Introduzione - Aracne editrice

A
Giuseppina Anatriello
Matteo Allegro
Calcolo con GeoGebra
Copyright © MMXIV
ARACNE editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
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I edizione: settembre 
Indice
Elenco delle figure
13
Introduzione
17
1 Calcolo geometrico
1.1 Le strutture della geometria euclidea . . . . . . . .
1.1.1 Struttura affine . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1 La semiretta come spazio di misura
1.1.1.2 La retta polare come retta numerica
1.1.1.3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Struttura metrica . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1 Modulo, forma quadratica e distanza
1.1.2.2 Prodotto scalare e forma bilineare .
1.1.2.3 Coseno di un angolo . . . . . . . .
1.1.3 Topologia naturale . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1 Punti interni, esterni e di frontiera
1.1.3.2 Insiemi aperti e insiemi chiusi . . .
1.1.3.3 Connessi per archi e insiemi compatti
1.2 Costruzioni con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Costruzioni nel piano . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1 Trasporto del segmento . . . . . .
1.2.1.2 Trasporto dell’angolo . . . . . . . .
1.2.1.3 Costruzione parallela . . . . . . . .
1.2.1.4 Costruzione perpendicolare . . . .
1.2.1.5 Somma di punti . . . . . . . . . . .
19
21
21
22
22
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32
33
33
33
33
34
34
34
34
5
6 Indice
1.2.1.6
1.2.1.7
1.2.1.8
1.2.1.9
1.2.1.10
1.2.1.11
1.2.1.12
1.2.1.13
1.2.1.14
1.2.1.15
L’opposto di un punto . . . . . . .
Suddivisione di un segmento . . . .
Prodotto di punti . . . . . . . . . .
Inverso . . . . . . . . . . . . . . .
Bisettrice dell’angolo . . . . . . . .
Prodotto per uno scalare . . . . . .
Il coniugato . . . . . . . . . . . . .
Il prodotto tra due punti coniugati
La radice quadrata . . . . . . . . .
Il Teorema di Pitagora . . . . . . .
2 Geometria analitica e Algebra lineare
2.1 Lo spazio vettoriale (R2 , +, ·) . . . . . . . . . . .
2.1.1 Prodotto scalare e modulo . . . . . . . . .
2.1.1.1 Il prodotto scalare con GeoGebra
2.1.2 I numeri complessi . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Cambiamenti di coordinate . . . . . . . . .
2.1.4 Trasformazioni polari . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1 Coordinate polari con GeoGebra
2.1.5 Le radici n-sime di un numero complesso .
2.1.6 Affinità . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Rappresentazione matriciale
di un numero complesso . . . . . . . . . .
2.1.8 La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8.1 Condizione di parallelismo
e di perpendicolarità . . . . . . .
2.1.8.2 Equazione cartesiana . . . . . . .
2.1.9 Esercizi con GeoGebra . . . . . . . . . . .
2.1.9.1 Numeri complessi . . . . . . . . .
2.1.9.2 Geometria analitica nel piano . .
2.2 Lo spazio vettoriale (R3 , +, ·) . . . . . . . . . . .
2.2.1 La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Il piano: equazione parametrica . . . . . .
2.2.3 Il modulo, il prodotto scalare . . . . . . .
2.2.4 Il prodotto vettoriale, il prodotto misto . .
34
34
34
35
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59
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60
61
61
61
67
74
74
75
76
77
Indice
2.2.5
2.2.6
2.3
2.2.7
Spazi
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.3.7
2.3.8
7
2.2.4.1 Prodotto vettoriale con GeoGebra
79
Equazione cartesiana del piano e della retta
79
2.2.5.1 Equazioni parametriche
e cartesiane con GeoGebra . . . . . 80
Trasformazioni dello spazio tridimensionale . 81
2.2.6.1 Coordinate cilindriche . . . . . . . 81
2.2.6.2 Coordinate sferiche . . . . . . . . . 82
2.2.6.3 Coordinate sferiche e cilindriche
con GeoGebra . . . . . . . . . . . . 84
2.2.6.4 Le matrici di rotazione . . . . . . . 84
2.2.6.5 Rotazioni nello spazio con GeoGebra 86
Esercizi: rette e piani . . . . . . . . . . . . . 86
vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Modulo, prodotto scalare . . . . . . . . . . . 94
Basi e indipendenza lineare . . . . . . . . . 95
2.3.2.1 n-uple di vettori e dipendenza lineare 95
2.3.2.2 Base canonica di Rn . . . . . . . . 98
Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.3.3.1 Sistemi lineari omogenei . . . . . . 99
2.3.3.2 Procedimento di ortogonalizzazione 101
Base ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Determinante di un sistema di vettori . . . . 103
Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3.6.1 Matrici con GeoGebra . . . . . . . 107
Applicazione: Teorema di Rouché-Capelli
per i sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . 108
Esercizi: sistemi lineari . . . . . . . . . . . . 109
3 Curve
3.1 Funzioni di una variabile . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Le funzioni numeriche reali . . . . . . . . .
3.1.1.1 La funzione inversa . . . . . . . .
3.1.1.2 Funzioni monotone . . . . . . . .
3.1.1.3 Risoluzione di problemi algebrici
con strumenti analitici . . . . . .
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123
125
125
126
127
. 129
8 Indice
3.2
3.3
3.1.1.4 Disequazioni elementari e risoluzione 130
3.1.1.5 Risoluzione grafica . . . . . . . . . 130
3.1.2 Disequazioni: risoluzione grafica . . . . . . . 132
3.1.2.1 Risoluzione algebrica . . . . . . . . 133
3.1.2.2 Le simmetrie nel piano cartesiano . 134
3.1.2.3 Le simmetrie del piano con GeoGebra136
Le funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1.1 Proprietà delle funzioni potenza . . 138
3.2.1.2 Grafici delle funzioni potenza con
GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.1.3 Proprietà delle funzioni esponenziali 140
3.2.1.4 Proprietà funzioni logaritmo . . . . 141
3.2.2 Esercizi: dalle diseguaglianze numeriche alla
variazione di segno . . . . . . . . . . . . . . 142
3.2.2.1 Diseguaglianze numeriche . . . . . 142
3.2.2.2 Variazione di segno . . . . . . . . . 145
3.2.2.3 Disequazioni . . . . . . . . . . . . 150
3.2.3 Limiti di funzioni elementari . . . . . . . . . 152
3.2.3.1 Teorema delle operazioni tra limiti 156
3.2.3.2 Teoremi di completamento al
teorema delle operazioni tra limiti . 157
3.2.3.3 Teorema sui limiti delle funzioni
composte di funzioni monotone . . 159
3.2.3.4 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . 159
3.2.3.5 Principi di eliminazione . . . . . . 160
3.2.3.6 Esercizi sui limiti . . . . . . . . . . 162
3.2.4 Calcolo differenziale . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.4.1 Differenziale e retta tangente
al grafico . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.4.2 Esercizi: differenziale
e retta tangente al grafico . . . . . 171
3.2.4.3 Formula di Taylor . . . . . . . . . 171
3.2.4.4 Esercizi sui limiti con Taylor . . . . 173
Curve parametriche regolari . . . . . . . . . . . . . 175
Indice
3.3.1
Equazione parametrica della retta
tangente alla curva . . . . . . . . . . . . .
Lunghezza di una curva . . . . . . . . . .
Cambiamento di parametro . . . . . . . .
Le curve negli spazi numerici . . . . . . .
Ascissa curvilinea . . . . . . . . . . . . . .
Le curve con GeoGebra . . . . . . . . . . .
Coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7.1 Coniche nel piano euclideo . . . .
3.3.7.2 Coniche in un piano cartesiano .
3.3.7.3 Coniche e autovalori . . . . . . .
3.3.7.4 Equazioni in forma canonica . . .
Triedro fondamentale di Frenet . . . . . .
Curve celebri . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.9.1 Trisettrice di Ippia . . . . . . . .
3.3.9.2 Cissoide di Diocle . . . . . . . . .
3.3.9.3 Concoide di Nicomede . . . . . .
3.3.9.4 Spirale di Archimede . . . . . . .
3.3.9.5 Spirale logaritmica o equiangolare
3.3.9.6 Rodonea . . . . . . . . . . . . . .
3.3.9.7 Elica cilindrica . . . . . . . . . .
3.3.9.8 Catenaria . . . . . . . . . . . . .
3.3.9.9 Curve di Bézier . . . . . . . . . .
9
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197
197
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198
198
199
199
199
200
4 Superfici
4.1 Funzioni di due variabili . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Esercizi: domini e variazione di segno . . . .
4.1.2 Esercizi: limiti e continuità . . . . . . . . . .
4.1.3 Esercizi: differenziabilità e piano tangente .
4.1.4 Esercizi: derivate parziali e direzionali . . .
4.1.5 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Formula di Taylor ed estremi relativi . . . .
4.1.6.1 Esercizi: minimi e massimi relativi
4.2 Superfici parametriche regolari . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Piano tangente . . . . . . . . . . . . . . . .
211
211
213
217
218
219
225
234
239
241
245
3.3.2
3.3.3
3.3.4
3.3.5
3.3.6
3.3.7
3.3.8
3.3.9
10 Indice
4.2.2
4.2.3
4.2.4
4.2.5
4.2.6
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245
246
247
247
250
250
251
256
256
5 Calcolo integrale
5.1 Estensione del concetto di misura . . . . . . . . . .
5.1.1 Misura secondo Peano-Jordan . . . . . . . .
5.2 Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Integrale esteso ad un intervallo . . . . . . . . . . .
5.4 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Primitive e Formula fondamentale del calcolo
5.4.2 Tabella di regole fondamentali . . . . . . . .
5.4.3 Tabella di integrali immediati . . . . . . . .
5.4.4 Tabella di integrali: altre funzioni elementari
5.4.5 Integrali con GeoGebra . . . . . . . . . . . .
5.5 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Massa e baricentro di un filo . . . . . . . . .
5.6 Integrali curvilinei di campi vettoriali . . . . . . . .
5.6.1 Integrale curvilineo di forme differenziali . .
5.6.2 Forme differenziali esatte . . . . . . . . . . .
5.6.2.1 Teorema fondamentale del calcolo
per forme differenziali esatte . . . .
5.6.2.2 Forme differenziali chiuse . . . . .
5.7 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Formule di riduzione per integrali doppi su
rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Formule di riduzione per integrali doppi
su domini normali e regolari . . . . . . . . .
5.7.3 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . .
263
263
264
265
267
268
269
270
270
271
272
272
279
281
282
284
4.2.7
4.2.8
Cambiamenti di parametri . . . . .
Superfici di rotazione . . . . . . . .
Superfici rigate . . . . . . . . . . .
Superfici celebri . . . . . . . . . . .
Superfici sviluppabili . . . . . . . .
4.2.6.1 Nastro di Möbius . . . . .
Quadriche . . . . . . . . . . . . . .
4.2.7.1 Quadriche con GeoGebra
Altre superfici notevoli . . . . . . .
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285
287
288
289
291
294
Indice
Cambiamento di variabili
in coordinate polari . . . . . . . .
5.7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Aree e integrali di superficie . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Massa e baricentro di una lamina superficiale
5.9 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Massa, baricentro e momento di inerzia di un
solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Versioni del TFCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Divergenza e Rotore . . . . . . . . . . . . .
11
5.7.3.1
296
296
316
321
322
322
323
323
Appendice
325
Bibliografia
327
Indice analitico
329
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modulo del punto P . . . . . . . . . . . .
Costruzione trasporto del segmento . . . .
Costruzione trasporto dell’angolo . . . . .
Parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perpendicolare 1 . . . . . . . . . . . . . .
Perpendicolare 2 . . . . . . . . . . . . . .
Somma di due punti . . . . . . . . . . . .
Costruzione dell’opposto di un punto . . .
Costruzione del sottomultiplo di un punto
Prodotto di due punti . . . . . . . . . . .
Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bisettrice di un angolo . . . . . . . . . . .
Coniugato di un punto . . . . . . . . . . .
Prodotto tra due punti coniugati . . . . .
Costruzione della radice di C . . . . . . .
Dimostrazione del Teorema di Pitagora . .
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40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
Esercizio
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63
64
65
66
68
70
71
2.1.2
2.1.2
2.1.2
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
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13
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14 Elenco delle figure
2.8 Esercizio 2.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Esercizio 2.1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Matrice di rotazione di angolo θ intorno all’asse
determinato dal versore (λ1 , λ2 , λ3 ) . . . . . . . . .
2.11 Esercizio 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Esercizio 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Esercizio 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Esercizio 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15 Vista CAS di calcolo determinante in esercizio 2.3.1
2.16 Vista CAS matrice ridotta in esercizio 2.3.1 . . . .
2.17 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.2 . . . . . . .
2.18 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.3 . . . . . . .
85
87
89
90
92
110
111
114
116
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
127
137
139
139
139
140
141
141
142
142
143
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
Visualizzazione dell’inversa . . . . . . . . . . . . . .
Visualizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenza 0 < α < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenza α > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenza α < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto grafici funzioni potenza α > 1 . . . . . .
Funzione potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esponenziale a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esponenziale 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Confronto grafici funzioni esponenziale a > 1 . . . .
Funzione logaritmo a > 1 . . . . . . . . . . . . . . .
Funzione logaritmo 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . .
Confronto grafici funzioni logaritmo . . . . . . . . .
Risoluzione (3.5) in esercizio 3.2.1 . . . . . . . . . .
Risoluzione di (3.6) in esercizio 3.2.2 . . . . . . . .
Risoluzione di (3.7) in esercizio 3.2.3 . . . . . . . .
Rappresentazione nel piano cartesiano di (3.8) . . .
Variazione di segno sulla retta numerica di (3.8) . .
Rappresentazione grafica del numeratore di (3.10) .
Rappresentazione grafica del denominatore di (3.10)
Visualizzazione soluzione di (3.10) . . . . . . . . . .
VS numeratore di (3.11) in esercizio 3.2.6 . . . . . .
72
73
Elenco delle figure
15
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
VS denominatore di (3.11) in esercizio 3.2.6 .
VS di (3.11) in esercizio 3.2.6 . . . . . . . . .
VS numeratore di (3.12) in esercizio 3.2.7 . . .
VS denominatore di (3.12) in esercizio 3.2.7 .
VS di (3.12) in esercizio 3.2.7 . . . . . . . . .
Risultato finale VS di (3.12) in esercizio 3.2.7
Soluzione con CAS di limite di (3.14) . . . . .
Soluzione dell’esercizio 3.2.13 . . . . . . . . .
Soluzione dell’esercizio 3.2.14 . . . . . . . . .
Soluzione dell’esercizio 3.2.15 . . . . . . . . .
Visualizzazione in 2D . . . . . . . . . . . . . .
Visualizzazione in 3D . . . . . . . . . . . . . .
Sezione conica parabola . . . . . . . . . . . .
Sezione conica ellisse . . . . . . . . . . . . . .
Sezione conica iperbole . . . . . . . . . . . . .
Iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triedro di Frenet . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebra di Figura 3.39 . . . . . . . . . . . . .
Trisettrice di Ippia . . . . . . . . . . . . . . .
Cissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Concoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spirale Archimedea . . . . . . . . . . . . . . .
Spirale Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . .
Rodonea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elica Cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva di Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . .
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155
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183
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185
188
195
196
201
202
203
204
205
206
207
208
209
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Rappresentazione grafico log2 (xy − 1)
Rappresentazione VS log2 (xy − 1) . .
Soluzione e rappresentazione 4.1.3 . .
Soluzione e rappresentazione 4.1.4 . .
Soluzione e rappresentazione 4.1.4 . .
Soluzione e rappresentazione 4.1.8 . .
Soluzione e rappresentazione 4.1.9 . .
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16 Elenco delle figure
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
Soluzione e rappresentazione
Superficie regolare con curve
Ellissoide . . . . . . . . . . .
Paraboloide ellittico: . . . .
Cono . . . . . . . . . . . . .
Cilindro . . . . . . . . . . .
Catenoide . . . . . . . . . .
4.1.10 .
tracciate
. . . . .
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. . . . .
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
Interpretazione geometrica integrale
Interpretazione geometrica integrale
Esercizio 5.5.1 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.5.2 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.5.2 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.5.3 . . . . . . . . . . . .
Cammino in 3D . . . . . . . . . . .
Integrazione su domini rettangolari
Area compresa tra due grafici . . .
Esercizio 5.7.1 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.2 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.3 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.4 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.5 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.6 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.7 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.8 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.8 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.9 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.10 . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.7.11 . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.8.1 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.8.1 . . . . . . . . . . . .
Esercizio 5.8.2 . . . . . . . . . . . .
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246
257
258
259
260
262
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curvilineo
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283
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292
298
299
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307
309
310
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314
315
317
318
320
Introduzione
I testi universitari moderni di Calcolo cercano di trovare un equilibrio tra rigore e intuizione, e in questo tentativo vi sono esempi
autorevoli che utilizzano come supporto alla teoria tradizionale software di calcolo e di rappresentazione in 3D (vedi Calculus: A Complete Course di R.A. Adams, C. Essex, Pearson Education Canada,
2014, Càlcul per a l’Arquitectura di C. Alsina, Edicions UPC, Barcelona 2008, Geometria a l’Arquitectura di C. Alsina, J.J. Morale,
M.S.T. Belenguer, Edicions UPC, Barcelona 2007, Calculus, Concepts and Contexts di J. Stewart, Brooks/Cole Cengage Learning,
Belmont (CA) 2001). Tale esigenza è sicuramente maggiormente sentita nei corsi di Matematica per Architettura. Al momento GeoGebra (da Geometria e Algebra) è uno dei pi`
u innovativi
open-code math software che può essere liberamente scaricato da
www.geogebra.org. GeoGebra è uno strumento che offre ottime
possibilità di sintesi tra un approccio rigoroso al Calcolo e uno pi`
u
intuitivo, lavora su un largo spettro di piattaforme di sistemi operativi che hanno installato Java, consente di utilizzare in simultanea
le funzioni computer algebra system e interactive geometric system,
e rappresenta una rapida inizializzazione per avvicinarsi all’utilizzo
di tecnologie pi`
u sofisticate con sintassi molto pi`
u complesse.
In questo volume si sviluppano la teoria geometrica e analitica
necessarie per l’utilizzo del software (teoria tratta da Fondamenti
geometrici per la Matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fondamenti di Analisi matematica di G. Anatriello, Aracne 2014, Fondamenti geometrici per il Calcolo di G. Anatriello, Aracne 2014) e
17
18 Introduzione
la parte applicativa, attraverso una diversificata gamma di esercizi
di base risolti anche con l’utilizzo di GeoGebra.
Il capitolo 1 è dedicato al calcolo geometrico sviluppato nei sopra citati volumi Fondamenti geometrici per la Matematica e Fondamenti geometrici per il Calcolo. Il capitolo 2 è dedicato alla
geometria analitica e all’algebra lineare, il capitolo 3 alle curve, il
capitolo 4 alle superfici, il capitolo 5 al calcolo integrale.
Settembre 2014
Giuseppina Anatriello

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