CdS in Ingegneria Energetica, Universit` a di Bologna Programma dettagliato del corso di Fisica Generale T-A prof. S. Pellegrini Introduzione. Il metodo scientifico. Principi e leggi della Fisica. I modelli in Fisica. Grandezze fisiche e loro misurazione. Grandezze principali e derivate. Dimensioni delle grandezze fisiche. Leggi fisiche e analisi dimensionale. Sistemi di unit`a di misura SI e cgs. Incertezze associate alla misura: errori sistematici, errori casuali, legge di Gauss, e risultato di una misurazione. Cifre significative. Misure di tempo; il secondo. Misure di lunghezza; il metro. Misure di massa; il chilogrammo. Calcolo vettoriale. Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Notazioni e definizioni vettoriali. Somma e differenza di vettori; propriet`a commutativa ed associativa. Prodotto di uno scalare per un vettore; dimensioni fisiche di grandezze vettoriali. Versori e direzioni orientate. Scomposizione di vettori; vettori componenti e parte scalare di un vettore. Prodotto scalare e sue propriet`a. Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione (individuata da un versore). Modulo della somma e modulo della differenza (legge di Carnot) di due vettori. Prodotto vettoriale: definizione e propriet`a. Legge dei seni. Sistemi di riferimento. Rappresentazione cartesiana ortogonale di un vettore: terna ortogonale destra, scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani, componenti cartesiane, coseni direttori, modulo, rappresentazione della direzione orientata di un vettore tramite il suo versore. Equivalenza fra le rappresentazioni vettoriali tramite coordinate cartesiane e tramite modulo e due angoli. Espressioni cartesiane delle operazioni fra vettori. Prodotto vettoriale triplo e prodotto misto e loro propriet`a. Vettore posizione e sua rappresentazione in sistemi di coordinate cartesiane ortogonali, polari piane, sferiche e cilindriche. Relazione fra versori cartesiani ortogonali e versori polari piani. Vettore spostamento e distanza. Trasformazione delle componenti dei vettori per traslazione e per rotazione del sistema di riferimento. Il concetto di derivata e principali funzioni derivate; propriet` a principali delle derivate. Derivate di vettori e loro propriet` a. Derivata di vettore espressa in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fisso. Derivata di vettore di modulo costante. Derivate di versori e di vettori: modulo, direzione, verso. Il vettore ω nell’espressione della derivata di un versore. Derivate dei versori radiale e trasverso costituenti la base ortogonale locale del sistema di coordinate polari piane. Vettori applicati. Momento polare ed assiale di un vettore applicato; contributo nullo al momento assiale da parte della componente del vettore parallela all’asse. Sistemi di vettori applicati: risultante e momento risultante; la coppia. Sistemi di vettori equivalenti. Riduzione di un sistema di vettori ad un unico vettore equivalente: casi particolari di vettori concorrenti e vettori paralleli. Centro dei vettori paralleli. Cinematica. La cinematica come descrizione del moto rispetto ad un sistema di riferimento (SdR); il modello del punto materiale. Equazione vettoriale del moto. Rappresentazione intrinseca della traiettoria: ascissa curvilinea, equazione della traiettoria e legge oraria. Il vettore velocit` a; velocit`a media ed istantanea. La velocit` a nella rappresentazione intrinseca della traiettoria; il versore tangente e la velocit`a scalare. Rappresentazione cartesiana della velocit`a. Accelerazione media –2– ed istantanea e sua rappresentazione cartesiana. Accelerazione e sua rappresentazione intrinseca: piano osculatore e cerchio osculatore; componente tangenziale e centripeta. Definizione e significato di integrale indefinito e definito, per funzione scalare e vettoriale. Classificazione dei moti: uniforme, uniformemente accelerato; rettilineo e circolare. Derivazione delle corrispondenti equazioni orarie, e dell’andamento temporale della velocit`a scalare e delle componenti tangenziale e centripeta dell’accelerazione. Espressione dei versori intrinseci della traiettoria nei moti circolari, e rappresentazione di posizione, velocit`a, accelerazione rispetto ad essi; casi di moto circolare uniforme ed uniformemente accelerato. Rappresentazione cartesiana di posizione, velocit`a ed accelerazione, nel caso di moto circolare. Il vettore velocit`a angolare ω . L’accelerazione angolare. Moti periodici. Equazione differenziale delle componenti cartesiane del vettore posizione nel moto circolare uniforme; soluzione generale e determinazione delle costanti ampiezza e fase iniziale. Moto oscillatorio armonico: equazione differenziale e soluzione per posizione, velocit` a, accelerazione; sfasamento tra esse, punti di massimo e minimo; condizioni iniziali del moto e determinazione delle costanti della soluzione. Moto piano in coordinate polari: espressioni per i vettori posizione, velocit` a e accelerazione. Il problema inverso della cinematica: scrittura dei vettori posizione (come integrale della velocit`a) e velocit`a (come integrale della accelerazione). Il moto dei gravi come problema inverso: vettori posizione e velocit`a, moto piano; scrittura delle componenti x(t), y(t) e vx (t), vy (t); indipendenza dei moti lungo x e lungo y. Scrittura della traiettoria y(x) nel caso di proiettile che parte dall’origine del SdR, e nel caso generale. Caso del proiettile con velocit` a iniziale in direzione orizzontale, che parte da una certa quota: rappresentazione cartesiana di posizione, velocit`a, accelerazione, traiettoria, ascissa di atterraggio, tempo di caduta (indipendente da v0x ). Caso di proiettile che parte dall’origine del SdR: coordinate del punto di quota massima; tempo necessario a a raggiungerla; velocit`a in essa; gittata, sua dipendenza dall’angolo di v0 con l’orizzontale, velocit` all’atterraggio. Moti relativi: trasformazione dei vettori posizione, velocit`a, accelerazione quando descritti in un SdR fisso e in uno mobile. Derivazione e significato delle espressioni per la velocit`a di trascinamento e per l’accelerazione di trascinamento. Accelerazione di Coriolis. Espressione per la velocit` a di trascinamento e per l’accelerazione di trascinamento nei casi particolari di: 1) ω=0 (traslazione relativa dei sistemi di riferimento); 2) ω = 0, sistemi in sola rotazione relativa. Espressione dei vettori posizione, velocit`a, accelerazione rispetto sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo uniforme (trasformazioni di Galileo), e in moto relativo circolare uniforme. I principi della dinamica. Definizione di forza come causa del moto o di deformazione; forze a distanza e di contatto; punto di applicazione. La forza peso. Il dinamometro e la definizione operativa di forza. Carattere vettoriale della forza; principio di sovrapposizione delle forze. Concetti di quiete ed equilibrio. Vincoli e reazione vincolare; vincoli lisci e scabri. Il piano inclinato liscio e i componenti della forza peso ad esso parallelo e ortogonale. I tre principi fondamentali della dinamica newtoniana. Il principio di inerzia e i sistemi di riferimento inerziali; trasformazioni di Galileo. Il sistema di riferimento terrestre. Proporzionalit`a tra forza ed accelerazione da esperimenti con piani inclinati: il secondo principio della dinamica e la massa inerziale. Il problema inverso della cinematica nota la forza, la massa, e le condizioni iniziali. Additivit`a della massa inerziale. Unit` a di misura della forza nei sistemi SI, cgs e pratico degli ingegneri. Massa inerziale e peso. –3– L’interazione gravitazionale; il campo di forza gravitazionale e g; approssimazione del valore del campo con g=9,8 m/s2 sulla superficie terrestre. Quantit`a di moto e sua variazione per l’azione di una forza; generalizzazione del secondo principio. Impulso di una forza. Teorema dell’impulso. Momento angolare. Teorema del momento dell’impulso. Forze centrali e conservazione del momento angolare rispetto il centro della forza; moti piani; costanza della velocit`a areolare. Applicazioni dei principi della dinamica. Forze applicate su corpi puntiformi e derivazione del moto risultante. Corpi appoggiati su superfici lisce, soggetti all’azione di forza costante (attiva o vincolare) applicata direttamente o tramite filo; il concetto di tensione. Tensione nel filo ideale, e nel filo dotato di massa non trascurabile. Tensione nel filo ideale fra due corpi vincolati. La macchina di Atwood e la misura di g. La forza peso w come forza costante: caduta di un grave nel vuoto, moto del proiettile; moto lungo un piano inclinato senza attrito, e confronto con il caso della caduta libera. Moto in un mezzo che oppone una forza resistente descritta dalla legge di Stokes (attrito viscoso); soluzione per la velocit`a e velocit`a limite. Forze elastiche e legge di Hooke; moto oscillatorio armonico di un corpo soggetto a forza elastica. Costante elastica della molla, molle in serie ed in parallelo. Comportamento dei materiali elastici: deformazione massima di un corpo elastico (limite elastico); modulo di Young e limite di rottura. Moto di un corpo soggetto a forza elastica e forza resistente (descrivente attriti e resistenza del mezzo): casi del moto supercritico o sovrasmorzato, smorzato critico, e sottocritico o sottosmorzato (con pseudoperiodo). Confronto fra i tre casi di smorzamento, decrescita esponenziale con il tempo dell’ampiezza, valore del coefficiente di resistenza β rispetto un βcritico ; tempo caratteristico di raggiungimento della posizione di equilibrio. Il pendolo semplice: soluzione s(t) nella rappresentazione intrinseca, per piccole oscillazioni; dipendenza del periodo dalla lunghezza del filo ed indipendenza dalla massa del corpo; dimostrazione della proporzionalit`a fra massa inerziale e gravitazionale. Il pendolo come misura del tempo e di g. Calcolo dei valori di ampiezza massima e fase iniziale a partire dalle condizioni iniziali. Calcolo della reazione vincolare del filo in funzione di s(t). Attrito radente statico; valore massimo Rτmax e sua dipendenza dalla forza di carico e dal coefficiente di attrito statico. Attrito radente dinamico: espressione per l’intensit`a, coefficiente di attrito dinamico, direzione e verso. Caduta lungo un piano inclinato scabro. Attrito statico, locomozione e rotolamento. Dinamica dei moti circolari: descrizione in un SdR inerziale, tramite le componenti tangenziale e centripeta di accelerazione e forza. La forza centripeta: caso del pendolo conico (in cui `e fornita dalla tensione del filo), casi dell’oggetto fermo su piattaforma rotante e dell’auto in curva (in cui `e fornita dall’attrito radente statico), caso di curva sopraelevata (in cui `e fornita dalla reazione vincolare della strada). Moto circolare in un piano verticale. Sistemi di riferimento non inerziali e seconda legge di Newton. Forze vere e forze apparenti (o fittizie); espressioni per la forza di trascinamento e la forza di Coriolis. Dinamica nei sistemi di riferimento non inerziali: a bordo di un treno accelerato (casi della molla compressa e del pendolo inclinato), su un veicolo dotato di attrito radente in moto rettilineo che decelera, in un ascensore accelerato verso l’alto e verso il basso. Dinamica su piattaforma rotante: descrizione delle forze nel SdR inerziale S e in quello non-inerziale solidale con la piattaforma S ; deviazione prodotta dalla forza di Coriolis. Il sistema di riferimento terrestre: contributo della forza centrifuga e verticale del luogo (deviata verso Sud rispetto alla direzione radiale nell’emisfero Nord, –4– e verso Nord nell’emisfero Sud); moto in verticale, di caduta libera, deviato verso Est in ambedue gli emisferi Nord e Sud; moto su un piano orizzontale tangente alla superficie terrestre (deviazione verso la destra di un osservatore che guarda nella direzione e verso di v , nell’emisfero Nord, e verso sinistra nell’emisfero Sud). Proporzionalit` a fra massa inerziale e gravitazionale indicata dalla indipendenza della direzione della verticale di un luogo dal corpo che la traccia. L’energia ed il lavoro. Forme in cui si presenta l’energia, principio della sua conservazione per sistemi isolati, equivalenza fra energia (E) e lavoro (L). Definizione di lavoro per forza costante; lavoro resistente e motore. Definizione di lavoro come integrazione su percorso del lavoro elementare; dipendenza del lavoro dal percorso, e dal sistema di riferimento. Propriet`a additiva dei lavori. Dimensioni e unit` a di misura del lavoro. Definizione di energia cinetica K e teorema delle forze vive: dimostrazione e significato. Dimensioni dell’energia. Campi di forze conservativi: dipendenza del lavoro solo dagli estremi del percorso. Forze posizionali. L’operatore differenziale vettoriale formale nabla: il gradiente e il rotore. Dimostrazione della necessariet`a e sufficienza, affinch`e il lavoro dipenda solo dagli estremi del percorso, di quattro condizioni (valide simultaneamente): esistenza di una funzione scalare della posizione V tale che δL=−dV; circuitazione nulla della forza; relazione tra le componenti della forza e quelle del gradiente di V; rotore nullo per la forza. Definizione dell’energia potenziale, a meno di una costante arbitraria. Campi di forze conservativi ed espressione dei relativi potenziali (forza peso, forza elastica, forze centrali a simmetria sferica, forza centrifuga). Superfici equipotenziali e perpendicolarit` a della forza ad esse; direzione e orientazione della forza verso energie potenziali inferiori. L’attrito dinamico e la forza di resistenza viscosa come forze non conservative. Metodo generale di calcolo dell’energia potenziale di una forza conservativa come integrale del lavoro elementare, su un percorso qualsiasi nello spazio; esempio per una forza le cui componenti sono espresse in coordinate cartesiane: dimostrazione della conservativit` a con il criterio del rotore nullo, e calcolo della sua energia potenziale. Energia meccanica (EM ) e legge di conservazione dell’energia meccanica per forze conservative; generalizzazione al caso che include forze non conservative, come uguaglianza tra lavoro delle forze non conservative e variazione di EM . Conservazione dell’energia meccanica ed equazione del moto per moti unidimensionali. Equilibrio stabile come punto di minimo dell’energia potenziale. Caso del corpo appeso ad una molla: energie potenziali, forza come gradiente dell’energia potenziale totale, punto di equilibrio come centro dell’oscillazione prodotta da una [opportuna] forza di tipo elastico. Trasformazione dell’energia da cinetica a potenziale e viceversa, per un singolo corpo (casi della discesa lungo piano inclinato, e del pendolo). Energia cinetica e potenziale dell’oscillatore armonico: espressioni per V e K in funzione del tempo, e calcolo di EM (costante del moto). Trasformazione dell’energia da potenziale a cinetica per un sistema di due corpi, con trasferimento di energia da un corpo ad un altro: caso dei pesi nella macchina di Atwood, e conservazione dell’energia meccanica dell’intero sistema. Macchine semplici: forza resistente e forza motrice; vantaggio meccanico; caso della doppia carrucola. La potenza. Dinamica dei sistemi. Centro di massa (CM) per un sistema discreto. Densit`a di massa (volumetrica, superficiale e lineare), centro di massa di un sistema continuo. Quantit`a di moto –5– totale Q di un sistema e primo teorema del centro di massa. Forze interne ed esterne ad un sistema. Principio della conservazione di Q per un sistema isolato e prima equazione cardinale della meccanica; secondo teorema del centro di massa. Momento angolare totale P di un sistema. Principio della conservazione di P per un sistema isolato e seconda equazione cardinale della meccanica. Formulazione moderna del terzo principio della dinamica. Terzo teorema del centro di massa. Equazioni cardinali e sistemi che esse possono descrivere completamente; numero di gradi di libert`a di un sistema, per particelle libere e vincolate, per un corpo rigido libero. Equazioni cardinali rispetto un polo fisso: analogie e differenze fra le descrizioni del moto date della prima equazione (moto di traslazione risultante da forze esterne, accelerazione e massa) e dalla seconda equazione (moto di rotazione risultante dal momento delle forze, accelerazione angolare e momento d’inerzia). Momento della forza o torcente come grandezza fisica che dipende dall’intensit`a della forza, dalla sua direzione, verso e punto di applicazione; casi di momento nullo; momento della sola componente della forza perpendicolare all’asse di rotazione come vettore parallelo all’accelerazione angolare prodotta dalla forza. Sistemi di forze parallele e baricentro. Equazioni cardinali rispetto al CM. Moto rispetto al CM. Teorema di Koenig per il momento angolare; validit`a della seconda equazione cardinale nel sistema di riferimento (non necessariamente inerziale) con origine nel CM, e mobile ma con orientazione fissa rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Teorema di Koenig per l’energia cinetica. Teorema delle forze vive per un sistema. Il fenomeno dell’urto: le forze impulsive e la conservazione delle grandezze dinamiche Q e P negli urti. Casi di sistema libero e vincolato. Variazione dell’energia meccanica e dell’energia propria negli urti. Variazione dell’energia cinetica negli urti: casi di urto elastico, anelastico, esplosivo. Variazione della quantit`a di moto delle singole particelle, e della loro velocit`a, negli urti unidimensionali: descrizione rispetto ad un SdR inerziale qualsiasi e rispetto il SdR con origine nel CM. Urto elastico uni-dimensionale centrale: velocit`a dopo l’urto in funzione di quelle prima dell’urto, e in funzione delle masse di proiettile e bersaglio; variazione di energia cinetica di proiettile e bersaglio, in funzione delle loro masse; potere frenante. Il pendolo balistico e la misurazione della velocit`a del proiettile. L’equilibrio e la statica; equazioni cardinali della statica. Il corpo rigido. Cinematica del corpo rigido: moto generico come combinazione di moto di traslazione e rotazione attorno asse opportuno. Espressione delle velocit`a dei punti del corpo rispetto ad un SdR fisso, utilizzando anche un SdR solidale con il corpo rigido e in moto con esso. Espressioni per Q e per P nei casi di: moto traslatorio del corpo rigido, rotatorio con asse di rotazione fisso, rotatorio con asse di rotazione in traslazione. Momento angolare totale di un sistema rigido ruotante attorno asse fisso, rispetto un punto dell’asse di rotazione: componenti parallelo ed ortogonale all’asse di rotazione. Il momento di inerzia assiale. Precessione di P attorno l’asse fisso di rotazione. Moto di rotolamento puro attorno asse in traslazione parallela come moto rotatorio semplice attorno asse di istantanea rotazione passante per il punto di contatto istantaneo fra corpo e piano d’appoggio. Teorema di Huygens-Steiner. Momento di inerzia assiale: espressione e calcolo per sistema continuo, nei casi di: disco omogeneo (asse per il centro del disco, e perpendicolare al disco); sbarra (assi perpendicolari alla sbarra, per il CM e per un estremo); cilindro cavo e pieno (asse di simmetria). Dinamica dei sistemi rigidi rotanti attorno asse fisso: –6– componente assiale dei termini che entrano nella seconda equazione cardinale (momento delle forze e momento angolare). Momento assiale delle forze: contributo del solo componente della forza ortogonale all’asse di rotazione; segno del momento assiale (rispetto all’orientazione scelta per l’asse) e verso della rotazione. Soluzione della seconda equazione cardinale per casi di: carrucola massiva rotante per azione di un peso; macchina di Atwood; pendolo fisico. Componente perpendicolare all’asse fisso di rotazione del momento angolare, e reazioni vincolari. Assi liberi (o permanenti) di rotazione. Conservazione del momento angolare assiale. Energia cinetica di un sistema rigido: componenti di traslazione e di rotazione; calcolo dell’energia cinetica per disco in rototraslazione su un piano orizzontale, descrivendo il moto come 1) traslazione del CM e rotazione attorno un asse per il CM; 2) rotazione attorno asse passante per il punto di contatto istantaneo fra disco e piano. Lavoro delle forze agenti su sistemi rigidi: relazione fra lavoro elementare, momento delle forze e spostamento angolare (per il moto di rotazione del corpo rigido); espressione generale per il lavoro delle forze agenti su un corpo rigido che rototrasla. Lavoro nullo della forza di attrito radente nel rotolamento puro; conservazione dell’energia meccanica nella discesa (puro rotolamento) di un cilindro lungo piano inclinato scabro. Cilindro in rototraslazione su un piano orizzontale: prima e seconda equazione cardinale (calcolo dei momenti rispetto asse per il CM), e relazione fra avanzamento del CM e angolo di rotazione del cilindro. Urto elastico di asta verticale vincolata.
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