Geometria Combinatoria

GEOMETRIA COMBINATORIA
a.a. 2014-2015
Insegnamento: Geometria Combinatoria
Docenti: Francesco Mazzocca – Vito Napolitano
Settore Scientifico Disciplinare: MAT/03
CFU
ORE
8=8L
64
Obiettivi formativi: Introduzione allo studio delle strutture geometriche finite, con particolare
riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche.
Propedeuticità: Nessuna.
Prerequisiti: si richiedono conoscenze di base di geometria e di algebra.
Modalità di svolgimento: lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova orale e/o di una prova scritta.
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Richiami e argomenti preliminari. Corpi e campi, Anelli dei polinomi a coefficienti in un
campo in una variabile. Teoria dei campi: elementi algebrici, estensioni semplici,
estensioni algebriche, campo di spezzamento di un polinomio. Spazi proiettivi su campi.
Campi Finiti. Proprietà algebriche dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei
campi finiti, teorema di esistenza ed unicità dei sottocampi di un campo finito, teorema
dell’elemento primitivo. Automorfismi di un campo finito. Gruppo dei q-automorfismi di
GF(qn). Spazi proiettivi su campi finiti.
Polinomi e varietà algebriche su campi finiti. Radici dell'unità e potenze. Quadrati e
non quadrati di un campo finito di caratteristica dispari. Le funzioni traccia e norma.
Risoluzione di un’equazione di 2° grado a coefficienti in GF(q). L'anello dei polinomi in più
variabili su un campo finito. Funzioni. Ideali di polinomi e varietà algebriche. Teorema di
Chevally-Warning e conseguenze.
Sottopiani, archi e calotte di ordine massimo. Caratteri di un insieme di punti in un
piano proiettivo finito. Sottopiani. Archi in PG(2,q). Ovali e iperovali. Ovali in PG(2; q), q
dispari: lemma delle tangenti, teorema di Segre. Iperovali in PG(2; q) ed o-polinomi, q pari:
teorema di Segre. Calotte e ovoidi in PG(3,q).
Insiemi lineari. Definizione di F_q-insieme lineare di PG(r,q^n) e proprietà. Esempi di
insiemi lineari. Peso di un sottospazio in un insieme lineare. Ordine di un insieme lineare.
Teorema di caratterizzazione.
Strutture di incidenza e geometrie proiettive. Geometrie. Rango di una geometria.
Geometrie di rango 2: strutture di incidenza. Duale di una geometria di rango 2. Principio
di dualità di geometrie di rango 2. Isomorfismi e collineazioni. Spazi proiettivi. Piani
proiettivi e principio di dualità per piani proiettivi. Struttura di uno spazio proiettivo:
Teorema dello scambio(di Steinitz), teorema di estensione della base, dimensione e
formula dimensionale. Geometrie quozienti. Spazi proiettivi finiti. Spazi proiettivi PG(n, F).
Dimostrazione del teorema di Desargues in PG(n, F). Spazi affini. Un esempio di piano
non desarguesiano: il piano di Moulton. Coordinate omogenee. Curve razionali normali.
Coordinazione di uno spazio proiettivo d’ordine 2. Un’applicazione degli spazi proiettivi
d’ordine 2 in teoria dei codici. Cenni sulla coordinazione di uno spazio proiettivo nel caso
generale. Spazi lineari finiti. Il teorema di de Bruijn-Erdös per gli spazi lineari finiti.
Un’applicazione del teorema di de Bruijn- Erdös: un problema di comunicazione. Insiemi
differenza. Piani proiettivi finiti costruiti da insiemi differenza. Cicli di Singer. Una
caratterizzazione dei piani proiettivi finiti costruiti a partire da insiemi differenza. Proprietà
dei cicli di Singer di uno spazio proiettivo finito desarguesiano. Quadrati latini. M.O.L.S. ed
esistenza di piani proiettivi. Disegni a blocchi. Disuguaglianza di Fisher. Disegni
simmetrici. Disegni dalla geometria finita. Il teorema di Dembowski-Wagner
Applicazioni della geometria in crittografia . Prime nozioni di crittografia. Principio di
Kerchoffs. Cifratura: Algoritmo one-time pad. Cifrari a scorrimento. Teorema di Shannon e
postulati di Golomb. Sequenze periodiche e cicli di Golomb. Cicli di Golomb ottenuti da
vettori di incidenza di iperpiani di PG(2, q). Autenticazione: sistemi di autenticazione
cartesiani. Teorema di Gilbert, Mac Williams, Sloane. Sistemi di autenticazione perfetti. Un
sistema di autenticazione perfetto costruito da piani proiettivi finiti. Reti. Parallelismo. Ogni
sistema di autenticazione perfetto è geometrico. Sistemi di autenticazione n-fold perfetti e
curve razionali normali. Cenni di crittografia asimmetrica (a chiave pubblica): algoritmo
RSA.
Testi consigliati
- Beutelspacher A., Rosenbaum U., Projective Geometry: from foundations to
applications, Cambridge University Press.
- Cameron P. J., Projective and Polar spaces, QMW Math Notes 13.
- Cameron P.J., Combinatorics: topics, techniques and algorithms. Cambridge
University Press (1996).
- Lidl R., Niederreiter H.: Finite Fields, Encyclopedia of Matehmatics and its
Applications 20, Cambridge University Press.
- Mazzocca F., Note di Geometria Combinatoria. Cromografica Roma S.r.l.,
Roma, per il Gruppo Editoriale l’Espresso S.p.A. (2013).
- Small C., Arithmetic of finite fields, Pure and Applied mathematics 148, Dekker.

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