Lucidi calcolo delle probabilità

Calcolo combinatorio
PRINCIPIO BASE DEL CONTEGGIO
Se dobbiamo compiere due esperimenti consecutivi ed il primo esperimento può assumere N
risultati diversi e per ognuno di questi il secondo esperimento ne può assumere M, allora in totale ci
sono NxM risultati totali.
DEFINIZIONE Sia A = {a1 , a2 ,K , an } un insieme di n oggetti distinti. Ogni ordinamento degli
elementi di A si chiama permutazione semplice.
(a, b, c),(a, c, b),(b, a, c),
ESEMPIO. Sia A = {a, b, c} . Le permutazioni di A sono (b, c, a),(c, a, b),(c, b, a).
TEOREMA Il numero di permutazioni (semplici) di un insieme finito A = {a1 , a2 ,K, an } è
Pn = n ! = n ( n − 1)( n − 2) ⋅K ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
DIMOSTRAZIONE
DEFINIZIONE Sia
{
}
A = ar1 , ar2 ,K, arh un insieme di n oggetti non tutti distinti, tale che
r1 + r2 + K + rh = n , dove con ri si è indicata la molteplicità dell’elemento i-esimo. Ogni
ordinamento degli elementi di A si chiama permutazione con ripetizione.
ESEMPIO. Sia A = {a, b, c, a} = {a2 , b1 , c1} . Le permutazioni con ripetizione di A sono:
(ܽ, ܾ, ܿ, ܽ) (ܽ, ܾ, ܽ, ܿ) (ܽ, ܿ, ܾ, ܽ) (ܾ, ܽ, ܿ, ܽ) (ܾ, ܿ, ܽ, ܽ) (ܾ, ܽ, ܿ, ܿ)
(ܽ, ܿ, ܽ, ܾ) (ܽ, ܽ, ܾ, ܿ) (ܽ, ܽ, ܿ, ܾ) (ܿ, ܽ, ܾ, ܽ) (ܿ, ܽ, ܽ, ܾ) (ܿ, ܾ, ܽ, ܽ)
TEOREMA Il numero di permutazioni con ripetizione di un insieme finito di n oggetti
{
}
A = ar1 , ar2 ,K , arh ognuno contato con la propria molteplicità è
DIMOSTRAZIONE
Prn1 r2Krh =
n!
r1 !r2 !Krh !
DEFINIZIONE Sia A = {a1 , a2 ,K, an } un insieme di n oggetti distinti. Ogni sottoinsieme di A
costituto da k elementi, 0 ≤ k ≤ n , si chiama combinazione semplice di classe k.
A = {a, b, c, d } . Le combinazioni semplici di classe 3 di A sono
{a, b, c},{a, b, d },{a, c, d },{b, c, d } .
ESEMPIO. Sia
TEOREMA Il numero di combinazioni semplici di classe k, 0 ≤ k ≤ n , di un insieme costituito da
n elementi distinti è
n
n!
Cn,k =   =
.
 k  k !(n − k )!
ESEMPIO. In una classe di 100 studenti si possono formare
gruppi di studio formati da 5 di essi.
100  100!
C100,5 = 
= 75287520
=
 5  5!⋅ 95!
DEFINIZIONE Sia A = {a1 , a2 ,K, an } un insieme di n oggetti distinti. Ogni sottoinsieme ordinato
di A di cardinalità k si chiama disposizione semplice di classe k.
ESEMPIO. Sia A = {a, b, c, d } . Le disposizioni semplici di A di classe 2 sono:
(ܽ, ܾ) (ܾ, ܽ) (ܽ, ܿ) (ܿ, ܽ) (ܽ, ݀) (݀, ܽ)
(ܾ, ܿ) (ܿ, ܾ) (ܾ, ݀) (݀, ܾ) (ܿ, ݀) (݀, ܿ)
TEOREMA Il numero di disposizioni semplici di classe k, 0 ≤ k ≤ n , di un insieme A tale che
card ( A) = n è
Dn,k =
n!
(n − k )!
DIMOSTRAZIONE
ESEMPIO. Si deve formare una squadra di mini-basket (3 giocatori) da scegliere fra 13 ragazzi.
Quante squadre diverse costituite da un centro, un play ed un’ala si possono formare? Due squadre
sono diverse se sono diversi i ragazzi che le formano ma anche se essi assumono ruoli diversi.
13!
D13,3 =
= 1716
10!
DEFINIZIONE Sia A = {a1 , a2 ,K, an } un insieme di n oggetti distinti. Ogni gruppo ordinato
costituto da k elementi non necessariamente distinti, estratti da A si chiama disposizione con
ripetizione di classe k.
ESEMPIO. Sia A = {a, b, c} . Le disposizioni con ripetizione di classe 3 di A sono:
(ܽ, ܽ) (ܾ, ܾ) (ܿ, ܿ) (ܽ, ܾ) (ܾ, ܽ)
(ܽ, ܿ)
(ܿ, ܽ) (ܾ, ܿ) (ܿ, ܾ).
TEOREMA Il numero di disposizioni con ripetizione di classe k, di un insieme costituito da n
r
k
elementi è Dnk = n .
ESEMPIO. Quattro amici prenotano quattro posti a teatro. In quanti modi diversi possono sedersi?
 4
4!
D4,4 = C4,4 P4 =   4! = = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24
0!
 4
Eventi e loro algebra
DEFINIZIONE Dicesi evento aleatorio standard (o semplicemente evento) una proposizione che,
in seguito ad un esperimento, deve risultare vera o falsa, senza dare adito ad equivoci.
ESEMPIO. La frase “oggi è una bella giornata” non è un evento infatti per qualcuno può esserlo
ma per altri no.
ESEMPIO. E = “oggi abbiamo una temperatura > 18 gradi” è un evento in quanto non è ambigua.
ESEMPIO. La frase G=”Il 12 dicembre 2014 sarà il giorno della fine del mondo” è un evento.
DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, si dice che A implica B, in simboli
A⇒ B,
quando dall’essere vero A segue che è vero anche B.
DEFINIZIONE Gli eventi A e B si dicono equivalenti, o semplicemente uguali, in simboli
A= B,
se e solo se
A⇒ B e B ⇒ A.
DEFINIZIONE Dato un evento A si chiama contrario (negazione) di A, in simboli
quell’evento che è vero quando A è falso ed è falso quando A risulta vero.
Ac = A ,
DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, la loro somma logica, in simboli A ∪ B , è
quell’evento che è vero se lo è almeno uno dei due.
DEFINIZIONE Assegnati due eventi, A e B, il loro prodotto logico, in simboli A ∩ B è
quell’evento che è vero se lo sono entrambi.
ESEMPIO. Una coppia ha due figli, siano assegnati i seguenti eventi
A=”il primo figlio è un maschio”,
B=”il secondo figlio è un maschio”.
Con ovvio significato dei simboli si ha
C = A ∪ B = {MM , MF , FM } ,
D = A ∩ B = {MM } .
PROPRIETA’ 1. Per tutti gli eventi valgono le seguenti proprietà:
a) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A
ESEMPIO. I seguenti due eventi sono uguali
( A ∪ B)
c
= “nessuno dei figli è maschio”,
Ac ∩ B c = “tutti e due i figli sono femmina”
ESEMPIO. I seguenti due eventi sono uguali
( A ∩ B)
c
c
c
c
c
c
c
c c
c) ( A ) = A d) ( A ∪ B ) = A ∩ B e) ( A ∩ B ) = A ∪ B .
= “non è vero che entrambi i figli sono maschi”,
Ac ∪ B c = “almeno uno dei due figli è femmina”.
L’evento certo, indicato con
dicono possibili.
Ω
. L’evento impossibile, indicato con
∅ . Tutti gli altri eventi si
DEFINIZIONE Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi
contemporaneamente.
PROPRIETA’ 2. Per tutti gli eventi valgono le seguenti proprietà:
a) A∪Ω = Ω b) A ∩ Ω = A
c
f) A ∩ A = ∅
c) A ∪ ∅ = A
d) A ∩ ∅ = ∅
c
e) A ∪ A = Ω,
g) A, B incompatibili ⇔ A ∩ B = ∅ .
{ A1 , A 2 ,..., A n } si chiama classe completa di eventi
DEFINIZIONE Un insieme di n eventi
incompatibili e necessari (spazio campionario) se valgono entrambe le condizioni:
i ≠ j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅;
n
U A = Ω.
i
i =1
.
ESEMPIO. Nel considerare la prova lancio di un dado l’insieme di eventi { E i ; i = 1,..., 6}
Con Ei = ”si presenta la faccia i” costituisce una classe di eventi incompatibili e necessari. Infatti
due di essi non possono verificarsi contemporaneamente e nello stesso tempo uno di essi si verifica
con certezza.
DEFINIZIONE Dicesi evento condizionato E | H (o evento E subordinato al verificarsi di H) un
evento che assume i seguenti valori
ܸ
‫ = ܪ|ܧ‬൝‫ܨ‬
‫ܫ‬
se ‫ܪ ∩ ܧ‬
se ‫ ܧ‬௖ ∩ ‫ ܪ‬
se
‫ܪ‬௖
ESEMPIO E=“Tizio supera l’esame di matematica”; H=” Tizio supera l’esame di fisica”
ܸ
‫" = ܪ|ܧ‬supera MAT dato che supera FIS" = ൝‫ܨ‬
‫ܫ‬
se supera sia MAT che FIS
se supera FIS ma non MAT
se
non supera FIS
Le diverse definizioni di probabilità
DEFINIZIONE (classica) La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli
all’evento ed il numero di tutti i casi possibili, giudicati egualmente possibili.
ESEMPIO. Si consideri l’evento E = “esce un faccia dispari al prossimo lancio”.
p( E ) =
card ( E) 3 1
= = .
card (Ω) 6 2
DEFINIZIONE (frequentistica) La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo.
ESEMPIO. Lanciamo 100000 volte una moneta ed osserviamo che testa si presenta 50350 volte.
Stimiamo allora
50350
p(T ) =
= 0.5035
100000
DEFINIZIONE (assiomatica) La probabilità di un evento E è il numero p ( E ) che soddisfa i
seguenti assiomi:
a) 0 ≤ p ( E ) ≤ 1
b) p ( Ω ) = 1
∀ E1 , E2 ,..., En ,... tali che
c) i ≠ j ⇒ Ei ∩ E j = ∅ si ha:
p ( E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En ∪ ...)
= p( E1 ) + p( E2 ) + ... + p( En ) + ...
DEFINIZIONE (soggettiva) La probabilità di un evento è il grado di fiducia che un individuo
coerente attribuisce al suo verificarsi.
PROPOSIZIONE Assegnati due eventi qualsiasi, A, G, valgono le relazioni:
c
1. p ( E ) = 1 − p ( E )
DIMOSTRAZIONE
2. p (∅ ) = 0
DIMOSTRAZIONE
3. teorema delle probabilità totali
p ( E ∪ G ) = p ( E ) + p (G ) − p ( E ∩ G )
DIMOSTRAZIONE
4. se E ⇒ G allora
p ( E ) ≤ p (G ) .
DIMOSTRAZIONE
Valutazioni di probabilità nell’ipotesi di casi elementari equiprobabili
ESEMPIO. Estraendo a caso una carta da un mazzo di carte francesi (sono 52 suddivise in 4 semi
(picche, cuori, quadri e fiori) di 13 carte ciascuno (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A)) ci
proponiamo di calcolare la probabilità che essa sia:
a. Il re di cuori
p(Kc) =
b. Un asso di qualsiasi seme
card (Kc) 1
=
card (Ω) 52
p(A) =
card (A) 4 1
= =
card (Ω) 52 13
card (q) 13 1
p
(q)
=
=
=
c. Una carta qualsiasi di quadri
card (Ω) 52 4
d. Un asso oppure un re
p(K ∪ A) = p(K)+p(A) =
1 1 2
+ =
13 13 13
p(Qc ∩ cc )
c
= p ( Q ∪ c) = 1 − p ( Q ∪ c)
= 1 − ( p ( Q) + p ( c) − p ( Q ∩ c))
e. Né una donna né una carta di fiori
1 1 1 
= 1−  + − 
 13 4 52 
16 36 9
= 1− =
= .
52 52 13
Cenni alla probabilità condizionata
La probabilità condizionata di un evento E rispetto a un evento H è la probabilità che si verifichi
E, sapendo che H è verificato.
TEOREMA (probabilità composte) Assegnati due eventi qualsiasi, E, H, si ha
p( H ∩ E ) = p( H ) p( E | H )
DEFINIZIONE Due eventi H ed E si dicono stocasticamente indipendenti se
p( H ∩ E ) = p( H ) p( E ) .
Da un punto di vista forse più intuitivo si può introdurre il concetto di indipendenza stocastica
anche in modo diverso. Se consideriamo due eventi E ed H con probabilità diversa da zero allora
possiamo dire che E è indipendente da H (stocasticamente) se
ܲ(‫ = ) ܪ| ܧ‬P(E),
ESEMPIO. Supponiamo di lanciare un dado e consideriamo gli eventi:
H = “esce un numero maggiore di 3”;
E = “esce un numero pari”
Mostrare che ܲ(‫)ܪ| ܧ(ܲ ≠ ) ܧ‬.
ESEMPIO. Supponiamo di lanciare un dado e consideriamo gli eventi:
H = “esce un numero minore di 5”;
Mostrare che ܲ(‫)ܪ| ܧ(ܲ = ) ܧ‬.
E = “esce un numero pari”
FORMULA DI BAYES Per due eventi E ed H di probabilità strettamente positiva si ha:
p( H | E ) =
p( H ) p( E | H )
p( H ) p ( E | H ) + p( H c ) p ( E | H c )
DIMOSTRAZIONE
TEOREMA DI BAYES Data una classe completa finita di eventi incompatibili e necessari
{H1 , H 2 ,..., H n } cui sia stata assegnata una probabilità ed un evento E
con p ( E ) > 0 , per ogni
i = 1, 2,..., n , si ha:
p( H i | E ) =
p( H i ) p( E | H i )
n
∑ p( H j ) p( E | H j )
.
j =1
Fissato un indice i la p ( H i ) si chiama probabilità a priori dell’evento H i e p ( H i | E ) si chiama
probabilità a posteriori condizionata ad E, dove E è un evento osservabile ossia il risultato di un
esperimento statistico.
L’efficacia del teorema sta nel fatto che ogni H i possa essere considerato come una spiegazione
possibile del verificarsi di E.
ESEMPIO. Sulla base di indagini medico-statistiche è noto che lo 0,001% degli italiani è affetto da
AIDS mentre lo 0,01% degli italiani appartiene a una delle cosiddette categorie a rischio. Inoltre si
sa che tra gli ammalati di AIDS l’80% appartiene ad una categoria a rischio. Si determini la
probabilità che un italiano appartenente ad una categoria a rischio sia affetto da AIDS.
Soluzione
P(AIDS)=0,001%=10ିଷ ∙ 10ିଶ = 10ିହ ;
P(RISCHIO)=0,01%=10ିଶ ∙ 10ିଶ = 10ିସ ;
P(RISCHIO|AIDS)=0,8 ;
Applichiamo la Formula di Bayes
P(AIDS|RISCHIO)=
8%
௉(஺ூ஽ௌ ∩ ோூௌ஼ுூை)
௉(ோூௌ஼ுூை)
=
௉(ோூௌ஼ுூை |஺ூ஽ௌ) ∙௉(஺ூ஽ௌ)
௉(ோூௌ஼ுூை)
=
଴,଼∙ଵ଴షఱ
ଵ଴షర
=0,8∙ 10ିଵ = 0,08 =
ESEMPIO. Per determinare la presenza di un certo virus si utilizza un test clinico che può dare
esito positivo o negativo e che ha le seguenti caratteristiche qualitative:
VIRUS
\ TEST
SI
NO
POSITIVO
99%
2%
NEGATIVO
1%
98%
E’ noto che solo due persone su diecimila hanno il virus.
Sulla base di questa tabella l’ente di controllo statale sui farmaci autorizza la vendita del test. Voi
che ne dite?
Soluzione
Nel 99% dei casi il test dà esito positivo quando c’è il virus.
Nel 98% dei casi il test da esito negativo quando il virus non c’è.
Tutto sommato sembra un buon test ma….
S=evento “il soggetto considerato ha il virus”
N=evento “il soggetto considerato non ha il virus”
ܲ(ܵ) =
2
= 0,0002;
10000
ܲ(ܲ‫ = )ܵ | ݏ݋‬0,99;
ܲ(ܲ‫ = )ܰ | ݏ݋‬0,02;
ܲ(ܰ) = 0,9998 ,
ܲ(ܰ݁݃ | ܵ) = 0,01 ,
ܲ(ܰ݁݃ | ܰ) = 0,98 .
Il test, per essere un valido strumento per determinare la presenza del virus nella popolazione, deve
avere un’elevata probabilità ܲ(ܵ | ܲ‫ )ݏ݋‬cioè di veder confermato il risultato del test nella realtà
ossia di individuare correttamente che ha il virus sapendo che il test ha data risultato positivo.
Calcoliamo tale probabilità usando il teorema di Bayes:
ܲ(ܵ | ܲ‫= )ݏ݋‬
ܲ(ܲ‫)ܵ(ܲ ∙ )ܵ | ݏ݋‬
ܲ(ܲ‫)ܵ(ܲ ∙ )ܵ | ݏ݋‬
=
ܲ(ܲ‫)ݏ݋‬
ܲ(ܲ‫ )ܵ(ܲ ∙ )ܵ | ݏ݋‬+ ܲ(ܲ‫)ܰ(ܲ ∙ )ܰ | ݏ݋‬
0,99 ∙ 0,0002
=
= 0,01 ,
0,99 ∙ 0,0002 + 0,02 ∙ 0,9998
una probabilità troppo bassa per un test. La conseguenza della commercializzazione sarebbe un
numero elevato di falsi positivi cioè di persone che non hanno la malattia sebbene il test ne indichi
la presenza (è Positivo).
Il problema risiede nel fatto che siccome la probabilità di essere malati è P(S)=0,0002, vuol dire
che ci sono nella popolazione pochi malati e tanti sani. Però il test fra tutti i sani (che sono tanti)
indica un 2% come malati (sbagliando). Ma il 2% di tanta gente fa tanta gente e quindi molti errori
del test.

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