2. - E. Curiel

CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Questa teoria studia concetti e metodi per esprimere
quantitativamente il grado di fiducia di certi EVENTI.
Vediamo applicazioni della definizione assiomatica di
Probabilità (Kolmogorov 1933) nella quale
i concetti primitivi sono: evento e probabilità;
in essa si assegnano alcuni assiomi.
(metodo deduttivo)
Il termine Evento è legato a quello di
ESPERIMENTO CASUALE : è un esperimento
( reale o concettuale) ripetibile il cui esito, di prova in
prova, non è esattamente prevedibile.
Ad ogni esperimento si può associare un insieme S
detto Universo o Spazio dei campioni i cui elementi
sono tutti i possibili risultati dell’esperimento.
Un EVENTO E è una proposizione riguardante l’esito
di un esperimento, che risulterà VERA se l’evento si
sarà verificato o FALSA se non sarà verificato,dopo
aver effettuato l’esperimento .
Gli eventi sono descrivibili con una espressione
linguistica alla quale può essere associato un
determinato sottoinsieme di S: le operazioni logiche
tra proposizioni ( vel, et, not) diventano operazioni
insiemistiche di unione,intersezione e
complementazione tra i sottoinsiemi di S.
I sottoinsiemi di S costituiti da un solo elemento sono
detti eventi elementari.
Due eventi si dicono incompatibili o mutuamente
esclusivi se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi
dell’altro( non si verificano contemporaneamente),
cioè i loro corrispondenti sottoinsiemi sono
disgiunti: A Ç B = Ø.
All’evento impossibile corrisponde l’insieme vuoto.
All’evento certo corrisponde l’insieme S.
L’insieme di tutti gli eventi, nel caso di S finito, è
l’insieme delle parti di S: P (S)
Esempio
Esperimento: lancio di un dado.
S = {1,2,3,4,5,6} spazio dei campioni
Alcuni eventi sono:
E1=”escono numeri pari” Þ E1 = {2,4,6} Ì S
E2=”escono numeri dispari” Þ E 2= {1,3,5} = E1
E3=” esce il numero 5” Þ E 3= {5} Ì S
E4=”esce il numero 8” Þ E3= Ø evento impossibile
E5=”esce un naturale compreso tra 0 e 7” Þ E7=S
evento certo
E6=”esce un numero pari o un dispari” Þ E1 ÈE2
Nella teoria assiomatica di probabilità rientra come
caso particolare la seguente
Definizione classica di Probabilità : (Laplace-1812)
P=
numero casi favorevoli
numero casi possibili
assumendo che tutti i risultati possibili di un
esperimento siano ugualmente probabili e che lo
spazio dei campioni sia finito.
La probabilità è una funzione che associa ad ogni
evento E ( sottoinsieme di S) un numero reale
0 £ P £1
compreso tra 0 e 1:
che soddisfa i seguenti assiomi:
1° P(E) ³ 0
2° P(S) =1
3° Se A e B sono incompatibili si ha :
P(AÈB) = P(A) + P(B)
Da questi assiomi seguono importanti teoremi:
· La probabilità dell’evento impossibile P(Ø)=0
· La probabilità dell’evento contrario è
P(E) =1- P(E)
· Se A, B, C sono tre eventi a due a due
incompatibili P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C)
E questo vale per una famiglia numerabile di eventi
a 2 a 2 incompatibili e la cui unione dà S.
· Se AÌ B ÞP(B - A) = P(B) - P(A)
Prime applicazioni:
1. Un’urna contiene 12 palline, alcune bianche e
altre rosse. E’ possibile che vi siano anche palline
verdi ma non è sicuro. Sapendo che le probabilità
di estrarre a caso dall’urna una pallina bianca
oppure una rossa sono rispettivamente ¾ e ¼ ,
indicare se vi sono anche palline verdi e , in caso
affermativo, il loro numero.
I due eventi A =”si estrae una pallina bianca” e
B =”si estrae una pallina rossa” sono incompatibili
quindi per il 3° assioma:
P(AÈB) = P(A) + P(B) = 3/ 4 +1/ 4 =1Þ AÈB = S
cioè AÈB è l’evento certo,ossia non ci sono palline
verdi, ne estrai sicuramente una bianca o una rossa.
2. Nel lancio di un dado con sei facce sia E l’evento
“esce un numero maggiore di 2 ”. La probabilità
dell’evento complementare è?
P(E) =1- P(E) =1-4/ 6 =1/ 3
3. Nel lancio di un dado si vuole calcolare la
probabilità che esca il 3 oppure un numero pari?
A =”esce il 3” B =”esce un numero pari”
Sono due eventi incompatibili,
P(AÈB) = P(A) + P(B) =1/ 6 +3/ 6 = 2/ 3
4) Data un’urna contenente 30 palline, di cui 6
rosse, 9 gialle,12 blu, 3 verdi, qual è la
probabilità che estraendo una pallina a caso, sia
rossa oppure blu?
A =”pallina rossa” B =”pallina blu”
Sono due eventi incompatibili ,
P(AÈB) = P(A) + P(B) = 6/ 30+12/ 30= 3/ 5
5) Si lanciano contemporaneamente due dadi,
calcolare
a)la probabilità di avere due numeri uguali.
In esercizi di questo tipo conviene rappresentare lo
spazio dei campioni per esteso con una tabella che ci
dà tutte le possibili coppie ordinate di uscite
Consideriamo due dadi distinguibili dal colore:
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
Casi possibili: 6x6=36 coppie ordinate=D’6,2
Casi favorevoli sono 6, le coppie di facce uguali.
P=6/36=1/6.
b)* la probabilità di ottenere come somma 5
le coppie favorevoli sono :
(1,4)-(2,3)-(3,2)-(4,1)
P=4/36=1/9
c)la probabilità di ottenere un punteggio minore o
uguale a 4?
Le coppie favorevoli sono:
(1,1)-(1,2)-(2,1)-(2,2)-(1,3)-(3,1)
P=6/36=1/6
d) la probabilità che il punteggio sia maggiore di 4
P=1-1/6=5/6
e) la probabilità che si presenti la faccia 4 almeno su
un dado.
Casi favorevoli: tutte le coppie della tabella in cui c’è
almeno un 4: sono 11, P=11/36
6) Calcolare :
a) La probabilità di fare un ambo, un terno, una
quaterna, una cinquina al Lotto giocando due,
tre,quattro, cinque numeri rispettivamente su una
ruota prefissata.
Gioco del Lotto: su ogni ruota si estraggono 5
palline,una dopo l’altra,senza reimbussolamento, da
un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90,
aventi tutte la stessa probabilità e prescindendo
dall’ordine di uscita ( come un’estrazione
contemporanea) e quindi si usano sempre le
combinazioni semplici:
æ 88ö
çç ÷÷
3 ø 2
è
P=
=
90ö 801
æ
Ambo:
çç ÷÷
è5 ø
æ 87ö
çç ÷÷
2
1
P=è ø = .
æ 90ö 11748
terno:
çç ÷÷
è5 ø
æ 86ö
çç ÷÷
1 ø
1
è
P=
=
90ö 511.038
æ
Quat.
çç ÷÷
è5 ø
1
1
P=
=
æ 90ö 43.949.268
Cinq:
çç ÷÷
è5 ø
b) Dire se è più probabile che esca la cinquina di
numeri successivi “1,2,3,4,5” o la cinquina dei numeri
non successivi “2,3,5,8,13”.
Si tratta per entrambe di una prefissata cinquina tra
tutte quelle possibili : per entrambe la probabilità è
P=
1
= 2,3 × 10 - 8
æ 90 ö
çç ÷÷
è5 ø
c) Dire se è più probabile che esca una qualunque
cinquina di numeri “successivi” o una qualunque
cinquina di numeri “non successivi”.
Le cinquine di “successivi” sono in tutto 86
(l’ultima è “86,87,88,89,90”).
P=
86
æ 90 ö
çç ÷÷
è5 ø
La probabilità di trovare una cinquina di non
successivi sarà 1-P.
7) Un’urna contiene 5 palline rosse e 10 palline
bianche, distinguibili solo per il colore.
Si estraggono contemporaneamente 2 palline.
Calcolare la probabilità di estrarre due palline rosse
æ5 ö
çç ÷÷
2ø 2
è
P=
=
æ15ö 21
çç ÷÷
è2 ø
Calcolare la probabilità di estrarre 1 pallina rossa e
1 bianca.
æ 5 ö æ 10 ö
çç ÷÷ × çç ÷÷
1
1
10
P=è ø è ø=
21
æ 15 ö
çç ÷÷
è2 ø
8) *Si ha un’urna contenente 8 palline bianche. Quale
è il numero di palline rosse che bisognerebbe
aggiungere affinché, estraendo due palline
contemporaneamente, la probabilità che esse siano
una bianca e una rossa sia 16/45?
Sia x il numero di palline rosse da aggiungere.
Essendo l’estrazione contemporanea non conta
l’ordine delle palline estratte, quindi i casi possibili
sono le combinazioni di x+8 elementi di classe 2:
æ x + 8ö
÷÷ .
P = çç
2
è
ø
æ8ö æ x ö
I casi favorevoli sono ççè 1 ÷÷ø × ççè 1 ÷÷ø , quindi la probabilità
æ8ö æ x ö
çç ÷÷ × çç ÷÷
1 ø è 1 ø 16
è
P=
=
8
+
x
45
æ
ö
çç
÷÷
data si calcola così:
da cui si ricava
è2
ø
x=2, risolvendo una semplice equazione di secondo
grado.
9) Un’urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10.
Calcolare la probabilità che:
a) estraendo successivamente 2 palline, rimettendo
ogni volta la pallina estratta nell’urna, si
abbiano due primi
D'4,2 42
4
P=
= 2=
D'10,2 10 25
b) estraendo successivamente 2 palline, non
rimettendo ogni volta la pallina nell’urna, si
abbiano due primi
4×3 2
=
D10,2 10× 9 15
c) estraendo contemporaneamente 3 palline,esse
siano due con un numero inferiore a 5 e una con un
numero maggiore o uguale a 5.
æ 4ö æ 6ö
çç ÷÷ × çç ÷÷
2 ø è1 ø 36 3
è
P=
=
=
120 10
æ10ö
çç ÷÷
è3 ø
10)* In un vassoio ci sono 100 caramelle di cui 35
all'arancia, 33 alla menta e 32 al limone. Prendendo a
caso una caramella dal vassoio, qual è la probabilità
che non sia alla menta?
A) 0,33
B) 0,32
C) 0,65 D) 0,68
E) 0,67
P=
D4,2
=
Casi favorevoli=35+32=67
Casi possibili =100
P=67/100
Teorema dell’evento unione o della somma logica
Se A e B sono due eventi qualsiasi di S, allora
P(AÈB) = P(A) + P(B) - P( AÇB))
Esempi
1. Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte.
Calcolare la probabilità che sia
a- di cuori o un asso
C =”esce carta di cuori”
A =”esce un asso”
Questi due eventi sono compatibili, cioè la loro
ì
ü
A Ç C = íasso di cuoriý
intersezione non è vuota:
î
þ
P(AÈC) = P(A) + P(C) - P( AÇC) = 4/ 52+13/ 52-1/ 52= 4/13
b- un seme diverso da cuori
P(A) =1- P(A) =1-13/ 52= 3/ 4
c- né un 4 né un asso
per la legge di De Morgan si ha
P(4 Ç A) = P(4È A) =1- P(4È A) =1-[4/ 52+ 4/ 52] =11/13
2. Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15.
Calcolare la probabilità che estraendo una pallina
essa rechi:
a- un numero dispari o maggiore di 10
8 5 3 2
P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(AÇB) = + - =
15 15 15 3
b- un numero dispari o maggiore di 10 o
minore di 6
P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AÇB) - P(AÇC)
8 5 5 3 3
4
- P(BÇC) + P(AÇBÇC) = + + - - -0 + 0 =
15 15 15 15 15
5
3. Sempre dalla stessa urna estraiamo
contemporaneamente due palline e considero gli
eventi:
A =”escono due numeri pari”
B =” escono due numeri dispari”
C =”escono due multipli di 3”
Calcolare la probabilità che escono due pari o due
dispari.
Essendo A e B due eventi incompatibili, applico il 3°
æ7ö æ8ö
çç ÷÷ çç ÷÷
2ø è2ø 7
è
P(AÈB) = P(A) + P(B) =
+
=
æ15ö æ15ö 15
assioma :
çç ÷÷ çç ÷÷
è2 ø è2 ø
Calcolare la probabilità che escono due dispari o
multipli di 3
Essendo B e C due eventi compatibili ( 3,9,15 sono
dispari e multipli di 3), si applica il teorema:
æ8ö æ5ö æ3ö
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
2ø è2ø è2ø 1
è
P(BÈC) = P(B) + P(C) - P(BÇC) =
+
=
æ15ö æ15ö æ15ö 3
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
è2 ø è 2 ø è2 ø
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Il seguente esercizio proposto in un test si risolve
mediante questa nuova nozione.
*Da un mazzo di 40 carte (10 cuori, 10 quadri, 10 fiori, 10
picche) se ne estraggono tre; qual è la probabilità che siano
tutte e tre di fiori, supponendo di non rimettere la carta
estratta nel mazzo?
A) 3/247 ; B) 9/800 ; C) 25/1482 ; D) 7/10 ; E)
11/247
Si presenta quando si è interessati alla probabilità che
un evento B si verifichi dato che un altro evento si è
già verificato: il verificarsi di A modifica la
probabilità di B?
Esempio: nel lancio di un dado regolare,
S = {1,2,3,4,5,6}, considero gli eventi:
A = ” esce un numero pari”
B = ” il risultato è maggiore di 3” , P(B)=3/6=1/2
Sapendo che A si è verificato,(un amico fa il lancio
non ti fa vedere il risultato e ti dice solo che è uscito
un numero pari), posso aggiornare lo spazio degli
eventi che diventa S ' = A = {2,4,6} in cui il numero dei
casi favorevoli a B è 2 su 3 possibili,
quindi P( B A) = 2 / 3 > 1 / 2 , noto che P( A Ç B) = 2 / 6 Þ
2 2/ 6 P(AÇB)
P(B A) = =
=
3 3/ 6
P(A)
Definizione di Probabilità condizionata:
P(AÇB)
P(B A) =
con P(A) ¹ 0
P(A)
P(AÇB)
P(AB) =
con P(B) ¹ 0
P(B)
Da cui segue l’ utilissimo
Teorema della probabilità composta o del prodotto
logico
P( A Ç B) = P( A) × P(B A) se P( A) ¹ 0
P( A Ç B) = P( B) × P(A B ) se P( B) ¹ 0
Ora risolviamo l’esercizio del test:
F =”esce carta di fiori”
P(F)=10/40=1/4
Il fatto di non rimettere la carta nel mazzo, va a
determinare una variazione dello spazio degli eventi
alla seconda estrazione che a sua volta modifica anche
la terza: ogni volta c’è una carta di fiori di meno,
quindi i tre eventi sono dipendenti:
P( F1 Ç F2 Ç F3 ) = P( F1 ) × P( F2 F1 ) ×P( F3 F2 Ç F1 ) =
1 9 8
3
× × =
4 39 38 247
2) * Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 fondenti e
8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla
scatola, uno dopo l’altro. Qual è la probabilità che i tre
cioccolatini estratti siano al latte?
P(L)=8/12=2/3.
Supposto il primo cioccolatino al latte ,il secondo
avrà probabilità 7/11 di essere estratto e il terzo 6/10.
P( L1 Ç L2 Ç L3 ) = P( L1 ) × P( L2 L1 ) ×P( L3 L2 Ç L1 ) =
8 7 6 14
× × =
12 11 10 55
3)* Luca arriva in ritardo in classe una volta su 3 e
quando arriva puntuale davanti a scuola, si attarda al
bar con gli amici una volta su quattro. Qual è la
probabilità che Luca entri puntualmente in classe?
A) 1/12
B) 3/4
C) 1/4
D) 1/6
E) 1/2
Considero i seguenti eventi:
R =”arriva in ritardo” con P(R)=1/3 e
P( R ) = 2 / 3 probabilità di arrivare puntuale davanti a
scuola.
B =”Luca va al bar con gli amici” con P(B)=1/4 e
P( B ) = 3 / 4 probabilità di non fermarsi al bar.
Quindi la probabilità che Luca arrivi puntuale è
2 3 1
P( R Ç B ) = P( R ) × P( B ) = × =
3 4 2
4) Si estragga una pallina da un’urna con palline
numerate da 1 a 12. Se il numero è pari, quale è la
probabilità che esso sia un multiplo di 3?
A =”numero pari” P(A)=6/12=1/2
B =”multiplo di 3”=4/12=1/3
P(AÇB) 2 1
P(B A) =
= = = P(B)
P(A)
6 3
Che coincide con la probabilità non condizionata.
Þ conoscere l’esito del primo lancio, non altera il
risultato: Il processo è senza memoria: i due eventi si
dicono INDIPENDENTI.
Def. Due eventi A e B si dicono INDIPENDENTI
quando il verificarsi di uno non ha alcuna influenza
sulla probabilità di verificarsi dell’altro:
P(B A) = P(B) e P(AB) = P(A)
Teorema del prodotto per eventi indipendenti
Se A e B sono due eventi indipendenti :
P( A Ç B) = P( A) × P( B)
OSSERVAZIONE
Eventi indipendenti e eventi incompatibili sono due
definizioni diverse:
- Indipendenti: il verificarsi di A non altera la
P(B) e viceversa.
- Incompatibili: A Ç B = Ø, ossia il verificarsi
di A impedisce il verificarsi di B.
NB:Due eventi incompatibili non sono indipendenti
Infatti se A e B sono incompatibili si ha A Ç B = Ø,
allora P( A Ç B) = 0 ; se fossero indipendenti dovrebbe
essere P( A Ç B) = P( A) × P( B) = 0 ,quindi almeno uno
dei due eventi dovrebbe avere probabilità 0, cioè
essere impossibile.
In realtà due eventi incompatibili sono fortemente
dipendenti, dato che essere disgiunti significa che se
uno si realizza l’altro di sicuro non si realizza e quindi
ne modifica la probabilità.
Proposizione: Se A e B sono indipendenti lo sono
anche A e B .
Proposizione: Se tre eventi A, B, C sono indipendenti
P( A Ç B Ç C ) = P( A) × P( B) × P(C )
Esempi
1) Tre palline vengono estratte successivamente da
una scatola contenente 6 palline rosse, 4 palline
bianche, 5 palline nere. Trovare la probabilità che
siano estratte nell’ordine (R,B,N)
a) ESTRAZIONE CON REINSERIMENTO
R, B, N sono indipendenti.
P( R Ç B Ç N ) = P( R) × P( B) × P( N ) =
6 4 5
8
× × =
15 15 15 225
b) ESTRAZIONE SENZA REINSERIMENTO
R, B, N sono dipendenti.
P( R Ç B Ç N ) = P( R) × P( B R) × P( N B Ç R) =
c) Se non importa l’ordine?
6 4 5 4
× × =
15 14 13 91
8
P
=
× 3!
Nel caso di eventi indipendenti
225
4
P
=
× 3!
Nel caso di eventi dipendenti
91
2) Quale è la probabilità di ottenere due volte testa in
due lanci successivi di una moneta?
I due lanci sono indipendenti.
1 1
P( A Ç B) = P( A) × P( B) = ×
2 2
3) Si lancia due volte un dado:qual è la probabilità che
esca 4,5 o 6 nel primo lancio e 1,2,3,o 4 nel secondo?
I due lanci sono indipendenti.
3 4 1
P( A Ç B) = P( A) × P( B) = × =
6 6 3
4) Si tirano due dadi,quale è la probabilità di ottenere
un 6 e un numero diverso da 6?
1° modo: contando nella tabella i casi favorevoli su
casi possibili: 10/36.
2° modo: considero i due eventi
A = ”esce il 6” ; B =”esce n diverso da 6” = A e
applico i teoremi della somma e del prodotto:
P(( A Ç A ) È ( A Ç A)) = P( A Ç A ) + P( A Ç A) =
1 5 5 1 10
P( A) × P( A ) + P( A ) × P( A) = × + × =
6 6 6 6 36
L’applicazione contemporanea dei due teoremi prende
il nome di teorema della probabilità totale.
Vediamo qualche altro esempio.
5) Due macchine M1 e M2 producono lo stesso pezzo.
M1 produce 400 pezzi al dì, M2 ne produce 600.
Da rilevazioni statistiche si sa che M1 ha in media uno
scarto dell’5%, M2 dell’8%. Scelto a caso un pezzo
dal magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso?
( non importa da quale macchina proviene)
Considero gli eventi
M1=”pezzo prodotto da M1”
M =”pezzo prodotto da M2”
D =”pezzo difettoso”
Si applica il teorema della probabilità totale
P((M 1 Ç D) È (M 2 Ç D)) = P(M 1 Ç D) + P(M 2 Ç D) =
P(M 1) × P( D M 1) + P(M 2) × P( D M 2) =
400 5
600 8
17
×
+
×
=
1000 100 1000 100 250
NB: conviene costruire un diagramma ad albero!
6)*Un’urna contiene 25 palline bianche e 75 nere. Se
viene estratta una pallina nera , essa viene rimessa
nell’urna; se viene estratta una pallina bianca, questa
viene tolta e ne viene aggiunta una nera. La
probabilità di avere nell’urna 24 palline bianche e 76
nere dopo due estrazioni è: …..
1° estratta
nera
nera
bianca
bianca
palline
25B+75N
25B+75N
24B+76N
24B+76N
2°estratta
nera
bianca
nera
bianca
palline
25B+75N
24B+76N
24B+76N
23B+77N
Per il teorema delle probabilità totali:
75 25 25 76 151
P(( N Ç B) È ( B Ç N )) =
×
+
×
=
100 100 100 100 400
IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE
( BERNOULLI)
Tiro un dado per 5 volte successive e calcolo la
probabilità che si presenti la faccia 1 solo al primo
lancio.
Se E =”esce la faccia 1”, dobbiamo valutare la P
dell’evento intersezione di 5 eventi indipendenti:
P(EÇE ÇE ÇE ÇE) = P(E)× P(E)× P(E)× P(E)× P(E)
4
1 æ 5ö 54
= ×ç ÷ = 5
6 è 6ø 6
Se però non si richiede che la faccia 1 esca solo la prima
volta , ma che esca comunque una sola volta senza
specificare in quale posizione, si presentano altre 4
possibilità tutte incompatibili tra loro e con la stessa
probabilità calcolata sopra, quindi per il teorema della
somma logica vanno tra loro sommate ed essendo uguali
basta moltiplicare il valore precedente per 5:
4
1 æ 5ö 55
P = 5× ×ç ÷ = 5
6 è 6ø 6
Il coefficiente 5 può essere interpretato come il
numero di modi con cui un elemento può occupare 5
æ5ö
ç ÷ =5
posti a disposizione: çè1÷ø
Se l’evento “esce la faccia 1” si deve presentare due
2
3
æ5ö æ 1ö æ 5ö
P = ç ÷× ç ÷ × ç ÷
volte su 5: (2,5) çè2÷ø è 6ø è 6ø
3
2
æ5ö æ 1ö æ 5ö
P = ç ÷× ç ÷ × ç ÷
Per tre volte: (3,5) çè3÷ø è 6ø è 6ø …..etc
Generalizziamo: Effettuiamo n esperimenti
indipendenti, sia p la probabilità di successo di un
evento E e q=1-p la probabilità di insuccesso,
la probabilità di ottenere k successi su n prove(senza
tener conto dell’ordine) è:
ænö k n-k
P(k,n) = çç ÷÷× p × q
èk ø
Se teniamo conto dell’ordine va applicato il teorema
della probabilità composta, quindi si toglie il
k
n-k
P
=
p
×
q
coefficiente e
Esempi
1) *Quale è la probabilità che lanciando 6 volte una
moneta escano esattamente 4 teste?
Probabilità di successo=p=1/2
Probabilità di insuccesso =q=1/2
Si vogliono ottenere 4 teste indipendentemente dalla
4
2
6
æ ö æ 1ö æ 1ö
1 15
P(4,6) = çç ÷÷×ç ÷ ×ç ÷ =15× =
posizione:
64 64
è4ø è 2ø è 2ø
2) Si determini la probabilità che nel lancio di due
dadi si presenti come somma un dispari
Contando casi favorevoli su casi possibili risulta:
P(D)=18/36=1/2
Se il lancio dei due dadi è ripetuto 5 volte ,
quale è la probabilità di ottenere una somma dispari
1 volta?
1
4
5
æ ö æ 1ö æ 1ö 5
P(1,5) = çç ÷÷× ç ÷ × ç ÷ =
p = ½ , q=1/2 , n=5, k=1
è1ø è 2ø è 2ø 32
Quale è la probabilità di non ottenere mai una
somma dispari?
0
5
æ5ö æ 1 ö æ 1 ö 1
P(0,5) = çç ÷÷×ç ÷ ×ç ÷ =
p=1/2 , q=1/2 , n=5 ,k=0
è0ø è 2ø è 2ø 32
Infine quale è la probabilità di ottenere come
somma un dispari almeno due volte?
Almeno due volte significa che tale somma dispari
si presenta tre o quattro o cinque volte,conviene
calcolare la prob. dell’evento complementare,
1 5 13
P =1- P0,5 - P1,5 =1- - =
32 32 16
3) Quale è la probabilità di ottenere 10 nel lancio di
due dadi?
Casi favorevoli: 5-5,4-6,6-4
Casi possibili : 36 coppie ordinate
P=3/36=1/12
Se i lanci sono ripetuti 6 volte, quale è la probabilità
di avere due 10?
n=6, k=2, p=1/12, q=11/12
2
4
6
æ ö æ 1 ö æ 11ö
114
P(2,6) = çç ÷÷×ç ÷ ×ç ÷ =15× 6 = 0,074
12
è2ø è12ø è12ø
4) Problema celebre del Cavaliere De Meré (16101685).
“Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno
una volta 1 con 4 lanci di un dado oppure almeno un
doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”
Il Cavaliere trovava che le due probabilità erano
uguali perché riteneva di fare la proporzione
4:6=24:36 tra n° di lanci e n° casi possibili.
Il risultato contrastava con reali risultati ottenuti
giocando. Allora decise di andare da Pascal che gli
propose questa soluzione:
A =”esce almeno una volta 1 in 4 lanci”
B =”esce almeno una volta il doppio 1 in 24 lanci di
due dadi”
4
æ 5ö
P(A) =1- P( A) =1- ç ÷ @ 0,52
è 6ø
24
æ 35ö
P(B) = 1- P(B) = 1- ç ÷ @ 0,49
è 36 ø
5) *Tirando contemporaneamente 5 dadi con facce
numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere
cinque numeri pari?
Il lancio contemporaneo di 5 dadi è come il lancio
di un dado ripetuto per 5 volte,l’ordine non conta.
Nell’esperimento singolo (lancio di un dado) la
probabilità di ottenere un pari è p=3/6=1/2
Quindi n=5,k=5 successi, p=q=0.5,
5
0
æ5ö æ 1ö æ 1ö 1
P(5,5) = çç ÷÷ × ç ÷ × ç ÷ =
è5ø è 2ø è 2ø 32
6) * Si hanno 10 quesiti per ognuno dei quali ci sono
4 risposte, di cui una sola esatta. Calcolare la
probabilità di rispondere correttamente a tutte le
domande se si risponde a caso.
Si tratta di un problema di Bernoulli. N=10 prove
ripetute, k=10 successi, p=1/4, q=3/4
10
0
æ10ö æ 1 ö æ 3ö 1
P(10,10) = çç ÷÷× ç ÷ × ç ÷ = 10
è10ø è 4ø è 4ø 4
Quale è la probabilità di dare almeno il 70% di
risposte esatte?
Devo rispondere ad almeno 7 risposte esatte,
P = P10,7 + P10,8 + P10,9 + P10,10….
7) In un test scritto , costituito da 10 domande vero –
falso, quale è la probabilità di dare almeno il 70 % di
risposte esatte supposto che si risponda a caso?
N=10, k=7, p=1/2=q
11
P = P10,7 + P10,8 + P10,9 + P10,10 = = 0,171
64
8)* In un lotto di biscotti di 50 confezioni in scatole
rigide si trovano 5 scatole che sono esteriormente
uguali alle altre, ma che, per errore della macchina
confezionatrice, sono vuote. Calcola la probabilità che
estraendone 6 a caso, fra queste ve ne siano 2 vuote.
A)
tra il 15% e il 20%
B)
tra il 5% e il 10%
C)
tra il 19% e il 15%
D) meno del 5%
E) circa del 25%
n=6, k=2, p=45/50,q=5/50
æ 6ö æ 5 ö
P(2,6) = çç ÷÷ × ç ÷
è 2ø è 50 ø
2
4
æ 45ö
× ç ÷ = 0,984 » 10%
è 50 ø
9) Problema dei compleanni
Se in una sala sono presenti n persone ( n £ 365 )
qual è la probabilità che due persone abbiano il
compleanno lo stesso giorno?
Se fosse n>365 l’evento sarebbe certo, m.a la
probabilità cresce rapidamente anche se n è
relativamente basso.
Sia E =”almeno due persone tra le n hanno lo stesso
compleanno”. E’ più semplice servirsi dell’evento
contrario:
E = ”tutte le persone presenti hanno compleanno
diverso”
I casi possibili di nascita,supposti egualmente
possibili sono per ogni persona i 365 giorni dell’anno
e quindi per n persone sono 365n=D’365,n.
I casi favorevoli al verificarsi di E , sono tanti quante
le disposizioni semplici di 365 giorni di classe n,
D365,n = 365× 364× ....× (365- n +1)
La probabilità richiesta è allora
365 × 363× ... × (366 - n )
P ( E ) = 1 - P( E ) = 1 ,
365n
Facendo i calcoli è sufficiente che sia n=23 per avere
una probabilità di oltre il 50%. In una classe di 30
allievi vi è una probabilità del 70,6% !!

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