Corso di dottorato: “Metodi variazionali per la meccanica e i materiali” Lezione 3: Variazione prima Generalizzazione del Teorema di Fermat Michela Eleuteri Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Firenze January 19, 2014 Differenziabilità per funzionali Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X . Definizione Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto differenziale di Fréchet di F in y0 tale che F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h) →0 ||h|| se ||h|| → 0. Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo Fréchet Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...), allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in dimensione infinita) (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Differenziabilità per funzionali Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X . Definizione Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto differenziale di Fréchet di F in y0 tale che F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h) →0 ||h|| se ||h|| → 0. Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo Fréchet Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...), allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in dimensione infinita) (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Differenziabilità per funzionali Sia Y ⊂ X aperto di uno spazio normato X . Definizione Differenziale secondo Fréchet: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Fréchet in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyF0 : X → R detto differenziale di Fréchet di F in y0 tale che F (y0 + h) − F (y0 ) − LyF0 (h) →0 ||h|| se ||h|| → 0. Osserviamo che per una funzione reale di più variabili reali, la nozione di differenziabilità coincide con la nozione di differenziabilità secondo Fréchet Se si richiede che LyF0 sia anche continuo (o condizioni equivalenti...), allora la differenziabilità secondo Fréchet implica la continuità (anche in dimensione infinita) (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Differenziabilità per funzionali Definizione Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto differenziale di Gâteau di F in y0 tale che F (y0 + th) − F (y0 ) − LyG0 (h) → 0 t se t → 0. Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio: f (x, y) = 1 0 |y| > x2 ∨ y = 0 altrove La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (. ESERCIZIO ) Michela Eleuteri Lezione 3 Differenziabilità per funzionali Definizione Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto differenziale di Gâteau di F in y0 tale che F (y0 + th) − F (y0 ) − LyG0 (h) → 0 t se t → 0. Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio: f (x, y) = 1 0 |y| > x2 ∨ y = 0 altrove La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (. ESERCIZIO ) Michela Eleuteri Lezione 3 Differenziabilità per funzionali Definizione Differenziale secondo Gâteau: Un funzionale F si dice differenziabile secondo Gâteau in y0 ∈ Y se esiste un funzionale lineare LyG0 : X → R detto differenziale di Gâteau di F in y0 tale che F (y0 + th) − F (y0 ) − LyG0 (h) → 0 t se t → 0. Se F è differenziabile secondo Fréchet, allora è differenziabile secondo Gâteau (. ESERCIZIO); il viceversa non vale. Controesempio: f (x, y) = 1 0 |y| > x2 ∨ y = 0 altrove La differenziabilità secondo Gâteau non implica la continuità (. ESERCIZIO ) Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h|| “ammissibili” G(t) = F (y0 + th) Vogliamo calcolare G0 (0). Si ha G(t + s) − G(t) F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th) = lim s→0 s→0 s s G0 (t) = lim da cui F (y0 + sh) − F (y0 ) = LyG0 s→0 s G0 (0) = lim Possiamo anche scrivere G0 (0) = dF (y0 + th) dt t=0 e si può far vedere che se il funzionale dF (y0 + th) h 7→ dt t=0 è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h|| “ammissibili” G(t) = F (y0 + th) Vogliamo calcolare G0 (0). Si ha G(t + s) − G(t) F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th) = lim s→0 s→0 s s G0 (t) = lim da cui F (y0 + sh) − F (y0 ) = LyG0 s→0 s G0 (0) = lim Possiamo anche scrivere G0 (0) = dF (y0 + th) dt t=0 e si può far vedere che se il funzionale dF (y0 + th) h 7→ dt t=0 è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Se F è differenziabile secondo Gâteau in y0 , si può definire per t e ||h|| “ammissibili” G(t) = F (y0 + th) Vogliamo calcolare G0 (0). Si ha G(t + s) − G(t) F (y0 + (t + s)h) − F (y0 + th) = lim s→0 s→0 s s G0 (t) = lim da cui F (y0 + sh) − F (y0 ) = LyG0 s→0 s G0 (0) = lim Possiamo anche scrivere G0 (0) = dF (y0 + th) dt t=0 e si può far vedere che se il funzionale dF (y0 + th) h 7→ dt t=0 è lineare, allora coincide col differenziale secondo Gâteau Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Definizione Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale definito in X da δ F (h) = dF (y0 + th) dt t=0 δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau Esempio: g : R2 → R definita da g(x, y) = xy2 x2 + y2 0 (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) g(th,tk) t 3 hk2 hk2 = lim 3 2 = t→0 t→0 t (h + k2 ) t h2 + k2 quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo δ g(h, k) = lim Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile) Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Definizione Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale definito in X da δ F (h) = dF (y0 + th) dt t=0 δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau Esempio: g : R2 → R definita da g(x, y) = xy2 x2 + y2 0 (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) g(th,tk) t 3 hk2 hk2 = lim 3 2 = t→0 t→0 t (h + k2 ) t h2 + k2 quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo δ g(h, k) = lim Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile) Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Definizione Variazione prima secondo Gâteau: Diremo variazione prima secondo Gâteau del funzionale F in y0 ∈ Y e la indicheremo con δ F (h), il funzionale definito in X da δ F (h) = dF (y0 + th) dt t=0 δ F (h) è lineare se e solo se F è differenziabile secondo Gâteau Esempio: g : R2 → R definita da g(x, y) = xy2 x2 + y2 0 (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) g(th,tk) t 3 hk2 hk2 = lim 3 2 = t→0 t→0 t (h + k2 ) t h2 + k2 quindi siccome δ g(h, k) non è lineare, g non è differenziabile secondo δ g(h, k) = lim Gâteau e quindi nemmeno secondo Fréchet (cioè non è differenziabile) Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale omogeneo, cioè δ F (λ h) = λ δ F (h) ∀λ ∈ R (. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...) L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il Teorema Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di un funzionale F se e solo se F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h) lim t→0 ε(th) =0 t La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la variazione prima è univocamente determinata. Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale omogeneo, cioè δ F (λ h) = λ δ F (h) ∀λ ∈ R (. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...) L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il Teorema Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di un funzionale F se e solo se F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h) lim t→0 ε(th) =0 t La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la variazione prima è univocamente determinata. Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale omogeneo, cioè δ F (λ h) = λ δ F (h) ∀λ ∈ R (. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...) L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il Teorema Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di un funzionale F se e solo se F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h) lim t→0 ε(th) =0 t La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la variazione prima è univocamente determinata. Michela Eleuteri Lezione 3 Variazione prima secondo Gâteau Osservazione: La variazione prima di un funzionale F è un funzionale omogeneo, cioè δ F (λ h) = λ δ F (h) ∀λ ∈ R (. ESERCIZIO (Hint:) basta osservare che se s → 0 allora anche λ s → 0, quindi moltiplico num. e den. per λ ...) L’incremento del funzionale F (y0 + h) − F (y0 ) si può rappresentare attraverso la sua variazione prima. Infatti vale il Teorema Un funzionale omogeneo del primo ordine L : X → R è la variazione prima di un funzionale F se e solo se F (y0 + h) − F (y0 ) = L(h) + ε(h) lim t→0 ε(th) =0 t La dimostrazione si basa sulle proprietà di omogeneità del funzionale variazione prima. (. ESERCIZIO). Questo teorema implica che la variazione prima è univocamente determinata. Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Assegnato F : U → R, con U ⊂ X , se U non è un aperto o un sottospazio di X , si deve considerare lo spazio delle variazioni ammissibili H = {h ∈ X : x + h ∈ U } per ogni x ∈ U Definizione Diremo che x0 è minimo locale se esiste δ tale che per ogni h ∈ H con ||h|| < δ vale F (x0 ) ≤ F (x0 + h) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Assegnato F : U → R, con U ⊂ X , se U non è un aperto o un sottospazio di X , si deve considerare lo spazio delle variazioni ammissibili H = {h ∈ X : x + h ∈ U } per ogni x ∈ U Definizione Diremo che x0 è minimo locale se esiste δ tale che per ogni h ∈ H con ||h|| < δ vale F (x0 ) ≤ F (x0 + h) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Teorema Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X , allora δ F (h) = 0 per ogni h ∈ H Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della variazione prima (. ESERCIZIO) Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0 Z b g(x)h(x) dx = 0. a Allora g(x) = 0 in [a, b]. Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Teorema Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X , allora δ F (h) = 0 per ogni h ∈ H Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della variazione prima (. ESERCIZIO) Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0 Z b g(x)h(x) dx = 0. a Allora g(x) = 0 in [a, b]. Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Teorema Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X , allora δ F (h) = 0 per ogni h ∈ H Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della variazione prima (. ESERCIZIO) Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0 Z b g(x)h(x) dx = 0. a Allora g(x) = 0 in [a, b]. Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat Teorema Sia x0 un minimo locale di F definito in U . Se F ammette variazione prima e lo spazio H delle variazioni ammissibili è un sottospazio lineare di X , allora δ F (h) = 0 per ogni h ∈ H Dimostrazione (Hint): teorema di rappresentazione dell’incremento del funzionale F attraverso la sua variazione prima + studio del segno della variazione prima (. ESERCIZIO) Teorema: Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni Sia g ∈ C 0 ([a, b]) tale che per ogni h ∈ C 1 ([a, b]) con h(a) = h(b) = 0 Z b g(x)h(x) dx = 0. a Allora g(x) = 0 in [a, b]. Dimostrazione per assurdo (. ESERCIZIO) Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (1/3) Esempio Sia F1 (u) = Z 1 2 (1 − u0 )2 dx 0 nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = 0, u(1) = −1}. Sia u0 un minimo locale di F1 in U . Allora δ F1 (h) = − Z 1 0 2 4(1 − u00 )u00 h0 dx = 0 per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0. Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (2/3) Esempio Sia F2 (u) = Z 1 2 (1 + u0 ) dx 0 nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = u(1) = 0}. Sia u0 un minimo locale di F2 in U . Allora δ F2 (h) = Z 1 0 2u00 h0 dx = 0 per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0. Quindi prendendo h = u0 si ottiene u00 = 0 quindi u0 costante perché nulla agli estremi Michela Eleuteri Lezione 3 Generalizzazione del Teorema di Fermat: Esempi (3/3) Il Teorema di Fermat non si può invertire Sia F3 (u) = Z 1 (u2 + xu0 ) dx 0 nella classe U = {u ∈ C 1 ([0, 1]) : u(0) = 1, u(1) = 0}. Sia u0 tale che la variazione prima di F3 in u0 sia il funzionale nullo δ F3 (h) = Z 1 0 (2u0 h + xh0 ) dx = 0 per ogni h ∈ C 1 ([0, 1]) con h(0) = h(1) = 0. Integrando per parti, essendo [xh]10 = 0 si ha Z 1 0 (2u0 − 1) dx = 0 quindi dal Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni si ha u0 = 1/2 che non soddisfa le condizioni agli estremi. Quindi F non ha minimi locali. Michela Eleuteri Lezione 3
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