Costruzione e validazione di una discretizzazione totalmente simplettica per il modello
barotropico quasigeostrofico
Dipartimento di Scienze di Base ed Applicate per l’Ingegneria
Dottorato di Ricerca in Modelli e metodi matematici per la tecnologia e
la società – XXIV Ciclo
Candidato
Francesco Bonghi
Matricola 692950
Relatore
Ch.mo Prof. Roberto Ferretti
Tesi presentata in parziale adempimento dei requisiti necessari
per conseguire il titolo di Dottore di Ricerca in Modelli e metodi
matematici per la tecnologia e la società
Il lavoro che ha portato a questa tesi si è avvantaggiato, oltre che della
significativa supervisione del mio relatore Prof. Roberto Ferretti, della
collaborazione del T. Col. Vinicio Pelino e del Cap. Filippo Maimone del
Centro Nazionale di Meteorologia e Climatologia Aeronautica, ai quali va
la mia gratitudine tanto per le loro proposte e suggerimenti quanto per il
tempo e le risorse che mi hanno dedicato.
Indice
Introduzione
v
1
La circolazione atmosferica
1
1.1
Approssimazione delle acque basse . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Derivazione dell’equazione quasi geostrofica . . . . . . . . .
7
1.3
L’equazione quasi geostrofica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Quantità conservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
3
4
Riduzione simplettica
17
2.1
17
La riduzione con le armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . .
Integrazione in tempo simplettica
23
3.1
Metodi espliciti ed impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Metodi di Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3
Metodi di collocazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4
Metodi simplettici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.5
Metodi di Runge-Kutta simplettici . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
Stime sull’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Validazione del codice
41
iii
iv
INDICE
4.1
4.2
4.3
4.4
5
Conservazione degli integrali primi . . . . . . . . . .
Anticorrelazione tra funzione di corrente e topografia
Evoluzione di un dato iniziale bianco . . . . . . . . .
Onde di Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 42
. 43
. 45
. 46
Clusterizzazione dei dati
53
5.1 Caoticità del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Costruzione della clusterizzazione . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Qualche test preliminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bibliografia
65
Introduzione
Differenti approcci possono essere usati nello studio della circolazione
atmosferica o oceanica, approcci che, provenenti da diverse branche delle
scienze applicate, coinvolgono una grande varietà di strumenti matematici.
La climatologia e la meteorologia sono un esempio di ciò . Da una parte infatti la meteorologia si occupa di soddisfare la necessità di costruire
previsioni nell’ordine dei giorni su scala sinottica, ovvero in aree dall’estensione di centinaia o migliaia di kilometri; dall’altra la climatologia,
in cui le scale spazio-temporali sono maggiori. I fenomeni studiati dalla
climatologia avvengono infatti su scala planetaria ed in lassi di tempo che,
partendo dall’ordine di grandezza dell’anno, possono arrivare a secoli o
anche millenni (in caso si voglia studiare ad esempio la correlazione tra
l’attività antropica ed il clima o l’evoluzione del clima attraverso le ere
geologiche).
Entrambi gli approcci partono da equazioni primitive che fondamentalmente richiamano le equazioni di bilancio della massa, della quantità di
moto e dell’energia formulate nell’ambito della meccanica e della termodinamica. Nella loro forma completa, queste equazioni costituiscono un modello estremamente complesso; a seconda delle scale a cui si è interessati,
però , è possibile apportare delle semplificazioni che le rendono più gestibili sia sotto l’aspetto modellistico che sotto quello della approssimazione
numerica, come vedremo in seguito.
Imprescindibilmente legata a questo tipo di sistemi è la nozione di caos
v
vi
INTRODUZIONE
deterministico. Sotto questa definizione si indica il comportamento difforme di evoluzioni la cui posizione iniziale è anche quasi coincidente: due
soluzioni, relative a dati iniziali arbitrariamente vicini, si troveranno infatti
ad assumere comportamenti che andranno (esponenzialmente nel tempo)
a differire sempre più , qualitativamente e quantitativamente, pur restando limitate. Non guasta ricordare che la nozione di caos deterministico
fu introdotta, proprio per trattare un modello altamente semplificato di
cella convettiva atmosferica, da Edward Lorenz, in un lavoro [Lor63] destinato ad avere una enorme influenza sul pensiero scientifico degli ultimi
cinquanta anni.
Usare un modello matematico per descrivere un fenomeno fisico, significa costruire un’evoluzione (sia pure approssimata) del sistema stesso
a partire da condizioni date ad un istante iniziale. Dato che sia la misura
delle grandezze che descrivono la condizione iniziale che i vari parametri
sono frutto di misurazioni approssimate, e che i calcoli stessi, essendo eseguiti da calcolatori, presentano a loro volta ulteriori imprecisioni, la forte
dipendenza dai dati iniziali diventa dal punto di vista meteorologico una
barriera alla predicibilità delle soluzioni. Affrontando invece il problema
da un’ottica climatologica, la lunghezza dell’orizzonte temporale implica
che la caoticità del sistema debba essere affrontata come una sua caratteristica intrinseca. Lo studio dell’andamento di una soluzione quindi non
prendere più in esame i valori che le grandezze fisiche assumono ad un
dato istante, ma piuttosto le regioni dello spazio delle fasi che vanno ad
attraversare, la frequenza con cui ciò avviene in un’ottica ergodica, ed il
suo significato fisico.
Quindi seguire un approccio climatologico porta a conseguenze non
irrilevanti per quanto riguarda il solutore numerico da usare nelle simulazioni, ed in particolare la vicinanza della soluzione numerica a quella
analitica e le proprietà di convergenza non saranno più gli unici criteri da
seguire. Diviene invece più importante, per la verosimiglianza dei risultati
numerici ottenuti, la conservazione delle proprietà geometriche e statistiche del sistema. In altre parole, un metodo numerico risulterà tanto più
adatto ai nostri scopi quanto più le soluzioni che genererà conserveranno
vii
le stesse quantità che vengono conservate dalle soluzioni analitiche delle
equazioni, o almeno le quantità statisticamente rilevanti per previsioni a
lungo termine.
La strategia che adotteremo sarà precisamente questa. In primo luogo
discretizzare le equazioni della circolazione atmosferica globale (o meglio
una loro approssimazione adatta ai nostri scopi) in uno spazio di dimensione finita adatto sia alla natura del sistema da descrivere che alla forma
delle equazioni, operando una riduzione che mantenga il carattere conservativo delle soluzioni nel caso inviscido e senza sorgenti. In una seconda
fase, utilizzeremo un solutore numerico simplettico per il caso finito dimensionale, ovvero una discretizzazione temporale che, pur lavorando su
approssimazioni numeriche delle soluzioni analitiche, permetta tuttavia
di definire quantità conservate analoghe e vicine a quelle del problema
iniziale, così come è stato per la riduzione operata al primo passo.
Mediante questa tecnica di approssimazione potremmo abbordare il
problema di studiare l’evoluzione del sistema, a dispetto della sua caoticitå,
in termini di configurazioni ricorrenti, ovvero di regimi. Purtroppo, il
livello di riduzione che abbiamo usato nelle simulazioni non permette
ancora di usare nelle equazioni coefficienti realistici, ovvero relativi a stime
o misure sperimentali. Simulazioni effettuate in tale modo, non hanno
permesso infatti nelle dimensioni finora affrontate di rendere visibili o
quantomeno influenti tutti i fenomeni fisici che di volta in volta si voleva
evidenziare. Le evoluzioni che presenteremo sono state perciò condotte
con valori di dissipazione, forzante e condizioni iniziali trovati “a mano”.
Tra quelle effettuate presenteremo quelle i cui coefficienti hanno permesso,
senza cadere in stati banali, di poter integrare numericamente le equazioni
descriventi il modello, generando evoluzioni in cui è possibile ritrovare
alcune caratteristiche analitiche o atmosferiche note, o che possano essere
da esempi per uno studio e trattamento dei dati.
viii
INTRODUZIONE
CAPITOLO 1
Modellazione della circolazione atmosferica su
scala sinottica
L’oggetto del nostro studio è il moto di un fluido continuo chimicamente ed eletricamente inerte, descrivibile in prima istanza dalle equazioni di
Navier-Stokes. Come accennato nell’introduzione, però , trovare soluzioni esatte di questo sistema di equazioni può non essere conveniente, ed
oltretutto l’ottica con cui stiamo studiando i moti atmosferici si limita alla
scala sinottica. Una volta assunta tale limitazione dei fenomeni in esame,
risulterà conveniente tradurla in approssimazioni e farne uso per arrivare
ad equazioni via via più semplici da risolvere.
1.1
Dalle equazioni di Navier-Stokes all’approssimazione delle acque basse
Volendo descrivere efficacemente da punto di vista meccanico e termodinamico i fenomeni legati alla dinamica della circolazione atmosferica,
1
2
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
un utile strumento sono sicuramente le equazioni di di Navier-Stokes. Si
tratta però di un insieme di equazioni che può risultare complicato da
studiare: non è infatti immediato che si possano trovare, analiticamente o
numericamente, delle soluzioni (l’esistenza e la regolarità delle soluzioni
nel caso tridimensionale sono ancora oggi due tra i problemi aperti che il
Clay Mathematical Institute ha inserito tra i “Problemi per il millennio”) o
che farlo sia un compito alla portata delle odierne risorse di calcolo.
Una prima approssimazione che si può portare avanti è quella delle
acque basse, in cui si sfrutta la prevalenza che hanno latitudine e longitudine
rispetto alle variazioni in quota (i fenomeni che ci interessano avvengono
su una scala orizzontale almeno nell’ordine dei 1000 km mentre quella
verticale avviene sulle decine di km). Questa approssimazione permette,
grazie ad un’integrazione nella coordinata relativa alla quota ed ad uno
sviluppo sul piano tangente al globo degli effetti della forza di Coriolis, di
ridurre le equazioni ad un sistema bidimensionale.
In altre parole, assumendo che:
• il rapportro tra la scala orizzontale L in cui avviene il moto e quella
verticale D sia tale che D{L ! 1,
• il fluido sia omogeneo ed incomprimibile (con densità pari ad 1),
• l’unica forza esterna sia la gravità, e di essere vicini alla condizione
di equilibrio idrostatico, per cui si abbia Bp{Bx3 “ ´g,
• l’asse di rotazione del fluido sia l’asse x3 , con relativa vorticità planetaria f ,
• sia assegnata la topografia dalla superficie x3 “ htopo px1 , x2 q, da cui,
essendo x3 “ hpx1 , x2 , tq la superficie superiore del fluido, si abbia per
questo l’altezza H “ hpx1 , x2 , tq ´ htopo px1 , x2 q,
• la dissipazione sia trascurabile,
1.1. APPROSSIMAZIONE DELLE ACQUE BASSE
3
allora la dinamica (bidimensionale) del fluido altro è governata dalle
equazioni
Dv
` f vK “ ´g ∇ h
Dt
DH
` H div v “ 0.
Dt
essendo
(1.1)
(1.2)
D
la derivata totale rispetto al tempo, o derivata materiale.
Dt
Dalla conservazione della quantità di moto si ha infatti (nel caso inviscido, ovvero nella formulazione delle equazioni di Navier-Stokes detta
equazioni di Eulero)
Bp
Bv1
Bv1
Bv1
Bv1
` v1
` v2
` v3
´ f v2 “ ,
Bt
Bx
By
Bz
Bx
Bp
Bv2
Bv2
Bv2
Bv2
` v1
` v2
` v3
` f v1 “
,
Bt
Bx
By
Bz
By
Bp
Bv3
Bv3
Bv3
Bv3
` v1
` v2
` v3
“ .
Bt
Bx
By
Bz
Bz
(1.3)
(1.4)
(1.5)
avendo posto per la densità ρ ” 1.
Se la variazione di altitudine è trascurabile rispetto agli spostamenti
orizzontali che avvengono durante il moto, possiamo scrivere la pressione mediante il suo sviluppo verticale intorno al punto in cui si verifica
l’equilibrio idrostatico. In altre parole
˜ y, z, tq.
ppx, y, z, tq “ ´gz ` ppx,
(1.6)
Unendo a (1.6) la condizione al bordo per la pressione, ovvero ppx, y, hq “
p0 , si ha
p “ gph ´ zq ` p0 ,
4
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
da cui
Bp
Bh
“g ,
Bx
Bx
Bp
Bh
“g .
By
By
Le ultime espressioni sulle derivate orizzontali della pressione implicano l’assenza di accelerazioni dipendendi da z, o in altre parole che se
le velocità iniziali dipendono solo da px, y, tq (cosa che supporremo) ciò
continuerà a valere anche nel futuro.
Le equazioni (1.3) e (1.4) diventano quindi
Bv1
Bv1
Bv1
` v1
` v2
´ f v2 “
Bt
Bx
By
Bv2
Bv2
Bv2
` v1
` v2
` f v1 “
Bt
Bx
By
Bh
,
Bx
Bh
g ,
By
g
ovvero, in forma vettoriale, la (1.1).
Informazioni sulla componente verticale della velocità possono essere
ricavate in primo luogo dalla condizione di incompressibilità del fluido.
Integrando la condizione di divergenza nulla, e facendo uso del fatto che
v1 e v2 non dipendono da z, abbiamo infatti
ˆ
v3 px, y, z, tq “ ´z
Bv1 Bv2
`
Bx
By
˙
` v˜3 px, y, tq.
(1.7)
Si può a questo punto ricavare esplicitamente v˜3 imponendo che la
topografia agisca da barriera impedendo il flusso del fluido, in altre parole
che la velocità del fluido a contatto con essa le sia tangente. Quindi, dalla
definizione di htopo ,
v3 px, y, htopo , tq “ v1
da cui
Bhtopo
Bhtopo
` v2
,
Bx
By
Bhtopo
Bhtopo
` v2
` htopo
v˜3 “ v1
Bx
By
ˆ
Bv1 Bv2
`
Bx
By
˙
,
1.1. APPROSSIMAZIONE DELLE ACQUE BASSE
5
che inserita in (1.7) porta a
ˆ
v3 px, y, z, tq “ phtopo ´ zq
Bv1 Bv2
`
Bx
By
˙
` v1
Bhtopo
Bhtopo
` v2
.
Bx
By
(1.8)
Allo stesso modo possiamo utilizzare la definizione dell’altezza del
flusso h, che questa volta porterà a
v3 px, y, h, tq “
Bh
Bh
Bh
` v1 ` v2 ,
Bt
Bx
By
che, inserita in (1.8) porterà a
“
‰
“
‰
B v2 ph ´ htopo q
Bh B v1 ph ´ htopo q
`
`
“ 0,
Bt
Bx
By
che in termini di H diventa
BH Bpv1 Hq Bpv2 Hq
`
`
“ 0,
Bt
Bx
By
ovvero l’equazione (1.2).
Il modello che abbiamo ottenuto è puramente bidimensionale. Possiamo però fare uso del rotore tridimensionale per definire la vorticità
del flusso, definita dalla quantità ω in p0, 0, ωq “ rotpv1 , v2 , 0q, e studiarne
l’evoluzione usando quanto calcolato per la velocità.
6
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
Valendo le identità
ˆ
˙
Dv
Bv
rot
“ rot
` v∇v ,
Dt
Bt
B
Bv1 Bv2
B 2 v2 Bv2 Bv2
B 2 v2
“ rot v `
` v1 2 `
` v2
Bt
Bx Bx
Bx
Bx By
BxBy
2
2
Bv1 Bv2
Bv1 Bv1
B v1
B v1
´ v1
`
` v2 2 ,
´
Bx By
BxBy
By By
By
ˆ
˙ˆ
˙
B
Bv2 Bv1
Bv1 Bv2
´
`
“ rot v `
Bt
Bx
By
Bx
By
ˆ
˙
ˆ
˙
B Bv2 Bv1
B Bv2 Bv1
` v1
´
` v2
´
,
Bx Bx
By
By Bx
By
Dω
,
“ω div v `
Dt
e (ricordando che f non dipende esplicitamente dal tempo)
rotp f vK q “ divp f vq “ f div v ` v ¨ ∇ f,
“ f div v `
Df
,
Dt
otteniamo dalla (1.1), essendo nullo il rotore di un gradiente
D
pω ` f q “ ´pω ` f q div v.
Dt
Quest’ultima divisa per H e facendo uso delll’equazione (1.2) diventa
1 D
1
DH
pω ` f q ´ 2 pω ` f q
“0
H Dt
H
Dt
ovvero la legge di conservazione per la vorticità potenziale, ovvero la quantità Πs “ pω ` f q{H
D ω` f
“ 0.
(1.9)
Dt H
La conservazione di questa quantità è significativa nello studio della
dinamica del fluido: ci dice infatti, tra le altre cose, che la vorticità è
costante solo se non varia l’altezza del fluido, e che aumenta o diminuisce
1.2. DERIVAZIONE DELL’EQUAZIONE QUASI GEOSTROFICA
7
all’aumentare o al diminuire di H.
1.2
Derivazione dell’equazione quasi geostrofica
L’ipotesi di incomprimibilità del fluido ci consente, oltre a semplificare il modello, di filtrare le onde acustiche, non importanti nei fenomeni
che stiamo studiando. Abbiamo così un fluido il cui moto è dato da due
componenti: una più lenta in cui la massa effettivamente compie uno spostamento, ed una più veloce relativa alle onde di gravità, in cui il fluido
seppur oscillando resta mediamente fermo, e che sono quindi ininfluenti
nella circolazione globale. Un discorso simile vale anche per l’approssimazione quasi geostrofica, in cui si assume di essere vicini alla posizione dove
gradiente della pressione e forza di Coriolis si bilanciano (lontani quindi
dall’equatore), ovvero in prossimità dell’equilibrio geostrofico. Oltre ad avere un sistema per il quale sia più facile trovare soluzioni, ciò ci permette,
senza cadere in uno stato stazionario geostrofico, di filtrare tra queste le
trascurabili onde gravitazionali così come in precedenza sono state filtrate
quelle acustiche.
Avendo indicato con V la scala della velocità, con T “ L{V la scala dei tempi, con H0 l’altezza media del fluido e con N0 la variazione
media dell’altezza, introduciamo le seguenti quantità adimensionali utili
a definire lo scalamento che opereremo (essendo f , 0 in conseguenza
dell’approssimazione quasi geostrofica):
- il numero di Rossby:
Ro “
V
,
Lf
(1.10)
ovvero il rapporto tra il periodo della rotazione terrestre f ´1 e la scala
temporale L{V,
- il numero di Froude
V
Fr “ a
,
gH0
(1.11)
8
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
il rapporto tra la velocità del fluido e la velocità delle onde gravitaa
zionali gH0 ,
- il raggio di deformazione di Rossby
a
LR “
gH0
f
,
(1.12)
la scala spaziale oltre la quale gli effetti della forza di Coriolis prevalgono su quelli della forza di gravità,
- il rapporto
Θ“
N0
,
H0
(1.13)
la variazione media dell’altezza relativa all’altezza media.
A questo punto possiamo adimensionalizzare le equazioni (1.3),(1.4) ed
(1.9), esprimendole in termini delle quantità
px, yq
,
L
v
v1 “ ,
V
t
,
T
h
h1 “
,
N0
px1 , y1 q “
t1 “
ottenendo
Dv
` Ro´1 vK ` Fr´2 Θ ∇ h “ 0,
Dt
ˆ
˙
ˆ
˙
htopo
htopo
Dh
´1
´1
´Θ v¨∇
`Θ
1 ` Θh ´
div v “ 0,
Dt
H0
H0
D R0 ω ` 1
“ 0.
Dt 1 ` Θh ´ htopo
(1.14)
H0
Per andare a costruire il modello quasi geostrofico dovremo ora assumere che:
• valga per il numero di Rossby
Ro “ ε ! 1,
1.2. DERIVAZIONE DELL’EQUAZIONE QUASI GEOSTROFICA
9
ovvero non siano trascurabili gli effetti dovuti alla rotazione,
• la scala della topografia sia comparabile con quella delle perturbazioni dell’altezza del fluido, ovvero
htopo “ No h¯ topo ,
• ci si trovi vicino alla condizione di equilibrio geostrofico, stato in cui
le forze di pressione sono bilanciate dagli effetti della rotazione
1
Θ
“
,
2
Fr
Ro
da cui, applicando le definizioni
N0 “
f VL
,
g
• la scala spaziale sia comparabile con il raggio di deformazione di
Rossby
ˆ ˙2
L
“ F “ Op1q.
LR
Queste posizioni permettono di esprimere i coefficienti relativi allo
scalamento in termini dei soli F ed ε. Utilizzando le definizioni in (1.10),
(1.11), (1.12) e (1.13) le equazioni adimensionalizzate in (1.14) diventano
Dv
` ε´1 vK “ ´ε´1 ∇ h,
Dt
ˆ
˙
Dh
´1
¯
¯
Fp1 ` εFhtopo ´ ε f htopo q
´ v ¨ ∇ htopo ` ε´1 div v “ 0,
Dt
D
1 ` εω
“ 0.
Dt 1 ` εFh ´ ε f h¯ topo
(1.15)
10
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
Assumendo ora che h, v e (quindi) ω possano essere espresse come
vpx, y, tq “
ωpx, y, tq “
8
ÿ
i“0
8
ÿ
ε vi px, y, tq
i
hpx, y, tq “
8
ÿ
εi hi px, y, tq
i“0
εi ωi px, y, tq
i“0
sia ha, per i coefficienti di ε´1 in (1.15)
v0 “ ∇K h0 ,
∆ h0 “ ω0 ,
‰
D “
ω0 ´ Fph0 ´ h¯ topo q “ 0,
Dt
(1.16)
ovvero le equazioni quasi geostrofiche.
Sottolineamo l’analogia formale tra queste equazioni e la formulazione
in termini di vorticità e flusso delle equazioni di Eulero bidimensionali, di
cui adotteremo la notazione nel seguito,
v “ ∇K ψ,
∆ ψ “ ω,
Dω
“ 0.
Dt
in cui il posto di h viene preso dalla funzione di corrente; cosa questa che
non stupisce, essendo anche per h la velocità tangente alle curve di livello,
curve su cui quindi avviene il moto.
A differenza delle equazioni di Eulero, però , grazie al presenza di F , 0
in (1.16), compaiono esplicitamente gli apporti di topografia e rotazione.
1.3. L’EQUAZIONE QUASI GEOSTROFICA
11
1.3
L’equazione quasi geostrofica
In forma più generale, volendo prendere in considerazione anche una
fonte di energia esterna, quale l’irraggiamento solare, e fenomeni dissipativi, risulta utile scrivere le equazioni quasi geostrofiche in termini della
vorticità assoluta q “ ω ` f ` h.
Le equazioni diventano in questo contesto
Dq
“ Dp∆qψ ` q f ,
Dt
ω “ ∆ ψ,
¨ Bψ ˛
´
˚
‹
v “ ∇K ψ “ ˝ By ‚,
Bψ
Bx
(1.17)
essendo, come prima, v la velocità, ω la vorticità relativa, ψ la funzione di
corrente, Dp∆q un termine relativo a meccanismi di tipo viscoso e dissipativo e q f una componente forzante esterna. Da notare lo stretto legame tra
funzione ψ e la pressione. Se abbiamo infatti già visto come la funzione di
corrente descriva le traiettorie del moto, queste non possono nell’approssimazione quasi geostrofica scostarsi dalle isobare, essendo la pressione
bilanciata dagli effetti centrifughi della rotazione.
Vale inoltre per la derivata sostanziale
Bq Bx Bq By Bq
Dq
“
`
`
Dt
Bx Bt By Bt
Bt
Bq
Bq
Bq
“ v1 ` v2 `
Bx
By
Bt
ˆ
˙
Bψ Bq Bq Bψ
Bq
“
´
` .
Bx By Bx By
Bt
(1.18)
La parte tra parentesi nel secondo membro di (1.18) altro non è che il
deteminante dello jacobiano di un cambio di variabile, che indichieremo
12
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
qui e nel seguito con J, portando a
Dq
Bq
“ Jpψ, qq `
Dt
Bt
La scelta del termine Dp∆q è fortemente influenzata dai fenomeni
che vogliono andarsi a descrivere, e numerose varianti se ne trovano in
letteratura.
Quella che andremo a considerare ([Sel95]) sarà la seguente
Dp∆qψ “ k1 ∆ ψ ` k2 ∆4 ψ,
k1 ą 0, k2 ă 0,
in cui il primo termine tiene conto degli effetti della dissipazione di Ekman
(più significativa a larga scala) ed il secondo del contributo di fenomeni di
iperviscosità (preponderanti a scale inferiori).
La (1.17) assume quindi la forma, usando il punto per la derivata parziale e sostituendo da cui in avanti ∆ con ∆S2 per sottolineare la geometria
sferica in cui lavoriamo
q9 “ ´ Jpψ, qq ` k1 ∆S2 ψ ` k2 ∆S2 4 ψ ` q f
(1.19)
Risultati di buona posizione
Ad ora non ci risultano presenti in letteratura risultati sulla buona
posizione del problema di Cauchy per l’equazione quasi geostrofica per
la vorticità in geometria sferica. Le ipotesi da dare al dato iniziale sono
quindi da ereditare dai casi molto simili delle equazioni di Navier-Stokes
ed Eulero bidimensionali, equazioni studiate largamente e con una grande
varietà di strumenti.
Citiamo ad esempio la dimostrazione di unicità ed esistenza di soluzioni locali in tempo per l’equazione di Navier-Stokes di Fujita e Kato in
cui vengono usate la teoria di operatori tra spazi di Hilbert e la teoria dei
semigruppi ([FK64]), lo studio della regolarità di soluzioni a simmetria assiale portato avanti da Chen, Strain, Yau e Tsai mediante riscalamento delle
coordinate ([CSYT08]), lo studio di Chemin e Gallagher di alcune condi-
1.4. QUANTITÀ CONSERVATE
13
zioni sufficienti per esistenza, unicità e regolarità di soluzioni deboli per le
equazioni di Navier-Stokes mediante stime in spazi Lp ([CG06], [CG09]),
lo studio di condizioni per esistenza, unicità e regolarità delle equazioni di
Navier-Stokes mediante la teoria delle trasformate di Fourier e Laplace di
A. ed M. Tsionskiy ([TT10a], [TT10b]).
1.4
Quantità conservate
Il caso conservativo, ovvero in assenza di viscosità e forzanti esterne,
ammette diversi integrali primi, l’energia cinetica e le enstrofie generalizzate, quantità definite come segue.
Definizione 1.4.1. Definiamo l’energia cinetica E e l’enstrofia generalizzata G
relativa ad una funzione G P C1 pS2 ; Rq rispettivamente come
ż
1
|v|2 dσ,
Epqq “
2 2
ż S
Gpqq “
Gpqq dσ.
S2
Come anticipato, vale il seguente teorema.
Teorema 1.4.1. Sia q tale che
Dq
“ 0.
Dt
Allora E e G sono integrali primi del moto.
Dimostrazione. Essendo
1
Epqq “
2
ż
|∇K ψ|2 dσ,
ż
1
“´
ψ ∆S2 ψ dσ
2 S2
S2
(1.20)
(1.21)
14
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
si ha per l’energia
ż
B ∆S2 ψ
dE
1
pqq “ ´
ψ
dσ
dt
2 S2
Bt
ż
Bq
1
ψ dσ
“´
2 S2 Bt
ż
1
“´
ψ Jpψ, qq dσ
2 S2
ż
1
ψ ∇K ψ ¨ ∇ q dσ
“´
2 S2
ż
1
∇K pψ2 q ¨ ∇ q dσ “ 0.
“´
2 S2
e per le enstrofie,
dG
pqq “
dt
ż
BGpqq
dσ
Bt
S2
ż
BG Bq
pqq dσ
“
Bt
S2 Bq
ż
BG
“´
pqq ∇K pψq ¨ ∇ q dσ “ 0.
S2 Bq
Tra le enstrofie generalizzate useremo in seguito solo quelle relative a
funzioni G pari a potenze di q. Prendendo in prestito una terminologia
meno specifica di quella che stiamo qui usando (vedia ad esempio [AM88],
[BR06], [HLW03], [Zei91] [Zei04]) chiameremo queste quantità Casimir,
definite come
ż
Cn “
qn dσ,
(1.22)
S2
per il quale Casimir relativo a n “ 2 si ha quella che viene a tutti gli effetti
chiamata enstrofia.
Nonostante queste leggi di conservazione non valgano più quando
energia viene immessa nel sistema o quando questa venga dissipata, tali
quantità restano importanti nello studio della dinamica del sistema. Proprio per questo vedremo più in avanti come, pur cercando di trovare delle
1.4. QUANTITÀ CONSERVATE
15
soluzioni numeriche di (1.17) che siano solo vicine a quelle analitiche, le
approssimazioni che faremo nei capitoli 2 e 3 (risolvendo le equazioni in
uno spazio di dimensione finita compreso nello spazio di partenza e usando uno schema numerico per l’integrazione in tempo delle equazioni in
questo spazio), continueranno a mantenere per le soluzioni calcolate la
conservazione di queste quantità nel caso inviscido ed isolato.
Riferimenti bibliografici
Per quanto riguarda la formulazione delle equazioni delle acque basse
si è fatto riferimento a [Ped87]. Le sezioni sull’equazione quasi geostrofica
si sono basate invece su [Maj03] e [MW06].
16
CAPITOLO 1. LA CIRCOLAZIONE ATMOSFERICA
CAPITOLO 2
Riduzione finito dimensionale simplettica
Vogliamo ora risolvere numericamente l’equazione (1.19), ed a tal scopo risulta conveniente porsi in dimensione finita. In altre parole vogliamo
scegliere una famiglia di spazi di dimensione finita su cui definire il problema che bene approssimino lo spazio di partenza SDi f f pS2 q e nei quali
si conservi la struttura geometrica delle equazioni.
2.1
La riduzione con le armoniche sferiche: un troncamento conservativo
Avendo le grandezze in gioco un dominio sferico, possiamo espandere
una soluzione dell’equazione (1.19) come somma delle sue componenti
nello spazio delle armoniche sferiche sulla sfera, che costituiscono una
base ortonormale dello spazio L2 pSq, (vedi a tal proposito, ad esempio,
17
18
CAPITOLO 2. RIDUZIONE SIMPLETTICA
[SW71])
8 ÿ
l
ÿ
q“
qlm Ylm .
l“0 m“´l
Ciò consente di sfruttare la proprietà delle armoniche sferiche di essere
autovalori del laplaciano sulla sfera, più precisamente si ha
∆S2 Ylm “ ´lpl ` 1qYlm ,
La stessa decomposizione si può anche avere per l’operatore J (o, meglio,
2 m2
per i J), definendo le quantità γllm,l
1 m1 nel modo seguente
ż
2 m2
γllm,l
1 m1
“
S2
i JpYl1 m1 , Yl2 m2 qYlm .
per cui si ha
i JpYl1 m1 , Yl2 m2 q “
l
8 ÿ
ÿ
2
2
m
γllm,l
1 m1 Ylm
l“0 m“´l
e da cui segue, integrando per parti e sfruttando che Ylm “ p´1qm Yl´m ,
2
2
2
m`m l ´m
γl´m,l1 m1
γlm
l1 m1 ,l2 m2 “ p´1q
˙
BYl2 m2 BYlm BYlm BYl2 m2
“
i
´
Yl1 m1
Bx By
Bx By
S2
˙
ż ˆ
BYl2 m2 BYlm
BYlm BYl2 m2
m1
“p´1q
i
Yl1 ´m1 ´
Yl1 ´m1
Bx By
Bx By
S2
˙
ż ˆ
BYl1 ´m1 BYl2 m2
BYl2 m2 BYl1 ´m1
m1
i
Ylm ´
Ylm
“p´1q
Bx
By
Bx
By
S2
˙
ż ˆ
BYl1 ´m1 BYl2 m2 BYl2 m2 BYl1 ´m1
m`m1
“p´1q
i
´
Yl´m
Bx
By
Bx
By
S2
ż
γlm
l1 m1 ,l2 m2
ˆ
1
2
2
m
“p´1qm`m γll´m,l
1 ´m1 .
2.1. LA RIDUZIONE CON LE ARMONICHE SFERICHE
19
L’equazione (1.19) diventa quindi
q9 “ ´ Jpψ, qq ` k1 ∆S2 ψ ` k2 ∆S2 4 ψ ` q f
`
˘
“ ´ J ∆-1
ω,
q
` k1 ω ` k2 ∆S2 3 ω ` q f
2
S
¸
˜
ÿ 2 2
ÿ 1 1
ωl m Yl1 m1 ,
ql m Yl2 m2 ` k1 ω
“ ´ J ∆-1
S2
l2 m2
l1 m1
` k2 ∆S2 3
ÿ
ωlm Ylm ` q f
lm
˜
ÿ 2 2
1
1 1
“´J
ωl m Yl1 m1 ,
ql m Yl2 m2
´1 1
l
pl
`
1q
l2 m2
l1 m1
ÿ
´ k2 rlpl ` 1qs3 ωlm Ylm ` q f
ÿ
¸
` k1 ω
lm
“´i
ÿÿ ÿ
γlm
l1 m1 ,l2 m2
lm l1 m1 l2 m2
´ k2
ÿ
l1 pl1
1
1 1 2 2
ωl m ql m Ylm ` k1 ω
` 1q
rlpl ` 1qs3 ωlm Ylm ` q f ,
lm
con ω “ q ´ h ´ f .
Passando all’equazione per ciascun coefficiente spettrale abbiamo quindi
q9 lm “ ´i
ÿÿ
γlm
l1 m1 ,l2 m2
l1 m1 l2 m2
l1 pl1
1
1 1 2 2
ωl m ql m ` k1 ωlm ´ rlpl ` 1qs3 k2 ωlm ` qlm
f ,
` 1q
che diventa, ponendo χlm “ iχlm “ ip´1qm χl´m , χ “ q, ω, q f ,
q9 lm “ ´
ÿÿ
l1 m1 l2 m2
1
2
p´1qm`m `m γl´m
l1 m1 ,l2 m2
l1 pl1
1
ωl1 ´m1 ql2 ´m2
` 1q
` k1 ωlm ´ rlpl ` 1qs3 k2 ωlm ` q f,lm ,
ÿÿ
1
1
2 m2
“´
p´1qm γllm,l
ωl1 ´m1 ql2 m2 ` k1 ω ´ rlpl ` 1qs3 k2 ωlm ` q f,lm ,
1 m1
1
1
l pl ` 1q
l1 m1 l2 m2
(2.1)
20
CAPITOLO 2. RIDUZIONE SIMPLETTICA
pNq
Per avere un troncamento autoconsistente, definiamo le matrici Tlm
˜
pNq
pTlm qi,j “ p´1q
N´1
2 ´i
a
2l ` 1
N´1
2
´i
l
m
N´1
2
¸
1
j
,
(2.2)
per i quali commutatori si ha
pNq
pNq
rTlm , Tl1 m1 s
8 ÿ
l
ÿ
“
pNql2 m2
flm,l1 m1 Tl2 m2 ,
pNq
l“0 m“´l
con
pNql2 m2
flm,l1 m1
1
2
“ r1 ´ p´1ql`l `l sp´1qm
2 `1
a
a
a
2l ` 1 2l1 ` 1 2l2 ` 1 ¨
˜
¸#
l l 1 l2
l
l1
¨
N´1
N´1
m m1 m2
2
2
l2
N´1
2
+
.
Con il termine autoconsistente sottolineiamo il fatto che, scelta una soglia
pNq
di troncamento N, automaticamente avremo solo una quantità finita di Tlm
non nulli. Essendo infatti un coefficiente di Wigner 3 j, indicato in generale
come
˜
¸
j1 j2 j3
,
m1 m2 m3
non nullo solo per valori di j2 tali che |j1 ´ j3 | ď j2 ď j1 ` j3 , discente
pNq
dalla definizione (2.2) che gli unici Tlm diversi da zero saranno quelli con
0 ď l ď N ´ 1.
pNq
Le matrici Tlm così definite strettamente legate alle Ylm . Le armoniche
sferiche possono essere espresse in termini di polinomi armonici delle
coordinate cartesiane nel modo seguente:
rl Ylm pθ, ϕq “
ÿ
i1 ,...,il
ai1 ,...,il xi1 , . . . , xil ,
pmq
r2 “ x21 ` x22 ` x23 .
(2.3)
pNq
Un’analoga rappresentazione vale anche per le matrici Tlm .
1
6j
Qui e nel seguito indicheremo con p:::q e t:::u rispettivamente i simboli di Wigner 3 j e
2.1. LA RIDUZIONE CON LE ARMONICHE SFERICHE
21
Essendo infatti S1 , S2 , S3 la rappresentazione vettoriale in dimensione N
del gruppo delle rotazioni SUpNq e X1 , X2 , X3 una loro rinormalizzazione
?
pNq
con un fattore 2{ N2 ´ 1, le matrici Tlm (per l, m , 0) possono essere
pNq
ricavate dalla (2.3) sostituendo le Xi alle xi . Lo spazio generato dalle Tlm
può essere quindi visto come una copia di quello generato dalle Ylm .
Si ha inoltre ([Hop89], [Hop82])
pNql2 m2
flm,l1 m1
2
2
´2
m
q.
“ γllm,l
1 m1 ` opN
(2.4)
pNq
Possiamo allora risolvere nello spazio generato dalle Tlm il problema
formulato inizialmente in SDi f f pS2 q (troncato per l ă N), che diventa
q9 lm “ ´
N´1
ÿ
ÿ N´1
l1
ÿ
l2
ÿ
1
pNql2 m2
p´1qm flm,l1 m1
l1 “1 l2 “1 m1 “´l1 m2 “´l2
1
ωl1 ´m1 ql2 m2
l1 pl1 ` 1q
` k1 ωlm ´ rlpl ` 1qs3 k2 ωlm ` q f,lm , (2.5)
commettendo un errore localmente controllabile grazie a (2.4), pari a, se q1
è soluzione dell’equazione (1.19) (troncata) e q2 di (2.5) e se t P r0, Ts
ˆ
|q1 ´ q2 | ď cT o
1
N
˙
.
(2.6)
Avendo come dominio la sfera, ovvero un insieme compatto, la (2.6) ci
permette anche di avere un controllo della norma di L2 pS2 q, per la quale
abbiamo
ˆ ˙
ż
2
1
2
q1 ´ q2 2 2 “
|q1 ´ q2 | ď cT o
.
L pS q
N2
S2
pNq
Caratteristica del problema definito nello spazio delle Tlm è, come
vedremo in seguito, la presenza di integrali primi anche nel caso finito
dimensionale, dati da
tr
´´
¯n ¯
pNq
, ,
qlm Tlm
n “ 1, . . . , N ´ 1.
(2.7)
quantità che vedremo nel capitolo 3 essere strettamente collegate ai
Casimir del problema originario.
22
CAPITOLO 2. RIDUZIONE SIMPLETTICA
pNql2 m2
Studiare il sistema usando i coefficienti flm,l1 m1 consente di avere a
disposizione per l’analisi delle soluzioni del problema degli integrali primi
vicini a quelli dell’equazione (2.1) anche in dimensione finita, e di calcolo
molto più semplice. Il costo di quest’operazione risiede come abbiamo
visto in una convergenza più lenta, in cui si è passati, per una soluzione in
Ck da una velocità di convergenza pari a opN´k q ([CHM` 06]) a quella data
da (2.6).
Riferimenti bibliografici
Per quanto riguarda la costruzione del troncamento ci si è basati su
pNq
[Zei04] Per la costruzione delle matrici Tlm si sono usati i risultati in
2 m2
pNql2 m2
[Hop89] e [HY98], mentre dettagli sulla convergenza dei flm,l1 m1 ai γllm,l
1 m1
si possono trovare in [Zei91].
La letteratura su armoniche sferiche e spazi di Hilbert è ampia, ci
limitiamo a citare, tra gli altri [SW71], [Leb72].
Una trattazione dei coefficenti di Wigner può essere trovata in [LL94]
CAPITOLO 3
Integrazione in tempo simplettica
In questo capito ci dedicheremo all’integrazione dell’equazione (2.5).
Nei capitoli precendenti ci siamo dedicati a formulare il problema iniziale su una famiglia di spazi che approssimano lo spazio funzionale da
cui siamo partiti, nel senso che l’unione degli infiniti spazi della famiglia è
uguale allo spazio di partenza.
La maggiore difficoltà che avevamo era nel trattare il funzionale laplaciano definito sulla sfera, ed il l nucleo della nostra strategia è stato porci,
ad ogni stato di approssimazione, nello spazio generato dagli autovettori
di tale funzionale. In altre parole ci siamo posti nello spazio generato dalle
armoniche sferiche tYlm ulďN .
Quello in cui ci siamo trovati è, da un problema definito in uno spazio
di dimension e infinita, un problema definito in uno spazio di dimensione
finita, ottenendo un problema di Cauchy del tipo
#
y1 “ f px, yq,
ypx0 q “ y0 ,
per una funzione f P C1 pI ˆ J; Jq, I Ă R, J Ă Rn .
23
(3.1)
24
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
Resta ora da portare a termine l’integrazione, ovvero trovare un algoritmo che permetta, con un numero finito di operazioni implementabili su
un calcolatore, di trovare due successioni di valori tyi u Ă J e txi u Ă I tali
che yi sia “abbastanza vicino” a ypxi q.
Insieme al costo in termini di risorse di calcolo, cosa si intenda con
“abbastanza vicino”, se una effettiva piccola distanza dei valori, la conservazione di integrali primi o altro, è uno dei fattori che portano a scegliere
un algoritmo piuttosto che un altro. Di rilevante importanza sono perciò le
caratteristiche che si vogliono studiare dell’equazione, o del modello che
l’equazione descrive.
3.1
Metodi espliciti ed impliciti
Il problema (3.1) si può scrivere in forma integrale
żx
ypxq “ y0 `
f pt, yptqq dt,
x0
perciò una strategia di risoluzione è cercare un modo di approssimare
l’integrale a secondo membro per avere un’approssimazione di ypxq. Un
prima scelta può essere approssimare i valori assunti da f con f px0 , y0 q,
così da avere nel punto x1 ypx1 q « px1 ´ x0 q f px0 , y0 q ` y0 . Una volta scelti
i punti txi u come discretizzazione di I, otteniamo così la mappa iterativa,
assumendo che tra gli xi ci sia una distanza costante pari ad h,
y1 “ y0 ` h f px0 , y0 q,
chiamata metodo di Eulero in avanti o metodo di Eulero esplicito.
Un’altra scelta può essere quella di approssimare il valore dell’integrando con il valore della funzione in px1 , y1 ), ottenendo un’analoga
mappa
y1 “ y0 ` h f px1 , y1 q,
3.1. METODI ESPLICITI ED IMPLICITI
25
il cosiddetto metodo di Eulero all’indietro o metodo di Eulero implicito.
Questi 2 esempi di metodi di integrazione mostrano una prima categorizzazione dei metodi: quelli simili al primo, in cui il valore di y1 è
immediatamente ricavabile dalle informazioni già ottenute sono i metodi
espliciti, al contrario sono indicati come impliciti i metodi in cui y1 compare
anche nella definizione della mappa.
Per avere un’indicazione della velocità con cui tyi u approssima y diamo
la seguente definizione per metodi ad un passo (ovvero metodi in cui li
valore della funzione approssimata in un punto dipende dal solo punto
precedente).
Definizione 3.1.1. Un metodo ad un passo per la soluzione del problema
(3.1) ha ordine p se l’errore locale y1 ´ ypx0 ` hq soddisfa intorno a x0
y1 ´ ypx0 ` hq “ Ophp`1 q.
In questo senso, entrambi i metodi di Eulero (quando f è abbastanza
regolare) hanno ordine 1. Nonostante ciò può convenire usare il metodo
implicito che, a fronte di un maggiore costo di calcolo per l’inversione di
f , risulta più stabile.
Si può compiere un passo ulteriore approssimando il valore di y1 con la
media tra f px0 , y0 q e f px1 , y1 q o calcolando f in una posizione intermedia
tra y0 e y1 . In questa maniera si definiscono rispettivamente il metodo dei
trapezi o di Crank-Nicolson
y1 “ y0 ` h
f px0 , y0 q ` f px1 , y1 q
2
ed il metodo del punto intermedio, o di Heun
ˆ
y1 “ y0 ` h f
x0 ` x1 y0 ` y1
,
2
2
˙
.
26
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
3.2
Metodi di Runge-Kutta
I metodi che abbiamo visto finora hanno delle interpretazioni geometriche, che hanno portato alla formulazione dei metodi di tipo Runge-Kutta
o di collocazione.
Come abbiamo visto in precedenza, il nocciolo del problema è trovare una buona approssimazione di yi`1 ´ yi . Per quanto riguarda i due
metodi di Eulero, il metodo di Crank Nicolson ed il metodo di Heun,
altro non si è fatto che approssimare il grafico della funzione y nel punto pxi , yi q con una retta di coefficienti angolari pari a f pxi , yi q, f pxi`1 , yi`1 q,
p f pxi , yi q ` f pxi`1 , yi`1 qq{2 o f ppxi ` xi`1 q{2, pyi ` yi`1 q{2q (che, sottolineiamo,
non corrisponde al calcolare f in una posizione intermedia alle 2 precedenti). Un altro modo in cui si può interpretare l’approssimazione del metodo
di Cranc-Nicolson è con l’uso di una spezzata, costituita da 2 segmenti
di coefficenti angolari rispettivamente f pxi , yi q e f pxi`1 , yi`1 q ognuno ad
approssimare il grafico di y nelle due metà dell’intervallo pxi , xi ` hq.
I metodi di Runge-Kutta usano una strategia analoga. L’intervallo
pxi , xi ` hq è ora diviso in s parti, di lunghezza rispettivamente b1 , . . . , bs ,
ed punti pxi , yi q e pxi`1 , yi`1 q sono congiunti da una spezzata composta da
s segmenti. Il j_esimo coefficiente angolare k j sarà calcolato a sua volta
valutando la funzione f al termine di una spezzata, costruita in maniera
ř
implicita dai coefficienti ed utilizzando dei pesi prestabiliti ai, j e ci “ j ai,j .
In altre parole, abbiamo la seguente definizione.
Definizione 3.2.1. Un metodo di Runge-Kutta con s nodi è un metodo ad
un passo definito dalla mappa
ˆ
ki “ f x0 ` ci h, y0 ` h
s
ÿ
˙
ai,j k j ,
(3.2)
j“1
y1 “ y0 ` h
s
ÿ
i“1
bi ki .
(3.3)
3.2. METODI DI RUNGE-KUTTA
27
Seguendo la terminologia introdotta in precedenza, il metodo di RungeKutta sarà esplicito solo se sarà esplicita la (3.2), ovvero se ai, j “ 0 per
i ď j.
Possiamo ora scrivere in questi
notazione
..
.
.
ci ..
..
.
termini i metodi visti.
¨¨¨
..
.
ai,j
¨¨¨
bj
¨¨¨
Usando la
¨¨¨
abbiamo rispettivamente per il metodo di Eulero in avanti, all’indietro, di
Cranck-Nicolson ed Heun
0 0
1
,
1 1
1
,
0 0
0
1 1{2 1{2 ,
1{2 1{2
1
1{2 1{2
.
Calcolando lo sviluppo di Taylor della mappa, si possono calcolare delle
condizioni che garantiscono l’ordine del relativo metodo di Runge-Kutta
(per lo meno per ordini inferiori o uguali a 3).
Si ha quindi
ordine 3
$
’
’
’
’
’
’
ordine 2
’
’
’
’
’
&
ÿ
’
bi c2i “
’
’
’
’
i
’
’
ÿ
’
’
2
’
’
% ai, j bi ci
i, j
$
’
’
&ordine 1
ÿ
’
’
%
1
,
3
i
1
b i ci “ ,
2
"ÿ
bi “ 1,
i
1
“ .
3
da cui segue ordine 1 per i metodi di Eulero, 2 per i metodi di Heun e
Crank-Nicolson, e per le loro versioni esplicite (trascurando di riportare
28
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
gli zeri dopo l’ultimo ai,j non nullo della riga)
0
1
0
1{2 1{2
1
1{2 1{2
0
1
e ordine superiore a 3 (in effetti uguale a 4) dei metodi di Runge-Kutta
0
1{2 1{2
1{2 0 1{2
1
0
0
0
1{3 1{3
2{3 ´1{3 1
1
1
´1
1
1{6 2{6 2{6 1{6
1{8
1
3{8 3{8 1{8
3.3
Metodi di collocazione
Un’altra interpretazione del metodo di Crank-Nicholson è la seguente.
L’algoritmo può essere visto come generato da una funzione di secondo
grado, nel senso che l’incremento da yn a yn`1 è calcolato grazie alle derivate
di questa funzione nei punti xn ed xn`1 , ed in quest’ottica si leggono i fattori
f px0 , y0 q ed f px1 , y1 q.
Generalizzando questa interpretazione, si costruiscono, mediante i polinomi u i metodi di collocazione nel modo seguente.
Definizione 3.3.1. Siano c1 , . . . , cs numerali reali distinti compresi tra 0 ed
1. Il polinomio di collocazione uptq è un polinomio di grado s tale che
upx0 q “y0 ,
9 0 ` ci hq “ f px0 ` ci h, upx0 ` ci hqq,
upx
i “ 1, . . . , s.
Il metodo di collocazione relativo a tale u è definito da
y1 “ upx0 ` hq.
(3.4)
3.3. METODI DI COLLOCAZIONE
29
Facilmente si ottengono i metodi che abbiamo visto in precedenza. Per
s “ 1 il polinomio ha la forma
upxq “ y0 ` kpx ´ x0 q,
con k “ f px0 ` ch, y0 ` hckq,
ed otteniamo rispettivamente il metodo di Eulero esplicito ed implicito ed
il metodo di Heun ponendo c “ 0, c “ 1 e c “ 1{2, mentre otteniamo il metodo di Crank-Nicholson, coerentemente con l’interpretazione presentata
ad inizio sezione, per s “ 2, c1 “ 0 e c2 “ 1.
I metodi di collocazione possono essere visti come metodi di RungeKutta, ed ereditare così tutte le proprietà che si dimostrino per quest’ultimi.
Vale infatti il seguente teorema.
Teorema 3.3.1 (Guillou e Soulé 1969, Wright 1970). Il metodo di collocazione
definito in (3.4) è equivalente ad un metodo di Runge-Kutta di coefficienti
ż ci
ai j “
ż1
l j ptq dt,
bi “
0
li ptq dt,
(3.5)
0
avendo chiamato li lo i_esimo polinomio di Lagrange
li ptq “
ź t ´ cj
.
c
´
c
i
j
j,i
9 0 ` ci hq. EsDimostrazione. Sia upxq il polinomio interpolatore, e ki “ upx
sendo uun polinomio di grado s, un’interpolazione di Lagrange a s nodi
permette di calcolarlo senza errori, ovvero abbiamo
9 0 ` thq “
upx
s
ÿ
k j l j ptq.
j“1
Quest’ultima, integrata in t da 0 a ci diventa
upx0 ` ci hq “ y0 ` h
s
ÿ
j“1
ż ci
kj
l j ptq dt “ y0 ` h
0
s
ÿ
j“1
ai j k j ,
30
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
così che dalla definizione di polinomio interpolatore si ha
s
´
¯
ÿ
ki “ f x0 ` ci h, y0 ` h ai j k j ,
j“1
ovvero la (3.2).
Per ottenere la (3.3) basta invece integrare l’interpolazione da 0 ad 1,
così da avere
ypx0 ` hq “ upx0 ` hq “ y0 ` h
s
ÿ
i“1
ż1
ki
li ptq dt “ y0 ` h
0
s
ÿ
bi ki .
i“1
Un altro modo per ottenere un metodo di Runge-Kutta da un metodo di collocazione di coefficienti tci ui“1,...s è, dopo aver notato che il polinomio pptq “ tk´1 si può scrivere usando i polinomi di Lagrange come
řs
pptq “ i“1 ck´1
li ptq (essendo ppci q “ ck´1
), riscrivere le (3.5) sommando
i
i
rispettivamente sulle j e sulle i, ottenendo il sistema lineare nelle ai j e bi
s
ÿ
ai j ck´1
j
ż ci ÿ
s
“
j“1
s
ÿ
i“1
0 j“1
l j ptqck´1
j
ż ci
dt “
0
ż1
bi ck´1
i
“
0
ż1
li ptqck´1
i
tk´1 dt “
dt “
0
cki
k
,
1
tk´1 dt “ ,
k
k “ 1, . . . , s, @i, (3.6)
k “ 1, . . . , s.
(3.7)
L’equazione (3.7) in particolare, quando valida per k ď p, con p tale che
s ă p ď 2s, può essere interpretata come ”ereditata“ da un metodo di collocazione con un numero maggiore di punti. In altre parole ci dà una
condizione sufficiente perché il metodo di collocazione (e quindi anche il
relativo metodo di Runge-Kutta) abbia ordine p.
Nelle simulazioni che mostreremo abbiamo scelta come tci ui“1,...,s i nodi
di Gauss, ovvero gli zeri del s_esimo polinomio di Legendre traslato
ds s
px px ´ 1qs q .
s
dx
3.4. METODI SIMPLETTICI
31
3.4
Metodi simplettici
Nel caso privo di viscosità e termine forzante, l’equazione barotropica
quasi-geostrofica descrive un sistema hamiltoniano che, come abbiamo
visto, ammette integrali primi.
Queste quantità , seppur non più costanti se nell’evoluzione entrano
in gioco dissipazione e forzanti esterne, sono comunque significative per
descrivere la dinamica del sistema.
La scelta dello schema numerico con cui integrare l’equazione non
è più quindi solo condizionata dalla vicinanza della soluzione trovata a
quella analitica, ma anche dall’esigenza di conservare le caratteristiche
geometriche del modello. In altre parole vorremmo che, integrando un
sistema hamiltoniano mediante un solutore numerico, anche il sistema
approssimato che otterremo sia hamiltoniano.
La classe di solutori che condivono questa peculiarità , ovvero le mappe
iterative tali che ppn`1 , qn`1 q “ Φppn , qn q che siano anche canoniche sono gli
integratori simplettici. Per essi si dovrà avere, seguendo la teoria delle
trasformazioni canoniche ed indicando con Id la matrice unità in Rd ,
˜
∇Φt J ∇Φ “ J,
ovvero
ˆ
Bppn`1 , qn`1 q
Bppn , qn q
con J “
0 Id
´Id 0
¸
˙t ˆ
˙
Bppn`1 , qn`1 q
J
“ J.
Bppn , qn q
così da passare da un sistema in ppn , qn q per cui
p9 n “ ´Bqn Hppn , qn q,
q9 n “ Bpn Hppn , qn q
ad un sistema in ppn`1 , qn`1 q per cui
p9 n`1 “ ´Bqn`1 Kppn`1 , qn`1 q,
q9 n`1 “ Bpn`1 Kppn`1 , qn`1 q
(3.8)
32
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
essendo K l’hamiltoniana H nelle nuove variabili.
Le cose si semplificano prendendo come Φ un’evoluzione del sistema,
o più precisamente una sua approssimazione. In altre parole, sia ϕt pxq la
soluzione del sistema hamiltoniano
x9 “ J´1 ∇Hpxq,
con x “ pp, qq.
La mappa y “ ϕh pxq corrispondente ad un’evoluzione di un tempo h
è canonica e quindi manda un sistema hamiltoniano in se stesso, mantenendo invariata l’hamiltoniana. In altre parole, essendo yptq “ xpt ` hq
abbiamo
9 “ xpt
9 ` hq “ J´1 ∇Hpxpt ` hqq “ J´1 ∇Hpyptqq.
yptq
Gli schemi numerici che abbiamo visto fin qui non hanno, in generale,
questa proprietà . Un esempio di quanto detto si può fare però con una
versione simplettica del metodo di Eulero. Vale infatti il seguente teorema.
Teorema 3.4.1 (de Vogelaere, 1956). I metodi di Eulero simplettici definiti
da
pn`1 “ pn ´ hBq Hppn`1 , qn q,
qn`1 “ qn ` hBp Hppn`1 , qn q,
(3.9)
e da
pn`1 “ pn ´ hBq Hppn , qn`1 q,
qn`1 “ qn ` hBp Hppn , qn`1 q,
(3.10)
sono metodi simplettici di ordine 1.
Dimostrazione. Dimostriamo la tesi per il primo metodo, valendo per il
secondo considerazioni analoghe.
3.4. METODI SIMPLETTICI
33
Derivando (3.9) rispetto a ppn , qn q otteniamo
˜
¸ˆ
¸
˙ ˜
2
2
Bppn`1 , qn`1 q
Id ` hBpq
H 0
Id ´hBqq
H
“
.
2
2
Bppn , qn q
´hBpp
H Id
0 Id ` hBpq
H
(3.11)
Dato che la condizione (3.8) si può scrivere come
ˆ
ovvero
Bppn`1 , qn`1 q
Bppn , qn q
ˆ
˙´1
Bppn`1 , qn`1 q
Bppn , qn q
ˆ
´
J 1
ˆ
˙
J
´1
Bppn`1 , qn`1 q
Bppn , qn q
Bppn`1 , qn`1 q
Bppn , qn q
˙´t
“ J´1
˙t
“ J´1
ed essendo, da (3.11)
˜
¸ˆ
¸t
˙
ˆ
˙ ˜
2
2
Bppn`1 , qn`1 q ´1 Bppn`1 , qn`1 q t Id ` hBpq
Id ` hBpq
H 0
H 0
J
“
2
2
Bppn , qn q
Bppn , qn q
´hBpp
´hBpp
H Id
H Id
˜
¸
˜
¸t
2
2
Id ´hBqq
H
I
´hB
H
d
qq
“
J´1
,
2
2
0 Id ` hBpq H
0 Id ` hBpq
H
la simpletticità del metodo segue dall’immediata verifica di
˜
¸
˜
¸t
2
2
Id ´hBqq
H
I
´hB
H
d
qq
J´1
“
2
2
0 Id ` hBpq H
0 Id ` hBpq
H
˜
¸
˜
¸t
2
2
Id ` hBpq
H 0 ´1 Id ` hBpq
H 0
“
J
.
2
2
´hBpp
H Id
´hBpp
H Id
Per quanto riguarda la stima sulla velocità di convergenza abbiamo,
ricordando che l’hamiltoniana H è di classe C2 e che le funzioni pptq e qptq
34
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
sono di classe C1 , ed avendo posto p0 “ ppt0 q,
|ppt0 ` hq ´ p1 | |ppt0 ` hq ´ ppt0 q ` hBq Hpp1 , q0 q|
“
h2
h2
¯
9 tq ` Bq Hpp0 , q0 q ` Bq Hpp1 , q0 q ´ Bq Hpp0 , q0 q|
|pp
“
h
¯ qq
¯ ´ Bq Hpp0 , q0 q| |Bq Hpp1 , q0 q ´ Bq Hpp0 , q0 q| hÑ0
|Bq Hpp,
ď
`
ÝÑ 0
h
h
¯ qq
¯ “ pppt¯q, qpt¯qq.
per un opportuno t¯ P rt0 , t0 `hs ed avendo indicato posto pp,
Da un’analoga stima per |qpt0 ` hq ´ q1 | segue la tesi.
3.5
Metodi di Runge-Kutta simplettici
Un metodo di Runge-Kutta non è in generale simplettico, come non lo
sono ad esempio i metodi di Eulero in avanti o indietro. Possiamo però
dare delle condizioni sui coefficienti che lo definiscono in maniera tale che
sia garantita questa proprietà .
Per stabilire queste condizioni, seguiamo l’approccio di [BS94] usando
il seguente lemma.
Lemma 3.5.1. Per metodi di Runge-Kutta i seguenti diagrammi commutano:
y9 “ f pyq,
yp0q “ y0
§
§
Runge´Kuttađ
tyn un
By #
Ψ“
By0
y9 “ f pyq, yp0q “ y0
ÝÝÝÝÝÝÝÑ
9 “ f 1 pyqΨ, Ψp0q “ I
Ψ
§
§Runge´Kutta
đ
ÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
Byn
Ψn “
By0
tyn , Ψn un
ovvero la soluzione numerica, ottenuta con un metodo di Runge-Kutta, del sistema
composto da un’equazione in y e dall’equazione per il suo jacobiano rispetto alla
3.5. METODI DI RUNGE-KUTTA SIMPLETTICI
35
condizione iniziale Ψ è uguale alla soluzione numerica yn della sola equazione
arricchita dal suo jacobiano Ψn
Dimostrazione. Senza perdita di generalità , dimostriamo per semplicità di
calcolo il lemma per il metodo di Eulero esplicito:
yn`1 “ yn ` h f pyn q.
Differenziando entrambi i membri rispetto a y0 , ovvero seguendo la
seconda freccia orizzontale del diagramma, otteniamo
Byn`1
Byn
Byn
“
` h f 1 pyn q
,
By0
By0
By0
By0
“ I,
By0
ovvero il metodo di Eulero applicato all’equazione
9 “ f 1 pyqΨ,
Ψ
Ψp0q “ I,
da cui la tesi.
Il passo successivo nella caratterizzazione dei metodi di Runge-Kutta
simplettici passa ora per la constatazione che la quantità ∇Φt J∇Φ è un’integrale primo quadratico per il sistema aumentato. Si ha infatti dalla
definizione del sistema
d
d
p∇Φt J∇Φq “ pΨt JΨq
dt
dt
9 t JΨ ` Ψt JΨ
9
“Ψ
“pJ´1 ∇2 HpyqΨqt JΨ ` Ψt JpJ´1 ∇2 HpyqΨq
“Ψt ∇2 HpyqJ´t JΨ ` Ψt ∇2 HpyqΨ
“0,
essendo J´t “ ´J´1 .
Quindi, un metodo di Runge-Kutta che conservi gli invarianti quadratici, soddisferà anche la condizione di simpletticità per il problema
36
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
aumentato, e grazie al lemma sarà anche simplettico per il problema
originario.
Come già detto in precedenza, nelle simulazioni è stato usato un metodo di Gauss, ovvero un metodo di Runge-Kutta generato dagli zeri dei
polinomi di Legendre mediante le (3.7). Questo metodo risulta, in base
alle considerazioni precedenti, essere simplettico. Vale infatti il seguente
teorema.
Teorema 3.5.2. Il metodo di Gauss conserva gli invarianti quadratici.
Dimostrazione. Sia dato un’invariante quadratico per il sistema (3.1), ovvero una funzione costante sulle soluzioni del tipo Qpyq “ yt Cy per una C
simmetica. Per questa Q varrà quindi
d
9
Qpypxqq “ 2ypxqt C ypxq
“ 0.
dx
(3.12)
Calcolando ora l’incremento nella funzione tra y1 e y0 , ricordando che
y0 “ upt0 q, y1 “ upt0 ` hq abbiamo
ż x0 `h
Qpy1 q ´ Qpy0 q “
x0
d
Qpupxqq dx
dx
ż x0 `h
“2
9
upxqt Cupxq
dx
x0
L’integrale può essere calcolato senza errori usando la formula di quadratura di Gauss, che integra precisamente polinomi di grado 2n ` 1 qual è
l’integrando, ottenendo
Qpy1 q ´ Qpy0 q “
n
ÿ
9 0 ` ci hq,
αi upx0 ` ci hqt Cupx
i“0
avendo usato la definizione di polinomio di collocazione in (3.4) e la (3.12),
da cui la tesi.
3.6. STIME SULL’ERRORE
37
3.6
Stime sull’errore
Come l’equazione (1.19), anche l’equazione (2.5) ammette nel caso
conservativo delle quantità conservate, pari a ([Zei04], [Zei91])
´´
¯n ¯
lm pNq
tr q Tlm
, ,
n “ 1, . . . , N ´ 1.
(3.13)
Tali integrali primi sono legati ai Casimir che abbiamo definito in (1.22).
Possiamo infatti usare come collegamento tra gli uni e gli altri i seguenti
operatori, definiti rispettivamente su SDi f f pS2 q e SUpNq
ż
ż
Ylm Yl1 m1 ,
ˆ
˙
pNq pNq
ă V, W ą“ trpVWq “ vlm wl1 m1 tr Tlm Tl1 m1 .
pv, wq “
S2
vw “ vlm wl1 m1
S2
Dato che ([Zei04], [HY98])
ă Tlm , Tl1 m1 ą“ kN δll1 δmm1 ,
pYlm , Yl1 m1 q “ δll1 δmm1 ,
abbiamo quindi per una q tale che qn “
pNq
pNq
ÿ
qlm
n Ylm
lďl,¯ m
ż
ż
n
qlm
n Ylm
´
¯
pNq
“ kN tr qlm
T
n lm
´
¯
lm pNq n
“ kN tr pq Tlm q .
q “
S2
S2
Si può così studiare la dinamica del sistema (1.19) facendo uso dell’evoluzione delle quantità definite in (2.7). Usando (2.6) si vede inoltre che
questi nuovi Casimir rimarranno ad un opN´1 q delle rispettive quantità
calcolate mediante una soluzione dell’equazione (1.19) troncata a l ă N.
Sia infatti q1 una soluzione della (1.19) troncata e q2 una soluzione di
38
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
(2.5). La differenza tra calcolare questi Casimir di dimensione finita con
una soluzione o l’altra comporta un errore pari a
ˇ ´
¯
´
¯ˇ ˇ ´
¯ˇ
ˇ
ˇ
lm pNq n
lm pNq n ˇ
lm pNq n
lm pNq n ˇ
ˇtr pq2 Tlm q ´ tr pq1 Tlm q ˇ “ ˇtr pq2 Tlm q ´ pq1 Tlm q ˇ
ˆ ˙
ˇ ´
¯ˇ ˇ ´
¯ˇ
1
ˇ
pNq ˇ
lm pNq n´1 ˇ ˇ
lm
lm
lm
lm
.
ď n ˇtr pq1 Tlm q
ˇ ˇtr pq2 ´ q1 qTlm ˇ ` opq2 ´ q1 q “ o
N
(3.14)
Come visto precedentemente, non inficerà l’analisi un’integrazione numerica mediante un algoritmo simplettico, nel nostro caso un metodo di
Runge-Kutta a 2 nodi (del quarto ordine).
Questo algoritmo ci consentirà di calcolare delle quantità che di nuovo
rimarranno costanti nel caso conservativo e che, anche in presenza di
dissipazione e elementi forzanti, bene approssimeranno i Casimir come
definiti in (2.7).
Ăn , che ricordiamo sono ottenuti apSi ha infatti per gli integrali primi C
prossimando spazialmente e temporalmente i Cn , essendo q un’eventuale
soluzione analitica e qlm
la sua controparte numerica
h
´
¯
Ăn “ tr pqlm TpNq qn ,
C
h
lm
¯
¯´
¯
´
´
pNq
pNq
pNq
lm
´
q
qT
` opqlm
“ tr pqlm Tlm qn ` n tr pqlm Tlm qn´1 pqlm
lm
h ´ q q,
h
lm
´
¯
lm pNq n
“ tr pq Tlm q ` oph4 q.
Concludiamo sottolineando di nuovo la natura dell’approssimazione
numerica che abbia eseguito. La simpletticità infatti, pur dando luogo
ad un errore, lo fa mantenendo invariata le peculiarità geometriche del
problema; ovvero per quanto sia presente una discrepanza tra i valori
esatti dei Casimir e quelli della soluzione numerica, la loro conservazione
non verrà compromessa.
In altre parole, quando l’evoluzione del sistema potrà essere descritta
come vincolata in varietà date dalla conservazione o dalla predicibilità dei
valori dei Casimir, la soluzione numerica sarà costretta in un intorno di
3.6. STIME SULL’ERRORE
39
tale varietà ad una distanza data solamente dall’approsimazione (3.14), ed
ogni studio statistico delle soluzioni analitiche basato su queste quantità
potrà essere portato avanti facendo uso delle soluzioni numeriche, essendo
queste generate da un solutore simplettico.
Riferimenti bibliografici
La presentazione dei metodi numerici di questo capitolo è stata basata
su [QSS00] e [HLW03], soprattutto quest’ultimo, insieme a [BS94], per
quanto riguarda i metodi simplettici.
40
CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE IN TEMPO SIMPLETTICA
CAPITOLO 4
Validazione del codice
Vediamo ora i risultati dell’applicazione di quanto presentato nei capitoli precedenti, ovvero l’integrazione di due operazioni simplettiche sull’equazione quasi geostrofica sulla sfera: una riduzione spettrale ed un’integrazione con un metodo di Runge-Kutta simplettico. Mostreremo come
una tale strategia si sia rivelata efficace nel calcolo di soluzioni numeriche
che da una parte condividano le proprietà geometriche delle soluzioni analitiche, dall’altra permettano di ritrovare fenomeni fisici del sistema che il
modello descrive.
Presentiamo in questo capitolo ora una serie di test di validazione del
codice usato nelle simulazioni. Le grandezze spaziali e temporali sono state
adimensionalizzate usando rispettivamente il raggio terrestre e l’inverso
della velocità angolare. Il metodo di Runge Kutta simplettico usato è stato
del 4˝ ordine eseguito con un passo temporale di 10´2 (corrispondente
fisicamente a circa 2.5 minuti).
In particolare vorremo che le caratteristiche delle equazioni, conservazione di integrali primi e proprietà dinamiche, siano conservate dalle
soluzioni numeriche.
41
42
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
4.1
Conservazione degli integrali primi
Una prima indicazione della bontà del codice usato è la conservazione,
in assenza di dissipazione e termine forzante, tanto dell’energia quanto
degli n ´ 1 Casimir come ci aspettiamo dal teorema 1.4.1.
Test 1: variazioni di energia e Casimir.
Riportiamo nelle figure 4.1 la variazione relativa degli invarianti, ovvero la quantità |K ´ Kp0q|{Kp0q, avendo usato per K l’energia ed i Casimir,
disegnati in scala logaritmica. La simulazione è a 90 giorni per il caso
l ď 9 e ∆t “ 10´2 , ottenuto con un dato iniziale casuale con componenti
armoniche dell’ordine di grandezza dell’unità.
Nella due figure sono mostrati rispettivamente l’andamento temporale
dell’energia e dell’insieme dei Casimir. Tenuto conto nel grafico dei Casimir che l’errore relativo maggiore (in blu nella figura) è dovuto principalmente all’essere il valore iniziale solamente nell’ordine di 10´16 , possiamo
vedere come ci aspettavamo una trascurabile variazione di energia e Casimir (dovuta probabilmente ai piccoli errori di convergenza delle iterazioni
con cui è risolto il metodo implicito).
−7.5
5
0
−8
−5
−8.5
−10
−9
−15
−9.5
−10
−20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
giorni
(a) Errore relativo dell’energia
90
−25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
giorni
(b) Errore relativo dei Casimir
Figura 4.1: Integrali primi di una soluzione dell’equazione troncata a l ď 9
4.2. ANTICORRELAZIONE TRA FUNZIONE DI CORRENTE E TOPOGRAFIA43
Test 2: confronto con i solutori MATLAB .
Usare un metodo simplettico è, come ci aspettavamo, un modo affidabile per condurre un’analisi su energia e Casimir. Questi infatti non
vengono conservati con altri algoritmi.
Nella figura 4.2 mostriamo un confronto tra il metodo utilizzato, RungeKutta simplettico del quarto ordine, (linea continua) ed i solutori ode45 (linea tratteggiata) ed ode15s (linea puntata) implementati da MATLAB che,
pur efficenti in bassa dimensione, all’aumentare della soglia di discretizzazione presentano maggiori errori di conservazione sui Casimir, mentre per
soglie basse hanno un funzionamento critico (nei test condotti sono andati
spesso fuori disponibilità di memoria).
Le soluzioni sono state calcolate per 25 giorni a partire da una stessa
condizione iniziale con componenti nell’ordine dell’unità, con un troncamento l ď 4, usando i solutori ode45 ed ode15s, e con tolleranza assoluta e
relativa rispettivamente pari a 10´15 e 10´6 per entrambi i solutori. I tempi
d’esecuzione sono stati (approssimativamente) di 52 per ode15s, di 122 per
ode45 e di 11 342 per Runge-Kutta simplettico.
4.2
Anticorrelazione tra funzione di corrente e topografia
Una delle caratteristiche delle soluzioni analitiche dell’equazione barotropica quasi geostrofica è l’anticorrelazione tra funzione di corrente e
topografia.
Questo discende immediatamente dalla legge di conservazione
Dq
“0
Dt
(4.1)
che si ha nel caso privo di viscosità e termine forzante.
Supponiamo infatti che sia costante il parametro di Coriolis, e di partire
da una condizione iniziale a media nulla per ω. La conservazione della
44
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
0
5
10
15
20
25
giorni
Figura 4.2: Confronto tra gli errori relativi dell’energia, solutori Matlab
(linee tratteggiate) e RK simplettici (linea continua)
vorticità assoluta q “ ω ` f ` h implica che, avvicinandosi ad un picco per
la topografia, l’incremento di h implica una diminuzione della vorticità relativa ω, che diventa negativa; in altre parole le traiettorie intorno ai picchi
vengono percorse in senso orario. Lo stesso ragionamento invertendo i
segni, ci porta a dire che una diminuzione de h porti ad un aumento di
ω, ovvero che le traiettorie intorno alle gole vengono percorse in senso
antiorario.
In generale, però , la vorticità relativa inziale non sarà nulla. Oltretutto
limitarsi ad una tale caso equivale a riconoscere una particolare importanza
all’istante t “ t0 , elemento non presente nel nostro modello.
Partendo da condizioni casuali qualsiasi, comunque, il ragionamento
precedente resta valido. Basta considerare il caso non conservativo in qui
sono presenti delle forze dissipative che facciano in modo che lo stato
4.3. EVOLUZIONE DI UN DATO INIZIALE BIANCO
45
a media nulla per q diventi ora uno stato asintotico. L’anticorrelazione
che prima avevamo in ogni istante, diventa perciò ora una tendenza del
sistema.
Test 3: confronto funzione di corrente/topografia
Mostriamo in questo test una simulazione della soluzione del problema troncato a l ď 7. La topografia è rappresentata nella prima figura e
corrisponde a 100pY1,´1 ´ Y1,1 q, la condizione casuale è casuale con componenti armoniche dell’ordine di grandezza di 10´1 e si è usata solamente
una dissipazione di iperviscosità relativa a k2 “ 10´4 . L’evoluzione è stata
portata avanti per 6 mesi, in modo da rendere visibile la tendenza asintotica della funzione di corrente. La simulazione che segue in figura 4.3
mostra chiaramente come la funzione di corrente tenda ad assumere valori
anticorrelati alla topografia, in modo crescente al crescere dei tempi.
4.3
Evoluzione di un dato iniziale bianco
Questo test (proposto in [BR05]) utilizza il modello non viscoso con un
dato iniziale “bianco”, ovvero con un contenuto di energia equidistribuito
tra i vari livelli armonici.
In presenza di diffusione, sono presenti meccanismi di trasporto di
energia tra i vari livelli spettrali. La dissipazione infatti è stata modellizzata
usando il laplaciano, e trovandoci nello spazio delle armoniche sferiche,
vale la relazione
∆ Ylm “ ´lpl ` 1qYlm ,
la dissipazione varia fortemente con l’indice l e toglie energia alle componenti armoniche più alte. Questo non avviene nel caso conservativo, in
cui il contributo all’energia delle componenti della soluzione qlm con l “ l¯
tende ad oscillare attorno ad un valore medio.
46
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
Test 4: dato iniziale bianco
In figura 4.4 sono mostrati gli apporti all’energia di ciascun livello
spettrale, relativamente ad una soluzione della lunghezza di 20 giorni, di
dato iniziale bianco e nell’ordine dell’unità. Come previsto teoricamente i
valori dell’energia oscillano attorno ad un valor medio circa costante.
4.4
Onde di Rossby
Tra i fenomeni che ci aspettiamo di trovare nelle soluzioni che siamo
andati a costruire ci sono le onde di Rossby. Questo tipo di onde si verificano perturbando moti westerly (ovvero di direzione ovest-est) attorno ad
una loro posizione di equilibrio stazionario.
Supponiamo che la topografia sia nulla e che siano trascurabili dissipazione e immissione di energia dall’esterno, e che una traiettoria verso est
venga deviata verso nord. Il moto coinvolgerà quindi una regione in cui
la vorticità planetaria, ovvero il parametro f , è maggiore.
Possiamo ricorrere di nuovo all’equazione di conservazione (4.1); aumentando perciò la vorticità planetaria dovrà diminuire quella relativa
ω.
Deviare verso nord intorno ad un moto westerly significa ”muoversi in senso antiorario“, quindi la corrispondente traiettoria avrà vorticità
relativa positiva. Quando questa, per i motivi detti, viene a diminuire
fino a diventare negativa, il moto al contrario si rivolgerà verso sud. La
traiettoria si troverà quindi in un’area a vorticità planetaria minore del valore all’equilibrio, che genererà questa volta un incremento nella vorticità
relativa, e così via.
Ovviamente questo tipo di onde avvengono solo intorno a moti westerly. Deviare verso nord vicino ad un moto easterly significherebbe infatti
ora avere vorticità relativa negativa e muoversi in una posizione che ne
induce un’ulteriore diminuzione (e viceversa per moti verso sud). In altre
4.4. ONDE DI ROSSBY
47
parole, intorno a moti easterly deviazioni verso nord o verso sud vengono
rafforzate dalla conservazione della vorticità assoluta.
Test 5: generazione di onde di Rossby
In figura 4.5 mostriamo una simulazione in cui abbiamo usato condizioni iniziali relative ad un flusso westerly con profilo perturbato, e che
presenta un trasporto delle celle verso ovest. Le figure rappresentano stati
a distanza tre mesi l’uno dall’altro, in assenza di topografia, dissipazione
e forzante esterna.
Test 6: onda di Rossby-Haurwitz
Le onde di Rossby-Haurwitz sono tra le soluzione analitiche dell’equazione della vorticità barotropica sulla sfera ([Hau40]), ma sono considerate un benchmark importante anche in altri modelli di circolazione
globale. Seguendo uno dei test suggeriti da Williamson in [WDH` 92] abbiamo ricercato questa soluzione con il nostro codice. Quest’onda ha come
condizione iniziale per la funzione di corrente
ψ “ ´a2 Ω cos θ ` a2 K sinR θ sin θ cospRϕq,
la cui corrispondente vorticità è
q “ 2Ω cos θ ´ pR2 ` 3R ` 2qK sinR θ cos θ sinpRϕq,
essendo R il raggio della sfera e Ω la velocità angolare. Tale soluzione
provoca il trasporto rigido della condizione iniziale in direzione est-ovest,
ed è stata fedelmente ritrovata dai test, come si può vedere in 4.6
48
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
Riferimenti bibliografici
I test sulla conservazione degli invarianti sono stati suggeriti dalle leggi
di conservazione già citate.
La trattazione sull’anticorrelazione tra topografia e funzione di corrente
e le onde di Rossby si è basata su [Ped87], mentre ulteriori dettagli sull’onda
di Rossby-Haurwitz sono presenti in [Hau40] e [WDH` 92].
4.4. ONDE DI ROSSBY
49
(a) Topografia
(b) Funzione di corrente, condizioni
iniziali.
(c) Evoluzione ad 1 mese.
(d) Evoluzione a 2 mesi.
(e) Evoluzione a 3 mesi.
(f) Evoluzione a 4 mesi.
(g) Evoluzione a 5 mesi.
(h) Evoluzione a 6 mesi.
Figura 4.3: funzione di corrente troncata a l ď 7
50
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
0.02
0.02
0.02
0.018
0.018
0.018
0.016
0.016
0.016
0.014
0.014
0.014
0.012
0.012
0.012
0.01
0.01
0.01
0.008
0.008
0.008
0.006
0.006
0.006
0.004
0.004
0.004
0.002
0.002
0
0
0
2
4
6
8
10
0.002
0
2
(a) l “ 1
4
6
8
10
0
0.02
0.02
0.018
0.018
0.016
0.016
0.016
0.014
0.014
0.014
0.012
0.012
0.012
0.01
0.01
0.01
0.008
0.008
0.008
0.006
0.006
0.006
0.004
0.004
0.004
0.002
0.002
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
0
0.02
0.02
0.02
0.018
0.018
0.016
0.016
0.014
0.014
0.014
0.012
0.012
0.012
0.01
0.01
0.01
0.008
0.008
0.008
0.006
0.006
0.006
0.004
0.004
0.004
0.002
0.002
4
6
(g) l “ 7
8
10
0
8
10
2
4
6
8
10
8
10
(f) l “ 6
0.016
2
0
(e) l “ 5
0.018
0
6
0.002
0
(d) l “ 4
0
4
(c) l “ 3
0.02
0
2
(b) l “ 2
0.018
0
0
0.002
0
2
4
6
(h) l “ 8
8
10
0
0
2
4
6
(i) l “ 9
Figura 4.4: Contenuto armonico di una soluzione dell’equazione troncata
a l ď 9 lungo una simulazione di 10 stagioni e sua media.
4.4. ONDE DI ROSSBY
51
(a) Funzione di corrente, condizioni
iniziali.
(b) Evoluzione ad 1 mese.
(c) Evoluzione a 2 mesi.
(d) Evoluzione a 3 mesi.
(e) Evoluzione a 4 mesi.
(f) Evoluzione a 5 mesi.
Figura 4.5: Esemplio di un’onda di Rossby in una funzione di corrente
troncata a l ď 7
52
CAPITOLO 4. VALIDAZIONE DEL CODICE
(a) Vorticità , condizioni iniziali.
(b) Evoluzione ad 1 mese.
(c) Evoluzione a 2 mesi.
(d) Evoluzione a 3 mesi.
(e) Evoluzione a 4 mesi.
(f) Evoluzione a 5 mesi.
Figura 4.6: Onda di Rossby-Haurwitz
CAPITOLO 5
Clusterizzazione dei dati
La estrazione di informazioni dai dati (di natura essenzialmente caotica) generati dalle simulazioni effettuate è un problema che va gestito in
maniera accurata. In questo capitolo descriviamo un possibile approccio,
orientato alla individuazione di regimi climatici, che tenta di tener conto
sia delle peculiarità geometriche del sistema che delle approssimazione
introdotte sia in fase di raccolta dei dati sperimentali che negli algoritmi
numerici e nell’implementazione su un calcolatore.
5.1
Caoticità del sistema
Come abbiamo accennato in precedenza, il modello è di natura caotica.
Ciò significa che due differenti istanti iniziali, per quanto vicini, possono
dare vita ad evoluzioni non solo estremamente lontane da un punto di
vista quantitativo, ma anche dai comportamenti globali molto diversi.
Essendo la misura di dati iniziali per sua natura approssimata, il tentativo
di prevedere il valore che la soluzione viene ad assumere ad un dato istante
53
54
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
di tempo non è più, quindi, molto rilevante ai fini dell’interpretazione dei
dati forniti dal modello.
In climatologia, del resto, non ha particolare importanza il valore delle
singole grandezze. Può essere utile invece individuare quelli che possono intuitivamente essere riconosciuti come regimi climatici. Definire con
sufficiente formalità cosa sia un regime non è però così immediato. Tre
principali criteri usati nel corso degli scorsi decenni per definire regimi
climatici sono stati:
• configurazioni che si ripetano nel tempo (configurazioni ricercate
valutando distribuzioni di probabilità sugli stati del sistema o a
posteriori attraverso cluster nello spazio delle fasi);
• configurazioni che manifestino una buona persistenza in tempo;
• configurazioni che che manifestino una quasi stazionarietà. Più precisamente quest’ultima proprietà sta a significare una stazionarietà statistica delle configurazioni, nel senso che la media degli stati
assunti tenda ad essere costante.
L’ottica è la stessa utilizzata da Lorenz in [Lor63], delle cui equazioni
è tracciata una traiettoria nella figura 5.1. Il sistema da descrivere è in
questo caso quello dell’esperimento di Raleigh-Bénard, in cui un fluido
contenuto in un cilindro in rotazione attorno al proprio asse è a contatto
sulle due facce con due termostati a temperature differenti. Anche questo
sistema manifesta come il nostro una dipendenza sensibile dai dati iniziali;
nonostante ciò le traiettorie delle soluzioni non hanno un comportamento
totalmente disorganizzato: queste infatti tendono sempre ad avvicinarsi
ad una delle due falde di un insieme “a farfalla”, che possiamo intuire dal
grafico, ed a passare col tempo dall’una all’altra. Avendo l’appartenenza
ad ognuno dei due insiemi anche un significato fisico (in particolare, ad
ognuno corrisponde un diverso segno della vorticità), si possono quindi
descrivere molto macroscopicamente le soluzioni mediante la loro posizione relativamente alle falde o alla probabilità (deterministica) di passare
dopo un certo lasso di tempo da una falda all’altra.
5.1. CAOTICITÀ DEL SISTEMA
55
50
45
40
35
z
30
25
20
15
10
20
5
0
0
30
20
10
0
−10
y
−20
−30
−20
x
Figura 5.1: L’attrattore di Lorenz
La scelta che abbiamo fatto nella ricerca dei regimi è di associarli a
cluster di dati che individueremo a posteriori dai risultati delle simulazioni,
ottenute come abbiamo visto in maniera simplettica dalle equazioni (questa
proprietà geometrica sembrerebbe garantire una migliore aderenza alle
proprietà statistiche del sistema originale).
Il passo successivo sarà inquadrare tutti questi strumenti per poter
esprimere previsioni quanto più accurate possibile riguardo le possibili
transizioni da un regime climatico all’altro. Nei nostri termini questo
significa cercare, dopo aver individuato i regimi nello spazio delle fasi, di
costruire una catena di Markov. In altre parole, mediante i cluster definire
una suddivisione dello spazio delle fasi, attraverso la quale descrivere la
dinamica del sistema in termini del tempo di permanenza in un cluster e
della probabilità di transizione tra un cluster ed un altro.
56
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
5.2
Costruzione della clusterizzazione
La clusterizzazione è una tecnica di analisi multivariata consistente
nella classificazione di un insieme di dati a seconda dell’appartenenza a
cluster, costruiti a posteriori a partire dai dati stessi.
Nel nostro caso useremo una strategia di clusterizzazione agglomerativa
e gerarchica. L’essere agglomerativa indica la direzione in cui procede
l’algoritmo, costruendo insiemi a partire da oggetti (dati o altri insiemi)
vicini tra di loro, a differenza di metodi divisivi in cui, a partire dai cluster,
si costruiscono via via ”sotto-cluster“ mediante una scissione, fino ad una
soglia di elementi minimi raggiunta la quale si ferma l’iterazione. Questo
accorpamento avviene mediante una legge di correlazione che permette
quindi dicostruire cluster che racchiudano punti nello spazio delle fasi,
o altri cluster. A seconda della metrica che sceglieremo per misurare
la correlazione tra i punti e la distanza tra i vari cluster (e che dovrà
dipendere dalla natura della distrubuzione dei dati stessi per una buona
efficacia della suddivisione) avremmo una struttura gerarchica (da qui la
seconda denominazione) differente, sul tipo del dendrogramma in figura
5.2.
Definita in questo modo la gestione dei dati, si può procedere ad una
clusterizzazione in funzione del numero massimo di cluster che vogliamo
avere oppure di valori di soglia che permettano di esprimere quando due
oggetti siano “vicini” o “lontani”.
Qeust’ultimo criterio va inteso nel modo seguente. Supponiamo di
aver suddiviso il nostro insieme di dati in k cluster Di , per i “ 1, . . . , k,
ognuno avente un numero ni di elementi, e sia Ci il baricentro o centroide
dell’i_esimo cluster, ovvero
Ci “
1 ÿ
x.
ni xPD
i
Cercare dei parametri che esprimano descrivano l’appartenenza o meno
5.2. COSTRUZIONE DELLA CLUSTERIZZAZIONE
57
5
4
3
2
1
0
Figura 5.2: Esempio di un dendrogramma
di due elementi allo stesso insieme significa stabilire due valori r1 ed r2 tali
che
corrpCi , xq ě r1 ,
corrpCi , C j q ď r2 ,
@x P Ci , @i
@i , j.
Dopo aver creato questi insiemi, risulta opportuno per rendere significativa l’analisi definire tre cluster speciali: uno in cui racchiudere tutti
i punti a poca distanza dall’origine, uno costituito dai cluster più piccoli
ed uno che contiene i punti non abbastanza correlati con alcun centro da
poter appartenere ad un cluster e non abbastanza scorrelati da almeno un
centroide per poter costituire un cluster a sé, ovvero per cui valga
#
corrpCi , xq ă r1 ,
corrpCi , xq ą r2 ,
@ i,
almeno per un i.
58
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
5.3
Qualche test preliminare
Mostriamo ora nelle prossime simulazioni come la clusterizzazione dei
valori assunti dalla soluzione può permetterci di individuare delle configurazioni della funzione di corrente riconducibili a regimi climatici. Nello
studio dei regimi, può essere interessante individuare condizioni per le
eventuali transizioni tra un cluster e l’altro, ad esempio in corrispondenza
di determinate soglie dell’energia o dei Casimir.
Le simulazioni finora eseguite sono state portate avanti in dimensione
bassa, e ciò a causato che i fenomeni di dissipazione non fossero equilibrati
con termini forzanti esterni come invece, ovviamente, è nella realtà. Per
generare soluzioni non banali, quali ad esempio l’assunzione di uno stato
stazionario dopo un breve transiente, e per evitare eccessive immissioni
di energia nel sistema, sono stati perciò riscalati a posteriori gli ordini
di grandezza dei parametri di dissipazione e di sorgente, con un lavoro
piuttosto lungo di aggiustamento. Ciò ha permesso di osservare (almeno
matematicamente) l’instaurarsi di regimi climatici anche in dimensione di
troncamento bassa, a discapito però del realismo dei parametri fisici.
Come base di partenza si è seguito [Sel95] per la dissipazione, ovvero
per il termine di diffusione k1 un valore relativo ad un e-folding time
per la vorticità di 15 giorni, per il termine di iperdiffusione k2 un valore
corrispondente ad un e-folding time di 3 giorni per le armoniche l “ 21.
Come detto sopra, il calcolo dei cluster è stato eseguito in tre passi:
1. calcolo delle distanze tra i dati;
2. costruzione di un dendrogramma che colleghi in maniera gerarchica
oggetti vicini, che siano dati, coppie di dati, o insiemi di dati più
numerosi;
3. costruzione dei cluster troncando il dendrogramma ad un’altezza
relativa ad un dato valore di soglia o ad un numero massimo di
cluster.
5.3. QUALCHE TEST PRELIMINARE
59
Nelle clusterizzazioni che seguono, sono stati intoltre filtrati i cluster
più piccoli, che vanno a costituire il cluster di indice 0.
In figura 5.3 è rappresentata una simulazione a 20 stagioni troncata a
l ă 2, in cui si è usato un termine forzante fisso relativo ad un irraggiamento
medio invernale ricavato da Franzke in [FMVE04] aumentato di un fattore
di 108 , mentre k1 e k2 sono stati riscalati con con coefficienti nell’ordine
rispettivamente di 10´2 e 103 . La condizione del test in figura è stata
generata in maniera casuale ed è nell’ordine di 10´1 .
Nonostante non sia presente alcuna periodicità, si può vedere dal grafico della velocità come questi cluster possano essere associati alcuni regimi
climatici. In molti dei test eseguiti, la transizione tra un cluster e l’altro
può essere spesso associata ad opportune soglie dell’energia totale.
In figura 5.3 mostriamo invece una simulazione a 10 troncata a l ă 4.
Questa volta il termine forzante è variabile, e segue un semplice andamento
come quello mostrato in figura 5.4, dell’ordine di grandezza di 10´1 . I
coefficenti k1 e k2 mantengono lo stesso ordine di grandezza, e sono stati
aumentati rispettivamente di 2 e 5 volte. La condizione iniziale, di nuovo
casuale, ha ordine di grandezza pari ad 1.
In figura 5.7 mostriamo i Casimir delle due precedenti soluzioni. Soprattutto nella simulazione a forzante variabile, in cui i cluster vengono
riattraversati periodicamente, si può notare una correlazione tra i valori
del Casimir ed il passaggio da un cluster all’altro.
Riferimenti bibliografici
L’esperimento di Lorenz e la sua analisi sono descritti in [Lor63].
Il problema delle diverse definizioni di regime è approfondito in [CJ88]
e [MVL88]. In [KG92a], [KG92b], [CW07] e [CRGR` 05]) si è usata la stima
di densità di probabilità sullo spazio delle fasi per definire configurazio-
60
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
ni, mentre si è optato per individuazioni a posteriori di configurazioni
mediante clustering in ([MG88], [SIG99], [CW91]. Esempi di studi della
permanenza nel tempo e sulla quasi stazionarietà di strutture si possono
trovare rispettivamente in [DG83] e [VL88].
Ulteriori dettagli sulla clusterizzazione e loro applicazioni si possono trovare ad esempio in [MG88] e [SIG99], [FKS` 07], [CJ88], [KG92a],
[KG92b], [KRG05].
5.3. QUALCHE TEST PRELIMINARE
61
5
20
4
40
60
3
80
100
2
120
140
1
160
0
0
5
10
stagioni
15
20
180
50
(a) Cluster
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
50
100
150
200
250
300
350
180
50
(c) Cluster n. 4
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
50
100
150
200
200
250
300
350
250
(e) Cluster n. 2
100
150
200
250
300
350
300
350
(d) Cluster n. 1
20
180
150
(b) Cluster n. 5
20
180
100
300
350
180
50
100
150
200
250
(f) Cluster n. 3
Figura 5.3: Simulazione a forzante fissa
62
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
(a) Solstizio d’inverno
(b) Equinozio
(c) Solstizio d’estate
Figura 5.4: Forzante variabile
5.3. QUALCHE TEST PRELIMINARE
63
4
20
40
3
cluster
60
80
2
100
120
1
140
160
0
0
2
4
6
8
180
10
50
100
150
200
250
300
350
300
350
anni
(a) Cluster
(b) Cluster n. 3
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
180
50
100
150
200
250
300
180
350
50
100
(c) Cluster n. 1
150
40
60
80
100
120
140
160
50
250
(d) Cluster n. 4
20
180
200
100
150
200
250
300
350
(e) Cluster n. 2
Figura 5.5: Simulazione a forzante variabile
64
CAPITOLO 5. CLUSTERIZZAZIONE DEI DATI
0
5
10
15
20
Figura 5.6: Casimir (forzante fisso)
0
2
4
6
8
10
Figura 5.7: Casimir (forzante variabile)
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