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Aritmetica 2014/2015
Esercizi svolti in classe
27 Novembre
1
Definizioni, notazione, teoremi
1. Teorema di struttura per Z∗n . Siano p ∈ N primo e α ∈ N+
• Z∗p ' Zp−1 .
• Se n, m ∈ N t.c. (n, m) = 1 allora Z∗mn ' Zn × Zm .
•
(
Z∗p '
2
Z∗pα
Z∗2α−2 × Z2
p 6= 2
p=2
Esercizi svolti in classe
1. Siano m, n ∈ N tali che (m, n) = 1. Allora
∗
Z∗mn ' (Zm × Zn ) = (Z∗m × Z∗n )
L’ isomorfismo è ovvio per il teorema cinese del resto. Per l’uguaglianza,
basta notare che gli elementi invertibili di Zm × Zn formano proprio Z∗m ×
Z∗n . Volendo, si pu`
o trovare un ismorfismo espicito. Farlo per esercizio.
2. Sia G un gruppo e K, H G tali che K ∩ H = hei. Allora ∀ k, h ∈
K, H kh = hk.
Basta dimostrare khk −1 h−1 = e ⇐⇒ kh = hk. Dato che
hk −1 h−1 ∈ H dato che H normale
khk −1 ∈ K dato che K normale
abbiamo che
khk −1 h−1 ∈ K ∩ H =⇒ khk −1 h−1 = e =⇒ tesi
Le seguenti tre dimostrazioni si trovano in qualunque testo di teoria dei
gruppi.
1
3. Sia G un gruppo e K, H < G. Allora
HK < G ⇐⇒ HK = KH
4. Sia G un gruppo e K, H G finiti. Allora
o(HK) =
o(H)o(K)
o(H ∩ K)
5. Sia G un gruppo, K, H G e H ∩ K = hei. Allora
HK ' H × K
6. L’intesezione di due sottogruppi ciclici distinti H, K è sempre banale, nel
senso che


hei se H 6⊆ K ∧ K 6⊆ H
H ∩ K = H se H ⊆ K


K se K ⊆ H
Gli ultimi due casi sono banali, mentre per il primo, basta osservare che
se H ∩ K contiene un generatore di H o K, allora contiene H o K.
7. Determinare i sottogruppi ciclici di Z4 × Z4
I possibili ordini di un elemento di Z4 × Z4 dividono o(Z4 × Z4 ) = 16.
Sia (a, b) ∈ Z4 × Z4 ; dato che max(o(a)) max(o(b)) = 4, o((a, b)) =
[o(a), o(b)] = 4 al massimo.
Gli ordini possibili sono quindi 1, 2, 4.
• L’ulico elemento di ordine 1 è (0, 0).
• Ordine 2. Abbiamo tre casi:
– o(a) = 1, o(b) = 2. a = 0, b = 2. Coppia (0, 2)
– o(a) = 2, o(b) = 1. a = 2, b = 0. Coppia (2, 0)
– o(a) = o(b) = 2. a = b = 2. Coppia (2, 2)
Quindi 3 elementi di ordine 2.
• Ordine 4. Abbiamo casi:
–
–
–
–
–
o(a) = 1,
o(a) = 2,
o(a) = 4,
o(a) = 4,
o(a) = 4,
o(b) = 4. a = 0, b = 1, 3. Coppie (0, 1), (0, 3)
o(b) = 4. a = 2, b = 1, 3. Coppie (2, 1), (2, 3)
o(b) = 4. a = 1, 3, b = 1, 3. Coppie (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)
o(b) = 1. a = 1, 3, b = 0. Coppie (1, 0), (3, 0)
o(b) = 2. a = 1, 3, b = 2. Coppie (1, 2), (3, 2)
Quindi 12 elementi di ordine 4.
2
Un sottogruppo ciclico di ordine 2 non ha sottogruppi non banali e contiene
un solo elemento di ordine 2. Ci sono 3 elementi di ordine 2 che danno 3
sottogruppi di ordine 2.
Un sottogruppo ciclico di ordine 4 contiene φ(4) = 2 elementi di ordine 2.
Ci sono 12 elementi di ordine 4 che danno 12
2 = 6 sottogruppi di ordine 4.
Il numero dei sottgruppi ciclici è quindi 10, di cui 1 banale (h(0, 0)i).
3
Esercizi proposti
1. Determinare tutti sottogruppi di Z4 × Z4 .
2. Determinare tutti sottogruppi di Z3 × Z6 .
3. Determinare tutti sottogruppi di Z30 .
4. Determinare tutti sottogruppi di Z2 × Z2 × Z2 .
5. Determinare tutti sottogruppi di Z4 × Z4 × Z4 .
6. Determinare tutti sottogruppi di Z12 × Z6.
7. Determinare espicitamente tutti i morfismi f : Z∗7 −→ S3 .
8. Determinare espicitamente tutti i morfismi f : Z∗24 −→ Z∗24 .
9. Determinare espicitamente tutti i morfismi f : Z∗30 −→ Z∗30 .
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