Discovering America

J.S.BACH
Relazioni matematiche e Numeri di Fibonacci
A. SCHOENBERG
Dodecafonia e procedimento seriale
Allievo : Andrea Balzani
Conservatorio A.Casella
Triennio I° anno (Pianoforte)
Corso I° di Teoria/Ear Training
M.ro : Ezio Monti
RELAZIONI MATEMATICHE SULLA MUSICA DI J.S.BACH
Ritratto di J.S.Bach
Il rapporto tra Bach e matematica è strettissimo. Nella sua musica figurano
calcoli numerici molto complessi ed elaborati. Egli stesso infatti, oltre che
musicista, era anche latinista, filosofo, matematico e studioso di teologia luterana.
Come tutti i maestri tedeschi, osservava il recupero dei numeri e delle lettere,
talvolta derivandoli anche dalle altre religioni come l’ebraismo e il cattolicesimo.
L’alfabeto musicale germanico acquistò anche un valore matematico di cui Bach
fu un attento osservatore. Ad esempio nella “Fuga sul nome Bach” appare il
seguente schema : [B = Sib – A = LA – C = DO – H = Si naturale]
Analisi Preludio I “Clavicembalo ben Temperato” Vol.I
- Tonalità di DO maggiore (Tonalità della Luce, priva di alterazioni).
- Relazioni col numero 7 (Numero sacro che rappresenta vari significati le note
musicali, i giorni della settimana, i Chakra indiani).
- La somma tra il numero 4 (le stagioni, i punti cardinali, il “Terreno”) ed il
numero 3 (numero della S.Trinità) è appunto 7.
- 21 sono il numero di battute discorsive della prima fase [7x3 = 21]
- 35 sono il numero di battute totali [7x5 = 35]
- Analizzando il nome BACH in relazione alla numerologia ebraica (Caballah)
abbiamo : B=2, A=1, C=3, H=8, quindi ancora 2+1+3+8= 14 [7x2=14]
- Sono presenti chiari riferimenti anche alla Sezione Aurea ed i numeri di
Fibonacci.
I Numeri di Fibonacci
I numeri di Fibonacci sono dati dalla somma di due numeri precedenti costruiti in
successione : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
Il rapporto tra i due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero
decimale 1,61803… :
2:1 = 2 | 3:2 = 1,5 | 5:3 = 1, 666 | 8:5 = 1,6 | 13:8 = 1,625 | 55:34 = 1,617…
Questo valore prende il nome di “Rapporto Aureo” ed è stato considerato, si dalla sua
scoperta (avvenuta nel 1202) una rappresentazione della legge universale dell’armonia.
La proporzione aurea fu molto utilizzata dagli antichi Greci come rapporto armonico
applicato alle costruzioni architettoniche; lo ritroviamo nelle Piramidi Egizie, nel
Partenone, nell’Acropoli e nelle Cariatidi Erittee.
Il rapporto aureo fu ripreso anche da Leonardo da Vinci nel Rinascimento per le
dimensioni della Monna Lisa e, ancora, nei giorni nostri in architettura, con il Palazzo di
Vetro delle Nazioni Unite.
In musica è stato ampiamente utilizzato da J.S.Bach per le sue Fughe, in alcune Sonate
di Mozart, da Beethoven per la sua Quinta Sinfonia, da Stravinskij nella Sagra della
Primavera, da Satie per le Gnossiennes e, da Debussy (che lo soprannominava “la Divine
Nombre”) per la composizione di alcuni Preludi e dei brani di La Mer.
Anche in natura è possibile trovare il rapporto aureo attraverso l’analisi di alcuni
animali e di certe piante : il Nautilus, un mollusco di grandi dimensioni, ha la sezione del
guscio rappresentata da una perfetta spirale logaritmica, mentre l’ Achillea Ptarmica,
ogni mese genera un nuovo ramo che si biforca generandone a sua volta un altro, poi un
altro ancora e cosi via, uno per ogni mese; in questo modo nel primo mese si forma un
solo ramo, nel secondo due, nel terzo tre e nel quarto cinque, generando la nota serie 1-23-5-8-13-21…
Sezione guscio del Nautilus
Achillea Ptarmica
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Fibonacci segretario della Repubblica di Pisa e responsabile del
commercio pisano, nacque intorno al 1170 avviandosi ben presto agli studi matematici, sui numeri e sulla
logica di calcolo, specialmente verso le cifre indo – arabiche, non ancora introdotte in Europa.La sua
reputazione di matematico divenne così grande che ricevette un udienza dall’imperatore Federico II.
SCHOENBERG E LA “DODECAFONIA”
Compositore appartenente alla cosiddetta scuola di Vienna fu ideatore della
“Dodecafonia”, una tecnica compositiva considerata il trapasso del sistema
tonale. Schoenberg definiva la Dodecafonia come una “Tecnica di
composizione con le 12 note che sono in relazione soltanto tra loro” ; ogni
nota, a differenza del sistema tonale dove i suoni gravitano intorno ad un
nucleo centrale (Dominante – Tonica) si presenta come un entità
indipendente, poiché nessun suono ha una prevalenza sull’altro. Questo
sistema non va considerato un momento di rottura col passato ma un
tentativo di rinnovamento ed ampliamento della tradizione conforme anche
alle scoperte espressive del periodo. Shoenberg e i suoi allievi applicarono la
Dodecafonia utilizzando forme e metodi del passato.
Già alla fine dell’ottocento con Wagner e Listz (e più avanti anche con
Stravinskij, Webern, Berg, Ravel, Bartok e Debussy) si assistette ad una
progressiva emancipazione della dissonanza con la ricerca di scritture
armoniche sempre più complesse che portavano ad accordi sempre più fitti.
Da questo presupposto Schoenberg teorizzò ed applicò il suo sistema. La
prima composizione scritta con questa tecnica fu il “Valzer”, seguito poi
dalla “Suite op.25” e i “Klavierstuck”
Base della Dodecafonia è la “Serie”: Una successione dei 12 suoni della scala
cromatica che possono essere sottoposti alle seguenti trasformazioni
contrappuntistiche: “Moto contrario, Retrogrado, Retrogrado dell’inverso”.
Questo processo può dare origine a migliaia di permutazioni sia in senso
orizzontale che in senso verticale. Applicando questo sistema, la tonalità è
pressoché scomparsa, ma è possibile comunque avvertire presenze tonali
all’interno dei passaggi accordali, in quanto il riconoscimento di un centro
armonico prevalente dipende non solo dalla frequenza di apparizione di una
nota ma anche dalle successioni orizzontali e verticali utilizzate.
Procedimento dodecafonico
Fulcro della tecnica dodecafonica è la “serie”, un modello dove vengono esposte le
dodici note della scala cromatica e poi elaborate secondo i principi del canone.
Ponendo ad esempio la seguente serie originale abbiamo:
- La stessa serie viene elaborata secondo il principio della retrogradazione, in cui si
riespongono tutte le note, partendo dall’ultima fino alla prima:
- Nel passo successivo la serie originale viene elaborata per inversione
trasformando gli intervalli discendenti in ascendenti e viceversa (ad esempio, nel
nostro caso, per scendere da Do# a Fa# della serie originale occorre percorrere 7
semitoni, viceversa salendo in senso ascendente, di 7 semitoni da Do# arriviamo a
Sol# e cosi via per tutte le altre note) dunque, in questo modo si ottiene la
seguente serie:
- Nell’ultimo passo si avrà la serie invertita rielaborata secondo il procedimento di
retrogradazione dell’inverso in cui vengono riesposte le note dall’ultima alla prima:
- Infine si possono ottenere, partendo dalla serie originale, una catena di altre serie
tutte trasposte allo stesso numero di intervalli di semitoni (similmente al sistema
tonale dove ad esempio l’intervallo tra Do e La è una sesta maggiore, come lo è tra
Re e Si trasportata due semitoni sopra).
Applicando i procedimenti sopra esposti si possono ottenere una combinazione
pressoché infinita di modelli.

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