4 NUMERI RAZIONALI RELATIVI Approfondimento Operazioni tra insiemi Le «operazioni tra insiemi» sono dei procedimenti che, a partire da due insiemi dati, generano un terzo insieme. a Unione di insiemi Sano dati i due insiemi: A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f2, 4, 5g. Costruiamo l’insieme C formato sia dagli elementi contenuti in A, sia da quelli contenuti in B, considerando pero` una sola volta ogni eventuale elemento comune ad A e B. Si ha: C ¼ f1, 2, 3, 4, 5g. L’insieme C si chiama unione dell’insieme A con l’insieme B. In generale, si da` la seguente: DEFINIZIONE RICORDA In questa scrittura la congiunzione «oppure» ha il significato del latino «vel»: o l’uno o l’altro o tutti e due. In questo caso, invece di oppure, si puo` utilizzare il simbolo _, dovuto a G. PEANO. Si chiama unione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi che appartengono almeno a uno degli insiemi A e B. Questo insieme si indica con il simbolo: A [ B e si legge «A unione B», (o «A unito B»). Possiamo scrivere: A [ B ¼ fx j x 2 A oppure x 2 Bg. Evidentemente A [ B ¼ x, se e solo se A ¼ x e B ¼ x. ESEMPI 1. f1, 2, 4g [ f2, 3, 4, 5g ¼ f1, 2, 3, 4, 5g, (fig. 1.5). Figura 1.5 1 Figura 1.4 Mediante i diagrammi di EULEROVENN l’unione tra gli insiemi A e B e` raffigurata dalla parte di piano colorata (fig. 1.4). 4.3 NUMERI RAZIONALI RELATIVI 2. f1, 2g [ fa, bg ¼ f1, 2, a, bg, (fig 1.6). Figura 1.6 Figura 1.7 3. fa, bg [ fa, b, c, dg ¼ fa, b, c, dg. Si noti che: fa, bg fa, b, c, dg (fig 1.7). 4. f1, 2, 3g [ x ¼ f1, 2, 3g; b x [ x ¼ x. Intersezione tra insiemi Siano dati i due insiemi: A ¼ f1, 2, 3, 4g e B ¼ f2, 4, 5g. Costruiamo l’insieme D formato dagli elementi che stanno contemporaneamente tanto in A quanto in B. Si ha: D ¼ f2, 4g. L’insieme D si chiama intersezione tra l’insieme A e l’insieme B. In generale, si da` la seguente: DEFINIZIONE Si chiama intersezione di due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi comuni ad A e B. Questo insieme si indica con il simbolo: A \ B , e si legge: «A intersezione B», (o «A intersecato B»). Possiamo scrivere: A \ B ¼ fx j x 2 A e x 2 Bg: Evidentemente, se gli insiemi A e B non hanno elementi in comune, si ha A \ B ¼ x. In tal caso A e B sono, come sappiamo (par. 1.1), disgiunti. Figura 1.8 Mediante i diagrammi di EULERO -VENN, l’intersezione tra gli insiemi A e B e` raffigurata dalla parte di piano colorata (fig. 1.8). 2 4 NUMERI RAZIONALI RELATIVI ESEMPI 1. f1, 2, 4g \ f2, 3, 4, 5g ¼ f2, 4g, (fig. 1.9). 2. f1, 2g \ fa, bg ¼ x. Si noti che i due insiemi sono disgiunti, (fig. 1.10). 3. fa, bg \ fa, b, c, dg ¼ fa, bg. Si noti che fa, bg fa, b, c, dg, (fig 1.11). Figura 1.9 Figura 1.10 Figura 1.11 4. f1, 2, 3g \ x ¼ x. Sono di facile verifica le seguenti proprieta`. Commutativa 1. A [ B ¼ B [ A; A \ B ¼ B \ A. Associativa 2. ðA [ BÞ [ C ¼ A [ ðB [ CÞ; ðA \ BÞ \ C ¼ A \ ðB \ CÞ. 3. A [ A ¼ A; A \ A ¼ A. 4. A [ x ¼ A; A \ x ¼ x. 5. A [ ðB \ CÞ ¼ ðA [ BÞ \ ðA [ CÞ; Distributiva A \ ðB [ CÞ ¼ ðA \ BÞ [ ðA \ CÞ. Lo studente verifichi queste proprieta`, con l’uso di diagrammi di EULEROVENN, oppure considerando, ad esempio, gli insiemi: A ¼ fa; b; cg; B ¼ fc; dg; C ¼ fc; eg: Infine: 6. c Se A B, allora: B [ A ¼ B; B \ A ¼ A. Insieme complementare Siano dati un insieme E e un suo sottoinsieme A (fig. 1.12). Si da` la seguente: DEFINIZIONE Figura 1.12 3 Si chiama insieme complementare di A rispetto a E, l’insieme formato dagli elementi di E che non appartengono ad A. 4.3 NUMERI RAZIONALI RELATIVI Questo insieme si indica con CE A, oppure con E A e si legge «complementare di A rispetto ad E», oppure «differenza complementare fra E ed A». Nella figura 1.13 la parte colorata e` E A. Se poi E e` fissato e non c’e` possibilita` di equivoco, l’insieme complementare si puo` indicare semplicemente con A: Dalla definizione risultano le seguenti proprieta` (fig 1.12): 1. A [ A ¼ E; 5. A ¼ A ( proprieta` di involuzione). 2. A \ A ¼ x; 3. E ¼ x; 4. x ¼ E; ESEMPI 1. fa, b, cg fa, bg ¼ fcg; 2. f1, 2, 3, 4g f1, 3g ¼ f2, 4g d fa, b, cg fa, b, cg ¼ x; f1, 2g x ¼ f1, 2g. e f1, 2, 3, 4g f2, 4g ¼ f1, 3g. Prodotto cartesiano di due insiemi Dati due insiemi non vuoti A e B, che consideriamo, rispettivamente, come primo e secondo insieme, possiamo formare delle coppie ordinate di elementi, prendendone il primo elemento in A e il secondo elemento in B. Se x 2 A e y 2 B, tutte le coppie ordinate del tipo ðx; yÞ sono elementi di un nuovo insieme, detto prodotto cartesiano di A per B. Si da`, cioe` la seguente: DEFINIZIONE Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama prodotto cartesiano di A per B, nell’ordine scritto, l’insieme di tutte le coppie ordinate ðx, yÞ con x 2 A e y 2 B. Questo insieme si indica con il simbolo: A B , e si legge: «A cartesiano B». Possiamo quindi scrivere: A B ¼ fðx, yÞ j x 2 A e y 2 Bg. ESEMPI Siano: A ¼ f1, 2g e Si ha allora per definizione: A B ¼ fð1, aÞ, ð1, bÞ, ð1, cÞ, ð2, aÞ, ð2, bÞ, ð2; cÞg; e B A ¼ fða, 1Þ, ða, 2Þ, ðb, 1Þ, ðb, 2Þ, ðc, 1Þ, ðc, 2Þg. B ¼ fa, b, cg. 4 4 NUMERI RAZIONALI RELATIVI Dall’esempio dato si vede che: A B 6¼ B A, cioe`: il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprieta` commutativa. Questo perche´ ogni coppia e` ordinata, e quindi, ad esempio, ð1; aÞ 6¼ ða; 1Þ. Nel caso, poi, che almeno uno dei due insiemi sia vuoto, allora non e` possibile formare alcuna coppia, perche´ l’insieme vuoto e` privo di elementi. In questo caso, si pone per definizione: A x ¼ x A ¼ x; x x ¼ x: Valgono le seguenti proprieta` che si possono verificare su esempi. 1. A ðB [ CÞ ¼ ðA BÞ [ ðA CÞ. 2. A ðB \ CÞ ¼ ðA BÞ \ ðA CÞ. Verificare queste proprieta`, utilizzando, ad esempio, gli insiemi: A ¼ fa; bg; B ¼ f1; 2g; C ¼ f1; 3g. 3. Se A B ¼ x, allora A ¼ x, oppure B ¼ x, oppure A ¼ B ¼ x, e viceversa. 4. Se A B 6¼ x, allora A 6¼ x e B 6¼ x. Se A ¼ B, invece di A A, si usa anche scrivere A2 . Si chiama diagonale di A2 l’insieme delle coppie ða, aÞ, con a 2 A. 5 SAPER FARE NUMERI RAZIONALI RELATIVI 4.3 Ripasso punto per punto Completare le seguenti frasi, inserendo termini appropriati al posto dei puntini. 1. Alcune operazioni tra insiemi sono: a) Intersezione: A \ B ¼ fxjx 2 A ..... x 2 Bg. b) Unione: A [ B ¼ fxjx 2 A ..... x 2 Bg. c) Differenza complementare: A ¼ E A ¼ fxjx 2 E e x:::::Ag, con A ::::: E. d) Prodotto cartesiano: A B ¼ fðx; yÞjx 2 A e y 2 Bg. Elencare le principali proprieta` di queste operazioni (con A; B; C EÞ: Per iniziare 2. Completare con la definizione la tabella di figura 1.13 e poi colorare, in ogni caso, l’insieme indicato. a) b) A B A B A[B A\B B[C B\C A A C c) A B A B C A[C A\C A C d) B B C B A[B[C C A\B\C A B C Figura 1.13 6 4 NUMERI RAZIONALI RELATIVI Esercizi Determinare l’intersezione e l’unione delle seguenti coppie di insiemi. 3. a) A ¼ f7, 0, 6, 2, 3g; B ¼ f0, 2, 3, 5g. b) A ¼ f0, 2g; B ¼ f2, 0g. 4. a) A ¼ x; B¼f b) A ¼ fxg; B ¼ f0g. 5. a) A ¼ fa, b, c, dg; B ¼ fb, dg. b) A ¼ f1, 2, 3, 4g; B ¼ f3, 4, 5g. 6. a) A ¼ f2, 5, 7, 9g; B ¼ x. b) A ¼ f0, 2, 4, 6g; B ¼ f1, 3, 5g. a) A ¼ fx j x e` parig; B ¼ fx j x e` disparig. b) A ¼ fx j x e` multiplo di 3g; B ¼ fx j x e` multiplo di 2g. a) A ¼ fx j x 2 N e x < 16g; B ¼ fx j x 2 N e x < 21g. b) A ¼ fx j x 2 N e x þ 5 ¼ 0g; B ¼ fx j x 2 N e 2x ¼ 0g. a) A ¼ fx j x 2 N e x 3g; B ¼ fx j x 2 N e x 7g. b) A ¼ fx j x 2 N e x < 3g; B ¼ fx j x 2 N e x 4g. 10. A e` l’insieme dei divisori di 18; B e` l’insieme dei divisori di 24. 11. Siano: A ¼ insieme dei rombi; 7. 8. 9. g. B ¼ insieme dei quadrati; C ¼ insieme dei rettangoli; determinare: a) D [ C; D [ B; C [ A. c) D \ C; D \ B; D ¼ insieme dei parallelogrammi, C \ A. Sapendo che A ¼ fx, y, z, vg, B ¼ fz, u, v, wg, b) A [ D; A [ B; B [ C. d) A \ D; A \ B; B \ C. C ¼ fx, v, r, sg, determinare gli insiemi: 12. ðA [ BÞ [ B; ðA \ BÞ [ C; ðA \ CÞ [ B. 13. ðA [ BÞ \ C; ðA [ BÞ [ C; ðA [ CÞ \ C. 14. ðA \ BÞ [ ðA \ CÞ; ðB [ CÞ \ ðB [ AÞ. 15. Sia A un sottoinsieme dell’insieme E; determinare il risultato di ciascuna delle seguenti operazioni: a) A [ A ¼ :::; b) A \ A ¼ :::; c) A [ x ¼ :::; d) A \ x ¼ :::; e) A [ E ¼ :::; f) A \ E ¼ :::; g) ðA [ AÞ \ A ¼ :::; h) A [ ðA [ AÞ ¼ :::; i) ðA \ EÞ [ A ¼ :::; 7 l) ðA [ EÞ \ A ¼ ::: . SAPER FARE NUMERI RAZIONALI RELATIVI 16. Determinare E A nei seguenti casi: a) b) c) d) e) 17. E ¼ fa; b; c; dg, E ¼ f1; 2g, E ¼ fxjx 2 N e x < 7g, E ¼ fx punti di un pianog, E ¼ fx punti di un cerchiog, A ¼ fa; bg, A ¼ f1; 2; 3g, B ¼ fb; cg; B ¼ f4g. Sia E l’insieme dei triangoli di un piano, A l’insieme dei triangoli isosceli, B l’insieme dei triangoli rettangoli. Definire, con linguaggio comune, i seguenti insiemi: A; 19. A ¼ fa; dg; A ¼ f1g; A ¼ fxjx 2 N e x < 3g; A ¼ fx punti di un semipiano di Eg; A ¼ fx punti interni a Eg. Verificare che: se A; B E, allora: A \ B ¼ A [ B e A [ B ¼ A \ B, nei seguenti casi: a) E ¼ fa; b; cg, b) E ¼ f1; 2; 3; 4g, 18. 4.3 B; A [ B; A \ B; A \ B; A [ B; A [ B; A \ B; A \ B: Siano dati gli insiemi: A ¼ fp; q; r; sg; B ¼ fu; vg. Costruire il prodotto cartesiano A B e darne una rappresentazione grafica. 20. Siano dati gli insiemi: A ¼ fa; b; cg; B ¼ fug. Costruire il prodotto cartesiano A B, e darne una rappresentazione grafica. 21. Essendo: A ¼ fr; s; tg; B ¼ x, qual e` il prodotto cartesiano di A per B? 22. Siano dati gli insiemi: A ¼ fa; b; cg; B ¼ f2; 3; 5g. Costruire graficamente A B e B A, verificando che A B 6¼ B A, ma che A B e B A hanno lo stesso numero di elementi. 23. Si sa che: A B ¼ fð0; 1Þ; ð0; 2Þ; ð0; 3Þ; ð1; 1Þ; ð1; 2Þ; ð1; 3Þg. Determinare A e B. 24. Determinare la «diagonale» del prodotto cartesiano A2 con A ¼ f1; 2; 3g. 25. Dati gli insiemi A ¼ f1; 2g; B ¼ fag; C ¼ fp; q; rg, verificare che risulta: a) A ðB \ CÞ ¼ ðA BÞ \ ðA CÞ: b) A ðB [ CÞ ¼ ðA BÞ [ ðA CÞ. c) A B 6¼ B A. 26. Determinare il prodotto cartesiano A B nei seguenti casi: a) A ¼ fa; b; cg; 27. 28. B ¼ x.b) A ¼ x; B ¼ f1; 3g:c) A ¼ x ¼ B: L’insieme A B consta di 7 elementi. Quanti possono essere gli elementi di A e quelli di B? Stesso problema precedente nel caso che A B abbia 8 elementi. 8 4 NUMERI RAZIONALI RELATIVI Problemi vari 29. Sia S l’insieme degli studenti di una scuola composta da quattro classi A, B, C, D. Siano M ed N i sottoinsiemi di S composti dagli studenti iscritti rispettivamente a un gruppo ricreativo e al cine-club. Questa situazione puo` essere illustrata dal grafico della fig. 1.14? Se sı`, quali ulteriori informazioni sono deducibili da esso? ½Nessun alunno di A e` iscritto al ...; tutti gli alunni di D ...; nessun alunno di B e` iscritto sia ... Figura 1.14 30. In una classe di 24 alunni, 10 seguono un corso pomeridiano di inglese, 12 un corso di francese e 5 non seguono alcun corso. Visualizzare tale situazione mediante i diagrammi di VENN e dedurre quanti allievi seguono entrambi i corsi. ½3 31. In un gruppo di 18 amici, 10 giocano a tennis e 8 corrono in bicicletta. Di questi ultimi 4 giocano anche a tennis. Quanti non praticano nessuno dei due sport indicati? (Spiegare la risposta). ½4 32. In un gruppo di 38 stranieri, 18 sono inglesi e 20 tedeschi. Di questi, 10 conoscono l’inglese. Quanti fra questi turisti non conoscono ne´ l’inglese ne´ il tedesco? (Spiegare la risposta). ½0 33. In un palazzo di 30 famiglie, 20 trascorrono le vacanze al mare, 5 in montagna e 10 al lago. Di queste ultime, 3 vanno anche al mare e 2 sia al mare che in montagna. Quante famiglie restano a casa? ½0 34. In una scuola europea di 100 alunni si possono frequentare, al massimo, due corsi di lingue. 28 imparano lo spagnolo, 30 il tedesco, 42 l’inglese, 8 lo spagnolo e il tedesco, 10 lo spagnolo e l’inglese, 5 il tedesco e l’inglese. Quanti allievi non imparano nessuna lingua. Quanti ne imparano una sola? 35. In una scuola europea di 100 alunni: 15 imparano solo il tedesco, 21 il tedesco ma non lo spagnolo, 9 il tedesco e l’inglese, 30 il tedesco, 49 l’inglese, 25 lo spagnolo e l’inglese, 55 lo spagnolo. Quanti alunni non imparano alcuna lingua? 36. Risolvere con diagrammi di EULERO-VENN il seguente problema. L’insegnante di Educazione Fisica fa una indagine fra i suoi alunni per sapere quali sport pratichino. 29 si dedicano al nuoto; 30 al calcio; 15 al tennis. Di questi gruppi: 7 ragazzi praticano sia nuoto sia calcio; 5 sia nuoto sia tennis; 3 sia calcio sia tennis; 4 praticano tutti e tre gli sport. Quanti sono, in tutto, i ragazzi? Quanti alunni praticano solo il nuoto? Solo il calcio? E solo il tennis? 9 SAPER FARE NUMERI RAZIONALI RELATIVI 4.3 37. In un paese vengono venduti tre giornali A, B, C. In un certo giorno 26 persone acquistano i giornali A e B; 50 B e C; 38 A e C; 11 persone comperano tutti e tre i giornali. Se di ogni giornale risultano vendute 200 copie, quante persone hanno acquistato uno o piu` giornali? ½464 38. L’insieme A e` formato da una giubba nera, da una giubba bianca e da una giubba verde che indichiamo, rispettivamente, con le lettere a, b, c. L’insieme B e` formato da un paio di pantaloni grigi, da un paio di neri, da uno di bianchi e da uno di rossi, che indichiamo rispettivamente con p; q; r; s. Una persona vuol vestirsi prendendo una giubba dall’insieme A e un paio di pantaloni dall’insieme B. Qual e` l’insieme che rappresenta tutte le possibilita` di questa persona? Illustrare la risposta con una rappresentazione geometrica. 39. Un ragazzo per andare a scuola puo` servirsi della bicicletta o farsi accompagnare in macchina dal papa`. Per andare a scuola ci sono tre itinerari: a, b, c che sono circa della stessa lunghezza. Rappresentare in modo opportuno tutte le possibilita` di scelta di quel ragazzo. Da quale prodotto cartesiano potrebbe essere individuato il numero di tutte le possibilita`? 10
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