Fondamenti di Matematica

A
Daniela Tondini
Fondamenti di Matematica
Volume zero
Copyright © MMXIV
ARACNE editrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Raffaele Garofalo, /A–B
 Roma
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: settembre 



11
 
5
5
5
7
9
22
23
4

`

]

_

31
31
31
32
5
6
8
41
4

8
8
9
­€
‚
€
ƒ
3
3
3
5
6
6
2
9
10
Indice
Indice
 


3
3
3
100
3

109
8
90
4


     


­ 
€ ‚ƒ
„


11
12
Introduzione
 

 
  ­ 

€‚
 
ƒ
Introduzione
13

   ­
­
€‚ƒ
­
„
€ … † ­
‡ CAPITOLO I
CENNI ALLA TEORIA DEGLI INSIEMI
Non sappiamo dove cominciare la nostra analisi del mondo.
La tradizione scientifica non ce lo dice.
Ci dice solo dove e come hanno cominciato
altri, e dove sono arrivati.
Karl Popper
Introduzione
La teoria degli insiemi costituisce la base per ogni argomentazione di
carattere matematico: oltre a permettere di definire e descrivere i
concetti matematici, rapidamente e con il loro giusto rigore, infatti,
consente di realizzare, con una certa efficacia, quella che da sempre è
stata una delle caratteristiche tipiche dei matematici, ovvero la
generalizzazione degli argomenti oggetto di indagine e, al tempo
stesso, l’unificazione di tutti quei modelli che, a prima vista,
potrebbero sembrare tra loro assai lontani.
Georg Cantor 1, con la sua opera fondamentale del 1880, Memorie, è
considerato, a tutti gli effetti, il padre della teoria degli insiemi, nata e
sviluppatasi per meglio comprendere l’infinito e l’astratto in
Matematica: con l’avvento di tale teoria, infatti, si sono aperte nuove
vie al pensiero umano e tutto l’edificio logico della matematica si è
rafforzato sempre più.
Si sono raggiunti, poi, gli apici con il movimento Bourbakista 2, la cui
descrizione si trova nell’opera, Elements de Matematique, suddivisa in
circa trenta volumi, che si era posto, quale obiettivo, la revisione
dell’intera matematica da un punto di vista assiomatico ed astratto.
Altra tappa fondamentale è stata la prova di Gödel 3, secondo cui
risulta impossibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema
razionale attraverso i mezzi offerti dal sistema stesso.
1. Generalità
Com’è ben noto, dare una definizione significa introdurre un concetto
nuovo mediante altri già noti, ovvero definiti in precedenza.
Esempio
Nel momento in cui si afferma che un numero naturale è primo se non
ha alcun divisore, oltre all’unità e a se stesso, si definisce il concetto
1
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 1845–Halle, 1918),
matematico tedesco.
2
Movimento del pensiero matematico contemporaneo che trae origine da Nicolas
Bourbaki, eteronimo con il quale, dal 1935 fino al 1983, un gruppo di matematici di
alto profilo, soprattutto francesi, ha scritto una serie di libri per l’esposizione
sistematica di nozioni della matematica moderna avanzata, con l’obiettivo di basare
l’intera matematica, attraverso testi che fossero il più possibile rigorosi, sulla teoria
degli insiemi.
3
Kurt Gödel (Brno, 1906–Princeton, 1978), matematico, logico e filosofo austriaco
naturalizzato statunitense, noto soprattutto per i suoi lavori sull’incompletezza delle
teorie matematiche.
15
1612
Fondamenti
Capitolo
I
di Matematica
di numero primo mediante quelli, già noti, di numero naturale e di
divisore.
Ogni definizione, dunque, presuppone altre definizioni ad essa
precedenti. Risulta evidente, pertanto, che deve esserci un qualcosa
(uno o più concetti) di non definito, denominato ente primitivo, che
serve quale punto di partenza per tutto ciò che segue.
Esempio
Le parole punto, retta, piano rappresentano concetti primitivi in quanto
non è possibile definirli esplicitamente: per poterne parlare, infatti,
bisogna ricorrere alla via assiomatica oppure a quella intuitiva o
ingenua 4.
In virtù di quanto sopra asserito, quindi, anche i concetti di insieme e
di oggetto vengono considerati primitivi, ovvero non suscettibili di
definizione: un insieme, infatti, non è altro che un ente costituito da un
certo numero di oggetti.
Gli insiemi sono indicati, in genere, con le lettere maiuscole
dell’alfabeto italiano, A, B, C ,... , mentre gli oggetti che li
costituiscono con le lettere minuscole, a, b, c,...
Un insieme, pertanto, risulta assegnato quando, per ogni suo oggetto, è
possibile stabilire se esso appartiene o non appartiene all’insieme
considerato; in altre parole, dati l’elemento a e l’insieme A deve
risultare possibile una ed una sola delle seguenti alternative:
a  A (a è elemento di A) a  A (a non è elemento di A)
In particolare un insieme è dato quando è noto l’elenco degli elementi
che vi appartengono.
Esempio
A ^a, b, c` è l’insieme costituito dagli oggetti a, b, c .
Un insieme privo di elementi si dice insieme vuoto e si denota con il
simbolo ‡.
Un esempio di insieme vuoto è l’insieme dei numeri reali il cui
quadrato è 4 .
Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi ed il
numero dei suoi elementi prende il nome di potenza, o cardinalità,
dell’insieme; due insiemi con la stessa cardinalità si chiamano
equipotenti.
Un insieme che non è finito si dice infinito.
Un insieme, inoltre, può essere rappresentato attraverso:
- la rappresentazione estensiva o per elencazione, che consiste
nell’elencare, all’interno di una coppia di parentesi graffe, gli
elementi dell’insieme;
4
Dare una definizione per via assiomatica significa far precedere ad essa alcune
proposizioni, dette assiomi, che si accettano per vere; la teoria ingenua degli
insiemi, invece, considera questi ultimi come collezioni di oggetti.
I. Cenni alla
degli
insiemi
Cenniteoria
alla teoria
degli
insiemi
-
-
17
13
la rappresentazione intensiva o per proprietà, che consiste
nell’elencare, tra due parentesi graffe, una o più proprietà di
cui godono gli elementi che formano l’insieme;
la rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn,
usata soprattutto per illustrare le relazioni e le operazioni fra
gli insiemi dati, che consiste nel riportare dentro una figura, di
forma ovale o tonda, gli elementi dell’insieme.
Siano A e B due insiemi.
Se ogni elemento di B appartiene anche ad A si dice che B è incluso in
A o che B è un sottoinsieme di A; lo si indica con B Ž A e lo si
rappresenta, attraverso i diagrammi di Eulero-Venn, nel modo
seguente:
A
B
fig.1
Se ogni elemento di A appartiene a B ed ogni elemento di B appartiene
ad A allora A è uguale a B; in simboli A B .
Se B è un sottoinsieme di A, ma risulta A z B, allora vuol dire che
esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B; in tal caso si
dice che B è incluso propriamente in A; in simboli B  A (fig.1).
L’insieme che ha per elementi i sottoinsiemi di un insieme A prende il
nome di insieme delle parti di A; a tale insieme appartengono sia A sia
l’insieme vuoto ‡.
2. Operazioni con gli insiemi
Siano A e B due insiemi.
Si chiama intersezione di A e di B, e lo si indica con il simbolo A ˆ B ,
l’insieme costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B
(fig.2).
A
B
Aˆ B
fig.2
1814
Fondamenti
Capitolo
I
di Matematica
Se B Ž A allora A ˆ B B (fig.1); se, invece, A e B sono insiemi
disgiunti, ovvero non hanno elementi comuni, allora la loro
intersezione è l’insieme vuoto, cioè A ˆ B ‡ .
Si chiama unione di A e B, e lo si indica con il simbolo A ‰ B ,
l’insieme costituito dagli elementi che appartengono o ad A o a B.
Se B Ž A allora A ‰ B A .
Esempi
1) Sia P l’insieme dei numeri naturali pari e sia D l’insieme dei
numeri naturali dispari. Risulta P ˆ D ‡ e P ‰ D ` .
2) Sia A l’insieme dei giorni della settimana e sia
B ^lunedì, martedì, mercoledì` . Risulta A ˆ B B e A ‰ B A ,
perché è B  A .
Si definisce differenza tra gli insiemi A e B, e lo si indica con il
simbolo A B , l’insieme costituito dagli elementi di A che non
appartengono a B.
Se B Ž A , allora A B si chiama complementare di B rispetto ad A.
Esempio
Siano A ^0,1, 2,3, 4` e B ^1,3,5, 7,9` . Allora risulta:
^1,3` ; A ‰ B ^0,1, 2,3, 4,5, 7,9` ;
A B ^0, 2, 4` ; B A ^5, 7,9`
Aˆ B
Dati due insiemi A e B non vuoti si definisce prodotto cartesiano di A
e B, e lo si denota con A u B , l’insieme delle coppie ordinate a, b in
cui a  A e b  B ; in simboli A u B
^ a, b : a  A, b  B` .
All’insieme A u B , pertanto, appartengono tutte le possibili coppie in
cui il primo elemento si trova sempre nel primo insieme del prodotto
ed il secondo elemento nel secondo insieme.
A tal riguardo, occorre sottolineare che le coppie del prodotto
cartesiano sono ordinate, cioè la coppia a, b è diversa dalla coppia
b, a ,
da cui segue A u B z B u A , ovvero il prodotto cartesiano di
due insiemi non è commutativo.
Se risulta poi B A , allora ci si trova di fronte al prodotto cartesiano
di un insieme per se stesso, in simboli A u A o anche A2 .
Inoltre, se uno dei due insiemi del prodotto è l’insieme vuoto, ad
esempio è B ‡ , allora risulta A u ‡ ‡ u A ‡ , da cui segue, in
particolare, ‡ u ‡ ‡ .
Esempi
1) Sia A ^0,1` e B ^a, b, c` . Allora si ha:
Au B
Bu A
^(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)`
^(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a,1), (b,1), (c,1)`
I. Cenni alla
degli
insiemi
Cenniteoria
alla teoria
degli
insiemi
19
15
^5, 6, c` , allora si ottiene:
A u A ^(5,5), (5, 6), (5, c), (6,5), (6, 6), (6, c), (c,5), (c, 6), (c, c)`
2) Se A
Dato un insieme A non vuoto, si considerino i suoi sottoinsiemi
Ai i 1, 2,..., n tali che:
-
Ai z ‡
Ai  A
Ai ˆ Aj
i 1, 2,..., n
i 1, 2,..., n
i, j 1, 2,..., n
‡
n
-
*A
i
A
i 1
In tal caso si dice che gli Ai i 1, 2,..., n costituiscono una
partizione di A (fig.3).
A2
A4
A1
A3
A5
fig.3
3. Relazioni
Gli errori fatali della vita non sono davanti al
fatto che l’uomo sia un essere irragionevole:
un momento di irragionevolezza può essere il
nostro momento più alto. Gli errori sono
dovuti al fatto che l’uomo è un essere logico.
Oscar Wilde
Il linguaggio comune, cioè la lingua parlata, è costituito da frasi che,
in genere, sono chiamate proposizioni. Ad esempio:
a) Madrid è la capitale della Spagna;
b) oggi piove?;
c) 3 è maggiore di 7;
d) non ti muovere!;
sono tutte proposizioni.
Anche la matematica, però, fa uso di proposizioni, se pur con un
significato più restrittivo rispetto alla lingua parlata: in matematica, in
particolare nella logica matematica 5, infatti, si definisce proposizione
una frase di cui si può dire, senza ambiguità, se è vera o falsa,
assumendo i concetti di vero e falso come primitivi.
5
Cfr. paragrafo 6.