Interferenza e diffrazione

Interferenza e dirazione
[email protected]; http://www.df.unipi.it/∼fuso/dida
(Dated: version 1 - FF, 21 maggio 2014)
Questa nota espone alcuni selezionati argomenti e concetti che hanno a che fare con l'interferenza
e la dirazione, con specico riferimento al caso ottico (radiazione elettromagnetica nel visibile).
Non c'è alcuna pretesa di completezza né di fronte alla ricchezza dei fenomeni coinvolti, né per
quello che riguarda l'accuratezza della trattazione matematica.
Chi è interessato può facilmente
trovare nei testi di elettromagnetismo e ottica delle discussioni ben più complete e approfondite!
I.
INTRODUZIONE
Interferenza e dirazione sono due concetti intimamente connessi tra loro che hanno un'importanza fondamentale nell'ambito della meccanica ondulatoria. Le conseguenze di interferenza e dirazione sono estremamente
importanti soprattutto nell'ottica, dove esse danno luogo
a fenomeni ben noti ed eclatanti, nei quali è spesso difcile distinguere tra quelli dovuti all'interferenza e quelli
che hanno più propriamente a che fare con la dirazione.
In termini molto qualitativi e descrittivi, l'interferenza
Figura 1. Graco dell'Eq. 5 in funzione di
kδ .
è quel fenomeno che stabilisce una modulazione spaziale nell'intensità di una radiazione che è data dalla sovrapposizione di diverse onde.
La dirazione è invece
più direttamente collegata alla modica della distribuzione spaziale dell'intensità di un'onda che attraversa delle
aperture di dimensioni trasversali limitate.
Al solo scopo di semplicare la matematica, poniamo an-
eˆ1 = eˆ2 e E01 = E02 = E0 . In queste condizioni si ha
|E|2 = 2E02 (1 + cos(kδ)), ovvero
che
I = 2I0 (1 + cos(kδ)) = I0 cos2 (kδ/2) ,
II.
INTERFERENZA
(5)
ancora con ovvio signicato dei simboli e con l'uso di una
semplice relazione trigonometrica.
Facciamo riferimento a una situazione (molto) ideale:
due sorgenti puntiformi, localizzate in due distinte posizioni sull'asse
Z
l'interferenza: l'intensità di un'onda risultante dalla so-
vrapposizione di due (o più) onde è modulata in fun-
Immaginiamo inoltre per semplicità che le
onde si propaghino nel vuoto e che la loro polarizzazione
sia lineare. Chiamiamo
all'asse
Z,
δ
la distanza, misurata rispetto
delle due sorgenti. Possiamo scrivere le loro
funzioni d'onda come:
(1)
(2)
il campo sarà dato dalla sovrapposi-
zione (somma vettoriale) dei campi delle due onde, cioè
~ =E
~1 + E
~ 2.
E
po risultante.
I di questo camI =< |S| >= c0 |E|2 /2
Determiniamo l'intensità
Ricordando che
δ
delle onde
considerate nella sovrapposizione. In particolare l'inten-
kδ = m2π , con m intero, ovvek = 2π/λ, quando δ = mλ, cioè la
sità è massima quando
ro, ricordando che
dierenza di cammino ottico è pari a un multiplo inte-
kδ = (2m + 1)π ,
ovvero
L'intensità è minima quando
δ = (m + 1/2)λ,
cioè la die-
renza di cammino ottico è pari a un multiplo dispari di
semilunghezze d'onda.
Nel caso considerato il contrasto (o visibilità) delle
con ovvio e già noto signicato dei simboli.
XY
zione della dierenza di cammino (ottico)[1]
ro di lunghezze d'onda.
~ 1 = E01 exp(i(kz − ωt))ˆ
E
e1
~
E2 = E02 exp(i(k(z + δ) − ωt))ˆ
e2 ,
In ogni piano
in Fig. 1,
ω e con la stessa di-
rezione e verso di propagazione (supponiamo coincidente
Z ).
kδ
di un riferimento, emettono onde piane
monocromatiche alla stessa frequenza
con l'asse
L'Eq. 5, rappresentata come funzione di
contiene il messaggio più importante del fenomeno del-
(siamo nel vuoto), concentriamoci sul calcolo del modulo
frange di interferenza, cioè dei massimi e minimi di intensità, è massimo e vale uno. Tale contrasto può infatti
essere denito come
(Imax −Imin )/(Imax +Imin ), con ov-
vio signicato dei simboli.
E facile vericare (provateci)
che, se le condizioni sulla polarizzazione e sull'intensità
delle onde vengono rilassate, l'interferenza continua a ve-
eˆ1 ⊥ˆ
e2 !)
quadro del campo. Si vede facilmente che, supponendo
ricarsi (a meno che
le ampiezze dei campi reali,
essere un utile esercizio anche quello consistente nel veri-
2
2
|E|2 = E01
+ E02
+ eˆ1 · eˆ2 (E1 E2∗ + E1∗ E2 ) =
2
2
= E01 + E02 + 2ˆ
e1 · eˆ2 cos(kδ) .
(3)
(4)
con contrasto minore. Può
care che si ha ancora interferenza, ma con spaziatura e
contrasto diverso, anche se i due vettori d'onda non sono
collineari.
2
Sottolineiamo un paio di aspetti concettualmente rilevanti dell'interferenza. In primo luogo, nel fenomeno si
ottiene che una grandezza scalare e stazionaria (cioè mediata nel tempo) viene a dipendere dall'argomento della
funzione d'onda (qui compare
δ ).
Inoltre, e questo è mol-
to importante dal punto di vista delle applicazioni, la relazione che determina i massimi e i minimi di interferenza
dipende dal rapporto
λ/δ :
pertanto sfruttando l'interfe-
renza è possibile realizzare dei metodi che permettono di
misurare delle distanze (δ ) essendo nota
di misurare
λ
essendo nota
A.
λ
o, viceversa,
δ.
Coerenza
Figura 2.
Risultato della somma di mille funzioni armoni-
ideale. Abbiamo infatti scritto due funzioni d'onda rela-
che del tempo di frequenza omogeneamente distribuita in un
13
intervallo ∆ν = 2 × 10
Hz centrato attorno alla frequenza
ν = 6 × 1014 Hz (onda molto poco monocromatica!). Si os-
tive alle onde prodotte da due distinte sorgenti immagi-
serva la formazione di un pacchetto d'onda nel dominio del
Come già anticipato, la situazione esaminata è molto
nando di poterci riferire agli stessi sistemi di riferimento
tempo, la cui estensione temporale è
∆t ≈ 2/∆ν = 100
fs.
temporale (e spaziale, nell'onda propagante posizione e
tempo sono mescolati fra loro). Specie quando si esaminano problemi di ottica, in cui le frequenze di oscillazione
1014 − 1015
diverse all'interno di un certo intervallo
∆ν ,
che possia-
Hz, questo non è aatto
mo chiamare grossolanamente larghezza di riga. Sappia-
realistico. Infatti l'aermazione corrisponde a supporre
mo già come comportarci nel caso di fenomeni ondulatori
che gli emettitori, ad esempio dipoli oscillanti, delle due
periodici, dove è possibile scrivere l'onda risultante sotto
sorgenti oscillino sempre in fase tra loro. Questi emetti-
forma di serie di Fourier di diverse componenti, ognuna
tori sono degli oggetti materiali e come tali risentono di
di frequenza multiplo di una frequenza di base.
processi (termici, collisionali, etc.) che hanno una natura
causa del fatto che le varie componenti hanno frequenza
sono dell'ordine di
statistica e che intervengono statisticamente per modi-
che varia in modo continuo nell'intervallo
care la fase di un gruppo di oscillatori rispetto a un altro.
sostituita da un integrale.
∆ν ,
Qui, a
la serie è
Molto dicilmente due distinte sorgenti possono essere
Siete fortemente invitati a sommare fra di loro tan-
considerate coerenti fra loro, dove l'aggettivo si riferisce
te (virtualmente innite) onde armoniche di frequenze
proprio al fatto che le onde emesse sono e rimangono
leggermente (virtualmente inntesimamente) diverse fra
sempre in fase tra loro.
loro: vedrete che il risultato della somma avrà un'esten-
Una situazione molto più realistica è quella in cui le due
sione temporale nita
∆t ∼ 1/∆ν ,
come rappresentato
sorgenti indipendenti sono rimpiazzate da due frazioni (in
in Fig.2, e anche, tenendo conto della propagazione che
intensità) della stessa onda. Questo è quanto si verica
avviene alla velocità di fase (velocità della luce, nel ca-
ad esempio nell'interferometro di Michelson (ma anche di
so che stiamo esaminando in cui la propagazione è nel
Fizeau, di Fabry-Perot, di Bragg, etc.). In questo caso,
vuoto), un'estensione spaziale nita
le onde che si sovrappongono sono automaticamente in
fase tra loro, essendo generate dalla stessa sorgente.
∆L ∼ c∆t = c/∆ν .
Abbiamo così creato dei pacchetti d'onda, oggetti matematici che vi saranno di grandissima utilità andando
avanti con gli studi.
In un esperimento in cui si vuo-
le creare interferenza dividendo in due (o più) frazioni di
1.
Pacchetti d'onda
intensità un'onda, come in un interferometro, è chiaro che
l'interferenza può vericarsi solo dalla sovrapposizione
C'è sicuramente un altro aspetto di concettuale de-
degli stessi pacchetti d'onda. Pensate infatti all'interfe-
Sapete tutti che
rometro di Michelson, e immaginate che la dierenza di
un'onda non può essere puramente monocromatica. In-
cammino ottico sia maggiore dell'estensione spaziale dei
fatti, applicando il cosiddetto principio di indetermina-
pacchetti prodotti dalla sorgente: i due pacchetti d'onda
zione (credo che tutti ne abbiate conosciuto almeno una
che percorrono i due distinti cammini ottici nell'interfero-
formulazione, e forse lo avete anche già dimostrato ma-
metro non si potranno sovrapporre, o si sovrapporranno
tematicamente), per ottenere la pura monocromaticità
solo parzialmente, sullo schermo o sul rivelatore impiega-
occorre supporre che la sorgente sia stata accesa a un
to per misurare l'intensità. Di conseguenza non si avrà
tempo innitamente precedente a quello di osservazione
interferenza, o il contrasto delle frange sarà ridotto e la
e che venga spento a un tempo innitamente successivo.
visibilità del fenomeno sarà scarsa.
bolezza nella descrizione usata nora.
Più realisticamente dovremmo considerare un'onda co-
Sorgenti molto monocromatiche, cioè con un
∆ν
pic-
me composta da diverse componenti spettrali, cioè come
colo, producono pacchetti d'onda di grande estensione
data dalla sovrapposizione di onde dotate di frequenze
spaziale e temporale.
Talvolta (e senza entrare troppo
3
nei dettagli delle denizioni) si dice che tali sorgenti so-
da interferenza a dirazione. La fama di questo esperi-
no spettralmente, spazialmente e temporalmente coerenti.
mento si deve soprattutto al fatto che esso è in genere
Un ottimo esempio è rappresentato dai laser, specie di al-
considerato come un ottimo banco di prova per vericare
cune tipologie, all'interno dei quali i singoli emettitori (ad
il dualismo onda/particella (e tanti altri bellissimi argo-
esempio, dipoli elettrici) sono in qualche modo costretti
menti), e lo incontrerete di sicuro in futuro proprio in que-
ad oscillare tutti in fase tra loro fornendo una radiazione
sta veste. Qui siamo completamente ondulatori e quindi
coerente. In alcuni laser si ottengono piuttosto facilmen-
ci limitiamo a interpretare l'esperimento come interferen-
te larghezze di riga
za fra due onde. Notate che, al termine di queste note,
un rapporto
∆ν < 100 Hz (a questo corrisponde
∆ν/ν ∼ 10−12 , wow!), che danno luogo nel
torneremo sullo stesso esperimento per delle precisazioni
vuoto a pacchetti d'onda estesi qualche migliaio di chilo-
molto rilevanti.
metri. I laser a diodo che usate in laboratorio non sono
Nell'esperimento di Young un'onda, che supponiamo
propriamente un ottimo esempio: più che la larghezza di
piana e monocromatica (abbiamo già accennato a come
riga (che è in genere dell'ordine dei MHz), conta la scarsa
si fa a trattare situazioni un po' più realistiche, ma non
stabilità di operazione a tempi medi/lunghi e la possibi-
vogliamo complicarci la vita), incide normalmente su una
lità, tipica proprio dei laser a diodo, di saltare in modo
lamina opaca su cui sono praticate due (piccole) apertu-
discreto da una frequenza a un'altra. Di fatto i pacchet-
re lineari, chiamate anche fenditure. Le dimensioni tra-
ti d'onda generati dicilmente hanno estensioni spaziali
sversali di queste fenditure sono molto rilevanti per la
maggiori di qualche decina di cm. Inne un davvero pes-
descrizione completa del fenomeno, come vedremo al ter-
simo esempio di sorgente coerente è rappresentato da una
mine di questa nota.
lampada a lamento, dove i singoli emettitori si compor-
esse siano molto piccole e che la separazione spaziale tra
tano ognuno per conto suo e la lunghezza di coerenza è
le aperture sia
molto molto piccola.
e a grande distanza (D
d.
Per il momento supponiamo che
Di fronte alla lamina, parallelamente
>> d)
da questa, si trova uno
schermo su cui si osservano delle frange di interferenza
caratterizzate da una certa intensità
III.
HUYGENS E DIFFRAZIONE
posizione angolare
sin θ.
I
dipendente dalla
La Fig. 3(a) mostra uno schema
dell'esperimento.
Prima di procedere con la descrizione di alcuni fenome-
Secondo il principio di Fresnel le due aperture, che in-
ni di dirazione e di come essi siano legati all'interferen-
tercettano un fronte dell'onda primaria, si comportano
za, è necessario richiamare alcuni principi e teoremi che
da sorgenti di onde secondarie le quali risultano in fa-
sono parte dell'ottica ondulatoria e che in questa nota
se tra loro e le cui sorgenti (le due aperture) si trovano
saranno solo brevemente citati per sommi capi (guarda-
in posizioni diverse nello spazio.
te un testo di elettromagnetismo o ottica per saperne di
che, quindi emesse in tutte le direzioni (in avanti, cioè
più!). In particolare ci serve quello che in genere viene
verso lo schermo), però, visto che siamo interessati a ve-
chiamato principio di Huygens, che a sua volta deriva
dere cosa succede sullo schermo, che si trova a grande
da un teorema detto di Kircho (o di Kircho-Fresnel,
distanza dalle sorgenti stesse, esse potranno essere bene
o forse anche di qualcun alro). Ci serve sapere che ogni
approssimate da onde piane. Dunque in ogni posizione
piccola regione di un fronte d'onda si comporta come una
dello schermo c'è sovrapposizione delle due onde (coeren-
sorgente di onde secondarie; queste onde secondarie sono
ti) provenienti dalle aperture e di conseguenza si ha un
tutte in fase tra loro, hanno la forma di onde sferiche e
fenomeno di interferenza.
sono prevalentemente emesse nello stesso verso e direzio-
Tali onde sono sferi-
Scegliamo un punto generico sullo schermo:
la sua
ne dell'onda primaria, quella di cui stiamo considerando
coordinata sarà
il fronte d'onda.
to sull'asse geometrico del sistema, che in questo caso
Teoremi e principi di questo tipo sono stati importan-
x
(l'asse
X
è verticale in gura e centra-
passa per il punto di mezzo tra le due aperture). In al-
tissimi nella storia dell'ottica, in particolare nell'800, per
ternativa alla coordinata
dimostrare matematicamente la possibilità di propaga-
attraverso l'angolo
zione di un'onda elettromagnetica nel vuoto, costituendo
del sistema, la cui direzione coincide con quella di propa-
un valido elemento di opposizione ai teorici dell'etere. Al
gazione dell'onda primaria. Questa descrizione a parole
giorno d'oggi il concetto di etere non c'è più e molte delle
è complicata, per cui conviene riferirsi alla gura.
aermazioni contenute in questi teoremi e principi suonano piuttosto ovvie. Come vedremo tra breve, però, c'è
qualcosa che rende molto utile questi teoremi e principi
nell'ambito di quello che vogliamo analizzare.
x, potremo identicare il punto
θ, formato tra il raggio vettore e l'asse
Sappiamo che l'interferenza costruttiva e distruttiva,
ovvero la presenza di massimi e minimi di intensità, dipende dalla dierenza di cammino ottico
mette di individuare il segmento
A.
Interferenza da doppia fenditura (Young)
δ
tra le due
onde. Una semplicissima costruzione geometrica ci per-
δ
(vedi gura).
Una
altrettanto semplice considerazione ci permette di aermare che
δ = d sin ξ ,
con
ξ
indicato in gura.
Ora se
la gura fosse disegnata in scala, cioè se davvero fosse
Ci serviamo del famoso esperimento della doppia fenditura (esperimento di Young) per introdurre il passaggio
D >> d, sarebbe facile rendersi conto che ξ ≈ θ (fatevene
una ragione!), per cui δ ≈ d sin θ .
4
A causa dell'interferenza, l'intensità
I(θ) sullo schermo
δ ≈ d sin θ,
segue l'andamento descritto dall'Eq. 5, con
cioè:
I(θ) = I0 cos2 (kd sin θ/2) ,
dove
I0
(6)
è l'intensità dell'onda primaria che incide sulle
aperture e abbiamo accettato l'approssimazione sostituendo
≈
con
=.
La Fig. 3(b) mostra l'andamento del-
l'intensità in funzione di
sin θ:
si osservano dei massimi e
minimi di interferenza regolari. I massimi si trovano nelle
(sin θ)max tali che kd(sin θ)max = 2mπ ,
(sin θ)max = 2mπ/(kd) = mλ/d; i
minimi si trovano nelle posizioni angolari (sin θ)max tali che kd(sin θ)max = 2(m + 1)π , con m intero, cioè
(sin θ)max = (2m + 1)π/(kd) = (m + 1/2)λ/d.
posizioni angolari
con
m
intero, cioè
Osservate che, nelle tipiche condizioni sperimentali in
cui
D >> d,
la trigonometria permette di fare le seguen-
ti approssimazioni:
sin θ ≈ θ ≈ tan θ = x/D.
In altre
parole, considerando piccole variazioni angolari e spaziali, che sono quelle di interesse, si ha che la separazione
spaziale dei massimi o dei minimi (è la stessa!)
schermo è
(∆x)maxomin = λD/d:
sullo
ritroviamo ancora una
volta il legame tra posizione delle frange di interferenza
con lunghezza d'onda e distanza (in questo caso separazione
d
fra le fenditure) che caratterizza l'interferenza.
Inoltre notiamo come sull'asse geometrico del sistema,
Figura 3. Schema dell'esperimento della doppia fenditura (a)
in una posizione che è schermata geometricamente ri-
e calcolo dell'intensità sullo schermo in funzione di
(b).
spetto all'onda incidente, troviamo un bel massimo di
Nel calcolo si è assunta una spaziatura
una
interferenza.
lunghezza d'onda
B.
λ = 500 nm.
sin θ
d = 100µm e
Per chiarezza, si è considerato
un piccolo intervallo di variazione di
sin θ.
Interferenza da reticolo ottico
dove tutti i simboli sono ovvi o già deniti.
Un'estensione particolarmente rilevante, soprattutto a
causa delle notevoli applicazioni pratiche, è quella che
prevede di rimpiazzare il sistema delle due fenditure con
un sistema di tante,
N,
fenditure, tutte spaziate fra loro
in modo regolare di una distanza
d.
Un sistema di questo
tipo si chiama spesso reticolo ottico o, meglio, reticolo di
dirazione (vedete che i concetti e le denominazioni di
interferenza e dirazione cominciano a sovrapporsi tra
loro!), e la modalità di impiego a cui facciamo qui riferimento è detta in trasmissione per distinguerla da quella
in riessione, in cui i reticoli trovano applicazione ancora
più ampia.
Ogni coppia di fenditure si comporta come nell'esempio precedente, cioè è sorgente di onde secondarie in fase
tra loro. Èvidente che per determinare la funzione dell'intensità
I(θ) (θ
è denito in analogia con prima) bisogna
considerare l'interferenza tra tante onde. La matematica
è complicata, e implica la convergenza di una serie non
banale, come potete trovare in alcuni testi di ottica. Qui
ci accontentiamo del risultato nale e dei commenti che
ci si possono fare sopra. Si ottiene:
sin2 (N γ)
sin2 γ
d
γ = π sin θ ,
λ
I(θ) = I0
Vediamo le proprietà della funzione che abbiamo scritto.
Essa ha dei minimi, pari a zero, quando il nume-
ratore si annulla.
con
m
intero, cioè
N (γ)min = mπ),
(sin θ)min = (m/N )λ/d. Inoltre es-
Deve quindi essere
sa presenta due tipologie di massimi che si vericano rispettivamente quando il denominatore si annulla
o quando il numeratore ha il suo valore massimo.
Nel
(γ)max0 = (m + 1/2)π , con m
intero, cioè (sin θ)max0 = (m + 1/2)λ/d. Nel secondo
caso deve invece essere N (γ)max00 = (m + 1/2)π , cioè
(sin θ)max00 = ((m + 1/2)/N )λ/d. A parte che, come
primo caso deve essere
al solito, compare anche in queste relazioni il rapporto
λ/d,
per il resto la situazione è abbastanza complicata e,
per capirci qualcosa, conviene riferirsi a graci calcolati
numericamente della funzione
I(θ),
come quelli rappre-
sentati in Fig. 4, dove si fa riferimento a diversi valori di
d.
Si notano diverse caratteristiche rilevanti.
In primo
luogo si osservano dei massimi assoluti, o principa-
li, che corrispondono alla categoria che prima abbiamo indicizzato con un singolo apice.
La distanza, o
spaziatura, fra due di questi massimi (consecutivi) va(7)
(8)
le
(∆ sin θ)max0 = λ/d,
e non dipende dal numero
N
di
fenditure. Poi ci sono dei minimi, pari a zero, la cui spaziatura è
(∆ sin θ)min = λ/(N d).
Osservate che alcuni
dei minimi che ci potevano aspettare diventano in realtà
5
chiariremo al termine di questa nota, in genere si preferisce, o si è costretti, a usare il primo ordine di dirazione,
m = ±1.
Sempre dal punto di vista pratico, notate che normalmente i reticoli vengono caratterizzati non con la spaziatura
d tra le fenditure, ma dal suo reciproco, g = 1/d, che
g si dà in nu-
è la densità lineare di fenditure. In genere
mero di righe per mm. Per motivi legati alla costruzione
e alla maggiore facilità con cui si riesce a illuminare una
vasta porzione del reticolo, molto spesso i reticoli si usano in riessione. Reticoli in riessione da 1800 o anche
3600 righe/mm (o grooves/mm) sono piuttosto comuni
Figura 4. Calcolo della trasmissione attraverso un reticolo di
dirazione eseguito secondo l'Eq. 7. Nel calcolo si è supposto
λ = 500 nm e d = 1/g = 100µm. I diversi graci si riferiscono
a diversi valori di N , come in legenda.
in ottica, dove costituiscono l'elemento principale di strumenti diusissimi per la spettroscopia (cioè per misurare
le componenti spettrali dell'emissione) che si chiamano
spettrometri o, spesso, monocromatori. Alcuni monocromatori, che fanno uso di reticoli molto grandi e di una
grande distanza focale (l'equivalente della distanza
dei massimi: infatti può vericarsi che numeratore e denominatore tendano tutti e due ad annullarsi, ma, come
potete facilmente vericare calcolando il limite, è il denominatore che comanda producendo il massimo principale invece che un minimo. Facendo un po' di matematica,
si ottiene che tra un massimo principale e l'altro ci sono
(N − 1)
minimi. Inne è evidente che tra un minimo e
l'altro si situano i massimi relativi che corrispondono
alla tipologia indicata sopra con il doppio apice. Tra due
massimi principali ci sono
(N − 2)
massimi relativi.
È molto interessante osservare come si modica il sistema di frange di interferenza all'aumentare del numero
N
di aperture, o fenditure. Si vede in Fig. 4 che non solo
il numero di minimi aumenta, ma anche che i massimi
relativi diventano sempre più deboli mentre quelli principali si rinforzano (l'intensità di picco scala con
N
2
) e
diventano sempre più snelli.
Nella pratica si hanno spesso a disposizione dei reticoli
ottici di grandi dimensioni. Dunque aumentare il numero
N
di fenditure interessate dalla radiazione signica di
fatto aumentare le dimensioni del fascio di luce che incide sul reticolo. Ne risulta la soppressione dei massimi
relativi, l'aumento e lo strizzamento di quelli principali. Se immaginate di usare un reticolo di dirazione per
disperdere la radiazione (in modo molto più eciente che
D
tra reticolo e schermo), permettono di risolvere emissioni
con lunghezze d'onda separate da molto meno di 1 Å, come necessario per esempio nella cosiddetta spettroscopia
Raman.
Ultimissima annotazione. Ci sono molti oggetti che si
comportano in modo simile ai reticoli. Senza citare le ali
della farfalla (che danno luogo all'iridescenza) o alcune
vernici di automobili che ne simulano il funzionamento,
e lasciando da parte anche le chiazze di olio sull'acqua,
o in generale i fenomeni che si vericano quando ci sono degli strati sottili di materiali dielettrici sovrapposti,
per i quali è più corretto fare riferimento all'interferenza
(multipla) alla Bragg, che studierete in altri contesti,
possiamo ricordare CD e DVD. Essi sono realizzati premarcando un substrato plastico con delle piste tangenziali, il cui pitch (distanza in direzione radiale fra una pista
e l'altra) vale rispettivamente 1.6 e 0.74
µm.
In certe
condizioni queste piste possono comportarsi come le righe di un reticolo di dirazione in riessione (il substrato
è opaco, e quindi in trasmissione non funziona!), con una
separazione pari al pitch. Infatti tutti sapete che, osservando la riessione della luce con spettro continuo (quella
di una lampadina!) su un CD o un DVD si vedono i colori dell'iride separati, ovvero dispersi, spazialmente tra
loro.
non con un prisma!) e misurare la lunghezza d'onda della radiazione, cosa ben possibile supponendo che
d
sia
noto, allora è evidente che allargare la regione di retico-
IV.
lo illuminata porta notevoli vantaggi nell'accuratezza e
DIFFRAZIONE DA SINGOLA FENDITURA
(LINEARE)
sensibilità della misura.
Facciamo ancora qualche altra osservazione di tipo pra-
Finalmente arriviamo a esaminare un caso in cui è dav-
tico. Spesso anche usando i reticoli di dirazione si mi-
vero più opportuno parlare di dirazione che non di inter-
sura in realtà non lo spostamento angolare
lineare
x,
θ,
ma quello
esattamente come nel caso dell'interferenza da
doppia fenditura.
l'approssimazione
A questo scopo si può spesso usare
sin θ ≈ x/D,
con
D,
al solito, distan-
ferenza, anche se l'interferenza è sempre un concetto da
tenere ben presente per l'interpretazione del fenomeno.
Immaginiamo allora di avere una singola fenditura (di
forma lineare) con una dimensione trasversale (apertu-
a
za del reticolo dallo schermo di osservazione. Dunque la
ra)
posizione dei massimi principali rispetto all'asse geome-
apertura in tanti, virtualmente inniti, elementini stretti
(x)max0 = mλ/d.
si dà
stretti, di dimensioni trasversali virtualmente innitesi-
spesso il nome di ordine di dirazione e, per i motivi che
me. Applichiamo quindi il principio di Huygens a questi
trico del sistema è
All'intero
m
incisa su una lamina opaca. Suddividiamo questa
6
relativi, che in genere hanno poca rilevanza pratica essendo associati a piccole frazioni dell'intensità totale, la
larghezza del massimo principale dipende fortemente dal
rapporto
λ/a.
Infatti i primi zeri della funzione si tro-
(sin θ)min = ±λ/a,
vano nelle posizioni
per cui la lar-
ghezza totale (misurata tra gli zeri e in unità di
massimo principale è
∼ 2λ/a.
sin θ) del
Per un fascio di luce per-
fettamente collimato, come possiamo ipotizzare per il fascio incidente sull'apertura (descritto da un'onda piana,
dunque perfettamente collimato!),
sin θ = 0.
Il passaggio
attraverso l'apertura introduce una divergenza del fascio,
che si allarga tanto più quanto maggiore è il rapporto
λ/a,
Figura 5. Calcolo della trasmissione attraverso una fenditura
cioè, a parità di
dell'apertura
a.
λ,
quanto minore è la dimensione
Ritroverete questa identica aermazione
In
quando aronterete, nell'ambito della meccanica quanti-
tutti i casi si è ipotizzata una radiazione di lunghezza d'onda
stica, l'esperimento ideale che va sotto il nome di micro-
(lineare) di apertura
λ = 500
a
come in legenda, usando l'Eq. 9.
nm. Le intensità sono espresse in unità arbitrarie e
normalizzate rispetto all'area sottesa alle curve.
scopio di Heisenberg, che consente una spiegazione molto
immediata e intuitiva della dirazione.
Da ultimo, è evidente che anche in questo caso spesso
si preferisce nella pratica convertire lo spostamento ango-
piccoli elementini: essi diventeranno sorgente di onde secondarie tutte in fase tra di loro.
Se preferite, in una
lare in spostamento lineare, cosa che si ottiene ponendo
lo schermo a distanza
D >> a e misurando la posizione x
visione un po' più sica, creerete in questo modo un ar-
dei minimi e massimi della gura di dirazione. Usando
ray di emettitori individuali, per esempio dipoli oscillanti,
le approssimazioni geometriche già ampiamente impiega-
tutti in fase fra loro.
te, si ottiene che la posizione dei primi minimi si trova a
Quello che qui stiamo esaminando somiglia molto a un
reticolo in cui abbiamo fatto tendere il numero
N
a inni-
d a zero, facendo in modo che il prodotto
a. Questo approccio, con qualche caute-
to e la spaziatura
Nd
tendesse ad
(x)min = ±Dλ/a. Di conseguenza la
ponendo noto λ (e D ), permette di
a.
misura di
x,
sup-
dedurre quella di
la, può essere eettivamente impiegato per determinare
la funzione
I(θ)
in questo caso. Con un po' di passaggi,
A.
Dirazione da apertura circolare
non tutti banali (al solito, potete cercarli nei testi di ottica o elettromagnetismo), si ottiene la cosiddetta funzione
di dirazione:
Abbiamo trattato nora delle situazioni sostanzialmente unidimensionali, cioè con aperture strette e lunghe,
sin2 (α)
α2
a
α = π sin θ ,
λ
I(θ) = I0
per le quali dirazione (e interferenza) hanno luogo solo
(9)
fare con sistemi a simmetria circolare, in particolare con
(10)
dove tutti i simboli sono ovvi o già deniti.
Facendo il limite per
±
α → 0
lungo una direzione cartesiana. Spesso, però, si ha a che
si vede che per questo
valore la funzione ha un massimo assoluto, che corrispon-
aperture circolari di diametro
a.
Anche se la sica dei fe-
nomeni rimane sostanzialmente la stessa, il passaggio da
coordinate cartesiane a coordinate circolari (cilindriche)
comporta delle dierenze di dettaglio, che vale la pena
sottolineare.
Si nota poi che essa ha dei mini-
In particolare per quello che riguarda la dirazione l'u-
mi quando il numeratore si annulla (escluso, ovviamente,
so delle coordinate cilindriche comporta una dierente
α → 0±
scrittura dell'Eq. 9, che diventa:
de a
(sin θ)max0 = 0.
che abbiamo appena riconosciuto come massi-
mo), cioè in corrispondenza di
ro, ovvero
(sin θ)min = mλ/a.
(α)min = mπ , con m inteTra i minimi si trovano dei
I(θ) = I0
(α)max00 = (m+ 1/2)π ,
= (m + 1/2)λ/a. Si ca-
massimi relativi, che si hanno per
con
m
intero, ovvero
(sin θ)max00
α=
pisce facilmente come la situazione sia ben diversa da
quella del reticolo per quanto riguarda l'altezza dei massimi.
Infatti il massimo assoluto è uno solo e tutti gli
altri hanno un'altezza che va diminuendo all'aumentare
di
|m|.
J12 (α)
α2
(11)
a
sin θ ,
λ
(12)
J1 rappresenta una (famosa)
funzione di Bessel di ordine uno.
dove
funzione
detta
Il primo zero di questa funzione, che fornisce la posi-
Tutto questo è ben riassunto nella Fig. 5, in cui
zione angolare del primo minimo della gura di dira-
sono stati riportati i risultati del calcolo per diversi valori
zione, si ha quando l'argomento è pari a 1.22, cioè per
di
a.
(sin θ)min = 1.22(λ/a).
La gura mostra in maniera molto chiara l'eetto ecla-
schermo (posto a distanza
tante della dirazione: a parte la presenza dei massimi
Supponendo di usare il solito
D >> a
dall'apertura) e le
solite approssimazioni, la gura di dirazione darà luogo
7
Figura 6. Rappresentazione tridimensionale dell gura di diffrazione che si osserva su uno schermo posto a distanza
cm quando radiazione di lunghezza d'onda
D = 10
λ = 500 nm viene
a = 20µm. Il
diratta da un'apertura circolare di diametro
calcolo è stato eseguito sulla base dell'Eq. 11.
Figura 7.
Simulazione dell'intensità su uno schermo (posto
a distanza
D =1
da
λ=
m) per una radiazione di lunghezza d'on-
500 nm che incide su un sistema di due fenditure di
spaziatura
d = 250 µm
e dimensione trasversale
ottenuta secondo quanto riportato nel testo.
a = 50 µm,
In gura so-
no indicati i fattori moltiplicativi per l'intensità delle frange
a un sistema di minimi di intensità di forma circolare,
Φ
il cui diametro
è legato al diametro
a
Φ = 2πmD1.22(λ/a), con m intero (spesso detto anche in
questo caso ordine di dirazione). Per intenderci, usando
a=
di diametro
za
D = 10
20
λ = 500 nm e un'apertura (pin hole)
µm, su uno schermo posto a distan-
cm si osserva un primo minimo di intensità
che forma un cerchio di diametro
Φ≈6
x = 0).
dell'apertura
attraverso la relazione, che potete facilmente vericare,
radiazione visibile a
distanti dall'asse geometrico del sistema (posizione
mm (la Fig. 6
mostra una rappresentazione tridimensionale di quanto si
osserva sullo schermo in questo caso, costruita sulla base
dell'Eq. 11).
sto a distanza
D = 1
m dal piano delle fenditure, per
cui l'asse orizzontale rappresenta la posizione sullo schermo. Osservate che l'intensità delle frange di interferenza
più lontane dall'asse geometrico del sistema (posizione
x = 0)
è stata moltiplicata per un fattore, come indicato
nel graco, per compensare la forte riduzione di intensità dovuta alla dirazione. Questa moltiplicazione, che
può suonare arbitraria, è in realtà compatibile con la risposta dell'occhio umano, la cui sensibilità è fortemente
nonlineare (generalmente quasi logaritmica). Il risultato
mostra chiaramente la presenza dei due distinti sistemi
di frange.
B.
Young revisited
Ovviamente la dirazione entre in gioco anche quando
si usa nella pratica un reticolo ottico. In questo caso l'ef-
Avevamo preannunciato che saremmo tornati a occu-
fetto è quello di abbattere l'intensità degli ordini di dira-
parci dell'interferenza da doppia fenditura (Young) per
zione superiori, per cui nelle applicazioni spettroscopiche
darne un'interpretazione più realistica. In realtà le due
ci si limita spesso a impiegare solo l'ordine
m = ±1.
fenditure incise sulla lamina opaca in quell'esperimento
hanno una dimensione trasversale nita, che qui indichiamo con
a,
dunque esse producono dirazione. Di conse-
guenza in un esperimento reale, come quello condotto in
laboratorio, la gura che si osserva sullo schermo è la
V. RECIPROCITÀ, IMPORTANZA DELLA
DIFFRAZIONE, CAMPO LONTANO E CAMPO
PROSSIMO
convoluzione di due fenomeni: interferenza dal sistema
delle due fenditure e dirazione da ognuna di esse. Infat-
Questo paragrafo conclusivo intende commentare in
ti nell'esperienza pratica si osservano due distinti sistemi
termini un po' più generali il fenomeno della dirazione.
di frange, cioè due distinti sistemi di minimi e massi-
È utile in primo luogo ricordare una sorta di principio,
mi di intensità regolari, con spaziature rispettivamente
proporzionali a
λ/d
e
λ/a.
La Fig. 7 mostra una simulazione in cui la modulazione dell'intensità dovuta all'interferenza delle due fen-
generalmente chiamato principio di reciprocità (o di Babinet) che fonda la sua esistenza su considerazioni molto generali legate all'invarianza per inversione temporale
delle equazioni di Maxwell e dell'equazione d'onda.
diture (Eq. 6) è stata moltiplicata per la modulazione
Negli esempi che abbiamo discusso, abbiamo sempre
dell'intensità dovuta alla dirazione da parte delle due
considerato che la dirazione, o l'interferenza, avesse ori-
fenditure (Eq. 9).
In questa ricostruzione numerica si
gine dalla sovrapposizione di onde secondarie generate da
è supposto di osservare le frange di interferenza, ovvero
regioni vuote (trasparenti) incise su lamine opache.
la gura di dirazione risultante, su uno schermo po-
Questo principio stabilisce che si ottengono eetti ana-
8
loghi, e trattabili con la stessa matematica, se i ruoli di
za a cui possono essere collocati due oggetti puntiformi
opaco e vuoto si invertono. In altre parole, una struttura
per essere apprezzati come distinti, è dell'ordine di
materiale opaca inserita in un ambiente trasparente pro-
Questo limite è in eetti una riscrittura dell'Eq. 11, cioè
duce dirazione, sia che abbia una geometria lineare (un
nasce da una manipolazione matematica di quella equa-
sottile lo, un capello, etc.), sia che abbia una geometria
zione, a testimonianza che esso è dovuto alla dirazione.
circolare (un granellino di polvere), o di altro tipo.
Dunque, per quanto bravi siate stati nel costruire le lenti
0.6λ.
Dunque la dirazione può essere davvero considera-
del vostro microscopio, potrete usarlo per determinare i
ta come un fenomeno universale nel mondo ondulato-
dettagli di oggetti che hanno dimensioni minime dell'or-
rio.
dine di
In ottica essa pone degli argomenti fondamentali
(non tecnologici) che producono conseguenze rilevanti
in tantissimi ambiti. Vediamone qualcuno a parole.
In un qualsiasi esperimento, usare radiazione lumino-
0.6λ,
che nel visibile signica diverse centinaia di
nm (decisamente troppo per la nanotecnologia!).
Se applichiamo di nuovo in senso inverso il principio di
reciprocità, possiamo concludere che le dimensioni tra-
0.6λ,
sa implica l'impiego di componenti (lenti, specchi, etc.)
sversali minime dello spot focale sono dell'ordine di
che hanno sempre necessariamente delle dimensioni -
anche qui a prescindere dalle qualità dei componenti usati
nite. Dunque i fasci hanno dimensioni trasversali nite
per focalizzare. Nei CD e DVD, che abbiamo già ricor-
e per questo motivo la descrizione con onde piane (ri-
dato in precedenza, la scrittura/lettura avviene per via
cordate che i fronti d'onda sono virtualmente inniti in
ottica.
direzione trasversale!) non è adeguata. La dirazione in-
dà la possibilità di raggiungere una densità di immagaz-
troduce un'ulteriore dicoltà: un fascio di luce non può
zinamento ottico dei dati nettamente superiore.
essere mai considerato come completamente collimato,
può essere interessante sapere che l'evoluzione tecnologi-
per cui non solo l'estensione trasversale dei fronti d'onda
ca dall'uno all'altro è stata soprattutto conseguenza della
è nita, ma essa, in qualche misura, dipende anche dalla
disponibilità di sorgenti (laser a diodo) operanti a lun-
posizione lungo la direzione di propagazione dell'onda.
ghezze d'onda minori, da oltre 800 nm per i primi CD, a
Il DVD, grazie al pitch minore rispetto al CD,
Bene,
La dirazione ha anche un'altra conseguenza fonda-
660 nm per i DVD. Una delle ultime evoluzioni di questa
mentale: a dierenza di quanto prevede l'ottica geome-
tecnologia, il Blue-Ray, deve il suo nome al fatto di im-
trica, un fascio non può neanche essere completamente
piegare sorgenti laser nel blu (405 nm). Infatti, sulla base
focalizzato a formare un punto. Qualsiasi sia il sistema
di quanto abbiamo appena stabilito, ridurre la lunghezza
ottico (lente, obiettivo, o altro) impiegato per ridurre le
d'onda consente (assieme a tanti altri dettagli di tipo tec-
dimensioni del fascio, cioè per focalizzarlo, le dimensioni
nologico) di ridurre lo spot focale, e quindi di aumentare
trasversali dello spot focale saranno sempre nite.
la densità dei bit ottici che contengono l'informazione.
Sfruttiamo, in una forma un po' diversa rispetto a
Inne facciamo un'ultima considerazione: di fatto, in
quanto enunciato prima, il principio di reciprocità per
tutta la nostra trattazione abbiamo seguito un approccio
aermare che le minime dimensioni dello spot sono para-
di campo lontano. In particolare l'andamento dell'inten-
gonabili alle minime dimensioni trasversali di un oggetto
sità per dirazione che abbiamo ottenuto (dirazione di
puntiforme (opaco o trasparente che sia) misurate con un
Fraunhofer) vale solo se la distanza a cui verichiamo
microscopio ottico convenzionale. Un microscopio ottico
gli eetti della dirazione stessa è molto maggiore della
è uno strumento che, usando una combinazione di lenti
dimensione dell'apertura (in pratica,
(obiettivo e oculare), è in grado di fornire un'immagi-
pena di ricordare che la dirazione produce eetti estre-
ne ingrandita di un oggetto.
D >> a).
Vale la
L'ingrandimento dipende
mamente interessanti anche per distanze molto piccole,
solo dalle caratteristiche delle lenti usate e può essere
nel regime che si chiama di campo prossimo. Interpreta-
virtualmente reso grande a volontà.
re questi eetti richiede di usare una matematica diversa
Tuttavia, a causa della dirazione l'immagine dell'og-
nella quale, ad esempio, il carattere propagante delle
getto puntiforme verrà allargata, cioè si formerà una -
onde elettromagnetiche non è più rilevante (se vi ponete a
gura di dirazione con un diametro nito e non nullo.
piccola distanza da un insieme di dipoli oscillanti, il ritar-
Se supponiamo di avere due distinti oggetti puntiformi,
do di fase delle varie onde dovuto alla propagazione può
il nostro microscopio, per quanto ranato, ci permetterà
diventare trascurabile!). È interessante notare che l'op-
di distinguerli solo se le gure di dirazione prodotte dai
portunità di porsi a piccola distanza dalla sorgente della
due oggetti sono abbastanza separate l'una rispetto al-
dirazione (usare il campo prossimo) è talvolta impie-
l'altra. Storicamente è stato introdotto un criterio (detto
gata proprio per superare i limiti di risoluzione spaziale
criterio di Rayleigh, peraltro piuttosto ottimista) che ha
dovuti alla dirazione, cioè per costruire microscopi con
condotto a un limite, detto limite di Abbe, che stabilisce
elevatissimo potere risolutivo o localizzare la radiazione
che il massimo potere risolvente, cioè la minima distan-
luminosa in regioni spazialmente limitate.
[1] Il cammino ottico è il prodotto tra distanza percorsa e
indice di rifrazione del mezzo in cui l'onda si propaga.
Qui supponiamo di essere nel vuoto, per cui cammino e
cammino ottico coincidono.

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