Atomo Idrogeno
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Atomo
L'elettrone è soggetto al potenziale elettrostatico
attrattivo
− Ze × e
r
Fisica classica:
l'elettrone è destinato a collassare sul nucleo e a fermarsi
Meccanica quantistica:
Più l'elettrone si avvicina al nucleo
più è confinato in una regione ristretta:
la posizione è sempre più determinata esattamente
Per il principio di indeterminazione:
la velocità diventa sempre più indeterminata:
quindi l'energia cinetica può aumentare
l'energia totale assume il valore E1 (stato fondamentale)
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Atomo H
Il sistema nucleo elettrone è descritto dall’Hamiltonanio:
Hˆ = − 2hme ∇ e2 − 2hmN ∇ 2N − 4πε1
2
−
h2
2 me
∇ e2
−
h2
2mN
∇ 2N
2
0
e2
R Ne
energia cinetica dell’elettrone, opera sulle
coordinate dell’elettrone.
energia cinetica del nucleo, opera sulle
coordinate del nucleo.
− 4πε1
0
e2
RNe
energia potenziale elettrone nucleo,
RNe distanza nucleo elettrone.
Il sistema nucleo elettrone ruota attorno al baricentro
La massa del protone è
c.a. 1800 volte quella
dell’elettrone:
Si fa un errore trascurabile ponendo il baricentro in
coincidenza con il centro del protone e la massa ridotta
me mN
≅ me
me + mN
Hˆ = − 2hme ∇ 2 − 4πε1
2
0
e2
r
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Ponendo l’origine nel protone e passando
in coordinate polari sferiche:
1 ∂2
1 1 ∂
∂
1 ∂2 

r + 2 
sin θ
∇ =
+
2
2
2 
r ∂r
r  sin θ ∂θ
∂θ sin θ ∂ϕ 
2
Hˆ ψ (r ,θ ,ϕ ) = Eψ (r ,θ ,ϕ )
Si fattorizza la funzione d’onda:
ψ (r ,θ ,ϕ ) = R(r )Yl m (θ ,ϕ )
l
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Parte matematica
(per i più curiosi)
1 ∂2
1 1 ∂
1 ∂ 2  2 me e 2 
∂
2 me


sin
r
+
θ
+
−
ψ
=
−
Eψ


2
2
2 
2
2 
4πε 0 h
h2
sin
sin
r
∂
r
r
∂
∂
∂
r
θ
θ
θ
θ
ϕ




 ∂2
r 2 r −
 ∂r
2 me
4πε 0 h 2
 1 ∂
∂
∂ 2 
1
2 me
2

e r + 
sin θ
+
ψ
=
−
Er
ψ

2
2
2 
h
θ
θ
θ
θ
ϕ
sin
∂
∂
sin
∂


2
N.B.: la parte tra parentesi tonde è già stata risolta per ricavare il
momento angolare e ha autofunzioni Y(θ,φ)
m
Sostituendo ψ (r ,θ ,ϕ ) = R(r )Yl l (θ ,ϕ )
e dividendo per separare le variabili:
1
∂2
r
rR ( r ) −
R (r ) ∂r 2
2 me
4πε 0 h
2
e2r +
1  1 ∂
∂
1
∂2 
2me


+
sin θ
+
Y
(
θ
,
ϕ
)
=
−
Er 2
2
2 
h2
Y (θ , ϕ )  sin θ ∂θ
∂θ sin θ ∂ϕ 
Raggruppando la parte in r
1
∂2
r 2 rR (r ) −
R ( r ) ∂r
2 me
4πε 0 h
2
e2r +
2 me
h
2
Er 2 =
1  1 ∂
∂
1
∂2 

Y (θ , ϕ )
+
sin θ
+
2
2 
Y (θ , ϕ )  sin θ ∂θ
∂θ sin θ ∂ϕ 
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Separazione delle variabili
E’ possibile scrivere due equazioni separate:
 1  1 ∂
∂
1
∂2 

Y (θ ,ϕ ) = −costante
sin θ
+

2
2 
∂θ sin θ ∂ϕ 
 Y (θ ,ϕ )  sin θ ∂θ

2
 1 r ∂ rR(r ) − 2 me e 2 r + 2 me Er 2 = costante
h2
4πε 0 h 2
 R( r ) ∂r 2

La tecnica diseparazione è la stessa vista per la separazione tra
spazio (x) e tempo (t) nell’equazione di Schroedinger dipendente
dal tempo
Equazione angolare:
La prima equazione da la dipendenza angolare.
E’ già stata risolta per il momento angolare e ha
autovalori:
l (l + 1)
l = 0,1,2, …;
ml ≤ l
E autofunzioni Yl ml (ϑ ,ϕ ) (Armoniche Sferiche)
 1 ∂
1
∂
1
∂ 2  ml

Yl (θ , ϕ ) = −l (l + 1)
sin θ
+
Yl ml (θ , ϕ )  sin θ ∂θ
∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2 
Yl ml (θ , ϕ ) hanno l superfici nodali
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Separazione delle variabili
Equazione radiale:
1
d2
2 me
2 me
2
r 2 rR(r ) − 4πε h 2 e r + h 2 Er 2 = l (l + 1)
0
R(r ) dr
Rn ,l (r ) = ρ l Ln ,l ( ρ )e −1 / 2 ρ
(ρ = 2
n = 1, 2, … ;
− 2hm2e E r
)
n-(l+1) ≥ 0
Dove Ln ,l ( ρ ) sono polinomi (di Laguerre)
Hanno n-l radici e quindi n-l nodi
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Soluzione atomo H
La funzione d’onda è
ψ nlm = N Rn,l (r )Yl m (θ ,ϕ )
l
Dove N è il coefficiente di normalizzazione, tale che:
∫ ψ nlm
2
dV = 1
L’energia corrispondente
mee 2
1
En = −
2( 4πε 0 ) 2 h 2 n 2
da cui si deduce che l’energia è quantizzata e si avvicina a
0 all’aumentare di n
L’energia dipende unicamente dal
numero quantico n
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Orbitali atomo H
Le soluzioni Rn ,l (r )Yl ml (ϑ ,ϕ ) sono determinate da 3
numeri quantici:
n, l, ml
hanno superfici nodali
(superfici attraversando le quali la ψ cambia segno)
n : n = 1,2,3, ....
determina il numero totale di superfici nodali: n-1
All’aumentare di n aumenta:
• l’energia
• il numero di nodi della ψ nlm
corrispondente
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H: energia degli stati
L’energia aumenta come 1/n2: gli stati si addensano
all’aumentare dell’energia
E1 = -13.6 eV: quindi per estrarre l’elettrone (portare a 0
l’energia) occorrono 13.6 eV (energia di ionizzazione)
Il risultato spiega lo spettro atomico di H riproducendo la
relazione
 1
1
1 

= RH  2 − 2 
(E = hν = hc/λ)
λ
n
n
iniz 
 fin
già trovata sperimentalmente
(RH è la costante di Rydberg)
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H: energia degli stati
Notare la differenza rispetto alla particella nella buca e
all’oscillatore armonico
• particella nella buca e oscillatore armonico:
o il potenziale va all’infinito
o la buca ha profondità infinita
o i livelli non si addensano ad un valore limite
• atomo di H:
o il potenziale va asintoticamnte a 0
o la buca ha profondità finita
o i livelli si addensano attorno a E=0.
Per E>0 si ha l’elettrone libero che può avere
qualsiasi energia
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Nodi Orbitali atomici
Numeri quantici
n:
n = 1,2,3, ....determina il numero totale di superfici
nodali: (n-1)
l : 0 ≤ l ≤ n-1
numero di superfici (piani) nodali
passanti per il nucleo
m : - l ≤ m ≤ +l determina l'orientazione delle superfici
(piani) nodali passanti per il nucleo
n-l:
numero di superfici (sferiche) nodali radiali
Es.:
l
tipo
Num.
funzione sup.
nodali
0 s
0
1 p
1
2 d
2
3 f
3
+
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Momento angolare
dell’elettrone
Il momento angolare è dato da
L2 = h 2l (l + 1)
Quindi un elettrone in uno stato s non ha un
momento angolare
Il momento angolare aumenta andando da p a d a f etc.
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Rappresentazione Orbitali
Un orbitale è una funzione in
3 dimensioni estesa in
tutto lo spazio
dato che la probabilità di trovare l'elettrone è maggiore in
vicinanza dei nuclei:
ha valori elevati in vicinanza dei nuclei
valori tendenti a 0 all' infinito
Non esiste una superficie che
delimita l'orbitale
Come tutte le funzioni in 3D si può rappresentare in modi
diversi secondo le caratteristiche che si vogliono
sottolineare ma non esiste una rappresentazione piana
completa
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Es.: 1s
curve di livello in un piano
prefissato
Es.:
superfici di ugual valore:
.3 .2 .1 .05
2p
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Dipendenza radiale
Funzione radiale:
Distribuzione radiale: distribuzione di probabilità di
trovare l’elettrone ad una data distanza dal nucleo
dV = r 2 sin θ dr dθ dϕ
∞
∫ dr r
0
2
2π
π
0
0
∫ dϕ ∫ dθ sin θ ψ (r , θ , ϕ ) = 1
2
Integrando su tutta una calotta sferica di raggio r
2π
π
0
0
P(r ) = r 2 ∫ dϕ ∫ dθ sin θ ψ (r ,θ ,ϕ )
2
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Distribuzione radiale
(probabilità di trovare un elettrone a distanza r)
4πε 0 h 2
a0 =
raggio di Bohr 5.2917720859×10−11m,
2
me e
0.52917720859 Å
r
= 1,
Per 1s il valore più probabile (P(r) massima) è
a0
r = 0.52917720859 Å
Raggio di Bohr: descrizione semiclassica, l’elettrone
percorre un’orbita definita
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Distribuzione radiale
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Combinando le superfici nodali di Rn , l (r )
(superfici sferiche)
ml
Y
Con quelle di l (θ , ϕ ) (piani)
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