La teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella
matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni
fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le funzioni) e
delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato
anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico
nelle dimostrazioni.. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e
promuovono diversi approcci ai fondamenti della matematica.
I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un
insieme è pensato come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri)
dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici
qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Quindi si parla dell'insieme N dei
numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e dell'insieme delle
funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,
dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.
Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva"
degli insiemi. L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo
campo di studio, è stata quella di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso
numero di elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A
con gli elementi di B.
Dagli assiomi iniziali della teoria degli insiemi è possibile costruire tutti gli altri
concetti e oggetti matematici: numero, continuo, ordine, relazione, funzione,
Ad esempio, mentre gli elementi di un insieme non hanno un ordine intrinseco, è
possibile costruire modelli di liste ordinate. Il passo fondamentale è la capacità di
modellare la coppia ordinata ( a, b ) che rappresenta l'appaiamento di due oggetti
nell'ordine dato. la proprietà che definisce una coppia ordinata è ( a, b ) = ( c, d ) se e
solo se a = c e b = d. L'approccio fondamentalmente è quello di specificare i due
elementi e indicare quale è il primo, usando la costruzione:
Poiché le relazioni, e in particolare le funzioni sono definite come insiemi di coppie
ordinate, ed esistono costruzioni progressive degli interi, razionali, reali e numeri
complessi a partire dall'insieme dei numeri naturali.
INCLUSIONE
Nella teoria degli insiemi l'inclusione
inclusione è una relazione tra gli elementi di due insiemi,
tale che gli elementi della relazione appartengono ad entrambi gli insiemi.
In simboli, dati due insiemi A e B: oppure a parole:
B è contenuto o incluso
uso in A solo se, pero ogni elemento x, se appartiene a B allora x
appartiene ad A
SOTTOINSIEME
Nella teoria degli insiemi si definisce con sottoinsieme un insieme che è contenuto
in un altro insieme al quale si riferisce, vale a dire che l'insieme B è un sottoinsieme
di A se tutti gli elementi contenuti in B sono anche contenuti in A
ELABORATO DA: GRETA
GR
BOTTONI E CLAUDIA CAMPAGNA
,1SD,2013-2014
La teoria degli insieme. Di aurora cesandri ϑ
La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX
secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica
moderna, nel senso di una teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i
numeri o le funzioni) e delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato anche un ruolo
fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico nelle dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria
degli insiemi sono usati ovunque in matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero relativamente
piccolo di matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono diversi approcci ai
fondamenti della matematica.
In pratica la teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti,
chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in
particolare possono essere insiemi. perciò si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali,
e dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio, dell'insieme { 0, 2, N } che ha
come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.
Le origini degli insiemi:
L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella di affermare che due
insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli elementi
di B. Quindi l'insieme N dei numeri naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono
detti numerabili), anche se N è un sottoinsieme proprio di Q. D'altra parte, l'insieme R dei numeri reali non ha la stessa cardinalità
di N o Q, ma una maggiore (è detto non numerabile). Cantor fornì due dimostrazioni della non numerabilità di R, e la seconda di
queste, che sfrutta quella che è nota come costruzione diagonale, ha avuto una straordinaria influenza e innumerevoli applicazioni
in matematica e logica.
Cantor andò oltre e costruì una gerarchia infinita di insiemi infiniti, i numeri ordinali e cardinali. Questo procedimento era
controverso ai suoi tempi, e aveva l'opposizione del finitista Leopold Kronecker, ma oggi non c'è disaccordo significativo fra i
matematici sulla correttezza delle idee di Cantor.
Cantor sviluppò la teoria degli insiemi ancora in termini "ingenui", nel senso che non aveva una precisa assiomatizzazione in mente.
In retrospettiva, possiamo dire che Cantor usava implicitamente l'assioma di estensionalità, l'assioma dell'infinito e l'assioma di
comprensione. Tuttavia l'ultimo porta direttamente al paradosso di Russell, mediante la costruzione dell'insieme S := {A : A non è
in A} degli insiemi che non appartengono a sé stessi. (Se S appartiene a sé stesso, allora non vi appartiene, portando a
una contraddizione, così S non può appartenere a sé stesso. Ma allora S dovrebbe appartenere a sé stesso, portando ad un
assurdo.) Quindi gli insiemisti furono costretti ad abbandonare o la logica classica o la comprensione illimitata, e la seconda scelta
fu considerata molto più ragionevole. (Benché l'intuizionismoabbia un notevole seguito, il paradosso continua a valere anche
nella logica intuizionistica.
Teoria degli insiemi (ZFC) come fondamento della matematica:
Dagli assiomi iniziali della teoria degli insiemi è possibile costruire tutti gli altri concetti e oggetti
matematici: numero, continuo, ordine, relazione, funzione, etc.
Ad esempio, mentre gli elementi di un insieme non hanno un ordine intrinseco, è possibile costruire
modelli di liste ordinate. Il passo fondamentale è la capacità di modellare la coppia ordinata ( a, b )
che rappresenta l'appaiamento di due oggetti nell'ordine dato. La proprietà che definisce una coppia
ordinata è ( a, b ) = ( c, d ) se e solo se a = c e b = d. L'approccio fondamentalmente è quello di
specificare i due elementi e indicare quale è il primo, usando la costruzione:
( a, b ) = { { a, b }, { a } }.
Le liste ordinate di lunghezza maggiore possono essere costruite induttivamente:
( a, b, c )
= ( ( a, b ), c )
( a, b, c, d ) = ( ( a, b, c ), d )
...Un altro esempio è una costruzione minimale per i numeri naturali, principalmente basata
sull'assioma dell'infinito, dovuta a von Neumann. Abbiamo bisogno di produrre una successione
infinita di insiemi, dotata di una relazione di 'successore', come modello degli assiomi di Peano.
Questa procedura fornisce una rappresentazione canonica per il numero N, come particolare scelta
di un insieme contenente esattamente N elementi distinti.
Procediamo induttivamente:
0 = {}
1 = { 0 } = { {} }
2 = { 0, 1 } = { {}, { {} } }
3 = { 0, 1, 2 } = { {}, { {} }, { {}, { {} } } }
...ad ogni passo costruiamo un nuovo insieme di N elementi come l'insieme degli elementi (già
definiti) 0, 1, 2, ..., N - 1. Più formalmente, ad ogni passo il successore di N è N ∪ { N }. In questo
modo si ottiene un modello adeguato per l'intero insieme dei numeri naturali.
Poiché le relazioni, e in particolare le funzioni sono definite come insiemi di coppie ordinate, ed
esistono costruzioni progressive degli interi, razionali, reali e numeri complessi a partire
dall'insieme dei numeri naturali, siamo in grado di modellare essenzialmente tutte le strutture
familiari della matematica.
Spesso si afferma che la teoria assiomatica degli insiemi è un fondamento adeguato per la
matematica moderna, nel senso che in principio tutte le dimostrazioni possono essere scritte
formalmente in termini di teoria degli insiemi. Tuttavia in generale non c'è nessun vantaggio nel
fare questo, perché le differenze nei risultati rispetto alla pratica usuale sono minime. Un'area in cui
può apparire uno scarto fra la pratica e la formalizzazione è la teoria delle categorie, dove ad
esempio un concetto come 'la categoria di tutte le categorie' richiede un trattamento insiemistico
particolarmente accurato.
La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal
matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX secolo. La teoria degli insiemi
svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e si colloca
nell'ambito della logica matematica.Teoria degli insiemi dovrebbe essere la base di
tutte le matematiche: e' la disciplina che va studiata prima di tutte le altre che
dovrebbero avvantaggiarsi del suo linguaggio e dei suoi concetti .Purtroppo, dopo
l'entusiasmo inziale, dagli inizi del 1900 l'importanza di teoria degli insiemi e' stata
molto ridimensionata.
Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti primitivi della matematica ognuno di
noi dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo stesso per ciascuno di noi. Comunque
intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli oggetti se riusciamo a considerarli collegati
tra loro allora abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che
compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme
stesso. Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti (elementi) di un
insieme:a,b,c,d….
L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di
studio, è stata quella di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di
elementi se esiste un modo di appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli
elementi di B.
Gaia De Luca 1°sD ϑ
Georg Cantor è stato un matematico tedesco, diede
origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Cantor ha
allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo
interno i concetti di numeri transfiniti, numeri
cardinali e ordinali. Inizialmente controversa, la teoria degli
insiemi è arrivata ad avere il ruolo di teoria
fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una
teoria invocata per giustificare le assunzioni fatte riguardo
all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le
funzioni) e delle loro proprietà.
Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei
concetti primitivi della matematica ognuno di noi
dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo
stesso per ciascuno di noi. Comunque intuitivamente si
puo' dire che quando abbiamo degli oggetti se riusciamo a
considerarli collegati tra loro allora abbiamo un insieme. La
prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che
compongono l'insieme devono sempre essere ben definiti
prima ancora di considerare l'insieme stesso.
Benedetta Ferrazza
La Teoria Degli Insiemi
Teoria assiomatica degli insiemi è stata creata dal matematico George
Cantor nel XIX secolo. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor è stato un
famoso matematico tedesco, nacque a San
San Pietro Burgo, studiò
all’università dove sviluppò la teoria degli insiemi,
insiemi, ma alcuni matematici
contestarono il modo di pensare di Cantor .I
I concetti essenziali della
teoria degli insiemi sono le parole "insieme" e "appartenenza". Un insieme
è composto da elementi, gli elementi sono oggetti matematici qualsiasi. Gli
insiemi sono divisi in: Insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... },
insieme Q = { m/n : mZ, nZ e n 0}, insieme Z Z = {..., -3,
3, -2, -1, 0, 1 , 2 ,
3 , 4…} , insieme
che non contiene nessun numero . Gli insiemi possono
essere rappresentati nelle loro operazioni con i diagrammi di Eulero-Venn.
Eulero
Ogni insieme di appartiene infatti:
B è
sottoinsieme di A e A contiene gli elementi di B, quinidi A è transito di B
e si indica con:
. Quando A è unito in B si indica con
. Anche
con gli insiemi
iemi si possono fare operazioni. Cantor diede origine alla teoria
degli insiemi (1874-1884).[3]
1884).[3] Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti
possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi
insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato
chiamat
l'insieme potenza di A
Gabbiati Sara
Unione (insiemistica)
Nella teoria degli insiemi esiste un'operazione detta unione (simbolo ) di insiemi.
insiemi Dati due
insiemi A e B, laa loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:
•
•
•
al solo insieme A,
al solo insieme B,
a entrambi.
L'unione è una operazione binaria.
binaria Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica,
corrisponde alla disgiunzione.
Indice
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1 Definizione
2 Esempi
3 Proprietà
4 Voci correlate
5 Altri progetti
Definizione
L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con "
". x è un elemento di
se, e solo se, x è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:
L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi hanno intersezione vuota. In generale,
data una arbitraria famiglia
di insiemi, l'unione è definita come l'insieme
a cui un elemento x appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli
.
Esempi
Come esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di
elementi: A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che
appartengono ad almeno uno dei due insiemi:
.
Un altro esempioo è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:
•
•
A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4,
B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6.
è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e/o per 6.
Proprietà
L'unione di due insiemi
Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti
L'unione è un'operazione
operazione commutativa,
commutativa in simboli:
Infatti
L'unione è un'operazione
operazione associativa:
associativa
Infatti
Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi,
scrivendo A U B U C.
Cantor
Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor (nato a San Pietroburgo il 3 marzo del 1845 e morto ad
Halle il 6 gennaio del 1918)) viene considerato il padre della teoria degli insiemi.
insiemi Quest’ultima, studiata
nell’ambito della matematica generale, ha relazioni con l’algebra, l’analisi, la geometria.
geometria
A dire il vero il concetto di insieme era già presente nella matematica,
matematica, ma Cantor sviluppò quello di
corrispondenza biunivoca tra insiemi finiti o infiniti giungendo così alla definizione di numeri cardinali
infiniti.
A lui si deve anche l’idea che esistono vari gradi di infinito.
infinito. Egli dimostrò che, come accade per i numeri
interi che possono essere ordinati, anche gli infiniti non sono tutti uguali.
La teoria degli insiemi elaborata da Contor, nonostante le critiche, rimane ancora
ancora oggi alla base dello studio
delle proprietà degli insiemi infiniti. Va ricordato, che proprio i rifiuti del mondo accademico, compromisero la
sua salute mentale tanto da portarlo alla depressione.
A cura di Galieti Michela Maria
Teoria degli insiemi
Teoria degli insiemi dovrebbe essere la base di tutte le matematiche: e' la disciplina che va studiata
prima di tutte le altre che dovrebbero avvantaggiarsi del suo linguaggio e dei suoi concetti.
Non e' possibile definire l'insieme essendo uno dei concetti primitivi della matematica.
Simboli
Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti (elementi) di un insieme
a
b
c
d
.
.
.
.
.
.
.
Useremo
le
lettere
maiuscole
per
indicare
un
insieme,
ad
esempio
A
sara'
l'insieme
A
Per indicare un insieme utilizzeremo talvolta le parentesi graffe, come ad esempio
{
a
,
b
}
insieme
formato
dagli
elementi
a
e
b
Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo il simbolo
a A l'elemento a appartiene all'insieme A
Rappresentazione di un insieme
Possiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme.
Possiamo avere:
•
•
•
Rappresentazione tabulare
Rappresentazione mediante grafico
Rappresentazione mediante caratteristica
Rappresentazione
tabulare
La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli oggetti entro parentesi graffe;
esempio:
voglio considerare l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali
1
2
3
4
posso
scrivere
A = { 1, 2, 3, 4 }
Rappresentazione
mediante
grafici
(grafici
di
Eulero-Venn)
Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa continua e non intrecciata
come dalla figura qui a fianco che rappresenta sempre l'insieme A composto dai primi quattro
numeri
naturali
1 2 3 4
Rappresentazione mediante caratteristica
Possiamo anche rappresentare l'insieme enunciando la caratteristica che tiene
"assieme" gli oggetti: ad esempio posso caratterizzare l'insieme A delle pagine
precedenti come l'insieme dei numeri naturali minori di 5
A
=
{
x
N
:
x
<
5
}
A e' l'insieme degli elementi appartenenti ad N tali che l' elemento sia minore di 5
Intersezione fra insiemi
L'intersezione fra due insiemi e' l'operazione che associa ai due insiemi l'insieme i cui elementi
appartengono
contemporaneamente
al
primo
e
al
secondo
insieme
Si
indica
come
A
B
Vediamo un esempio,
in
Dati
(si
legge
rappresentazione
gli
A
intersezione
B)
tabulare.
insiemi:
A
=
{
1,
2,
3,
4
}
B
=
{
3,
4,
5,
6
}
A
B
=
{
3,
4
}
devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e contemporaneamente appartengono a B.
Mediante i diagrammi
in azzurro l'insieme intersezione
Mediante
caratteristica
A
=
{
x
N
:
x
<
5
}
B={x N:2<x<7}
A
B = { x
N : x < 5 e contemporaneamente 2 < x < 7 } =
={x N:2<x<5}
Differenza
Si definisce differenza fra due insiemi l'insieme degli elementi del primo insieme che non
appartengono
al
secondo
insieme;
Si
indica
come
A
\
B
od
anche
A-B
si
legge
differenza
fra
A
e
B
Abbiamo due casi
•
il secondo insieme non e' contenuto completamente nel primo insieme;
in tal caso si parla semplicemente di differenza
esempio: Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
A \ B = A-B = { 1, 2 }
devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A e non appartengono a B
in diagrammi di Eulero-Venn
l'insieme differenza e' in azzurro
•
il secondo insieme e' contenuto nel primo insieme B
in tal caso si parla di differenza complementare
esempio: Dati gli insiemi
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4 }
A;
A \ B = A-B = { 1, 2 }
devo prendere tutti gli elementi di A che non appartengono a B
in diagrammi di Eulero-Venn
l'insieme differenza e' in azzurro
Chiara Gatta 1SD
STORIA DELL’ INSIEMISTICA
La figura di Cantor (1845 - 1918) è particolare nella storia della matematica. Con una
semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere introdotto
"la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo tempo.
In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella matematica. Precisamente Cantor ha
sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta alla
definizione dei numeri cardinali infiniti.
La sua opera
ra porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante è che ci sono diversi
gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.
Concetti fondamentali
I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme"
"insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato
come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli
elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.
Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e
dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,
dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme
l'
N.
L’ idea centrale della teoria di Canton
L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella
di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di
accoppiare
re esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri
naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),
anche se N è un sottoinsieme proprio di Q.
Elementes de Mathematique
Mathematique
La teoria degli insiemi viene presa come linguaggio fondante negli "Eléments de Mathématique" di
Bourbaki (dagli anni '30 in poi). Entra prepotentemente nella didattica negli anni '60. Si tratta di un
linguaggio con cui si vuole permeare tutta la matematica dalle fondamenta, che corrisponde in
campo pedagogico allo strutturalismo (Piaget). Il titolo degli "Eléments de Mathématique" sembra
modesto, in realtà è ambizioso perché si riferisce agli elementi di Euclide.
Nel primo libro degli “ Elémentss de Mathématique” si introducono concetti diventati poi di uso
corrente, come unione, intersezione, funzione (iniettiva e suriettiva), relazione di equivalenza.
Si tratta di un libro senza figure, questo è un fatto da sottolineare. Le figure con cui gli insiemi
i
entrano nella didattica sono abbastanza povere dal punto di vista concettuale (si pensi ai diagrammi
di Eulero-Venn),
Venn), ma hanno un valore didattico importante. Ricordiamo che il concetto di relazione
di equivalenza è alla base della classificazione di
di oggetti rispetto a certe proprietà, che è uno dei
motori principali su cui si fonda il nostro pensiero.
Michela Izzo 1SD
La storia dell’ insiemistica
DEFINIZIONE: L’ insieme un raggruppamento di oggetti con una stessa
caratteristica, che deve essere un criterio oggettivo che permetta di
stabilire se un elemento appartiene o non appartiene all'insieme Insieme
vuoto Insieme Finito Un insieme può essere finito o Infinito. L'insieme si
dice finito quando è costituito da un numero finito di elementi. Si dice
infinito quando è costituito da un numero infinito di elementi. Si dice
insieme vuoto un insieme che non ha elementi.
LA STORIA: Fino a tempi relativamente recenti, il concetto di
insieme , era trattato in modo intuitivo. Fu invece il matematico
tedesco Georg Cantor a costruire una teoria vera e propria degli
insiemi, alla fine del XIX secolo. La teoria di Cantor, poi integrata e
migliorata da matematici successivi, si basa su due concetti
fondamentali: quello di insieme e quello di appartenenza. L'insieme
è una “collezione di elementi”, e un elemento matematico può
essere qualunque cosa, anche un insieme stesso.
Simbolo
N
Z
Q
Nome
Insieme dei numeri naturali
Insieme dei numeri interi
Insieme dei numeri razionali
Unione
Intersezione
Inclusione
Inclusione e uguale
Appartenenza
Non appartenenza
Insieme vuoto
Mancinelli
Un breve cenno storico sulla nascita degli insiemi e il loro uso in Matematica.
Nella seconda metà del XIX secolo era in corso una ampia
discussione su natura, definizione ed
esistenza dei numeri reali, come ultimo passo di un processo più
ampio noto sotto il nome di
Aritmetizzazione dell'Analisi, cioè il tentativo di ricondurre le
proprietà di enti e concetti usati
ormai da tempo in Analisi matematica (i numeri reali, le funzioni,
la continuità, infiniti ed
infinitesimi, …) ai veri numeri, cioè i numeri naturali, considerati
assieme alle loro proprietà
aritmetiche. In verità ci si "accontentava" di ricondurre l'Analisi
all'aritmetica di Q ai cui elementi
si riconosceva, in modo abbastanza generale, la natura di
numero.
Il concetto di insieme
Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti
primitivi della matematica ognuno di noi dovrebbe possederlo e
tale concetto dovrebbe essere lo stesso per ciascuno di noi.
Comunque intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli
oggetti se riusciamo a considerarli collegati tra loro allora
abbiamo un insieme. La prima cosa da dire e' che gli oggetti
(elementi) che compongono l'insieme devono sempre essere ben
definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.
vediamo un po' di nomenclatura
(simboli)
Useremo le lettere minuscole dell'alfabeto per indicare gli oggetti
(elementi) di un insieme
a b c d.......
Useremo le lettere maiuscole per indicare un insieme, ad
esempio
A sara' l'insieme A
Per indicare un insieme utilizzeremo
utilizzeremo talvolta le parentesi graffe,
come ad esempio
{ a , b } insieme formato dagli elementi a e b
Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme useremo
il simbolo
a A l'elemento a appartiene all'insieme A
Rappresentazione di un insieme
Possiamo utilizzare vari modi per rappresentare un insieme: Possiamo
avere
rappresentazione tabulare
Rappresentazione mediante grafico .
Rappresentazione tabulare
La rappresentazione tabulare si ottiene enumerando gli oggetti entro
parentesi graffe;
esempio:
voglio considerare l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali
1 2 3 4
posso scrivere
A = { 1, 2, 3, 4 }
Rappresentazione mediante grafici
(grafici di Eulero-Venn)
Eulero
Possiamo racchiudere gli oggetti che ci interessano entro una linea chiusa
continua e non intrecciata come dalla figura qui a fianco che rappresenta
sempre l'insieme A composto dai primi quattro numeri naturali
1 2 3 4.
Sophia
STORIA DELL’INSIEMISTICA
Nella seconda metà del XIX secolo era in corso una ampia discussione su natura, definizione
ed
esistenza dei numeri reali, come ultimo passo di un processo più ampio noto sotto il nome di
Aritmetizzazione dell'Analisi, cioè il tentativo di ricondurre le proprietà di enti e concetti
usati
ormai da tempo in Analisi matematica (i numeri reali, le funzioni, la continuità, infiniti ed
infinitesimi, …) ai veri numeri, cioè i numeri naturali, considerati assieme alle loro proprietà
aritmetiche. In verità ci si "accontentava" di ricondurre l'Analisi all'aritmetica di _, ai cui
elementi
si riconosceva, in modo abbastanza generale, la natura di numero.
Le proposte più importanti, quelle di Weierstrass, di Cantor e di Dedekind, dei primi anni '70
del
XIX secolo, usavano già costruzioni riconducibili agli
insiemi. L'opera di Frege poi, mostra il posto fondamentale della nozione di insieme.
Gli insiemi sono presenti nei programmi didattici odierni, spesso accompagnati da distinguo e
cautele (ad esempio nei programmi per le scuole elementari). La ragione di ciò è forse da
ricercarsi
nel fatto che per un decennio, a partire dal 1960 si era ritenuto, a ragione o a torto, che
l'insegnamento esplicito della Insiemistica avrebbe promosso la comprensione anche di altri
concetti Per alcuni testi ed estensori di programma, l'Insiemistica è parte integrante della
Logica (MPI,1985).
Per questo chi tratta gli argomenti riguardo agli insiemi ritiene di avere svolto la parte di
Logica. Così non è, o almeno, questo è un modo assai riduttivo e storicamente scorretto di
interpretare il tema.
L'idea ambiziosa che mi propongo qui è di contribuire a chiarire punti non sempre presi in
considerazione
dalle pubblicazioni didattiche e divulgative di Teoria degli Insiemi e che spesso generano
confusioni e incomprensioni sia nei docenti che nei discenti e, nel contempo, di fornire
informazioni
su teorie di grande interesse sia matematico che metodologico. Il docente accorto può
sicuramente
evitare le precisazioni che propongo, non deve però ritenerle superflue perché deve essere
pronto, in caso di difficoltà da parte del discente a comprendere l'origine di tali difficoltà.to
esplicito della Insiemistica avrebbe promosso la comprensione anche di altri concetti.
Serve
e la teoria degli insiemi? Molta matematica, anche universitaria, sembra farne a meno.
Quello
che è assai diffuso nella presentazione odierna della Matematica è il linguaggio della Teoria
degli
insiemi. Ad esempio in testi di Geometria (che per sua natura potrebbe farne a meno!) si
trovano
spesso affermazioni quali: una retta è un insieme di punti, un punto appartiene ad una retta,
affermazioni talvolta presentate mediante il simbolismo specifico degli insiemi.
Ormai la Teoria degli insiemi, o peggio l'Insiemistica, è divenuta bagaglio comune nella scuola
italiana, a partire dalla fascia dell'obbligo, come prevedono i programmi per la Scuola Primaria.
I
motivi di ciò si possono ricollegare a svariate ragioni didattiche e storiche. Il mio
intendimento è di
proporre
oporre una riflessione spero interessante, sulla Teoria degli Insiemi e nel contempo di
puntualizzare
alcuni aspetti collegati alle scritture scelte.
Molto spesso si legge sui testi scolastici, anche universitari, che gli insiemi sono collezioni di
oggetti
e su questa strada poi ci si muove per introdurre in modo abbastanza elementare le più
semplici collezioni in senso intuitivo, salvo precisarne poi l'uso. Manca spesso la precisazione
che
si considerano le collezioni di tutti e soli gli oggetti di un certo
o tipo, precisato appunto
dall'insieme.
E' questo l'approccio originale che trae origine dalle ricerche di Cantor. In esso convergono
idee
più antiche provenienti dalla filosofia greca. In sostanza la definizione cantoriana di insieme
discende dal principio
o di comprensione, vale a dire l’affermazione che una proprietà j individui
univocamente una collezione, quella di tutti e soli gli elementi che soddisfano la proprietà j.
CANTOR
La figura di Cantor (1845 - 1918) è particolare nella storia della matematica. Con una
semplificazione un po' ironica, e' rimasto famoso infatti per due aspetti, cioè per avere
introdotto "la teoria degli insiemi", e per essere stato poco compreso nel suo tempo.
In realtà il concetto di insieme è presente da sempre nella
nella matematica. Precisamente Cantor
ha sviluppato il concetto di corrispondenza biunivoca tra insiemi (finiti o infiniti), che porta
alla definizione dei numeri cardinali infiniti.
infiniti
La sua opera porta alcune profonde rivoluzioni concettuali. La più importante
important è che ci sono
diversi gradi di infinito. Il concetto di infinito non è più lo stesso dopo l’opera di Cantor.
LA MATEMATICA MODERNA
Occorre subito sfatare il mito che il linguaggio della teoria degli insiemi porti con sè
immediatamente dei nuovi contenuti interessanti. O meglio, i contenuti interessanti ci sono,
ma occorre fare parecchia strada per apprezzarli. Spieghiamoci meglio: il linguaggio con cui si
esprimono i risultati più rivoluzionari di Cantor (si veda in seguito)
seguito) è proprio quello della teoria
degli insiemi. Si può quindi credere a prima vista che con l’introduzione didattica degli insiemi
si possano far intravedere agli studenti risultati interessanti, che altrimenti non sarebbero
stati alla loro portata. In realtà
ealtà negli esempi elementari si trattano soprattutto insiemi finiti,
e si corre il rischio di studiare il linguaggio come fine a se stesso, senza applicazioni
stimolanti. Ad esempio, approfondire le funzioni Col nome di matematica moderna che, è bene
intendersi,
ndersi, è ormai desueto, si intendeva una fondazione formale basata sulla teoria degli
insiemi, su cui si sviluppano le relazioni (d’ordine, d’equivalenza), le funzioni, l’algebra astratta
e poi la geometria e l’analisi. A titolo d’esempio riportiamo come veniva definito un angolo nel
piano E in un manuale per il liceo francese del 1971, senza alcuna figura.
A cura di Marta Popolo,1°SD
Popolo,
2013-2014
Storia degli insiemi
La teoria degli insiemi ha introdotto una matematica sganciata da ciò di cui
prevalentemente
si
occupa:
numeri
ed
enti
geometrici.
Noi ci chiediamo come mai, nell' arco dei tempi, alcuni illustri matematici sono
stati
spinti
verso
questo
studio.
La risposta la possiamo trovare tornando indietro nel tempo, esattamente nella
seconda metà dell' ottocento, quando il progredire di tutte le scienze in
generale causò, nei vari settori, una crescita di interessi di vastissime
dimensioni.
Nella matematica questo progresso portò ad un frazionamento in varie parti
che si svilupparono in maniera autonoma e che quindi risultarono sganciate le
une
dalle
altre.
Bisognava trovare una teoria generale che riuscisse a fondere tutti i risultati
ottenuti nei singoli campi di interesse e che creasse, contemporaneamente, un
rapporto rigoroso fra leggi matematiche e leggi del pensiero logico.
A questa esigenza rispose la mente geniale di un grande matematico, George
Cantor,
con
la
sua
Teoria
degli
insiemi.
Altri due grandi matematici, Leonard Euler (Eulero) e John Venn, hanno
dato un notevole contributo agli studi sulla teoria degli insiemi interessandosi,
in
particolar
modo,
alla
loro
rappresentazione.
La teoria degli insiemi è universalmente considerata, nella sua concezione e impostazione alla fine
dell'Ottocento,
opera
di
una
sola
persona,
Georg
Cantor.
Nel 1900 è
pubblicata la prima esposizione sistematica generale
della teoria.
Quando nel mondo occidentale impazzava 'l’insiemistica' a partire dalla scuola primaria, in Italia esisteva
solo qualche equilibrata iniziativa. Oggi, proprio quando in tutto il mondo si riconosce l’inadeguatezza
didattica della ‘insiemistica a tutti i costi’, fra gli insegnanti italiani si diffonde l’abitudine di iniziare l’anno
scolastico
con
la
teoria
degli
insiemi.
Non e' possibile definire l'insieme: essendo uno dei concetti primitivi della matematica
ognuno di noi dovrebbe possederlo e tale concetto dovrebbe essere lo stesso per
ciascuno di noi. Comunque intuitivamente si puo' dire che quando abbiamo degli
oggetti se riusciamo a considerarli collegati tra loro allora abbiamo un insieme. La
prima cosa da dire e' che gli oggetti (elementi) che compongono l'insieme devono
sempre essere ben definiti prima ancora di considerare l'insieme stesso.
Elisa Ramaccia ISD
Storia dell’insiemistica
La teoria degli insiemi è arrivata ad essere una teoria fondamentale alla fine del XIX secolo dalla
scoperta del matematico tedesco Georg Cantor. I concetti basilari della teoria degli insiemi sono
"insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato come una collezione di oggetti,
chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un insieme sono oggetti
matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi. Inizialmente fu sviluppata quella che
ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva". Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire
qualsiasi operazione sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di
Russell. Per affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con
un approccio assiomatico.
Inoltre gli insiemi anche se non accorgendoci fanno parte della nostra vita e quotidianamente ci
servono per dividere oggetti,persone e molte altre cose in vari settori per questo possiamo dire che
la teoria dell’insiemistica è fondamentale per tutti noi e per la società.
ROTTIGNI
La storia dell’insiemistica
La teoria degli insiemi è una branca della matematica creata principalmente dal matematico tedesco
Georg Cantor alla fine del XIX secolo. Inizialmente controversa, la teoria degli insiemi è arrivata ad
avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna, nel senso di una teoria invocata per
giustificare le assunzioni fatte riguardo all'esistenza degli oggetti matematici (come i numeri o le
funzioni) e delle loro proprietà. Le formulazioni formali della teoria degli insiemi hanno giocato
anche un ruolo fondamentale nello specificare un ideale teorico di rigore matematico nelle
dimostrazioni. Mentre i concetti basilari della teoria degli insiemi sono usati ovunque in
matematica, la teoria in sé è seguita come tema specialistico da un numero relativamente piccolo di
matematici e logici. Si deve ricordare inoltre che ci sono matematici che usano e promuovono
diversi approcci ai fondamenti della matematica.
I concetti basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza". Un insieme è pensato
come una collezione di oggetti, chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli
elementi di un insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere insiemi.
Quindi si parla dell'insieme N dei numeri naturali { 0, 1, 2, 3, 4, ... }, dell'insieme dei numeri reali, e
dell'insieme delle funzioni che associano numeri naturali a numeri naturali; ma anche, ad esempio,
dell'insieme { 0, 2, N } che ha come elementi i numeri 0 e 2 e l'insieme N.
Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o "intuitiva" degli insiemi
(vedi teoria ingenua degli insiemi). Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire qualsiasi
operazione sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di Russell. Per
affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli insiemi, questa volta con un
approccio assiomatico.
Le origini della teoria rigorosa degli insiemi
L'idea importante di Cantor, che rese la teoria degli insiemi un nuovo campo di studio, è stata quella
di affermare che due insiemi A e B hanno lo stesso numero di elementi se esiste un modo di
appaiare esaustivamente gli elementi di A con gli elementi di B. Quindi l'insieme N dei numeri
naturali ha la stessa cardinalità dell'insieme Q dei numeri razionali (entrambi sono detti numerabili),
anche se N è un sottoinsieme proprio di Q. D'altra parte, l'insieme R dei numeri reali non ha la
stessa cardinalità di N o Q, ma una maggiore (è detto non numerabile). Cantor fornì due
dimostrazioni della non numerabilità di R, e la seconda di queste, che sfrutta quella che è nota come
costruzione diagonale, ha avuto una straordinaria influenza e innumerevoli applicazioni in
matematica e logica.
Cantor andò oltre e costruì una gerarchia infinita di insiemi infiniti, i numeri ordinali e cardinali.
Questo procedimento era controverso ai suoi tempi, e aveva l'opposizione del finitista Leopold
Kronecker, ma oggi non c'è disaccordo significativo fra i matematici sulla correttezza delle idee di
Cantor.
Cantor sviluppò la teoria degli insiemi ancora in termini "ingenui", nel senso che non aveva una
precisa assiomatizzazione in mente. In retrospettiva, possiamo dire che Cantor usava implicitamente
l'assioma di estensionalità, l'assioma dell'infinito e l'assioma di comprensione. Tuttavia l'ultimo
porta direttamente al paradosso di Russell, mediante la costruzione dell'insieme S := {A : A non è in
A} degli insiemi che non appartengono a sé stessi. (Se S appartiene a sé stesso, allora non vi
appartiene, portando a una contraddizione, così S non può appartenere a sé stesso. Ma allora S
dovrebbe appartenere a sé stesso, portando ad un assurdo.) Quindi gli insiemisti furono costretti ad
abbandonare o la logica classica o la comprensione illimitata, e la seconda scelta fu considerata
molto più ragionevole. (Benché l'intuizionismo abbia un notevole seguito, il paradosso continua a
valere anche nella logica intuizionistica. Non c'è paradosso nella logica brasiliana, ma questa era del
tutto sconosciuta al tempo.)
Allo scopo di evitare questo paradosso e paradossi simili, Ernst Zermelo fece uso di un sistema di
assiomi per la teoria degli insiemi nel 1908. Incluse in questo sistema l'assioma della scelta, molto
controverso, che gli fu necessario per la dimostrazione del teorema del buon ordinamento (o
teorema di Zermelo). Questo sistema è stato successivamente raffinato da Adolf Fraenkel e Thoralf
Skolem, portando agli assiomi ora utilizzati.
Sabatini
Storia dell’insiemistica
La teoria degli insiemi è arrivata ad essere una teoria fondamentale alla fine del
XIX secolo dalla scoperta del matematico tedesco Georg Cantor. I concetti
basilari della teoria degli insiemi sono "insieme" e "appartenenza".
Un insieme è pensato come una collezione di oggetti,
chiamati elementi (o membri) dell'insieme. In matematica, gli elementi di un
insieme sono oggetti matematici qualsiasi, e in particolare possono essere
insiemi. Inizialmente fu sviluppata quella che ora è chiamata teoria "ingenua" o
"intuitiva". Si scoprì che lasciando la possibilità di eseguire qualsiasi operazione
sugli insiemi senza restrizioni si arrivava a paradossi come il paradosso di
Russell. Per affrontare questi problemi si dovette ricostruire la teoria degli
insiemi, questa volta con un approccio assiomatico.
Inoltre gli insiemi anche se non accorgendoci fanno parte della nostra vita e
quotidianamente ci servono per dividere oggetti,persone e molte altre cose in
vari settori per questo possiamo dire che la teoria dell’insiemistica è
fondamentale per tutti noi e per la società. La lettera del 29 Giugno 1877 è
rimasta famosa proprio per il passo: “Lo vedo ma non lo credo”.
Attraverso questa discussione entriamo in pieno a comprendere cosa
è lo strutturalismo in matematica e in pedagogia. In quest’ottica
(Klein) ci sono strutture ricche e strutture povere. Gli insiemi sono la
struttura più povera di tutte! Come matematici questo ci aiuta a
capire il concetto stesso di strutturalismo. Infatti siamo abituati che
per capire un concetto, lo si porta alle sue estreme conseguenze. Così,
tra tutte le strutture, un insieme da solo significa: nessuna struttura!
Questa lettura storica serve anche a capire come non sia affatto
naturale parlare di insiemi più qualcosa, cioè proporsi di arricchire la
struttura di insieme. Infatti la difficoltà incontrata nell'Ottocento ad
immaginare il piano come insieme, era che si sapeva già cosa è il
piano, e si doveva impoverirlo, cioè l'insieme era dato da una struttura
(già nota) meno qualcosa! L’incredulità dei contemporanei di Cantor,
e dello stesso Cantor, a credere che il piano sia in corrispondenza
biunivoca con la retta è dovuta al fatto che la continuità di una
funzione era data per scontata. Ed infatti non deve meravigliarci che
ancora oggi la continuità è un concetto che crea difficoltà
nell’apprendimento.
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