Tecnologie digitali Scheda di laboratorio n. 9/2008 Scattering di elettroni I metodi statistici sono estesamente impiegati negli esperimenti di fisica nei quali `e possibile la raccolta di un numero elevatissimo di dati. In questa scheda proveremo ad analizzare ad un livello molto elementare un piccolo campione dei risultati di un esperimento di diffusione di elettroni. Questi sono inviati, in forma di fascio, su un bersaglio costituito da idrogeno liquido1 . Gli elettroni sono particelle dotate di spin e la direzione di questo pu`o essere concorde con la direzione → di propagazione (direzione del vettore impulso − p ) oppure opposta ad esso. Un fascio composto da elettroni di uno dei due tipi si dice completamente polarizzato e i due stati di polarizzazione si chiamano destro (R) e sinistro (L). Per effetto delle interazioni deboli la diffusione degli elettroni del fascio su quelli del bersaglio dipende dallo stato di polarizzazione degli elettroni incidenti. Il parametro che viene calcolato `e la asimmetria: AP V = σR − σL σR + σL (9.1) dove σL(R) sono le sezioni d’urto totali per la diffusione di elettroni sinistri (destri). In pratica esse rappresentano la frazione degli elettroni totali che subiscono deflessione dagli elettroni del bersaglio. Es. 1 Come prima cosa procuriamoci i dati disponibili nel file http://moller.physics.berkeley.edu/∼yury/ Phys226/asymdata.txt, salvandolo nella cartella di lavoro con lo stesso nome. Nelle tre ultime colonne del file sono riportati i valori della asimmetria osservata espressa in parti per milione. Un valore di -2000 indica che in quell’esperimento sono stati contati pi` u eventi con gli elettroni Left che con i Right in misura di due millesimi degli eventi totali. La terza e la quarta colonna indicano rispettivamente lo scostamento del fascio in µm in due direzioni perpendicolari nel piano ortogonale alla direzione del fascio. I dati si riferiscono a 10000 esperimenti successivi in ciascuno dei quali si `e misurato la diffusione di un impulso di elettroni destri e di uno di elettroni sinistri. Si scriva una function che legga il file e restituisca le tre colonne in tre vettori di nome asim oss, delta x e delta y. Es. 2 Si calcoli il valore medio della asimmetria osservata e la sua deviazione standard. Si disegni anche l’istogramma della grandezza usando 100 bin. Quale `e l’incertezza statistica sulla media? Che cosa dipende da cosa? La asimmetria osservata potrebbe essere correlata alla posizione del fascio. Un modo grafico per vedere se due variabili x e y di cui conosciamo i valori misurati in una serie di esperimenti successivi dipendono una dall’altra `e di disegnare un grafico bidimensionale dei punti (xi , yi ). Un grafico siffatto prende il nome di scatter plot e d`a una informazione preliminare sul possibile legame funzionale tra le due variabili. Es. 3 Si traccino gli scatter plot per le tre coppie di variabili misurate: (asim oss, delta x), (asim oss, delta y) e (delta x, delta y). Per quali di queste coppie `e ipotizzabile una relazione di dipendenza funzionale? 1 Gli esercizi proposti sono ricalcati su un Homework somministrato agli studenti del corso di Particle Physics Phenomenology tenuto dal Prof. Yury Kolomensky all’universit`a di Berkeley. Il testo originale `e leggibile all’indirizzo http://moller.physics.berkeley.edu/∼yury/Phys226/hw03.html 1 2 Un modo pi` u quantitativo di valutare la possibile dipendenza lineare tra due variabili fa ricorso al coefficiente di correlazione r. Questo `e definito come il rapporto tra la covarianza delle due variabili: σxy = E[(x − mx )(y − my )] = E[xy] − mx my divisa per il prodotto delle deviazioni standard σx e σy delle due variabili. Avendo a disposizione un campione si usano le corrispondenti grandezze campionarie. Es. 4 Si calcolino i coefficienti di correlazione lineare per le coppie di variabili dell’esercizio precedente. Si ricordi che in MatLab esiste la funzione2 cov(X,Y) per calcolare la covarianza campionaria dei vettori X e Y. Alternativamente si pu`o calcolare direttamente il coefficiente di correlazione con la funzione corrcoef(X,Y) colonna. Per quali coppie di variabili `e verosimile una dipendenza lineare? dove X e Y sono vettori Dai due esercizi precedenti si conclude che `e ipotizzabile un contributo lineare all’asimmetria A del tipo A = aδy . Es. 5 Si stimi graficamente il valore di a osservando lo scatter plot creato con l’esercizio 3. Si scriva una funzione che crei un nuovo file di dati, il cui nome `e argomento di ingresso della funzione stessa, nel quale si riporti una quarta colonna di dati con la asimmetria corretta definita come: AP V = Aoss − aδy Si calcolino media e varianza campionaria della variabile AP V e si scrivano a schermo. Test del χ2 Il test del χ2 serve a stabilire se le frequenze osservate di una determinata grandezza siano compatibili con una legge di distribuzione ipotizzata. Es. 6 Calcolare il χ2 osservato partendo dalle frequenze suddivise in 100 bin dei valori della variabile AP V calcolata nell’esercizio precedente, e da quelle attese ammettendo una distribuzione gaussiana con media e varianza uguali a quelle campionarie. Con quale probabilit`a il valore del χ2 con gli stessi gradi di libert`a ν supera quello osservato3 ? Cosa si pu`o concludere? Es. 7 Si ripeta l’esercizio precedente per i dati grezzi 4 della asimmestria Aoss e per le misure δx e δy delle deviazioni lungo x e lungo y. Es. 8 Per verificare i valori del χ2 su un campione con buona approssimazione distribuito secondo una gaussiana, si ripeta l’esercizio utilizzando un campione di 10000 numeri generati dalla funzione randn di MatLab. Si ripeta per molte volte la determinazione del χ2 e si trovi la probabilit`a sperimentale che esso superi il valore xcr = 130. Si confronti con il valore previsto dalla distribuzione del χ2 con i gradi di libert`a corrispondenti alla scelta del numero di bin. Cosa si osserva? Si ricordi che il test del χ2 richiede che i bin abbiano un numero di conteggi superiore a qualche unit`a. Se con una suddivisione di bin uguali questo non `e possibile, come `e nel caso della gaussiana, allora si devono raggruppare i bin delle code in modo da ottenere un bin unico con le propriet`a richieste. Es. 9 Si ripeta l’ultimo esercizio effettuando il raggruppamento dei bin con conteggi inferiori a 5. Come cambia la risposta alla domanda? Alla luce di questa osservazione si esegua di nuovo il test dell’esercizio 7 e si stabilisca se si deve o meno scartare la distribuzione gaussiana in base al test. 2 cov(X,Y) restituisce una matrice simmetrica che ha sulla diagonale le covarianze di ciascun vettore con se’ stesso (ossia la varianza) e negli elementi fuori diagonale la covarianza del primo vettore col secondo. 3 Per calcolarne il valore si pu`o utilizzare la istruzione 1-gammainc(χ2oss /2,ν/2) 4 In inglese si direbbe raw data che letteralmente significa: dati crudi. A.Di Lieto, F.Maccarrone - Tecnologie Digitali I - 2008/09
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