ESERCIZI PER CASA – TERZA E QUARTA SETTIMANA
Universit`
a degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Gruppi – A.A. 2012/13
14 marzo 2014
Trasversali.
(1) Sia G un gruppo finito e H un suo sottogruppo. Quanti sono i possibili trasversali sinistri di H
in G?
(2) D’ora in poi sia G il gruppo simmetrico S3 , e sia H il suo sottogruppo h(12)i. Scrivete esplicitamente (elemento per elemento) i laterali sinistri di H in G, e i laterali destri, verificando cos`ı
che H non `e un sottogruppo normale.
(3) Verificate che l’insieme T = {1, (123), (13)} `e un trasversale sinistro per H in G, ma non un
trasversale destro.
(4) Quanti sono i trasversali sinistri di H in G che sono anche trasversali destri?
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Siano θ e ψ automorfismi del gruppo G. Dimostrate
che la funzione composta θψ `e un automorfismo di G, e che la funzione inversa θ−1 `e un automorfismo
di G. Perci`
o gli automorfismi di G formano a loro volta un gruppo (il gruppo Aut(G)).
Automorfismi e sottogruppi normali. Se θ `e un automorfismo di G e N E G, dimostrate che
N θ E G.
Sottogruppi normali di sottogruppi normali. In generale la relazione E, cio`e di essere un sottogruppo normale, non `e transitiva (a differenza della relazione ≤ di essere un sottogruppo). Mostratelo
con un esempio, cio`e trovando un gruppo G con due sottogruppi H e K, tali che H sia (contenuto e)
normale in K, che K sia normale in G, ma che H non sia normale in G.
[Suggerimento: Ad esempio, potete prendere come G il gruppo delle affinit`
a della retta.]
Sottogruppo ciclico normale. In generale, la relazione di normalit`a E non `e transitiva. Tuttavia,
mostrate che se un sottogruppo ciclico C di G `e normale (in G), allora anche ogni sottogruppo di C `e
normale in G.
[Suggerimento: Ricordate che ciascun sottogruppo di C `e l’unico del suo ordine.]
Sottogruppi coniugati nel gruppo delle affinit`
a della retta. Ricordate il gruppo delle affinit`
a
della retta, G = {τa,b : a, b ∈ R, a 6= 0}, dove τa,b : x 7→ ax + b, e ricordate che ha il gruppo delle
traslazioni T = {τ1,b : b ∈ R} `e un suo sottogruppo normale.
(1) Considerate i sottogruppi TQ = {τ1,b : b ∈ Q} e TZ = {τ1,b : b ∈ Z} di K. Mostrate che nessuno
dei due `e un sottogruppo normale di G.
(2) Descrivete tutti i coniugati di TQ in G, e quelli di TZ . Mostrate che dei secondi ne esistono due
distinti l’uno propriamente contenuto nell’altro, mentre dei primi no.
Automorfismi di un gruppo di ordine quattro. Sia G = {1, a, b, ab} il gruppo di ordine quattro
con tabella di moltiplicazione determinata da a2 = b2 = 1, ab = ba. Determinate Aut(G).
[Suggerimento: Si tratta anzitutto di capire quali mappe biiettive G → G sono automorfismi. Dite poi a quale
gruppo a voi noto Aut(G) `e isomorfo.]
Permutazioni di certi ordini.
(1) Se p `e un numero primo, mostrate che in Sp ci sono esattamente (p − 1)! + 1 elementi x tali che
xp = 1.
(2) E se n non `e primo, in Sn ci sono pi´
u o meno di (n − 1)! + 1 elementi x tali che xn = 1?
(3) Facendo meno conti possibile, dite quanti elementi x di S6 soddisfano x30 = 1.
1
2
Segno delle permutazioni (seconda dimostrazione). Mostrate che per g ∈ Sn vale
Y
Y
(jg − ig) = sgn(g)
(j − i).
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
Q
[Suggerimento: Iniziate notando che il numero 1≤i<j≤n (jg −ig)/(j −i) rimane lo stesso anche se riordiniamo
le cifre {1, 2, ..., n} in un modo diverso da quello naturale, in quanto ciascun quoziente (jg−ig)/(j −i) non dipende
dall’ordine relativo di i e j. In altre parole, possiamo riscrivere quel prodotto come il prodotto di quei quozienti
al variare di {i, j} fra i sottoinsiemi di {1, 2, ..., n} di cardinalit`
a due, e questo `e ben definito. Deducetene che `e
sufficiente verificare la formula nel caso in cui g `e una trasposizione. Determinate quindi quali differenze jg − ig
sono negative, e verificate che esse sono in numero dispari.]
Nota: Questo esercizio suggerisce un altro modo di definire il segno di una permutazione, come sgn(g) =
Q
1≤i<j≤n (jg − ig)/(j − i).
Endomorfismi e automorfismi di un gruppo abeliano (prima parte).
(1) Verificate che l’insieme End(G) degli endomorfismi di un gruppo abeliano G `e un anello (rispetto
alle operazioni definite a lezione, cio`e verificate che valgono i vari assiomi).
(2) Mostrate che se R `e un anello con unit`a allora l’insieme delle mappe moltiplicazione a destra
ρa : R → R, definite da xρa = xa, `e un sottoanello di End(R) (dove R `e pensato come gruppo
additivo). Mostrate che la corrispondenza a 7→ ρa `e un omomorfismo di anelli iniettivo, da R a
End(R).
(3) Mostrate che ogni endomorfismo del gruppo additivo di Q `e della forma ρa per qualche a ∈ Q.
[Suggerimento: Per questa parte e la successiva si tratta di risolvere la cosiddetta equazione funzionale
di Cauchy (x + y)ψ = xψ + yψ. L’idea `e che da 1ψ si ricava xψ in modo unico, per ogni x. Conviene
farlo prima per x ∈ Z, e poi estenderlo a x ∈ Q.]
(4) Considerate il gruppo Q∗ dei razionali non nulli rispetto alla moltiplicazione.
esplicitamente degli automorfismi non banali (almeno due).
Costruitene
Ordine in un gruppo ed in un suo quoziente. Sia ψ : G → H un omomorfismo di gruppi, sia
N E G, e sia g ∈ G un elemento di ordine finito.
(1) Mostrate che l’ordine di gψ (ovviamente in H) divide l’ordine di g.
(2) Mostrate che l’ordine di g¯ = gN (in G/N ) divide l’ordine di g.
(3) Verificate che le precedenti affermazioni continuano a valere anche rimuovendo l’ipotesi che l’ordine di g sia finito, purch´e interpretiate come 0 (zero) un ordine infinito. Motivate questa
interpretazione.
Automorfismi di S3 . Mostrate che ogni automorfismo del gruppo simmetrico S3 `e interno, cio`e che
Aut(S3 ) = Inn(S3 ) ∼
= S3 , seguendo e giustificando i passaggi seguenti.
(1) Sia ψ : S3 → S3 un arbitrario automorfismo di S3 . Se t `e una delle tre trasposizioni (12), (13) e
(23), allora anche tψ `e una di esse.
(2) L’automorfismo ψ `e unicamente determinato sapendo (12)ψ, (13)ψ e (23)ψ.
(3) Mostrate che | Aut(S3 )| ≤ 6, e deducetene che Aut(S3 ) = Inn(S3 ).
Movimenti rigidi del piano. Sia G il gruppo dei movimenti rigidi del piano (intesi che conservano
l’orientamento), cio`e il gruppo delle isometrie proprie del piano. Sia T il sottogruppo di G costituito
dalle traslazioni. Fissato un punto O del piano, sia RO il sottogruppo di G costituito dalle rotazioni di
centro O.
(1) A che gruppi numerici sono isomorfi RO e T ?
(2) Mostrate che G `e il prodotto semidiretto (interno) di RO e di T (cio`e che almeno uno dei due `e
normale, che RO ∩ T = 1 e che RO T = G).
(3) Determinate i coniugati del sottogruppo RO .
(4) Descrivete le classi di coniugio di G (nel modo che preferite, ad esempio usando un linguaggio
geometrico, purch´e sia chiaro quali elementi formano ciascuna classe di coniugio).
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