Catenaria discreta Il problema consiste nel trovare la configurazione di equilibrio di una catena formata da N + 2 masse uguali fissate a un sostegno orizzontale e legate tra loro da barre rigide di massa trascurabile di lunghezza `. La distanza tra la prima massa vincolata al sostegno e l’ultima `e L. I parametri pi` u convenienti sono gli angoli formati dalle barre rispetto all’orizzontale. Si avr` a che l’energia potenziale totale `e data da V = −m g ` N+1 X i X sin θj i=1 j=1 = −m g ` N+1 X sin θj j=1 = −m g ` N+1 X 1 i=j N+1 X (N + 2 − j) sin θj j=1 Per rispettare il vincolo che richiede che la massa N + 1 abbia la posizione (L, 0) si introducono due moltiplicatori di Lagrange (λ, µ) che verranno fissati solo alla fine per rispettare il vincolo e si impone la condizione di minimo N+1 N+1 X X ∂ V + λ` cos θj + µλ ` sin θj = 0 ∂θk j=1 j=1 Segue −m g `(N + 2 − k) cos θk + λ` cos θk − µ` sin θk = 0 e questa relazione fissa il valore degli angoli in funzione dei moltiplicatori di Lagrange tan θk = µ−1 (λ − mg(N + 2 − k)) inoltre bisogna soddisfare i due vincoli X sin θj = 0, i X cos θj = L/`, i Per simmetria possiamo immediatamente assumere che θ1 = −θN+1 . . . θk = −θN+2−k , . . . il che inserito nella formula per la tangente ci permette di calcolare λ: λ − mg(N + 2 − k) = − (λ − mg(N + 2 − (N + 2 − k))) ovvero λ = m g (N/2 + 1) Indicando con ρ la quantit` a mg/µ si trova allora tan θk = ρ(k − N/2 − 1) N+1 X k=1 1 p = L/` 2 1 + ρ (k − N/2 − 1)2 In linea di principio dovremmo ricavare il valore di ρ in funzione di L/` ma questo non `e possibile per via analitica. Si pu` o allora risolvere ogni caso specifico invertendo la relazione L/` ↔ ρ per 1 2 via numerica. Il programma catenaria.m applica la routine fminsearch per trovare il valore di ρ che minimizza la differenza !2 N+1 X 1 p − L/` 2 (k − N/2 − 1)2 1 + ρ k=1 assegnato L/`. Si pu` o cos`ı verificare che la forma assunta dalla catena per un numero molto alto di masse si avvicina al calcolo analitico dell’equilibrio di una fune inestendibile (la classica catenaria con la forma cosh(x)). 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Una questione interessante riguarda gli sforzi cui sono soggette le masse: ogni massa `e soggetta al peso mg e alla forza esercitata dalle due barre rigide cui `e vincolata. Detta Ti la forza esercitata dalla barra a sinistra della massa i−esima e Ti+1 quella esercitata a destra, si dovr` a avere che le componenti orizzontali devono compensarsi esattamente mentre quelle verticali devono compensare il peso. Assumendo che le forze siano dirette nella stessa direzione delle barre1 si trova subito Ti cos θi = costante Ti sin θi = Ti+1 sin θi+1 + mg Si trova cos`ı q Tk = µ2 + (mg)2 (N/2 + 1 − k)2 . Si noti che la forma della catena non dipende da m n´e da g ma solo dai parametri L/`, N e inoltre che le reazioni vincolari sono direttamente esprimibili in termini del moltiplicatore di Lagrange µ e implicitamente dipendono da L/`. 1 Considerare il fatto intuitivo che la forma della catena all’equilibrio non dipende dalla natura rigida delle barre, `e sufficiente che siano di lunghezza fissata, anche un cavo flessibile darebbe la stessa forma. 3 Il fatto che le forze di reazione siano allineate con le barre, cio`e non ci siano sforzi trasversali, costituisce la propriet` a che rende la forma dell’arco di StLouis cos`ı stabile e sottopone i materiali al minimo stress. L’arco potrebbe essere formato da tanti moduli semplicemente appoggiati l’uno sull’altro. Gli antichi costruttori non conoscevano la forma della catenaria, ma forse dal punto di vista estetico `e stato meglio cos`ı (arco romano, arco gotico,etc). Il problema si generalizza facilemente al caso in cui gli estremi della catena siano a quota differenti.
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