A Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Tavole di Calcolo con GeoGebra Copyright © MMXIV ARACNE editrice int.le S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Quarto Negroni, Ariccia (RM) () ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: settembre Indice Elenco delle tavole 7 Introduzione 11 1 Costruzioni con riga e compasso 13 2 Geometria analitica e Algebra lineare 29 3 Curve 47 4 Superfici 65 5 Calcolo integrale 87 Bibliografia 111 5 Elenco delle tavole Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione Costruzione trasporto del segmento . . . . . . . . . . . . . . . trasporto dell’angolo . . . . . . . . . . . . . . . . retta parallela per un punto esterno . . . . . . . perpendicolare punto sulla retta . . . . . . . . . perpendicolare ad una retta per punto fuori della somma di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . somma di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . del sottomultiplo di un punto . . . . . . . . . . . del prodotto di due punti . . . . . . . . . . . . . dell’inverso di un punto . . . . . . . . . . . . . . della bisettrice di un angolo . . . . . . . . . . . . del prodotto per uno scalare positivo . . . . . . . del coniugato di un punto . . . . . . . . . . . . . del prodotto di due punti coniugati . . . . . . . . della radice di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . 49 50 51 52 Operazioni tra numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . Rappresentazione cartesiana dei punti complessi . . . . . Rappresentazione matriciale dei punti complessi . . . . . . Rappresentazione in coordinate polare dei punti complessi Geometria analitica nel piano (I) . . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nel piano (II) . . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nel piano (III) . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nel piano (IV) . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nel piano (V) . . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nello spazio (I) . . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nello spazio (II) . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nello spazio (III) . . . . . . . . . . . . Geometria analitica nello spazio (IV) . . . . . . . . . . . . Sistema lineare (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema lineare (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema lineare (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3x − 1 x 1 : dominio e variazione di segno − 2 π Calcolo limite funzione di una variabile Formula di Taylor: calcolo limiti (I) . . Formula di Taylor: calcolo limiti (II) . . Esempio rappresentazione curva piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 Elenco delle tavole Esempio rappresentazione curva piana Triedro di Fr´enet . . . . . . . . . . . . Calcoli con CAS del Triedro di Fr´enet Trisettrice di Ippia . . . . . . . . . . . Cissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . Concoide . . . . . . . . . . . . . . . . Spirale di Archimede . . . . . . . . . . Spirale logaritmica . . . . . . . . . . . Rodonea . . . . . . . . . . . . . . . . . Elica cilindrica . . . . . . . . . . . . . Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . Curva di B´ezier n=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 log2 (xy − 1): grafico . . . . . . . . . . . . . log2 (xy − 1): dominio e variazione di segno Continuit` a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differenziabilit` a (I) . . . . . . . . . . . . . . Differenziabilit` a (II) . . . . . . . . . . . . . log(x − 2y) + 1: derivata direzionale . . . . x2 + y log(x − y) : dominio e variazione segno . . x2 + y 2 − 1 log(x − y) : rappresentazione grafico . . . x2 + y 2 − 1 log(x − y) : calcoli con CAS . . . . . . . . x2 + y 2 − 1 log(x − y) : piano tangente . . . . . . . . . x2 + y 2 − 1 (x − 1)2 + 2y 2 : estremi relativi . . . . . . . ex−y (x2 − 2y 2 ): estremi relativi . . . . . . . 2 2 (x2 + y 2 )e−(x +y ) : estremi relativi . . . . . Ellissoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paraboloide ellittico . . . . . . . . . . . . . Paraboloide iperbolico . . . . . . . . . . . . Iperboloide ellittico . . . . . . . . . . . . . . Iperboloide iperbolico . . . . . . . . . . . . Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Catenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 67 68 69 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 . . . . . . . . . . . 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 Lunghezza curva . . . . . . . . . . . . . . . . Integrale curvilineo . . . . . . . . . . . . . . . Calcolo con CAS pagina 89 . . . . . . . . . . Coordinate baricentro . . . . . . . . . . . . . Lavoro campo di forze lungo un cammino . . Integrale doppio su rettangolo (I) . . . . . . . Integrale doppio su rettangolo (II) . . . . . . Integrale doppio su dominio normale (I) . . . Integrale doppio su dominio normale (II) . . . Integrale doppio su dominio normale (III) . . Integrale doppio su dominio normale (IV) . . Calcolo volume cilindroide (I) . . . . . . . . . Integrale doppio con cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 . 89 . 90 . 91 . 92 . 93 . 94 . 95 . 96 . 97 . 98 . 99 . 100 Elenco delle tavole Integrale doppio con cambiamento di variabili (II) . . . . . . . . . . Integrale doppio con cambiamento di variabili (III) . . . . . . . . . . Volume cilindroide (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcolo con cambiamento in coordinate polari volume cilindroide (II) Area di superficie (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcolo con CAS in coordinate polari area di superficie (I) . . . . . . Calcolo con CAS in coordinate cartesiane area di superficie (I) . . . Area di superficie (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Area di superficie (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 101 102 103 104 105 106 107 108 109 Introduzione In questo volume si sono volute raccogliere in forma autonoma buona parte delle tavole presenti in Calcolo con GeoGebra degli stessi autori (Aracne, 2014). Le tavole infatti possono essere utilizzate per un approccio all’utilizzo del software in un percorso didattico di livello universitario per i primi corsi di matematica, indipendentemente dalla teoria esposta in Calcolo con GeoGebra. Questa raccolta pu` o rappresentare uno strumento pratico per un rapido apprendimento della sintassi del software, per quel che concerne gli argomenti trattati. Consultando i siti www.geogebra.org/en/wiki/index.php e tube.geogebra.org si potr` a poi procedere ad un utilizzo di livello superiore secondo specifiche esigenze. Nel capitolo 1 sono riportate classiche costruzioni con riga e compasso. Nel capitolo 2 si svluppano esercizi di base di geometria del piano e dello spazio e di algebra lineare. Nel capitolo 3 si presentano esempi di utilizzo del software per risolvere esercizi di base, riguardanti funzioni di una variabile e curve, e per rappresentare curve celebri. Nel capitolo 4 si presentano esempi di utilizzo del software per risolvere esercizi di base, riguardanti funzoni di due variabili, e per rappresentare superfici celebri. Nel capitolo 5 si presentano esempi di utilizzo del software per risolvere esercizi di integrazione di vario tipo. Settembre 2014 Giuseppina Anatriello 11 1 Costruzioni con riga e compasso Costruzione trasporto del segmento In figura `e rappresentata la costruzione con riga e compasso del trasporto di un segmento su una semiretta assegnata. Tale costruzione è fondamentale per definire geometricamente la somma tra punti complessi rispetto ad un polo e e per il confronto tra i segmenti. ggb1/costruzionetrasportosegmento.ggb 14 Tavole di Calcolo con GeoGebra Costruzione trasporto dell’angolo In figura `e rappresentata la costruzione con riga e compasso del trasporto di un angolo orientato con un lato coincidente con una semiretta assegnata. Tale costruzione `e fondamentale per definire geometricamente il prodotto tra punti complessi rispetto ad un polo e a una unit` a e per il confronto tra gli angoli. ggb1/costruzionetrasportoangolo.ggb Costruzioni con riga e compasso 15 Costruzione della retta parallela per un punto esterno In figura `e rappresentata la costruzione della retta parallela ad una retta data per un punto esterno. Tale costruzione è fondamentale per definire geometricamente la somma tra punti complessi rispetto ad un polo. ggb1/costruzioneparallelaperunpuntoesterno.ggb 16 Tavole di Calcolo con GeoGebra Costruzione perpendicolare punto sulla retta In figura `e rappresentata la costruzione della perpendicolare per un punto della retta. ggb1/costruzioneperpendicolare1.ggb Costruzioni con riga e compasso 17 Costruzione perpendicolare punto fuori della retta In figura `e rappresentata la costruzione della perpendicolare ad una retta per un punto esterno. ggb1/costruzioneperpendicolare2.ggb 18 Tavole di Calcolo con GeoGebra Costruzione somma di due punti In figura `e rappresentata la costruzione del punto complesso somma di due complessi rispetto al polo O. ggb1/costruzionesommapunti.ggb Costruzioni con riga e compasso 19 Costruzione opposto di un punto In figura `e rappresentata la costruzione del punto complesso opposto rispetto al polo O. ggb1/costruzioneopposto.ggb 20 Tavole di Calcolo con GeoGebra
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