Esercizi di PL su grafi
Esercizio 1. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-1
3
(7,5)
-2
(9,9)
3
(7,6)
2
4
(3,6)
(4,5)
(7,8)
6 5
(9,5)
(8,4)
1
-9
5
(4,7)
4
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
Archi di U
(1,5) (2,4)
(3,4) (4,5)
(4,6)
(1,2) (1,5)
(2,3) (2,4)
(5,6)
x=
π = (0,
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(1,4)
(4,5)
Esercizio 2. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 1.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (2,4) (3,4) (4,6) (5,6)
Archi di U
(1,5)
x
costo di x
π
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
1
Esercizio 3. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
3
10
9
5
2
4
10
7
8
6
7
3
1
nodo
passo 1
d
p
5
10
passo 2
d
p
passo 3
d
p
passo 4
d
p
passo 5
d
p
2
3
4
5
6
Sequenza dei nodi visitati S = {1,
}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
3
2
4
6
1
5
2
Esercizio 4. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo
6 sulla seguente rete.
3
11
11
16
2
4
8
14
16
6
5
15
1
cammino aumentante
5
5
δ
x
v
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns =
Nt =
3
Esercizio 5. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-2
4
(6,5)
2
5
(5,3)
(8,8)
(6,6)
(8,9)
-1
-8
1
(5,7)
3
7 6
(10,5)
(8,6)
(7,5)
(8,5)
4
(10,4)
-2
6
3
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
(1,3)
(3,2)
(5,7)
(1,2)
(2,5)
(4,3)
x=
π = (0,
Archi di U
(2,5)
(4,6)
(6,7)
(1,3)
(3,7)
(4,6)
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(1,2)
(6,7)
Esercizio 6. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 5.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,4) (3,7) (4,3) (4,6) (5,7)
Archi di U
(2,5)
x
costo di x
π
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
4
Esercizio 7. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
9
2
10
1
4
8
4
6
3
9
4
passo 1
d
p
7
4
6
6
nodo
5
passo 2
d
p
10
passo 3
d
p
6
passo 4
d
p
passo 5
d
p
2
3
4
5
6
7
Sequenza dei nodi visitati S = {1,
}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
2
1
5
3
7
4
6
5
passo 6
d
p
Esercizio 8. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del
cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo 7 sulla seguente rete.
11
2
14
1
8
16
5
3
11
7
6
6
16
12
4
cammino aumentante
5
6
16
δ
x
v
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns =
Nt =
6
Esercizio 9. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-3
2
(5,5)
2
4
(8,6)
-10
(5,5)
1
(3,6)
(4,9)
(6,6)
6 6
(10,7)
(5,7)
3
5
(6,9)
1
4
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
Archi di U
(1,3) (2,3)
(3,5) (4,6)
(5,6)
(1,2) (1,3)
(2,5) (4,6)
(5,6)
x=
π = (0,
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(2,5)
(2,4)
Esercizio 10. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 9.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,3) (2,4) (3,5) (5,6)
Archi di U
(2,5)
x
costo di x
π
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
7
Esercizio 11. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
10
2
4
10
6
1
9
10
4
10
3
nodo
passo 1
d
p
6
8
passo 2
d
p
8
5
passo 3
d
p
passo 4
d
p
passo 5
d
p
2
3
4
5
6
Sequenza dei nodi visitati S = {1,
}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
2
4
1
6
3
5
8
Esercizio 12. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca
del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo 6 sulla seguente rete.
13
2
4
13
5
1
6
10
6
14
13
6
3
cammino aumentante
12
δ
5
x
v
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns =
Nt =
9
Esercizio 13. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
3
(8,6)
2
4
5
(9,3)
(5,5)
(3,5)
(5,9)
(9,6)
-9
1
3
-4
(4,5)
7 3
(7,6)
(9,5)
(10,6)
4
-3
(6,7)
6
6
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
(1,2)
(1,4)
(4,6)
(1,4)
(3,5)
(4,6)
x=
π = (0,
(1,3)
(3,5)
(6,7)
(2,5)
(4,3)
(5,7)
Archi di U
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(3,7)
(1,2)
Esercizio 14. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 13.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,3) (3,5) (4,3) (4,6) (5,7)
Archi di U
(1,4)
x
costo di x
π
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
10
SOLUZIONI
Esercizio 1. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-1
3
(7,5)
-2
(9,9)
3
(7,6)
2
4
(3,6)
(4,5)
(7,8)
6 5
(9,5)
(8,4)
1
5
(4,7)
-9
4
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
x = (0, 5, 4, 0, 2, 1, 0, 5, 0)
π = (0, 7, 14, 14, 4, 12)
Archi di U
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(1,4)
SI
SI
SI
(4,5)
NO
NO
NO
(1,5) (2,4)
(3,4) (4,5)
(4,6)
(1,2) (1,5)
(2,3) (2,4)
(5,6)
Esercizio 2. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 1.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (2,4) (3,4) (4,6) (5,6)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,6) (5,6)
Archi di U
(1,5)
(1,5)
x
(2, 0, 7, 0, 4, 1, 0, 2, 3)
(0, 2, 7, 0, 2, 1, 0, 2, 3)
costo di x
109
89
π
(0, 7, 5, 14, 9, 17)
(0, −3, −5, 4, −1, 7)
(1,4)
(1,5)
5
3
2
3
(1,2)
(1,4)
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
11
Esercizio 3. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
3
10
9
5
2
4
10
7
8
6
7
3
1
nodo
2
5
10
passo 1
d
p
passo 2
d
p
passo 3
d
p
passo 4
d
p
passo 5
d
p
8
8
8
1
8
1
8
1
18
2
18
2
18
2
1
1
3
4
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
5
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
17
4
17
4
13
5
13
5
6
Sequenza dei nodi visitati S = {1, 4, 2, 5, 6, 3}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
3
2
4
6
1
5
12
Esercizio 4. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo
6 sulla seguente rete.
3
11
11
16
2
4
8
14
16
6
5
15
1
5
5
cammino aumentante
δ
x
v
1-4-6
8
(0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0)
8
1-5-6
5
(0, 8, 5, 0, 0, 0, 0, 8, 5)
13
1-4-5-6
5
(0, 13, 5, 0, 0, 0, 5, 8, 10)
18
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns = {1, 2, 3, 4}
13
Nt = {5, 6}
Esercizio 5. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-2
4
(6,5)
2
5
(5,3)
(8,8)
(6,6)
(8,9)
-1
-8
1
(5,7)
3
7 6
(10,5)
(8,6)
(7,5)
(8,5)
4
-2
6
(10,4)
3
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
x = (3, 5, 0, 11, 6, 0, 0, 0, 2, 7, −1)
π = (0, 5, 5, −3, 11, 7, 15)
(1,3)
(3,2)
(5,7)
(1,2)
(2,5)
(4,3)
Archi di U
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(1,2)
NO
SI
NO
(6,7)
SI
NO
NO
(2,5)
(4,6)
(6,7)
(1,3)
(3,7)
(4,6)
Esercizio 6. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 5.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,4) (3,7) (4,3) (4,6) (5,7)
(1,2) (1,3) (1,4) (3,7) (4,6) (5,7)
Archi di U
(2,5)
(2,5)
x
(3, 0, 5, 5, 0, 0, 5, 4, 3, 1, 0)
(3, 4, 1, 5, 0, 0, 5, 0, 3, 1, 0)
costo di x
205
161
π
(0, 5, 16, 8, 18, 18, 26)
(0, 5, 5, 8, 7, 18, 15)
(1,3)
(2,5)
7
0
4
1
(4,3)
(3,7)
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
14
Esercizio 7. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
9
2
10
1
5
8
4
6
3
4
7
4
6
6
9
4
6
10
passo 1
d
p
passo 2
d
p
passo 3
d
p
passo 4
d
p
passo 5
d
p
passo 6
d
p
2
10
1
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
3
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
10
3
10
3
10
3
10
3
10
3
16
4
16
4
16
4
16
4
8
3
8
3
8
3
8
3
nodo
5
6
7
8
3
Sequenza dei nodi visitati S = {1, 3, 4, 2, 7, 5, 6}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
2
1
5
3
7
4
6
15
Esercizio 8. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del
cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo 7 sulla seguente rete.
11
2
14
1
8
16
5
3
11
5
7
6
6
16
12
4
6
16
cammino aumentante
δ
x
v
1-3-7
6
(0, 6, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0)
6
1-2-5-7
8
(8, 6, 0, 8, 0, 0, 6, 0, 0, 8, 0)
14
1-4-6-7
12
(8, 6, 12, 8, 0, 0, 6, 0, 12, 8, 12)
26
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
16
Nt = {7}
Esercizio 9. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
-3
2
(5,5)
2
4
(8,6)
-10
(5,5)
1
(3,6)
(4,9)
6 6
(6,6)
(10,7)
(5,7)
3
5
(6,9)
1
4
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
x = (0, 10, −3, 0, 6, 6, −2, 0, 8)
π = (0, 8, 5, 16, 11, 21)
Archi di U
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(2,5)
NO
NO
NO
(2,4)
SI
SI
SI
(1,3) (2,3)
(3,5) (4,6)
(5,6)
(1,2) (1,3)
(2,5) (4,6)
(5,6)
Esercizio 10. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 9.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,3) (2,4) (3,5) (5,6)
(1,3) (2,4) (3,5) (4,6) (5,6)
Archi di U
(2,5)
(1,2) (2,5)
x
(5, 5, 0, 2, 6, 4, 0, 0, 6)
(6, 4, 0, 3, 6, 3, 1, 0, 5)
costo di x
177
174
π
(0, 8, 5, 13, 11, 21)
(0, 11, 5, 16, 11, 21)
(4,6)
(2,5)
1
2
4
5
(1,2)
(2,4)
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
17
Esercizio 11. Applicare l’algoritmo di Dijkstra per trovare l’albero dei cammini minimi di radice 1 sulla
seguente rete.
10
2
4
10
6
1
9
10
6
8
4
10
3
5
8
passo 1
d
p
passo 2
d
p
passo 3
d
p
passo 4
d
p
passo 5
d
p
2
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
3
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
4
20
2
20
2
20
2
20
2
5
19
2
18
3
18
3
18
3
22
5
22
5
nodo
6
Sequenza dei nodi visitati S = {1, 2, 3, 5, 4, 6}
Disegnare l’albero dei cammini minimi:
2
4
1
6
3
5
18
Esercizio 12. Applicare l’algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca
del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo 6 sulla seguente rete.
13
2
4
13
5
1
10
6
6
14
13
6
3
12
5
cammino aumentante
δ
x
v
1-2-4-6
5
(5, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0, 0)
5
1-2-5-6
6
(11, 0, 0, 5, 6, 0, 5, 0, 6)
11
1-3-5-6
6
(11, 6, 0, 5, 6, 6, 5, 0, 12)
17
1-2-3-5-6
1
(12, 6, 1, 5, 6, 7, 5, 0, 13)
18
` MINIMA
TAGLIO DI CAPACITA
Ns = {1, 2, 3, 4, 5}
19
Nt = {6}
Esercizio 13. Si consideri il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete. Su ogni nodo `e indicato
il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell’ordine, il costo e la capacit`a.
3
(8,6)
2
4
5
(9,3)
(5,5)
(3,5)
(5,9)
(9,6)
1
-9
3
-4
(4,5)
7 3
(7,6)
(9,5)
(10,6)
4
(6,7)
-3
6
6
Riempire la tabella:
Vettore
Archi di B
x = (3, 5, 1, 0, 0, 4, 5, 0, 4, 0, −2)
π = (0, 14, 17, 10, 22, 16, 25)
(1,2)
(1,4)
(4,6)
(1,4)
(3,5)
(4,6)
Archi di U
Ammissibile
(SI/NO)
Degenere
(SI/NO)
Ottimo
(SI/NO)
(3,7)
NO
SI
NO
(1,2)
NO
SI
NO
(1,3)
(3,5)
(6,7)
(2,5)
(4,3)
(5,7)
Esercizio 14. Effettuare due passi dell’algoritmo del simplesso su reti per il problema dell’esercizio 13.
passo 1
passo 2
Archi di B
(1,2) (1,3) (3,5) (4,3) (4,6) (5,7)
(1,2) (1,3) (1,4) (3,5) (4,6) (5,7)
Archi di U
(1,4)
x
(3, 0, 6, 0, 0, 7, 0, 3, 6, 3, 0)
(3, 3, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 6, 3, 0)
costo di x
188
164
π
(0, 9, 9, 2, 14, 8, 17)
(0, 9, 9, 10, 14, 16, 17)
(1,4)
(3,7)
6
5
3
3
(4,3)
(5,7)
k
(arco entrante)
θ1
(archi concordi)
θ2
(archi discordi)
h
(arco uscente)
20
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