da fermo. K1 = × m × 202 J = 200m J.
2
1
K2 =
× m × 402 J = 800m J. Quindi L1 = 200m − 0 J = 200m J mentre L2 =
2
800m − 200m J = 600m J. Ne consegue che il lavoro fatto per compiere la seconda
accelerazione `e maggiore di quello fatto per compiere la prima.
15. Un’ascensore pesa 105 N e sale alla velocit`a costante di 2 m/s fino al decimo piano di un
palazzo. Ogni piano dista dall’altro 4 metri. Quanto vale la potenza che deve sviluppare
il motore l’ascensore quando sale vuoto? E quanto vale invece quando sale con delle
persone del peso complessivo di 3 × 104 N ?
Soluzione
Per calcolare la potenza, dobbiamo prima calcolare il lavoro necessario per portare
l’ascensore fino al decimo piano. Tale lavoro `e uguale a L = Fp × h = 105 × 40 J =
40
s = 20 s.
4 × 106 J. Per fare 40 metri alla velocit`a di 2 m/s l’ascensore impiega t =
2
4 × 106
Quindi la potenza che deve sviluppare il motore in questo caso `e P =
W =
20
5
2 × 10 W . Nel caso in cui sale con le persone a bordo, il lavoro fatto `e uguale a
L = (105 + 3 × 104 ) × 40 J = 4, 12 × 107 W .
16. Josefa al supermercato spinge un carrello, inizialmente fermo, di massa 1 Kg con un
forza costante di 10 N parallela al pavimento, mentre il carrello si sposta di 10 metri.
Calcolare:
a) Quale lavoro Josefa fa sul carrello;
b) Qual `e l’energia cinetica che acquista il carrello;
c) Qual `e la velocit`
a del carrello dopo che ha percorso 10 metri.
Soluzione
a) Per calcolare il lavoro `e sufficiente applicare la definizione L = F × s = 10 × 10 J =
100 J, in quanto la forza `e applicata nella stessa direzione e verso dello spostamento.
b) Per calcolare l’energia cinetica del carrello, possiamo applicare il teorema delle forze
vive (o dell’energia cinetica): L = ∆K, quindi poich´e il lavoro compiuto da Josefa
`e di 100 J tale sar`
a anche l’energia cinetica del carrello (considerato che partiva da
fermo);
c) Per calcolare la velocit`
a del carrello possiamo
r partire
r dalla definizione di energia
1
2K
2 × 100
cinetica: K = mv 2 , da cui segue che v =
=
m/s = 14, 14 m/s.
2
m
1
17. Un vaso di 10 Kg cade dal davanzale di una finestra di un grattacielo a 100 metri dal
suolo. Quando arriva a terra la sua velocit`a `e di 40 m/s. Quanto vale il lavoro fatto dalla
forza di attrito sul vaso?
Soluzione
Per vedere quanto vale il lavoro della forza di attrito possiamo sfruttare il principio di
conservazione dell’energia meccanica, secondo il quale, in assenza di attrito (che `e una
forza dissipativa) la somma dell’energia potenziale gravitazionale e dell’energia cinetica
di un corpo rimane costante durante tutta la caduta. Per vedere quanta di questa energia
meccanica `e stata dissipata possiamo calcolare i valori estremi dell’energia. Cio`e alla
48
7 Esercizi sul lavoro e l’energia
partenza, quando l’energia `e soltanto potenziale, e all’arrivo, quando l’energia potenziale
`e stata convertita (per buona parte) in movimento. L’energia potenziale di partenza `e
1
Ui = mgh = 10 × 9, 8 × 100 J = 9800 J. L’energia cinetica finale vale K = mv 2 =
2
1
× 10 × 402 J = 8000 J. Quindi l’energia dispersa durante la caduta `e esattamente il
2
lavoro compiuto dalla forza di attrito che stavamo cercando, ovvero La = 9800−8000 J =
1800 J.
18. Norbert, un alpinista esperto di massa pari a 90 Kg, si arrampica su una parete verticale
alta 100 m. Poi scende da un pendio che forma con il suolo un angolo di 45◦ per tornare
al punto di partenza. Calcola come varia la sua energia potenziale durante la salita,
durante la discesa e nell’intero percorso.
Soluzione
Considerando il punto di partenza come il punto a potenziale 0, durante la salita la sua
energia potenziale aumenter`
a fino a quando arriva al punto pi`
u alto e in questo caso vale
Uf = mgh = 90 × 9, 8 × 100 J = 8, 82 × 104 J. Quando scende, non importa l’inclinazione
del percorso ma soltanto la differenza di quota tra punto di partenza e punto di arrivo,
la sua energia potenziale diminuisce delle stesso valore del quale era aumentata durante
la salita: 8, 82 × 104 J. Quindi nell’intero percorso la variazione di energia potenziale
`e 8, 82 × 104 − 8, 82 × 104 J = 0 J, risultato che si poteva dedurre immediatamente in
quanto la variazione di energia potenziale gravitazionale quando il punto iniziale e quello
finale coincidono `e sempre nulla.
19. Quale lavoro si deve compiere per fermare una vettura di massa 2000 Kg che si muove
alla velocit`
a di 108 Km/h?
Soluzione
Come prima cosa, riportiamo la velocit`a in m/s, quindi 108 Km/h = 30 m/s. Per il
teorema delle forze vive, il lavoro compiuto su un oggetto per fargli variare la velocit`a
`e pari alla variazione di energia cinetica. In questo caso, poich´e l’energia cinetica finale
1
`e 0 (dobbiamo arrestare la macchina), il lavoro compiuto `e uguale a L = mv 2 =
2
1
2
5
× 2000 × 30 J = 9 × 10 J.
2
20. Se K `e l’energia cinetica di un corpo che si muove. Quanto vale il lavoro che dobbiamo
fare affinch´e la sua velocit`
a si dimezzi?
Soluzione
Anche in questo caso possiamo utilizzare il teorema delle forze vive che stabilisce, come
pi`
u volte ricordato, che L = ∆K. Sar`
a sufficiente calcolare l’energia cinetica iniziale e
1
2
finale del corpo. Ki = mv . Quella finale, volendo dimezzare la velocit`a, vale Kf =
2
1 v2
1
1
1
3
2
m = mv . Quindi L = mv 2 − mv 2 = − mv 2 .
2 4
8
8
2
8
8
Termologia
50
8 Termologia
8.1 Termologia
La materia pu`
o presentarsi sotto tre aspetti diversi che vengono chiamati stati di aggregazione. Essi sono: lo stato solido, lo stato liquido e lo stato aeriforme. Tutte le sostanze
sono costituite da particelle: quasi sempre si tratta di molecole, ma, nel caso di elementi
semplici, si tratta di atomi. Queste particelle sono tenute assieme da forze molecolari conservative di tipo elettrico che variano con la distanza tra i centri delle molecole. Lo stato
solido `e caratterizzato da volume e forma definiti; le particelle, tenute insieme da forze molto
intense, occupano posizioni ben definite, attorno alle quali possono compiere oscillazioni pi`
u
o meno accentuate, a seconda della temperatura del solido. Una sostanza allo stato liquido,
invece, ha un volume definito, ma la sua forma `e variabile: assume la forma del recipiente
che la contiene; le particelle sono tenute insieme da forze meno intense, per cui sono pi`
u
libere di muoversi e “scivolano” una sull’altra. Una sostanza allo stato aeriforme ha sia il
volume che la forma variabili; le particelle sono quasi completamente libere di muoversi e le
reciproche forze attrattive sono trascurabili. Per quanto riguarda quest’ultimo stato, dobbiamo introdurre una differenziazione tra gas e vapori: i primi non possono essere liquefatti
tramite semplice compressione a differenza dei secondi. Con la parola “fluido” si intende
indifferentemente una sostanza allo stato liquido o aeriforme. Lo stato di aggregazione di
una sostanza dipende da due fattori: la temperatura e la pressione. Consideriamo ad esempio una sostanza solida che si trovi a pressione costante, per esempio alla pressione di una
atmosfera, che si registra abitualmente al livello del mare. Se aumentiamo la temperatura,
aumenta lo stato di agitazione delle particelle e, ad un certo punto, si rompono i legami che
le tengono insieme, per cui la sostanza passa allo stato liquido. Se continuiamo a riscaldare,
l’agitazione delle particelle del liquido diventa tale che vengono vinte anche le deboli forze
che ancora le tengono insieme, per cui la sostanza passa allo stato aeriforme. Per esempio,
l’acqua solida (ghiaccio) diventa liquida a 0 gradi centigradi e vapore acqueo a 100 gradi
centigradi, sempre alla pressione di una atmosfera. Il processo contrario avviene se raffreddiamo una sostanza, per esempio un aeriforme, sempre a pressione costante: rallenta il moto
disordinato delle particelle; queste si avvicinano tra loro finch`e le reciproche forze attrattive
cominciano a tenerle insieme dando origine al liquido. Se si continua nel raffreddamento, le
particelle rimangono poi “impacchettate”, formando un solido. Lo stesso accade se, stavolta
a temperatura costante, si aumenta la pressione di un aeriforme, in quanto le particelle vengono costrette a stare sempre pi`
u vicine, man mano che si aumenta la pressione. Si noti per`o
che, per gli aeriformi, esiste una “temperatura critica”, al di sopra della quale un gas non
pu`
o diventare liquido, neanche se sottoposto a pressioni elevatissime. Il contrario avviene se
si diminuisce la pressione, a temperatura costante. A ci`o `e dovuto il fatto che, in montagna,
dove la pressione atmosferica `e pi`
u bassa, l’acqua bolle prima, a temperatura pi`
u bassa. Le
trasformazioni da uno stato di aggregazione ad un altro si chiamano “passaggi di stato”.
Essi hanno un nome ben definito:
•
•
•
•
•
•
Fusione: passaggio dallo stato solido a quello liquido.
Evaporazione: passaggio dallo stato liquido a quello aeriforme.
Condensazione: passaggio dallo stato aeriforme a quello liquido.
Solidificazione: passaggio dallo stato liquido a quello solido.
Sublimazione: passaggio diretto dallo stato solido a quello aeriforme.
Brinamento: passaggio diretto dallo stato aeriforme a quello solido.
Si noti che l’evaporazione di un liquido avviene, in minima parte, a qualsiasi temperatura,
in quanto, in superficie, vi `e sempre qualche particella che ha energia sufficiente per poter
sfuggire all’attrazione delle altre particelle. Diversa cosa `e invece il fenomeno dell’ebollizione
che interessa tutto il volume del liquido. Durante tutta l’ebollizione, la temperatura del
liquido resta costante, in quanto il calore fornito va ad indebolire i legami fra le particelle.
Dopo un ragionevole tempo, tutto il liquido sar`a passato allo stato aeriforme.
8.2 Temperatura
51
8.2 Temperatura
La temperatura `e una grandezza fisica che rende oggettiva la sensazione di caldo oppure di
freddo che si prova toccando i corpi; una qualunque propriet`a che vari in dipendenza del
suo stato termico pu`
o essere scelta come grandezza termometrica ed utilizzarla per definire
e misurare la temperatura. Il principio zero afferma che:
Principio zero della termodinamica Due corpi in equilibrio termico con un terzo, sono
in equilibrio termico tra loro. In altre parole vige la propriet`a transitiva: se (A `e in equilibrio
con B) e (B `e in equilibrio con C) si ha anche che (A `e in equilibrio con C)
Un corpo a contatto con altri corpi si dice che `e in equilibrio termico con essi se n´e
si riscalda e n´e si raffredda (l’interazione si suppone avvenga solo tra i corpi e non con
l’ambiente). La propriet`
a condivisa con i corpi a contatto viene detta temperatura. La temperatura rappresenta perci`
o la misura del livello termico comune dei corpi a contatto. Per
rivelare la situazione di equilibrio uno dei tre corpi pu`o essere un termoscopio. Per definire
la temperatura occorre dotare il termoscopio di una scala. Si ottiene cos`ı un termometro.
Apriamo una piccola parentesi matematica. Se consideriamo la relazione binaria tra due
corpi: x ∼ y (si legga x `e in relazione con y) se e solo se x `e in equilibrio termico con y, si
nota che questa, oltre ad essere transitiva (vedi principio zero), `e chiaramente anche riflessiva
(ogni corpo `e in equilibrio termico con se stesso) e simmetrica (se un corpo x `e in equilibrio
termico con y allora y `e in equilibrio termico con x). Quindi `e una relazione di equivalenza.
Come tutte le relazioni di equivalenza definite su un insieme, queste partizionano l’insieme
in tanti insiemi disgiunti, chiamati classi di equivalenza: la temperatura rappresenta lo stato
di equilibrio termico che accomuna tutti gli oggetti di una singola classe.
8.2.1 Definizione operativa della temperatura
La temperatura `e quella propriet`
a di un sistema che si misura con un termometro. La
definizione completa di temperatura richiede una descrizione dettagliata di come `e fatto un
termometro e la sua scala.
La definizione operativa di temperatura si basa sull’uso di una propriet`a di una sostanza
sensibile alla temperatura e sulla definizione dell’unit`a di temperatura. Tra le propriet`a
legate alla temperatura, dal punto di vista pratico, si ricorre spesso a propriet`a termoelastiche e a propriet`
a elettriche della materia. Sono molto diffusi i termometri che si basano
sulla dilatazione termica dei materiali (si pensi al vecchio termometro a mercurio). L’unit`a
di misura viene stabilita assegnando un insieme appropriato di riferimenti numerici che costituiscono la scala della temperatura. Si definiscono cos le scale empiriche e la scala assoluta
della temperatura. Una scala empirica `e quella Centesimale.
Il termometro, come dice il suo nome, `e un misuratore di temperatuta (termo=temperatura,
metro=misura). Esso sfrutta il principio che all’aumentare del’energia termica praticamente
tutti i corpi (in maniera differente in base alla sostanza di cui sono composti) si dilatano; di
conseguenza `e possibile usare la dilatazione di un corpo come indicatore della sua temperatura. Il materiale usato all’interno del termometro ha il nome di sostanza termometrica: nei
termometri da laboratorio esso spesso `e mercurio o alcool.
La misura della temperatura dipende dalla scala termometrica usata. Sono state introdotte, nel corso degli anni, diverse scale di temperatura: le pi`
u importanti sono quella
centigrada (usata attualmente da tutte le nazioni), la scala Fahrenheit, la scala Kelvin (usata
per applicazini scientifiche).
Qualunque sia la scala di temperatura, la sua definizione segue sempre la stessa tecnica: si
definiscono due stati termodinamici, chiamati punti fissi termometrici, i pi`
u precisi possibili
e si definisce il valore della temperatura per i due stati. Per definire operativamente il grado
della scala i due stati termodinamici che si utilizzano sono quello del ghiaccio fondente (mistura ghiaccio+acqua) e dell’acqua bollente: le due teperature associate sono 0◦ C e 100◦ C.
Segue da questa considerazione che le diverse scale termometriche differiscono fra loro a
seconda dei due stati termodinamici scelti e dei valori di temperatura adottati.
52
•
•
•
8 Termologia
Scala Celsius.
La scala Celsius `e cos chiamata dal nome dell’astronomo svedese Anders Celsius (1701 −
1744), che la propose per la prima volta nel 1742. Essa fissa il punto di congelamento
dell’acqua a 0◦ C e il punto di ebollizione a 100◦ C. In origine invece la scala ideata
da Celsius prevedeva che il punto di ebollizione dell’acqua fosse a 0◦ C e il punto di
congelamento a 100◦ C; solo dopo la sua morte, la scala fu invertita e modificata (su
suggerimento di Linneo e di Ekstr¨
om, uno dei pi`
u importanti produttori di termometri)
in quella che si utilizza ancora oggi nella maggior parte dei paesi.
Il termine centigrado o centesimale deriva proprio dal fatto che ci sono cento divisioni
tra questi due punti di riferimento.
Scala Kelvin
La scala kelvin si chiama cos`ı dal nome dal fisico ed ingegnere irlandese William Thomson, nominato barone con il nome di Lord Kelvin, che la introdusse nel 1868, partendo
dalla considerazione termodinamica che esiste una temperatura minima assoluta, lo zero
assoluto. La scala kelvin prende come punti termometrici lo zero assoluto, a cui d`a il zalore 0K, e il punto di congelamento dell’acqua a cui associa la temperatura di 273, 15K.
Il valore 273, 15K `e stato introdotto affinch la distanza in gradi fra lo zero assoluto ed
il punto di congelamento dell’acqua sia la stessa se espressa in kelvin o in celsius: con
questa accortezza il grado kelvin ed il grado Celsuius risultano avere la stessa ampiezza.
Il grado kelvin `e stato preso come unit`
a di misura di riferimento per la temperatura nel
S.I.
Scala Fahrenheit:
La scala Fahrenheit `e una scala di temperatura cos`ı chiamata in onore del fisico tedesco
Gabriel Fahrenheit, che la ide`
o nel 1724. Si usa ancora negli Stati Uniti d’America, in
Giamaica e in Belize. Fahrenheit decise che il punto zero della sua scala (0◦ F ) doveva
essere la temperatura alla quale un’ugual mistura di acqua, ghiaccio e sale si scioglie
(questa era la temperaura pi`
u bassa raggiungibile in laboratorio a quei tempi). Con questo
espediente ogni altra temperatura misurabile sarebbe sempre stata maggiore di zero.
Ancora pi`
u bizzarro `e quello che escogit`o per fissare una seconda misura di riferimento:
egli fiss`
o infatti il punto di 96◦ F alla temperatura del sangue, usando in un primo tempo
del sangue di cavallo (Fahrenheit era veterinario). Inizialmente la sua scala aveva solo
12 suddivisioni, ma in seguito divise ognuna di queste in 8, dando cos`ı un totale di 96
suddivisioni. Osserv`
o successivamente che l’acqua congelava a circa 32◦ F e bolliva a
◦
circa 212 F . Potete ben capire che una scala cos`ı definita non `e molto rigorosa (per tanti
motivi!). Per questo la scala Fahrenheit `e stata ridefinita in modo pi`
u preciso, associando
al punto di congelamento ed al punto di ebollizione dell’acqua rispettivamente 32 gradi
e 212 gradi Fahrenheit esatti, suddividendo cos`ı i due estremi in 180 gradi. L’unit`a di
questa scala, il grado fahrenheit (◦ F ) `e 5/9 di un grado celsius.
Per convertire i valori da fahrenheit a celsius e viceversa, detti c e f i valori della stessa
temperatura espressi nella scala centigrada e in quella fahrenheit, si pu`o utilizzare le seguente
proporzione:
(f − 32)◦ F
c◦ C
=
100
180
c×9
(f − 32) × 5
da cui si ricava: f =
+ 32; c =
.
5
9
Per passare alla temperatura assoluta da quella celsius `e sufficiente aggiungere 273, 15:
T = t + 273, 15.
8.3 Dilatazione termica
Tutti i corpi, sottoposti a una variazione di temperatura, subiscono deformazioni; infatti
qualsiasi aumento di temperatura di un corpo materiale `e accompagnato da un aumento della
8.3 Dilatazione termica
53
velocit`
a di vibrazione delle sue molecole e conseguentemente da un numero maggiore di urti
che queste subiscono. Questi fenomeni di dilatazione fanno s`ı che aumenti la distanza media
tra le molecole e quindi che ci sia un aumento del volume. Se la temperatura diminuisce,
anche il volume del corpo diminuisce. L’entit`a della deformazione si calcola confrontando le
dimensioni spaziali del corpo prima e dopo la variazione della temperatura; in moltissimi
casi una o due dimensioni prevalgono in modo evidente sulle rimanenti tanto da rendere
trascurabili gli effetti delle deformazioni rispetto a queste ultime.
Si consideri il caso di una barra di metallo (o di una colonnina di liquido) di qualche metro
di lunghezza e sezione dell’ordine di pochi cm, sottoposta ad una variazione di temperatura:
si parla di dilatazione termica lineare, dato che l’effetto prodotto `e apprezzabile soltanto
nella direzione della lunghezza della barra, mentre pu`o essere trascurato nelle altre due
dimensioni. Effettuiamo un’analisi quantitativa considerando un filo o una sottile sbarra
metallica di lunghezza iniziale l0 alla temperatura di riferimento di 0◦ C. Se la temperatura
viene portata al valore di t◦ C ( con t > 0), il filo o la sbarra subiscono un allungamento ∆l
il cui valore `e direttamente proporzionale alla lunghezza l0 e all’aumento della temperatura:
∆l = λl0 t
dove λ rappresenta una costante di proporzionalit`a detta coefficiente di dilatazione
lineare, che dipende unicamente dalle propriet`a fisiche della sostanza di cui `e fatto il filo o
la barra. Quantitativamente si dice che λ esprime la variazione di lunghezza subita da una
barra di un metro in seguito ad una variazione di temperatura di un grado centigrado. La
lunghezza finale l del solido sar`
a data da:
l = l0 + ∆l = lo + λl0 t,
cio`e
l = l0 (1 + λt).
Questa relazione esprime la legge della dilatazione lineare e ci dice che la lunghezza
aumenta linearmente con la variazione di temperatura.
Analogamente per una lamina sottile solida possiamo parlare di dilatazione termica
superficiale (in quanto l’aumento di misura interessa due dimensioni, la larghezza e
l’altezza, mentre `e trascurabile l’aumento dello spessore). Nel caso di dilatazione superficiale si consideri una lamina rettangolare di dimensioni iniziali a0 e b0 e superficie S0 alla
temperatura di 0◦ C. In seguito della variazione t della temperatura le lunghezze dei lati
diventano rispettivamente:
a = a0 (1 + λt) b = b0 (1 + λt)
e conseguentemente la superficie finale sar`a:
S = ab = a0 b0 (1 + λt)2 = S0 (1 + 2λt + λ2 t2 ).
In questa espressione il termine contenente λ2 pu`o essere trascurato perch λ << 1 quindi
:
S = So(1 + 2λt),
da cui si vede che il coefficiente di dilatazione superficiale `e circa uguale al doppio coefficiente
di dilatazione lineare.
Per un corpo avente le tre dimensioni dello stesso ordine di grandezza si parla di dilatazione termica cubica (o volumica). Si consideri un parallelepipedo di dimensioni
iniziali a0 , b0 , c0 e volume V0 . Se t rappresenta l’incremento di temperatura rispetto al
valore iniziale di 0◦ C, le lunghezze degli spigoli diventano:
a = a0 (1 + λt)b = b0 (1 + λt)c = c0 (1 + λt)
e pertanto il volume risulter`
a:
54
8 Termologia
V = abc = a0 b0 c0 (1 + λt)3 = V o(1 + 3λt + 3λ2 t2 + λ3 t3 ).
I termini contenenti λ2 e λ3 si possono trascurare per considerazioni analoghe alle precedenti e quindi il volume finale diventa:
V = V0 (1 + 3λt).
Pertanto il coefficiente di dilatazione cubica `e circa uguale al triplo del coefficiente di dilatazione lineare. Si noti che nelle relazioni che esprimono le dilatazioni lineare, superficiale
e cubica sarebbe pi`
u corretto scrivere ∆t invece di t, poich´e la causa della dilatazione `e una
variazione di temperatura; in questo caso compare t perch´e `e stata scelta come temperatura
di riferimento quella di 0◦ C, per cui ∆t = t − 0 = t. Se la temperatura di riferimento non
`e 0◦ C, il procedimento rigoroso implicherebbe il calcolo delle varie lunghezze riferite a tale
temperatura; nella pratica, poich´e l’errore che si commette `e trascurabile, si preferisce usare
le formule prima dedotte nella forma:
l = lo(1 + λ∆t) S = So(1 + 2λ∆t) V = V o(1 + 3λ∆t)
qualunque sia la temperatura iniziale di riferimento. La relazione ottenuta per la dilatazione
cubica vale anche nel caso dei liquidi, purch´e si tenga conto del fatto che anche il recipiente
in cui `e contenuto il liquido subisce una dilatazione. Nelle tabelle seguenti sono riportati i
coefficienti di dilatazione per alcuni materiali solidi e liquidi. Si pu`o notare, confrontando i
coefficienti λ (vedere, ad esempio tabella:
http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_di_dilatazione_termica,)
che la dilatazione termica `e molto pi`
u accentuata nei liquidi che nei solidi.
8.3.1 Effetti della dilatazione termica nella vita quotidiana
La dilatazione termica dei materiali crea seri inconvenienti in molte applicazioni tecnologiche.
Per esempio, la precisione di un orologio meccanico `e limitata proprio dal fatto che le dimensioni delle sue parti mobili variano leggermente al variare della temperatura. Per ridurre
questi inconvenienti, nella costruzione di strumenti di precisione si utilizzano leghe particolari, i cui coefficienti di dilatazione termica sono piccolissimi. Inoltre nella progettazione
di macchinari, edifici, ponti occorre lasciare adeguati spazi liberi tra i diversi componenti,
affinch´e i materiali (soprattutto i metalli) possano dilatarsi, senza deformare la struttura.
Al fenomeno della dilatazione termica `e dovuto anche il fatto che gli oggetti di vetro si
rompono, se vengono riscaldati in modo non uniforme. Se, per esempio si mette un bicchiere
sulla fiamma del gas, il suo fondo si riscalda, e quindi si dilata, pi`
u della parte superiore, ed
il vetro si rompe; ma se, invece, si riscalda il bicchiere gradualmente ed in modo uniforme,
in un bagno di acqua, esso non si rompe perch´e tutte le sue parti si dilatano ugualmente. I
vetri speciali, come il pyrex, usati per le pentole resistenti al fuoco, sono caratterizzati da
coefficienti di dilatazione termica minori di quello del vetro comune.
Per altri esempi di dilatazione termica e fenomeni tratti dal quotidiano ad essi correlati,
potete consultare la parte degli esercizi di questo capitolo.
8.4 Calorimetria
La calorimetria `e quella parte della fisica che si occupa dei trasferimenti di energia, a livello
molecolare, da un corpo a un altro. Siamo soliti affermare che un corpo `e pi`
u caldo di un altro
se la sua temperatura `e maggiore. I due corpi, che sono in contatto, si trovano inizialmente
a temperature diverse e lo scambio energetico avviene fino a quando essi arrivino ad avere
la stessa temperatura.
8.5 La legge fondamentale della termologia
55
8.4.1 Quantit`
a di calore
Calore e la temperatura sono grandezze fisiche tra loro strettamente legate: se infatti forniamo calore ad un corpo, osserveremo un corrispondente aumento della temperatura. Sperimentalmente si trova la relazione che c’`e tra l’incremento di temperatura ∆T e la quantit`a
di calore Q che determina tale incremento.
Si pu`
o prendere per esempio un riscaldatore elettrico come quelli utilizzati per il latte dei
neonati, capace di fornire una quantit`
a di calore nota nell’unit`a di tempo e, immergerlo in acqua o in un qualunque altro liquido; a questo punto misuriamo la variazione di temperatura.
Ripetere l’esperimento con diverse quantit`a di acqua si osserva che:
1. la quantit`
a di calore fornita per innalzare la temperatura di una quantit`a ∆T `e direttamente proporzionale alla massa m dell’acqua;
2. a parit`
a di massa m, la quantit`
a di calore Q `e direttamente proporzionale a ∆T ;
3. a parit`
a di massa m e di ∆T , la quantit`a di calore Q `e diversa da sostanza a sostanza.
La relazione che intercorre fra le due grandezze pu`o essere quindi scritta nel seguente
modo:
Q = cm∆T
dove c `e una costante di proporzionalit`a caratteristica di ogni sostanza e viene indicata
con il termine di calore specifico.
Il calore specifico di una sostanza rappresenta la quantit`a di calore che la massa di 1 kg di tale
sostanza deve scambiare perch´e la sua temperatura vari di un 1◦ C (o di 1 K). Abitualmente
Q si misura in Joule, m in kg e ∆T in ◦ C.
Un’altra unit`
a di misura per Q `e la caloria (cal).
La caloria rappresenta la quantit`
a di calore che deve essere fornita ad un 1 kg di acqua
distillata per elevare la sua temperatura da 14, 5◦ C a 15, 5◦ C; questa unit`a di misura `e
utilizzata soprattutto in ambito alimentare. La quantit`a di calore nel sistema internazionale
`e il Joule. Per passare dalle calorie ai joule e viceversa e relazioni sono le seguenti:
1 cal = 4, 186 J o anche 1 kcal = 4186J; 1 J = 1/4, 186 cal ' 0, 24 cal
Esiste, inoltre, un’altra grandezza, chiamata capacit`
a termica (indicata con C).
Essa `e definita come il rapporto fra la quantit`a di calore Q che il corpo assorbe e il corrispondente aumento di temperatura ∆T :
Q
.
∆T
Alcune volte, la legge sopra riportata viene scritta come
C=
C=
∆E
,
∆T
dove ∆E rappresenta la quantit`
a di energia ceduta o acquistata dal corpo. La capacit termica
`e proporzionale alla quantit`
a di materia:. In formule
C = mc,
dove m `e la massa del corpo e c il suo calore specifico.
8.5 La legge fondamentale della termologia
Una delle relazione pi`
u importanti della termologia mette in relazione la variazione di energia
del corpo con la sua variazione di temperatura, la sua massa e il suo calore specifico. A questa
relazione si d`
a comunemente il nome di
Legge fondamentale della termologia
56
8 Termologia
Q = ∆E = c × m × ∆T.
L’energia risulta quindi proporzionale alla massa della sostanza e alla variazione di temperatura.
Questa legge presenta per`
o delle limitazioni. La legge che mette in relazione l’energia alla
variazione di temperatura vale solo se nell’intervallo di temperatura ∆T il calore specifico
della sostanza rimane costante (cosa che succede quando si prendono intervalli di temperatura non troppo ampi).
La legge non vale per i gas: in questo caso bisogna infatti distinguere tra calore specifico a
pressione costante e calore specifico a volume costante.
La legge fondamentale non vale quando la sostanza sta effettuando un cambiamento di stato.
8.6 La propagazione del calore
La propagazione del calore, in fisica, `e il processo attraverso il quale due corpi, a temperature
differenti, si scambiano energia sotto forma di calore, raggiungendo l’equilibrio termico. Il
calore si propaga per convezione, conduzione o irraggiamento. Sebbene questi tre processi
possano avvenire contemporaneamente, non `e infrequente che uno di essi prevalga rispetto
agli altri due. Ad esempio, il calore si propaga prevalentemente per conduzione attraverso il
muro di una casa, mentre l’acqua di un recipiente posto su un fornello si scalda quasi esclusivamente per convezione e la superficie terrestre riceve l’energia del Sole per irraggiamento.
Schematizzando le tre diverse tipologie possiamo dire quanto segue.
•
•
•
La conduzione avviene per contatto tra corpi solidi, ed `e responsabile del fenomeno per
cui il calore trasmesso dal fuoco alla punta di un attizzatoio giunge fino al manico.
La convezione riguarda la diffusione del calore nei fluidi e avviene con trasporto di materia: `e per convezione che l’acqua di un bollitore si riscalda uniformemente, pur essendo
solo inferiormente a contatto con il fornello.
L’irraggiamento infine consiste nella propagazione senza contatto di energia termica sotto
forma di onde elettromagnetiche: grazie all’irraggiamento il tepore della fiamma di un
camino si diffonde in tutto l’ambiente.
8.6.1 Trasmissione di energia mediante calore
Mettendo a contatto un corpo freddo con un corpo caldo, dopo un po’ di tempo essi raggiungono una temperatura comune, intermedia tra le loro temperature iniziali. Durante questo
processo c’`e un passaggio di calore dal corpo pi`
u caldo a quello pi`
u freddo. Sappiamo che la
temperatura `e una misura dellenergia cinetica media delle molecole. Quando i due corpi sono
a contatto, sulla superficie che li separa si scontrano le molecole veloci del corpo caldo con
quelle lente del corpo freddo. Per effetto degli urti le prime rallentano e le seconde acquistano
velocit`
a. Con il passare del tempo questo processo si estende anche allinterno dei due corpi
fino a che i due diversi tipi di molecole hanno in media la stessa energia cinetica. Alla fine le
molecole del corpo freddo hanno pi`
u energia cinetica di quanto ne avevano allinizio, mentre
quelle del corpo caldo ne hanno meno. Nel complesso c’`e stato un passaggio di energia dal
corpo caldo a quello freddo. Il calore `e quindi un trasferimento di energia tra due corpi che
si trovano inizialmente a temperature diverse.
Se vogliamo dare una formulazione matematica di questo processo, supponiamo un sistema
completamente isolato nel quale non ci siano dispersioni di calore. Supponiamo inoltre di
avere due sostante A e B, rispettivamente di massa ma e mb , di calore specifico ca e cb e
temperature iniziali Ta e Tb . Vale l’uguaglianza:
calore acquistato = - calore ceduto,
che, supponendo Tb > Ta , si traduce in
ma × ca × (Te − Ta ) = −mb × cb × (Te − Tb ),
8.6 La propagazione del calore
57
dove con Te `e la temperatura di equilibrio. Questa formula `e anche nota come formula
dell’equilibrio termico.
8.6.2 La conduzione
L’unica modalit`
a di propagazione del calore nei solidi `e la conduzione. Se si tiene un’estremit`a
della barra ad alte temperature e l’altra estremit`a a temperatura pi`
u bassa lungo la barra
viene trasmesso continuamente calore dall’estremit`a calda a quella fredda. Nello stato
stazionario, la temperatura varia uniformemente (se la barra `e uniforme) dall’estremit`a
ad alta temperatura a quella a bassa temperatura. Il calore fornito fa aumentare l’energia
cinetica delle molecole del metallo che sono a suo immediato contatto. Esse vibrano con maggiore ampiezza intorno alla posizione di equilibrio nel reticolo cristallino e urtano le molecole
vicine cedendo una parte dellenergia cinetica. A loro volta queste molecole ne urtano altre
vicine, consentendo cos`ı la propagazione del calore per conduzione lungo tutta la sbarretta.
Poich´e le molecole non abbandonano la posizione che occupano nel reticolo cristallino non
si ha spostamento di materia, ma soltanto di energia. Il calore si trasferisce rapidamente
all’estremo pi`
u freddo e al termine del processo la temperatura della barra, in equilibrio
termico, `e uniforme. La legge della conduzione dipende dal materiale di cui `e costituita la
barra. Quanto pi`
u il suo valore `e alto, tanto pi`
u rapidamente fluisce il calore.
In formule scriveremo:
S × ∆T × ∆t
,
d
dove Q (o ∆E) `e la quantit`
a di calore che si propaga nel tempo ∆t in una parete
piana di spessore d e superficie S. Il coefficiente K `e chiamato coefficiente di conducibilit`a
termica della sostanza e dipende dalla natura della sostanza. Le sostanze che hanno una
elevata conducibilit`
a sono buoni conduttori di calore, come, ad esempio l’oro, l’argento, il
rame e i metalli in genere. Le sostanze per cui il coefficiente `e basso, come ad esempio
il vetro, l’amianto,il legno, il polistirolo e il ghiaccio, sono definite isolanti termici. Per i
gas `e pressoch´e trascurabile. Laria, per esempio, ha un coefficiente di conducibilit`a termica
che `e quasi 20000 volte minore di quello dell’argento e del rame. La quantit`a di calore
che attraversa una parete ha molta importanza pratica. Infatti, attraverso muri di una
casa c’`e passaggio di calore dall’interno all’esterno durante linverno e destate. Per limitare
questo passaggio o si costruiscono pareti molto spesse oppure si usano materiali che hanno
coefficienti di conducibilit`
a termica bassi.
Q = ∆E = K ×
8.6.3 Irraggiamento
Si consideri un corpo caldo collocato in un ambiente in cui `e stato fatto il vuoto (assenza
di materia) le cui pareti si trovino ad una temperatura uniforme ed inferiore a quella del
corpo; dopo un po’ di tempo si potr`
a constatare che il corpo si `e raffreddato ed ha raggiunto
l’equilibrio termico con le pareti. Data l’assenza di materia nello spazio tra il corpo considerato e le pareti lo scambio termico non `e avvenuto n´e per conduzione n´e per convezione, ma
attraverso un altro meccanismo di trasmissione del calore che viene definito irraggiamento.
Spesso nelle applicazioni pratiche i tre meccanismi di trasmissione dell’energia termica hanno
luogo contemporaneamente con diversa intensit`a; nel vuoto, invece, la trasmissione del calore
pu`
o avvenire solo per irraggiamento.
8.6.4 Il corpo nero
Per meglio comprendere il comportamento dei corpi rispetto allo scambio termico per radiazione, si `e ricorsi all’elaborazione di un modello, ovvero alla definizione di un corpo ideale
che viene denominato corpo nero e che possiede le seguenti propriet`a:
a) assorbe tutta la radiazione incidente a qualsiasi lunghezza d’onda;
58
8 Termologia
b) fissate temperatura e lunghezza d’onda, emette pi energia di qualsiasi altro corpo;
c) emette in modo uniforme in ogni direzione.
Una cavit`
a di forma irregolare dotata di un’apertura verso l’esterno di dimensioni medie
molto piccole rispetto al diametro medio della cavit`a stessa costituisce una buona approssimazione del corpo nero. Tutta la radiazione incidente sull’apertura viene ripetutamente
riflessa (ed assorbita) allinterno della cavit`a senza che nessuna frazione di essa riesca a
fuoriuscire.
8.7 I gas perfetti
Un gas `e una sostanza che in natura `e costituita da un gran numero di molecole in moto
casuale; queste si muovono in tutte le direzionie con varie velocit`a urtando continuamente
contro le pareti del recipiente che lo contiene o con altre molecole. Si definisce un gas perfetto,
un gas che ha le seguenti caratteristiche:
•
•
•
•
•
•
ogni massa gassosa `e costituita da un numero enorme di particelle indistinguibili e identiche per una stessa specie chimica;
le particelle del gas si considerano sferette rigide indeformabili, rappresentabili come
oggetti puntiformi, di dimensioni trascurabili del recipiente che le contiene;
le particelle si trovano in un moto continuo e caotico, con la conseguenza che tutte le
direzioni del moto sono ugualmente probabili;
nell’intervallo di temperatura e di pressione in cui vale l’ipotesi di gas perfetti, le forze
di interazione tra le molecole si considerano praticamente nulle e quindi il moto delle
molecole tra un urto e l’altro `e rettilineo ed uniforme;
gli urti delle particelle contro le pareti del recipiente sono elastici, per cui l’energia cinetica
si conserva;
l’effetto della gravit`
a `e trascurabile.
Lo studio dei gas perfetti (che semplifica notevolmente il comportamento di una sostanza
gassoso) ci aiuta a capire con buona approssimazione quello che `e il comportamento dei gas
reali. I gas reali infatti si possono considerare con buona approssimazione gas perfetti solo
quando sono rarefatti (poco densi) e lontani dalla temperatura di liquefazione.
8.8 La legge di Avogadro
Una legge importante alla quale obbediscono i gas perfetti `e la seguente:
Legge di Avogadro
Volumi uguali di tutti i gas alla stessa temperatura e alla stessa pressione contengono un
egual numero di molecole.
Questo significa che masse uguali di gas diversi, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, sono proporzionali ai rispettivi pesi molecolari; in altri termini, per ogni sostanza,
in una massa pari al peso molecolare `e contenuto sempre lo stesso numero di molecole.
Si definisce mole di una sostanza la quantit`a che contiene lo stesso numero di molecole che
sono contenute in 12 grammi di carbonio 12. Si definisce grammo-molecola, la massa di
una mole di sostanza: per definizione essa equivale ad un numero di grammi pari al peso
molecolare della sostanza. In base alla legge di Avogadro una mole di ogni sostanza contiene
lo stesso numero di molecole. Tale numero `e detto Numero di Avogadro e vale:
N0 = 6, 02 × 1023 molecole/mole
.
8.9 Gas reali: equazioni di Van der Waals
59
8.9 Gas reali: equazioni di Van der Waals
Un gas reale `e caratterizzato da particelle con un volume definito; se si vuole perci`o applicare
la legge dei gas a gas reali `e necessario introdurre delle correzioni.
L’equazione caratteristica dei gas perfetti non `e pi`
u valida poich´e dobbiamo tener conto delle
correzioni dovute al volume proprio delle molecole e alla pressione interna, dovuta alle forze
intermolecolari. Si ottiene l’equazione di Van der Waals, valida per i gas reali:
2 n
p+a
(V − nb) = nRT
V2
I valori dei coefficienti a (N m4 mole−2 ) e b (m3 mole−1 ) dipendono dal tipo di gas e si
determinano sperimentalmente. Per a = b = 0 lequazione di Van del Waals coincide con
quella dei gas perfetti:
p × v = n × R × T.
Il modello dei gas reali tiene conto che, se si raffredda un gas reale a una temperatura
T sufficientemente bassa, esso condensa (il gas ideale no), diventando liquido o solido; a
T = 0 K il solido avr`
a un volume b: perci`
o il volume totale a disposizione del gas non `e V ,
ma (V − b) in cui b `e il volume molare del gas a 0 K. Inoltre, nel gas reale, il moto delle
particelle non `e uniforme: esistono attrazioni e repulsioni, soprattutto quando le particelle
sono vicine (prima e dopo un urto). Ci`
o porta a una diminuzione della pressione p rispetto
all’ideale: pideale = p + (a/V 2 ), in cui il termine a/V 2 `e chiamato pressione interna, o di
coesione ed `e un fattore legato alle forze di interazione intermolecolari.
A seconda che predomini l’effetto del volume o quello delle forze di coesione la pressione di
un gas reale sar`
a maggiore o minore di quella del gas ideale. Ad alta temperatura T gli effetti
della coesione sono minori (poich´e predomina l’energia cinetica delle particelle), mentre ad
alta presssione p il volume a disposizione per il moto diminuisce molto (parte di esso `e infatti
occupato dal covolume b delle particelle, che possiamo trascurare solo a bassa pressione). Un
valore che usiamo spesso `e quello del volume molare del gas ideale a 0◦ C e 1 atm. Ponendo
cos`ı n = 1, T = 273; p = 1 atm; R = 0, 082 dm3 atm mol−1 K −1 , allora V = RT /P = 22.4
litri.
9
Esercizi sulla termologia
62
9 Esercizi sulla termologia
9.1 Esercizi
1. Rossella `e andata in vacanza in Belize. Una sera non si sente tanto bene e decide di farsi
prestare dall’albergo dove alloggia un termometro elettronico per misurarsi la febbre.
Quando va a leggere il resoconto rimane un po’ perplessa. C’`e scritto 100! Il portiere
dell’albergo le dice che non `e un risultato assurdo in quanto la scala termometrica usata
in quella nazione `e il grado fahrenheit. Dopodich´e decide di tornare in camera e mettere l’aria condizionata a 20 gradi centigradi. Ovviamente anche il termostato dell’aria
condizionata `e tarato secondo i gradi fahrenheit. Quanta febbre ha Rossella in gradi
centrigradi? E a quanti gradi fahrenheit deve porre il termostato per impostarlo con la
temperatura desiderata?
Soluzione
Per fare tali equivalenze, dobbiamo ricordarci che vale la proporzione: tc : (tf − 32) =
100 : 180, dove con tc abbiamo indicato la temperatura in gradi centrigradi e con tf
quella in gradi fahrenheit. Per passare da gradi fahrenheit a gradi centigradi baster`a
(tf − 32) × 100
(100 − 32) × 100 ◦
fare tc =
=
C = 37, 8◦ C.
180
180
Per ricavare invece la temperatura in gradi fahrenheit conoscendo quella in gradi centritc × 180
20 × 180
gradi baster`
a fare tf = 32 +
= 32 +
= 68◦ F .
100
100
2. Dal Belize Rossella ha portato in dono una bottiglia di vino che va conservata rigorosamente alla temperatura di 60◦ F . Regala questa bottiglia a un gruppo di fisici, che nel
laboratorio hanno solo una specie di frigorifero che pu`o essere impostato soltanto in
grandi Kelvin. A quanti gradi kelvin devono settare l’apparecchio per conservare nel
modo migliore la bottiglia?
Soluzione
Non abbiamo scritto una formula per passare direttamente dai gradi fahrenheit a quelli
kelvin, facciamo una tappa intermedia ai gradi Celsius. Per passare dai fahrenheit ai
(tf − 32) × 100
celsius, come ricordato nell’esercizio precedente, basta fare tc =
=
180
(60 − 32) × 100 ◦
C = 15, 56◦ C. Adesso per passare da celsius a kelvin basta fare il
180
semplice calcolo: T = tc + 273 = 15, 56 + 273 K = 288, 56 K. Poi dicono che la fisica non
serve a nulla!
3. Spulciando nella rete abbiamo trovato che, legate la grado fahrenheit, ci sono alcune
curiosit`
a. Sapreste dire, per esempio, perch´e i congelatori domestici sono normalmente
impostati alla temperatura di −18◦ C e perch Ray Bradbury ha intitolato il suo famoso
romanzo di fantascienza Fahrenheit 451?
Soluzione
La prima risposta `e abbastanza semplice, in quanto −18◦ C corrispondono (fare i conti
come negli esercizi precedenti) a 0◦ F . Per rispondere al secondo quesito (io ho dovuto
sbirciare la soluzione), bisogna tener conto che la carta brucia a 232, 78◦ C, che `e, circa
451◦ F .
4. Nel 1952 uno dei pi`
u importanti e discussi musicisti statunitensi, John Cage, compose un
brano dal titolo 40 3300 , per qualsiasi strumento, che lui, in un’intervista, dichiar`o di avere
scelto just for fun. L’opera consiste nel non suonare nessuno strumento per 4 minuti e
33 secondi. La sostanza esecutiva dell’opera `e un’operazione teatrale pi`
u che musicale.
Avendo posto questo aneddoto tra gli esercizi di termologia e termodinamica, riuscite a
trovare un nesso tra il titolo dell’opera e la materia in questione?
Soluzione
9.1 Esercizi
63
Anche se si rimane pi`
u nella sfera delle congetture che in quella delle certezze, come
spesso succede quando si tenta di dare un’interpretazione a un’opera d’arte, sembra che
il titolo, 40 3300 (che corrisponde anche alla lunghezza del brano) voglia essere un richiamo
alla temperatura dello zero assoluto (−273, 15◦ C), temperatura che indica l’assenza di
movimento delle particelle e quindi di rumore. Infatti 40 3300 sono 27300 .
5. I binari della ferrovia non sono un unico blocco saldato insieme ma presentano ad intervalli pi`
u o meno regolari dei tratti di separazione. Questo per evitare che l’aumento
di temperatura possano deformarsi causando danni ingenti. Supponiamo che la linea
ferroviaria Poggibonsi-Pisa (tratto, supponiamo, di 100 chilometri) sia un unico blocco
d’acciaio (il coefficiente di dilatazione dell’acciaio `e λa = 12 × 10−6 ◦ C −1 ) saldato con
continuit`
a, quale allungamento potrebbero subire i binari quando la temperatura passa
da 0◦ C a 30◦ C?
Soluzione
Dopo aver convertito in metri la lunghezza dei binari, si pu`o calcolare la lunghezza degli
stessi a 30◦ C utilizzando la legge di dilatazione lineare:
l = l0 × (1 + λa × t) = 105 × (1 + 10 × 10−6 × 30) = 100030 m. Quindi l’allungamento
dei binari ∆l = l − l0 = 100030 − 100000 m = 30 m.
6. Perch´e se un astronauta si trovasse senza tuta spaziale ad un’altezza di oltre 100 Km,
dove i gas presenti sono estremamente rarefatti, pur con 1000◦ C morirebbe assiderato?
Soluzione
Sappiamo dalla teoria, che la temperatura di un corpo dipende dallo stato di agitazione
delle molecole che lo compongono e dal fatto che queste molecole, scontrandosi, liberano energia sotto forma di calore. Oltre i 100 Km di altezza i gas dell’atmosfera sono
talmente rarefatti che, pur muovendosi a grande velocit`a, di rado si scontrano, per cui
viene liberato poco calore. Questa misura di temperatura che non produce calore si
chiama temperatura cinetica. I 1000◦ C di questa prte dell’atmosfera (nota col nome di
termosfera) corrispondono dunque al valore che avrebbe la temperatura sulla superficie
terrestre, se le numerose particelle di gas della troposfera si muovessero con la stessa
velocit`
a con cui si muovono nella termosfera.
7. Penka vuole fare gli infissi delle finestre con un certo metallo. Essendo una finestra che
d’estate `e sottoposta a una forte esposizione dei raggi solari, vuole conoscere il coefficiente
di dilatazione di tale metallo. Come potrebbe procedere?
Soluzione
Il metodo che pu`
o usare `e semplice. Misura la lunghezza l0 di tale metallo (che essendo
di importazione bulgara non ne conosce la consistenza) alla temperatura di 0◦ C (per
esempio mettendolo in una bacinella con del ghiaccio fondente). Poi misura nuovamente
la lunghezza l1 dopo averlo portato alla temperatura di 100◦ C (per esempio immergendolo nell’acqua che bolle). Calcola quindi ∆l = l1 − l0 . Il coefficiente di dilatazione di
∆l
, dove nel nostro caso t = 100◦ C. Si vede da
tale materiale risulta dunque λ =
l0 × t
questa scrittura che, dimensionalmente, il coefficiente di dilatazione termica `e ◦ C −1 .
8. Perch´e dopo avere fatto il pieno di benzina, soprattutto d’estate, non `e una buona idea
parcheggiare la macchina al sole?
Soluzione
Appena fatto il pieno, la benzina che mettiamo nel serbatoio `e fredda, in quanto proviene
da una cisterna sotterranea. Quando la macchina viene parcheggiata al sole, la temperatura della benzina e del serbatoio aumenta. Poich´e, essendo liquida, la benzina si dilata
pi`
u del metallo di cui `e fatto il serbatoio dell’auto, c’`e il rischio che trabocchi fuori.
Ad ogni buon conto, con i prezzi della benzina che ci sono oggi, fare il pieno rimane
64
9 Esercizi sulla termologia
soltanto un’ipotesi scientifica ai fini del problema. Quello, insomma, che Einstein chiamava Gedankenexperiment!
9. L’acqua ha un comportamento atipico per quanto riguarda la dilatazione nei primi 4◦ C.
Come varia la sua densit`
a passando da 0◦ C a 10◦ C?
Soluzione
m
La densit`
a `e il rapporto tra massa e volume, cio`e d = . Poich´e tra 0◦ C e 4◦ C il volume
V
dell’acqua diminuisce ma la sua massa resta invariata, allora la densit`a aumenta. Oltre i
4◦ C, come in tutti gli altri liquidi, il volume aumenta all’aumentare della temperatura.
Quindi la sua densit`
a diminuisce.
10. Un giorno nell’aula di informatica (dimensioni 8×7×4 m), alle nove in punto comincia a
mancare l’aria e tutti gli studenti decidono di uscire fuori. La pressione all’interno della
stanza era di 1 atm e la temperatura di 25◦ C. Quante molecole di aria c’erano all’interno
dell’aula?
Soluzione
Per prima cosa possiamo calcolare il volume dell’aula che `e V = 8 × 7 × 4 m3 = 224 m3 .
Trasformiamo la pressione in N/m2 : p = 1 atm = 1, 01 × 105 N/m2 e la temperatura in
gradi kelvin: T = 25 + 273 K = 298 K. Utilizzando l’equazione di stato dei gas, possiamo
1, 01 × 105 × 224
p×V
=
= 5, 5×1027 .
calcolare il numero N di molecole d’aria: N =
k×T
1, 38 × 10−23 × 298
Bhe in effetti era una situazione di panico ingiustificata! Ce ne era ancora di aria da
respirare!
11. La massa di una mole di argon `e di 40 grammi. Quale volume occupano 20 grammi di
questa sostanza alla temperatura di 60◦ C e alla pressione p = 6 atm?
Soluzione
20
= 0, 5 moli. La temperatura
40
espressa in kelvin `e T = 60 + 273 = 333 K e la pressione in N/m2 (o pascal) `e p =
6 × 1, 01 × 105 N/m2 = 6, 06 × 105 N/m2 . Dall’equazione di stato
pV = nRT , possiamo ricavare il volume
Per calcolare il numero n di moli basta fare n =
V =
n×R×T
0, 5 × 8, 31 × 333 3
=
m = 2, 3 × 10−3 m3
p
6, 06 × 105
.
12. Erika ha invitato tutti i compagni di corso a cena. L’invito `e stato fatto per`o poco
tempestivamente e ora Erika si trova a dover cuocere alcuni cibi molto velocemente.
Decide cos`ı di ricorrere alla pentola a pressione. Perch´e tale strumento consente una
cottura molto rapida?
Soluzione
Perch´e avvenendo la cottura a pressione elevata, all’interno della pentola, la temperatura
di ebollizione dell’acqua si alza di alcune decine di gradi (arriva a bollire verso i 120◦ C130◦ C). Se si considera inoltre il fatto che la presenza di parecchio vapore all’interno
della pentola favorisce il trasferimento di calore dalla sorgente alla pietanza, si capisce il
perch´e di una cottura cos`ı veloce, pi`
u rapida dal normale bollore e del forno, dove l’aria
secca riscalda molto pi`
u lentamente i cibi in esso contenuti.
Se a fine cena Erika volesse offrire anche un caff`e con la macchinetta italiana, si avrebbe
un’altra interessante applicazione dello stesso principio, dove l’acqua riesce a filtrare
attraverso la polvere di caff`e a temperature pi`
u elevate di 100◦ C e, in questo modo,
aumenta considerevolmente il potere di estrarre il gusto e l’aroma da tale polvere. Ecco
spiegato il motivo della superiorit`
a del nostro caff`e espresso quando viene confrontato
con quelle brodaglie anglo-americane. Si noti che il termine espresso nasce dalla sincope
di extra e pressione e non dalla relativa velocit`a con il quale esso si riesce a preparare.
9.1 Esercizi
65
13. Dopo una lunga scalata sul monte Bianco, Mirela e Marco (ormai coppia affiata) arrivati
in un rifugio, decidono di prepararsi un piatto di pastasciutta. Se ne occupa Mirela.
Quando la pasta viene servita Marco, da bravo italiano, si lamenta che `e scotta e anni
luce da quella che prepara sua madre. Ci sono gli estremi per un litigio serio oppure si
pu`
o trovare una giustificazione alla cucina di Mirela?
Soluzione
In questo caso, succede esattamente il contrario di quanto mostrato nell’esercizio
precedente. Ovvero quando la pressione diminuisce si abbassa il punto di ebollizione
dell’acqua. Quindi in alta quota l’acqua bolle sotto i 90◦ C. Ecco perch´e la cottura della
pasta, pure se fatta con tutte le accortezze del caso, non risulta diversa dall’avere (ad
altitudini normali) buttato la pasta prima di far bollire l’acqua oppure mettendola direttamente con l’acqua fredda come fanno in alcuni paesi nordeuropei.
14. Perch´e oggetti fatti di materiali differenti che si trovano alla stessa temperatura al tatto
non ci appaiono tali? Pensate a una lastra di ferro a 15◦ C sembra fredda mentre a
40◦ scotta mentre il una tavola di legno, alle stesse temperature, non ci appare troppo
diverso?
Soluzione
Perch´e la sensazione che proviamo, di caldo o di freddo, quando tocchiamo un oggetto
dipende, oltre che dalla sua temperatura dalla sua conducibilit`a termica. Per il principio
zero della termodinamica, se due corpi, uno caldo e uno freddo, sono posti a contatto,
il calore fluir`
a da quello pi`
u caldo a quello pi`
u freddo fino a che non viene raggiunta la
temperatura di equilibrio termico. Allora quando tocchiamo con la mano un oggetto pi`
u
freddo, pi`
u rapidamente quest’ultimo `e in grado di smaltire altrove il calore che riceve,
pi`
u sar`
a necessario fornirgliene dell’altro per raggiungere l’equilibrio. La sensazione di
freddo di freddo dipende proprio da dalla velocit`a con cui il calore viene sottratto alla
nostra mano. Il legno invece `e un buon isolante termico e scambia piccole quantit`a di
calore. Anche una grande conducibilit`
a termica pu`o produrre risultati simili a quelli di
un’elevata conducibilit`
a termica.
15. Perch´e quando tiriamo fuori la scatola dei cubetti di ghiaccio dal congelatore, le dita
spesso ci rimangono appiccicate al contenitore?
Soluzione
Quando prendiamo qualcosa dal congelatore, dai −20◦ C ai −25◦ C, il vapor acqueo presente, in minime quantit`
a, nelle nostre dita si congela rapidamente (vista anche l’esuigua
quantit`
a) provocando quella sensazione di appiccicaticcio.
16. Abbiamo parlato negli esercizi precedenti di temperatura kelvin. Su cosa si basa questa
scala termometrica?
Soluzione
La prima legge di Gay-Lussac
stabilisce
che V0
1
t =
T . Questa relazione evidenzia come il
V = V0 (1 + αt) = V0 1 +
273
273
volume e la temperatura in kelvin di un gas siano direttamente proporzionali. Quindi
alle variazioni di temperatura espressa in kelvin corrispondono variazioni di volume di
un gas.
17. Perch´e nel S.I. viene adottata la scala Kelvin piuttosto che quella Celsius?
Soluzione
Perch´e la scala Celsius fa riferimento a due fenomeni particolari, 0◦ C per il ghiaccio che
fonde e 100◦ C per l’acqua che bolle. Quindi questa scala ha due grossi problemi: si basa
su una sostanza particolare e lo zero `e scelto arbitrariamente.
66
9 Esercizi sulla termologia
La scala Kelvin deriva dalla relazione V = (V0 /273) × T (vedi esercizio precedente) e
riguarda un gruppo pi`
u ampio di sostanze: i gas perfetti. Lo zero di tale scale viene posto
con un limite fisico imposto dalla natura e non a un fenomeno arbitrario: lo zero `e la
pi`
u bassa temperatura raggiungibile teoricamente da qualunque corpo.
Per capire meglio la malattia mentale dell’accuratezza richiesta dalla fisica di oggi, riporto (da wikipedia) come `e stato definito il grado kelvin nel S.I.
Il kelvin definito come 1/273, 16 della temperatura termodinamica del punto triplo
dell’acqua.
Uno potrebbe pensare che questa definizione `e-d’accordo- un po’ complicata ma niente
di troppo sofisticato. Infatti non finisce qui. Bisogna specificare cosa sia la temperatura
termodinamica: per temperatura termodinamica si intende la differenza fra la temperatura indicata (quella del punto triplo dell’acqua: 0, 01◦ C) e quella dello zero assoluto
(−273, 15◦ C). D’accordo, una piccola precisazione poteva essere fatta, trattandosi di misure importanti. Non basta perch´e nel nel suo meeting del 2005 il Comit´e International
des Poids et Mesures ha aggiunto la seguente precisazione alla definizione di kelvin indicata sopra: Questa definizione si riferisce ad acqua avente una composizione isotopica
definita esattamente dai seguenti rapporti di sostanze: 0, 00015576 moli di 2H per mole di
1H, 0, 0003799 moli di 17O per mole di 16O, e 0, 0020052 moli di 18O per mole di 16O.
Questo perch´e variazioni nelle concentrazioni (minime, come si vede dalla precisazione)
di isotopi dell’idrogeno (H) e dell’ossigeno (O) nell’acqua comportano variazioni nella
temperatura del suo punto triplo che non sono tollerabili oggi nella definizione di questa
unit`
a di temperatura.
Ve lo immaginate uno di questi fisici che hanno studiato anni e anni per dare queste
definizioni cos`ı accurate andare dal salumiere sotto casa a chiedere 3 etti di prosciutto
per poi sentirsi rispondere “Ho fatto 3 etti e mezzi che fo, lascio?”
18. Quando andiamo dal benzinaio a volte capita di dover regolare la pressione dei pneumatici. Perch´e non conviene fare tale operazione quando i pneumatici sono caldi?
Soluzione
Ancora una volta la risposta va cercata nell’equazione caratteristica dei gas perfetti che
stabilisce che: il prodotto della pressione per il volume `e direttamente proporzionale alla
temperatura. Se regoliamo la pressione su 2 atm quando le gomme sono molto calde.
Quando poi il pneumatico si raffredda, il volume rimane costante (in quanto la gomma `e
rigida), la diminuizione di temperatura porta a una diminuizione di pressione, per tanto
le gomme tendono a sgonfiarsi.
19. Svetlana decide di farsi il bagno nella vasca ma deve scaldare l’acqua con un fornello
perch´e la caldaia non funziona. Supponiamo che per fare il bagno servano 50 litri d’acqua.
L’acqua esce dal rubinetto alla temperatura di 15◦ C e per fare un bagno confortevole
l’acqua deve essere portata a 25◦ C. Quanta energia `e necessaria per compiere questa
operazione?
Soluzione
Per calcolare l’energia necessaria `e sufficiente applicare la formula ∆E = c × m × ∆T
dove c `e il calore specifico dell’acqua (in questo caso), m la sua massa e ∆T la variazione
di temperatura. Nel nostro caso ∆T = 10◦ C e, poich´e 1◦ C = 1 K, si ha ∆T = 30 K.
Applicando tale formula abbiamo displaystyle∆E = 50 × 4186 × 10 J = 2, 1 × 106 J.
20. Abbiamo messo per sbaglio un cubetti di ferro nel forno. La sua massa `e m = 0, 5 Kg.
Calcolare la sua capacit`
a termica e la quantit`a di energia che esso cede quando passa dalla
J
◦
.
temperatura di 200 C a quella di 25◦ C. Il calcore specifico del ferro `e c = 481
Kg × K
Soluzione
9.1 Esercizi
67
Dalla teoria sappiamo che la capacit`
a termica di un corpo `e C = c × m, ovvero C =
481 × 0, 5 J/K = 240, 5 J/K. La variazione di temperatura `e ∆T = Tf − Ti = 25 −
200 c ircC = −175◦ C = −175 K (vedi esercizio precedente). L’energia ceduta `e ∆E =
C × ∆T = 240, 5 × (−175) J = −4, 2 × 104 J.
21. Stefania ha il brutto vizio di fumare e lavare i piatti nello stesso tempo. Per distrazione
le cade il posacenere d’alluminio dentro l’acqua bollente del lavello. Il posacenere di
massa 0, 5 Kg prima di cadere era alla temperatura ambiente di 20◦ C. Nell’acqua acquista un’energia di 2, 2 × 104 J. Quale temperatura ha raggiunto il posacenere? Il calore
J
.
specifico dell’alluminio `e c = 880
Kg × K
Soluzione
Calcoliamo subito la capacit`
a termica del blocco di alluminio, che vale C = m × c =
∆E
0, 5 × 880 J/K = 440 J/K. La variazione di temperatura del metallo `e ∆T =
=
C
4
2, 2 × 10
J/K = 50 K, che equivale a ∆T = 50◦ C. Quindi il posacenere ha raggiunto
440
la temperatura di Tf = Ti + ∆T = 20 + 50 ◦ C = 70◦ C.
22. Nel lavare i piatti, Stefania si `e accorta che i 3 Kg d’acqua nel lavello sono troppo caldi
(t1 = 60◦ C), cos`ı per raffreddarli aggiunge 4 Kg di acqua alla temperatura t2 = 15◦ C.
Supponendo che non ci sia dispersione di calore, calcolare la temperatura di equilibrio e
1 kcal
il calore ceduto dall’acqua calda. Si assuma c = 1
il calore specifico dell’acqua.
kg ×◦ C
Soluzione
In caso di assenza di dispersione di calore vale:
calore acquistato = calore ceduto
Questo vuol dire che l’acqua fredda che viene aggiunta passa dalla temperatura t2 alla
temperatura di equilibrio te e quella calda dalla temperatura t1 a te . Dalla teoria sappiamo che, chiamato c il calore specifico dell’acqua, si ha
m1 × c × (te − t1 ) = −m2 × c × (te − t2 )
nel nostro caso abbiamo
4 × c × (te − 15) = −3 × c × (te − 60)
facendo dei semplici calcoli si ottiene:
7te = 240
te = 34, 3◦ C.
Nella realt`
a, la dispersione parziale di calore, fa s`ı che la temperatura di equilibrio sia
inferiore a quella calcolata in linea teorica.
Per calcolare il calore ceduto dall’acqua calda basta fare
Q = m2 × c × (te − t2 ) = 3 × 1 × (34, 3 − 60) = −77, 14 kcal.
23. Penka riceve un cubetto di 100 grammi di una strana sostanza dalla bulgaria. Ovviamente il materiale le `e completamente sconosciuto. Per saperne di pi`
u decide di metterlo
in forno fino a fargli raggiungere la temperatura t1 = 300◦ C. Immerge quindi tale oggetto
in una bacinella contenente 2 Kg di acqua alla temperatura t2 = 20◦ C. I due corpi raggiungono una temperatura di equilibrio di 21◦ C. Trascurando eventuali dispersioni di
calore, calcolare: la quantit`
a di calore acquistata dall’acqua; la quantit`a di calore ceduta
dall’oggetto misterioso e il calore specifico del cubetto (che forse dar`a qualche indicazione
sul tipo di materiale).
Soluzione
68
9 Esercizi sulla termologia
Come nell’esercizio precedente, per calcolare la quantit`a di calore acquistata dall’acqua
sar`
a sufficiente calcolare:
Qa = m × c × (te − t2 ) = 2 × 1 × (21 − 20) = 2 kcal.
Se non ci sono dispersioni di calore sappiamo che Qa = −Qc . Quindi il calore ceduto dal
misterioso oggetto `e Qc = −2 kcal.
Se conosciamo il calore ceduto dal corpo, possiamo risalire al calore specifico del corpo
−2
kcal
kcal
Q
= 0, 07
. Provare a cercare
=
stesso: c =
◦
m × ∆T
0, 1 × (21 − 300) Kg × C
Kg ×◦ C
una tabella dei valori specifici delle sostanze per capire di cosa si possa trattare.
24. Perch´e in molte case si usano le finestre coi doppi vetri piuttosto che singole finestre con
i vetri pi`
u spessi?
Soluzione
Perch´e tra un vetro e un altro si crea uno strato d’aria che ha un coefficiente di conduzione
minore di quello del vetro. Quindi l’isolamento termico prodotto `e migliore di quello dato
da un vetro pi`
u spesso.
25. Perch´e d’estate preferiamo andare al mare o al lago piuttosto che restare a Siena o a
Poggibonsi?
Soluzione
L’acqua ha un elevato calore specifico, quindi, meglio di altre sostanze, riesce a immaganizzare calore che viene ceduto molto lentamente. Le grandi masse d’acqua hanno
un’elevata capacit`
a termica quindi immagazzinano molto calore durante il giorno quando
c’`e il sole per poi cederlo lentamente la notte. In tal modo la temperatura dell’aria non
`e soggetta a forti variazioni.
26. Che differenza c’`e tra capacit`
a termica e calore specifico?
Soluzione
Il calore specifico fa riferimento all’unit`a di massa di una certa sostanza mentre la capacit`
a termica si riferisce all’intera massa. Per esempio una bottiglia d’acqua di mare e il
mare intero hanno lo stesso calore specifico, per`o la capacit`a termica del mare `e di gran
lunga superiore. Ecco perch´e nessuno ha costruito tante case vicino alla mia bottiglietta
d’acqua di mare!

Soluzioni

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