Gruppi
3
Strutture algebriche
Le operazioni, e le loro proprietà, definiscono la struttura di un insieme. In uno stesso insieme operazioni differenti creano strutture diverse:
(Z,+) (Z,×),
la stessa operazione in insiemi differenti genera strutture differenti:
(N,×) (Q,×).
Un insieme, le operazioni di cui è dotato, e le proprietà di tali operazioni definiscono una struttura
algebrica.
Quando in insiemi di natura differente riconosceremo la stessa struttura algebrica, saremo autorizzati ad estendere ad essi tutte le proprietà che quella struttura possiede.
3.1 Le operazioni
Una operazione è una legge, che associa ad una coppia di elementi di un insieme un terzo elemento,
il risultato dell'operazione.
Definizione. Sia dato un insieme G. Una operazione "" (o legge di composizione) è una applicazione del prodotto cartesiano G×G in H; ad ogni coppia ordinata (a, b)∈G×G è associato
uno ed un solo elemento c∈H, detto risultato della operazione:
ab=c
in particolare: legge di composizione interna se H = G
Esercizi Verificare se sono operazioni e in caso affermativo se sono interne:
• In N o in Z: (a, b) → MCD(a, b),
(a, b) → mcm(a, b).
• In N:
(a,b) → max{a,b},
(a,b) → min{a,b}.
• In N:
a b = ab + 1;
a b = ab
• In {a, b, c} l'operazione definita dalla seguente tavola pitagorica:
a
b
c
a
b
c
a
b
a
c
b
c
b
c
a
Esistono:
operazioni binarie G×G → G.
operazioni unarie G → G
operazioni n-arie, G×G×....×G×G → G
(es, somma, prodotto in…)
(es. la radice quadrata in…)
(es. la media aritmetica di n numeri)
Proprietà (derivanti dalla definizione):
Il risultato è univocamente determinato
L'operazione è definita per ogni coppia di elementi;
Il risultato deve appartenere allo stesso insieme in cui è definita l'operazione; si esprime ciò dicendo che l'insieme è chiuso rispetto a quella operazione.
Esistono anche operazioni non interne, cioè per cui G×G → H con H ≠G.
1
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Gruppi
Esercizi Verificare se i seguenti insiemi sono chiusi rispetto alle operazioni date:
• insieme dei numeri pari
+,
×
• insieme dei numeri dispari
+,
×
• insieme dei multipli di 3
+,
×
• insieme delle potenze di 2
+,
×
3.2 Proprietà delle operazioni
l'operazione in G gode della proprietà associativa se per ogni terna a, b, c ∈G risulta
a (b c) = (a b) c.
l'operazione in G gode della proprietà commutativa se per ogni coppia a,b∈G risulta
ab=ba
Dato un insieme G e l'operazione definita in G, si dice che l'elemento u∈G è elemento neutro
dell'operazione se per ogni a∈G risulta
a u = u a = a.
• L'elemento neutro di una operazione , se esiste, è unico.
Se ne esistessero due, u e v sarebbe:
vu=uv=v
perché u è neutro
uv=vu=u
perché v è neutro,
da cui u = v.
Sia dato un insieme G, in cui è definita l'operazione , e sia u ∈ G l'elemento neutro; si dice
che a'∈G è elemento inverso di a∈G, rispetto all'operazione , se
a a' = a' a = u.
• L'inverso dell'inverso di a è a stesso.
• L'inverso dell'elemento neutro u è lo stesso u.
Esercizi Verificare le proprietà delle operazioni e determinare, se esistono, neutro e inverso di ogni
elemento.
• In Q
+ × - :
• in N,
MCD, mcm
• in Q
la media aritmetica di due numeri
• in N
a b = ab + 1
a b = ab + a + b
3.2.1 Un esempio diverso
Sia α l'insieme di
tutti i punti del
piano. Consideriamo le corrispondenze biunivoche del piano α
in sé (dette comunemente trasformazioni geometriche)
che trasformano in se stesso un triangolo equilatero.
• tre simmetrie assiali rispetto ai tre
assi AH, BK, CL (indichiamole con
SA, SB, SC ),
A
B
identità
B
C
C
A
A
rotazione 120 gradi
B C
rotazione 240 gradi
A
B
K
C
H
simmetria asse AH
2
B
A
B
L
C
simmetria asse BK
C
A
simmetria asse CL
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Gruppi
• tre rotazioni (in verso antiorario) intorno al centro O: di 120° (R1), di 240° (R2) e di 360°, che
coincide con l'identità I.
Abbiamo quindi un insieme di 6 elementi:
I, R1, R2, SA, SB, SC.
Definiamo in questo insieme l'operazione o (prodotto di trasformazioni geometriche) che consiste
nell'effettuare successivamente due trasformazioni (R2o SA indica che si applica prima SA, poi R2).
È ad esempio:
R1 o R2 = I , R1 o R1 = R2, R2 o R2 = R1;
SAo SA = I;
SB o SB = I ; SC o SC = I.
Possiamo schematizzare le trasformazioni indicando le successive posizioni dei vertici:
A B C
A B C
A B C
SA =
SB =
SC =
A C B
C B A
B A C
A B C
A B C
A B C
.
R1 =
R2 =
I =
B C A
C A B
A B C
Per calcolare, ad esempio, il prodotto delle due trasformazioni SA e SB : cioè SB o SA
A SA
A SB
C,
B SA
SA
C
A B C A B C A
=
C B A A C B C
A B C A B C A
=
A C B C B A B
eseguendo tutte le operazioni si
fianco.
A B C A B C A
=
B C A B A C C
C SB
SB
B
A,
B:
B C
SB o SA = R2
A B
B C
SA o SB =R1
C A
ottiene la tavola pitagorica a
B C
B A
R1o SC = SB ….
o
I
R1
R2
SA
SB
SC
I
I
R1
R2
SA
SB
SC
R1
R1
R2
I
SC
SA
SB
R2
R2
I
R1
SB
SC
SA
SA
SA
SB
SC
I
R1
R2
SB
SB
SC
SA
R2
I
R1
SC
SC
SA
SB
R1
R2
I
• L'insieme è chiuso rispetto al prodotto di trasformazioni geometriche.
• L'operazione è associativa, perché in generale è associativa la composizione di applicazioni.
• L'operazione non è commutativa: la tavola pitagorica non è simmetrica rispetto alla diagonale
principale.
• Esiste un neutro: è I.
• Ogni elemento ammette inverso (in ogni riga c’è I).
Esercizi
• Costruire la tavola pitagorica delle trasformazioni che mutano in sé un quadrato (gli elementi
sono 8: le quattro rotazioni di 90° attorno al centro e le quattro simmetrie assiali attorno ai due
assi dei lati e alle due diagonali). Stabilire l'inverso di ogni elemento nell'insieme delle trasformazioni che mutano in sé un quadrato.
3
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Gruppi
•
•
A
D
B
A D
A
C
D
B
C
C
D C
B
B
A
D
C
C
B A
B
B
C
A
B
D
A D
C
A
D
Costruire la tavola pitagorica delle trasformazioni che mutano in sé un rombo.
Costruire la tavola pitagorica delle trasformazioni che mutano in sé un rettangolo.
Le ultime due tavole sono strutturalmente diverse?
Dato un insieme G in cui sia definita una operazione , se esiste l'elemento neutro u∈G, e se ogni
elemento b∈G ammette inverso b', allora si chiama operazione inversa di , l'operazione # così
definita: per ogni a, b ∈G risulta
a # b = a b'.
La sottrazione è l'operazione inversa della somma, la divisione è l'operazione inversa del prodotto.
3.3 La struttura di gruppo
Definizione. Un insieme G si dice gruppo rispetto alla operazione se sono soddisfatte le se-
guenti proprietà:
a parole:
in linguaggio simbolico:
G1) G è chiuso rispetto all'operazione .
∀ a, b∈G:
G2) L'operazione è associativa in G
∀ a, b, c∈G:
a (b c) = (a b) c.
G3) Esiste in G l'elemento neutro rispetto a .
∃ u∈G : ∀ a∈G
a u = u a = a.
G4) Esiste l'inverso rispetto a di ogni elemento di G ∀a∈G ∃a'∈G:
a b ∈G.
a a' = a' a = u.
Indichiamo con il simbolo (G, ) un insieme G e una operazione .
Se (G, ) è un gruppo, e inoltre l'operazione gode della proprietà commutativa, allora si dice che
(G, ) è un gruppo commutativo, oppure gruppo abeliano.
Esercizi Verificare se sono gruppi
• (N,+) (N,×) (Z,+) (Z0,×) (Q,+) (Q0,×) (R,+) (R0,×) ({3n (n∈Z)},+)
• L'insieme M dei monomi (a coefficienti in Z) rispetto alla somma
• L'insieme P dei polinomi a coefficienti in Z rispetto alla somma
• L'insieme delle trasformazioni che mutano in sé una figura è sempre un gruppo rispetto al pro4
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Gruppi
dotto. Il gruppo delle trasformazioni che mutano in sé una figura F (detto sinteticamente il
gruppo di F) non è in generale un gruppo abeliano: per esempio, il gruppo del triangolo equilatero, e il gruppo del quadrato non sono gruppi abeliani. Considerare la tavola pitagorica del
gruppo del rettangolo, e verificare che si tratta di un gruppo abeliano.
Teorema. In un gruppo (G, ) l'elemento neutro è unico.
Teorema. In un gruppo (G, ) l'inverso a' di un elemento a è unico.
Infatti se esistessero due elementi inversi di a, (a' e a"), detto u l'elemento neutro, si avrebbe:
a' = a' u = a' (a a") = (a' a) a" = u a" = a"
cioè a' = a".
|||
Teorema. In un gruppo (G, ) vale la legge di cancellazione (rispetto all'operazione ); cioè:
se a c = b c ⇒ a = b.
Infatti, poiché (G, ) è un gruppo, esiste in G l'elemento inverso c' di c; da a c = b c
si ottiene a c c' = b c c' e poiché c c' = u risulta a = b.
|||
Teorema. Se (G, ) è un gruppo, allora per ogni a, b ∈G l'equazione a x = b ammette una ed una
sola soluzione ed è x = a' b, ove a' è l'inverso di a.
Infatti, sia a'∈G l'inverso di a, e u ∈ G l'elemento neutro; componendo entrambi i membri con a' otteniamo a' a x = a' b e poiché a' a = u risulta x = a' b. Inoltre la soluzione è unica: se infatti
fosse a y = b per un certo y ∈ G, otterremmo y = a' b, quindi x = y.
|||
Se il gruppo non è abeliano, allora x a = b e a x = b hanno soluzioni che possono essere diverse:
b a' ≠ a' b.
Esempio Risolvere, nel gruppo del triangolo equilatero, l'equazione
SA o x = R2
Moltiplichiamo entrambi i membri per l'inverso di SA, che è SA.
SA o SA o x = SA o R2
da cui
x = SA o R2 = SC.
Oppure si può consultare la tavola pitagorica scorrendo la riga di SA fino a trovare la colonna in cui
compare R2. R2 deve sicuramente comparire poiché siamo in un gruppo:
• In ogni riga e in ogni colonna della tavola pitagorica di un gruppo devono comparire una ed una
volta sola tutti gli elementi del gruppo.
In un gruppo di due elementi ({u,a},) uno di essi deve essere l'elemento neutro, quindi deve avere necessariamente la tavola pitagorica a lato:
u
a
u
u
a
a
a
u
Se un gruppo ha un numero finito di elementi, tale numero è detto ordine del gruppo; altrimenti si
dice che ha ordine infinito.
Sia (G, ) un gruppo Si pone (a0 = u e a1 = u a per convenzione)
a2 = u a a = a a1
a3 = u a a a = a a2
a4 = u a a a a =…
ecc.
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Gruppi
Se gli elementi sono in numero finito, le successive potenze di un elemento a non possono essere
tutte distinte, ad un certo punto si ottiene l'elemento neutro u.
Il più piccolo r > 0 per cui risulta ar = u è detto periodo di a.
Se il gruppo è infinito, possono esistere elementi di periodo finito; gli elementi per cui non esiste un
periodo finito, si dice che hanno periodo zero (l'unica potenza che daà il neutro è quella con esponente 0).
Proprietà:
il neutro di un gruppo ha sempre periodo 1 (u1 = u) e non ci sono mai altri elementi di periodo 1.
Un elemento e il suo inverso hanno sempre lo stesso periodo.
Infatti se a ha periodo h, significa che ah = u; allora (a−1)h = (ah)−1= u. Ma questo non è sufficiente; h è il più piccolo esponente
per cui ah = u; se esistesse un esponente k minore di h per cui (a−1)k = u, sarebbe anche ak = ((a−1)−1) k= u, mentre per ipotesi a
ha periodo h,
3.4
I gruppi
(Zn ,+), (Z*n ,×)
Consideriamo l'insieme delle classi di resto modulo n, Zn = {[0], [1], [2], ..., [n-1]}
Come abbiamo visto, in questo insieme si definiscono una somma e un prodotto:
[a] + [b] = [a + b]
[a]·[b] = [a·b]
Teorema Per ogni n∈ N, n >1, (Zn,+) è un gruppo abeliano di ordine n.
La struttura di un gruppo finito è completamente determinata dalla sua tavola pitagorica.
Qualunque sia n, Zn non è un gruppo rispetto al prodotto, dato che l'elemento [0] non ha inverso.
Considerando l'insieme Zn -{0} e l'operazione di prodotto si può affermare che:
Teorema. (Zp -{0},×) è un gruppo se e solo se p è un numero primo.
Dimostrazione. Se (Zp-{0},×) è un gruppo, allora p è primo: infatti se p fosse composto, p = a·b, allora
[a]·[b] = [0]
contro l'ipotesi che sia un gruppo, e quindi sia chiuso rispetto all'operazione definita.
Viceversa, se p è primo allora (Zp-{0},×) è un gruppo.
•
(Zp −{0},×) è chiuso rispetto al prodotto: poichè per ogni [a],[b]∈ Zp−{0} risulta MCD(a, p) = 1, MCD(b, p) = 1, allora vale
anche MCD(ab, p) = 1, quindi [a]·[b] ≠ [0].
•
Il prodotto è associativo.
•
L'elemento neutro è [1].
•
[a]∈Zp ammette inverso se e solo se MCD(a, p) = 1; ma se p è primo, tutti i resti 1, 2, ..., p−1 sono primi con p, quindi tutti gli
elementi ammettono inverso.
|||
Indicheremo i gruppi (Zp−{0}, ×) con il simbolo (Z*p, ×).
Quindi i gruppi abeliani (Z*p, ×) contengono p−1 elementi, cioè hanno ordine p−1.
Per quanto detto sull’esistenza dell’inverso rispetto al prodotto negli Zn, con n non primo, ammettono inverso solo gli elementi primi con n.
Si definisce quindi Z*n l’insieme costituito dagli elementi di Zn primi con n; quindi gli (Z*n, ×)
hanno ordine k = ϕ(n) (k = numero di Eulero di n, che in particolare vale n − 1 nel caso in cui n sia
primo). ad esempio
Z*8 = {1, 3, 5, 7},
Z*12 = {1, 5, 7, 11},
Z*16={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}.
Verificare per esercizio che ogni (Z*n, ×) è gruppo abeliano.
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Gruppi
3.5
Il gruppo simmetrico su n oggetti
Consideriamo un insieme X di n >1 elementi
X = {a1, a2,..., an}
Pensiamo ad ogni permutazione (o sostituzione) p di X come ad una applicazione biunivoca
p: X → X e sia la composizione di applicazioni (p1 p2 = p1(p2), quindi si applica prima p2, poi
p1).
L’insieme di tutte le permutazioni di X con l’operazione è un gruppo, detto gruppo simmetrico
su n oggetti e indicato con Sn. Tale gruppo non è commutativo per n > 2.
Possiamo indicare gli elementi di Sn in questo modo:
a2
a3
L
an
a1
f (a1 ) f (a2 ) f (a3 ) L f (an )
sulla prima riga gli elementi nell’ordine iniziale, sulla seconda gli stessi elementi dopo la permutazione f.
La composizione di due permutazioni si ottiene applicando successivamente le due permutazioni.
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
=
3 6 2 1 4 5 2 3 4 6 1 5 6 2 1 5 3 4
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
=
3 1 7 4 5 2 6 7 3 6 1 4 5 2 6 7 2 3 4 5 1
L'inversa di una permutazione si ottiene scambiando la prima con la seconda riga la permutazione
stessa e poi riordinando gli elementi della prime riga.
4 1 2 5 3
1 2 3 4 5
,
; scambiando le righe si ha
Ad es., in S5, sia p =
1 2 3 4 5
4 1 2 5 3
1 2 3 4 5
.
da cui p −1 =
2 3 5 1 4
Proviamo a verificarlo:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
=
4 1 2 5 3 2 3 5 1 4 1 2 3 4 5
Teorema. L’ordine di Sn è n!
In alcune permutazioni succede che un numero m < n di elementi permuti ciclicamente, lasciando
fissi gli altri. Una permutazione di questo tipo viene chiamata ciclo di lunghezza m e indicata con
ai1 ai2 Laim .
(
)
Gli elementi lasciati fissi non vengono usualmente scritti.
Per convenzione, l’identità di Sn viene considerata un ciclo di lunghezza 1.
Esempi: Nel gruppo del triangolo sono di questo tipo le simmetrie:
A B C
A B C
A B C
= (BC )
= ( AC )
= ( AB )
SA =
SB =
SC =
A C B
C B A
B A C
1 2 3 4 5
In S5 c1=
= (1 2 4)
2
4
3
1
5
1 2 3 4 5
c2=
= (3 5)
1
2
5
4
3
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Gruppi
(
)
(
)
Due cicli c1 = ai1 ai2 Laim e c2 = bi1 bi2 Lbik di Sn si dicono cicli disgiunti se gli elementi che permutano sono differenti; in questo caso commutano
c1 c2 = c2 c1.
Teorema. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di cicli disgiunti in modo unico (a
meno dell’ordine).
Dimostrazione.
La dimostrazione è costruttiva: per "fare i conti" si opera seguendo esattamente la dimostrazione.
Consideriamo l’elemento a1; sia ai = f(a1), aj = f(f(a1)), ...
Si inizia a scrivere in un ciclo (a1 f(a1) f(f(a1) .... ), finché non si riottiene a1.
Se gli elementi sono terminati, la permutazione di partenza era un ciclo di lunghezza n, altrimenti si considera il primo elemento non
utilizzato e si prosegue allo stesso modo.
La permutazione è così scomposta in cicli, e tale scomposizione è unica.
|||
Esempi:
1 2
2 1
1 2
2 4
3
4
3
5
4
5
4
1
5
= (1 2)(3 4 5)
3
5 6 7
= (1 2 4)(3 5)(6 7 )
3 7 6
I cicli di lunghezza 2 sono detti trasposizioni o scambi.
Teorema. Ogni sostituzione può essere scritta come prodotto di trasposizioni.
Dimostrazione. Ogni sostituzione si scrive come prodotto di cicli.
Il ciclo (a1 a2 a3 .... ak) si può scomporre come segue: (a1 a2 a3 .... ak) = (a1 ak) (a1 ak-1) ... (a1 a3) (a1 a2) .
|||
Esempio: (1 2 4 6 3) = (1 3)(1 6)(1 4)(1 2).
Tale scrittura non è in generale unica, ma tutte le rappresentazioni di una stessa sostituzione sono
costituite da un numero pari o dispari di trasposizioni.
Nel primo caso la sostituzione si dice di classe pari, nel secondo di classe dispari.
Se una sostituzione è un ciclo, il suo periodo si calcola considerando il numero degli elementi del
ciclo stesso (non è la definizione, ma una scorciatoia per fare il calcolo).
Se una sostituzione è un prodotto di cicli disgiunti, il suo periodo è dato dal minimo comune multiplo tra i periodi dei vari cicli.
Osservazione: se i cicli r ed s sono disgiunti le potenze si calcolano facilmente:
se p= r s p2 = (r s) 2 = (r s)(r s) = r s r s = r2 s2 ecc.
!
Attenzione i cicli devono essere disgiunti, altrimenti non si può commutare!
Esempio:
La sostituzione (1 3 5 4) ha periodo 4 infatti le sue potenze sono:
(1 3 5 4) (1 3 5 4)2 = (1 5)(3 4), (1 3 5 4)3 = (1 4 5 3), (1 3 5 4)4 = id.
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Gruppi
Sottogruppi
Definizione. Se un sottoinsieme S di un gruppo (G, ) è a sua volta un gruppo rispetto alla stessa
operazione definita in G, allora si dice che S è un sottogruppo di (G, ).
sottogruppi impropri o banali: ci sono per ogni gruppo e sono due: {elemento neutro} e G;
sottogruppi propri gli altri, se esistono.
Se (S, ) è un sottoinsieme di (G, ) allora l'operazione in S è certamente associativa; neutro e inverso di ogni elemento sono gli stessi che in G, ma non è detto che stiano in S.
Condizione NECESSARIA ma non sufficiente perché un sottoinsieme S di (G, ) sia sottogruppo è
che contenga il neutro di G. Questa proprietà serve a verificare che in qualche caso un sottoinsieme
NON è un sottogruppo. Ma non essendo sufficiente se un sottoinsieme contiene il neutro non è detto
che sia un sottogruppo.
Non serve comunque verificare tutti gli assiomi: basta il
Criterio: Sia S un sottoinsieme del gruppo (G, ). (S, ) è un sottogruppo se e solo se per ogni coppia a, b di elementi di S risulta a b-1 ∈ S. Se il gruppo S ha ordine finito, basta verificare che sia
ab∈S
Esempi: Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottogruppi dei gruppi assegnati:
•
•
L'insieme dei numeri pari o dei numeri dispari in (Z,+)
I quadrati perfetti in (Z,+)
Si possono ottenere alcuni sottogruppi di un gruppo qualsiasi (G, ) nel modo seguente: preso un
elemento a di G, l'insieme di tutte le potenze di a in G è un sottogruppo di G: verifica infatti il criterio per i sottogruppi poiché a p (a q)−1 = a p− q che è ancora una potenza di a.
Vale il fondamentale:
Teorema di Lagrange. L'ordine r di un sottogruppo B di un gruppo finito (G, ) è un divisore
dell'ordine n di G.
Attenzione. Il teorema dice che se abbiamo un sottogruppo, e quindi ne possiamo valutare l'ordine, tale ordine sarà un divisore dell'ordine del gruppo, ma non garantisce affatto, che, se consideriamo un divisore dell'ordine del gruppo, ci sarà un sottogruppo di tale ordine.
Per la dimostrazione serve la seguente definizione:
Sia dato un gruppo (G, ), un suo sottogruppo B e un elemento qualsiasi a∈G; si chiama laterale di
B in G di rappresentante a, e si indica con il simbolo Ba o B a, l'insieme di tutti gli elementi ottenuti componendo ogni elemento di B con a:
B a = {u a = a, b1 a, b2 a, b3 a, ... }
Dimostrazione.
Se B è un sottogruppo improprio, r = 1, oppure r = n, e il teorema è dimostrato.
Sia 1 < r < n.
1.
Tutti i laterali di B in G sono formati da r elementi distinti. Infatti gli elementi del generico laterale B a sono
b1 a, b2 a, ... , br a .
se fosse bh a = bk a,
poiché in un gruppo vale la legge di cancellazione, risulterebbe bh=bk. In particolare, se a∈B,
allora B a = B.
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Gruppi
2.
Due laterali qualsiasi B ai e B aj coincidono oppure sono disgiunti:
B ai ∩ B aj = ∅ oppure
B a i = B a j.
Infatti, se l'intersezione non fosse vuota, allora esisterebbe un elemento comune, cioè:
bh ai = bk aj .
Moltiplicando entrambi i membri a sinistra per l'inverso b' di bh:
b' bh ai = b' bk aj
cioè
a i = b ' b k a j.
Poiché b' e bk appartengono a B che è un gruppo,
b' bk = b" ∈B
quindi ai = b" aj .
Quindi tutti gli elementi di B ai appartengono a B aj; infatti bm ai = bm b" aj
analogamente tutti gli elementi di B ai appartengono a B aj, quindi se B ai e B aj hanno un elemento in comune, essi
coincidono.
3. Ogni elemento a ∈G appartiene ad uno ed un solo laterale di B in G: infatti, poiché B è un gruppo, contiene l'elemento
neutro u di G, quindi a = u a ∈B a. L’unicità è già stata dimostrata.
Abbiamo quindi dimostrato che i laterali distinti di B in G
B au , B av , ..., B az
costituiscono una partizione di G, cioè sono a due a due disgiunti, e la loro unione è uguale ad G:
G = (B au) ∪ (B av) ∪ ... ∪ (B az).
Poiché ognuno di essi è formato da r elementi distinti di G, allora necessariamente r è un divisore di n.
|||
Il numero dei laterali distinti di B in G si chiama indice di B in G e si indica con [G:B].
Se il gruppo G non è commutativo, dato un suo sottogruppo B, può accadere che B a e a B non
coincidano, cioè che il laterale destro di rappresentante a sia distinto dal laterale sinistro di rappresentate a.
Conseguenze del teorema di Lagrange:
se un gruppo ha un numero p primo di elementi, non ammette sottogruppi propri.
Il periodo di un elemento di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo (poiché ogni
elemento genera un sottogruppo, proprio o improprio)
!Attenzione non sempre è vero che i sottogruppi di un gruppo sono SOLO quelli ottenuti con le
potenze dei vari elementi.
3.6
I gruppi ciclici
Sia dato un gruppo (G, ) e un suo elemento a.
Abbiamo detto che possiamo considerare gli elementi
a, a a, a a a, a a a a, ...
cioè le potenze di a che indicheremo con i simboli
a1, a2, a3, a4, ...
Va osservato che il concetto di potenza è un po' diverso da quello usuale poiché dipende dal tipo di
operazione: se per esempio l'operazione fosse la somma, risulterebbe a4 = a + a + a + a = 4a.
Inoltre poniamo per definizione
a0 = u a−n = (a−1 )n =(an)−1
dove con a−1 indichiamo l'inverso di a.
Abbiamo così definito tutte le potenze di a ad esponente intero e non solo naturale.
Esempi:
• in (Z,+), posto a = 5, e poiché a−1 = −5, risulta:
... , a−2 = −10, a−1 = −5, a0 = 0, a1 =5, a2 = 10, a3 = 15, ...
10
Laura Citrini
Gruppi
•
in (Z*7, ×), posto a = 2, risulta:
a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2, ... e, poiché a−1 = 4 (infatti [4] × [2] = [1]):
a−1 = 4, a−2 = 2, a−3 = 1, a−4 = 4, ...
Dato un elemento a∈(G, ), abbiamo già visto che l'insieme di tutte le potenze di a in G è un sottogruppo di G (ed è abeliano anche se G non lo è): verifica infatti il criterio per i sottogruppi poiché
a p (a q)−1= a p a -q= a p - q
che è ancora una potenza di a; se è finito, basterebbe a p a q = a p + q, che comunque è una potenza
di a.
Definizione. Un gruppo (G, ) si dice ciclico se tutti i suoi elementi si possono esprimere come
potenze di uno stesso elemento a ∈ G.
Si dice che l'elemento a è un generatore del gruppo G, oppure che G è generato da a.
Esempi:
(Z,+) è un gruppo ciclico infinito generato da +1.
I gruppi (Zn,+) sono tutti gruppi ciclici generati dall'elemento 1.
Il gruppo delle rotazioni che mutano in sé un quadrato è un gruppo ciclico generato da R1, la rotazione di ampiezza 90°.
Il gruppo (Z*5,×) = {1, 2, 3, 4} è un gruppo ciclico? Cerchiamo un generatore:
1
2
3
4
è generato da 2:
2 =2
2 =4
2 ≡3
2 ≡1
1
2
3
4
oppure da 3:
3 = 3,
3 ≡ 4,
3 ≡ 2,
3 ≡1
1
2
ma non da 4:
4 = 4,
4 ≡1
Quindi un gruppo ciclico può avere più di un generatore.
Se g è un generatore di un gruppo ciclico di ordine n, anche g−1 lo è (g ha periodo n e g−1 ha lo stesso periodo di g; poiché gn = u, gk =(g−1)n− k, quindi gli elementi generati da g−1 sono gli stessi generati da g) .
Teorema. Ogni gruppo ciclico è abeliano.
Dimostrazione. Sia (G,) un gruppo ciclico generato da un suo elemento g, e a, b due elementi qualsiasi di G. Dobbiamo dimostrare
che a b = b a. Poiché G è ciclico, e g è un generatore: a = gi e b = gk .
Risulta quindi
a b = gi gk = gi+k = gk+i = gk gi = b a. |||
Quindi qualunque gruppo non abeliano non è un gruppo ciclico.
Ma se un gruppo è abeliano non è necessariamente ciclico, ad esempio il gruppo del rettangolo (R,o)
non lo è.
Teorema. L'insieme B di tutte le potenze gn di un elemento g di un gruppo (G, ) qualsiasi formano
un sottogruppo (ciclico) di G.
Per le proprietà delle potenze…
Come già detto, questo teorema fornisce un metodo per costruire alcuni sottogruppi di un gruppo.
Teorema. Se l'ordine di un gruppo finito (G, ) è un numero primo p, allora G è un gruppo ciclico
(e quindi abeliano).
Dimostrazione.
Sia a∈G, a ≠ u. Le potenze di a generano un sottogruppo ciclico B, di ordine r>1, dato che B contiene almeno a = a1 e u = a0. Per il teorema di
Lagrange, r è un divisore di p, quindi poiché p è primo, necessariamente r = p, da cui B = G, e G è ciclico.
|||
Se un gruppo non è ciclico può avere sia sottogruppi ciclici che non ciclici.
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Gruppi
Ma:
Teorema. Un gruppo ciclico può avere solo sottogruppi ciclici.
Dimostrazione.
Sia (G, ) un gruppo ciclico generato da un suo elemento g e sia H ⊂ G un suo sottogruppo.
(G, ) = {g, g2, …. gn =u} se è finito
(G, ) = {..., g-2, g-1 , u, g, g2, …. gn ….} se è infinito.
Gli elementi di H sono particolari potenze di g, di cui almeno una ha esponente positivo (perché se g-k∈ H, con k>0, anche gk ∈ H,
poiché H è un gruppo).
H = { … g-s, g-r, g-k, u, gk, gr, gs,…}
Mettiamo in ordine crescente tutte le potenze positive di g in H. Avremo: gk, gr, gs…. con k < r < s …
Il teorema è dimostrato se mostriamo che r = 2k, poiché poi lo stesso ragionamento porta a dire che gk è generatore di H.
Poiché k < r può essere
•
k < r <2 k
oppure
•
r = 2k
oppure
•
r > 2k.
Mostriamo che la opzione centrale è quella vera, mostrando che le altre due sono false.
La terza è falsa perché H è un gruppo, quindi se contiene gk contiene anche g2k, quindi ci sarebbe una potenza di g tra gk e gr contro
quanto detto.
Se fosse vera la prima, poiché H è un gruppo, anche gr-k ∈ H, ma 0 < r−k < k, mentre abbiamo detto che k è il più piccolo esponente
positivo.
|||
Esempio (Z*p, ×), con p primo ha come elementi {1,…, p−1}, quindi ha ordine p−1. È sempre cicli-
co. Determinato un suo generatore, si può dire che tutti gli altri generatori sono dati dalle potenze
del generatore trovato, prime con l'ordine.
(Z*7, ×) ha ordine 6, e ha come generatori 3, e 35≡5.
3.7
Omomorfismi tra gruppi
Due gruppi (G,o) e (H, ) si dicono omomorfi se esiste una applicazione f : G → H tra gli insiemi G
e H tale che per ogni a, b ∈ G risulti:
f (a o b) = f(a) f(b).
La f è detta omomorfismo.
Ci sono nomi particolari per i vari tipi di omomorfismi. Se f risulta:
iniettiva l’omomorfismo si dice iniettivo (o monomorfismo) Iniettiva significa che ad elementi
distinti corrispondono elementi distinti.
suriettiva l’omomorfismo si dice suriettivo (o epimorfismo) Suriettiva significa che ogni elemento del codominio proviene da almeno un elemento del dominio
biunivoca l’omomorfismo si chiama isomorfismo Biunivoca significa “uno a uno” e quindi sia
iniettiva che suriettiva.
se G e H coincidono l’omomorfismo si dice endomorfismo
se G e H coincidono l’isomorfismo si dice automorfismo
Come per ogni applicazione, G si dice dominio e H codominio dell’omomorfismo.
Ogni omomorfismo f gode delle seguenti proprietà:
Associa all'elemento neutro di un gruppo l'elemento neutro dell'altro:
infatti, se u è l'elemento neutro di G, per ogni elemento a∈G risulta u o a = a o u = a
ƒ(u o a) = ƒ(a o u) = ƒ(u) ƒ(a) = ƒ(a) ƒ(u)
e poiché u è elemento neutro di G,
ƒ(u o a) = ƒ(a o u) = ƒ(a),
dunque
ƒ(a) = ƒ(u) ƒ(a) = ƒ(a) ƒ(u) cioè ƒ(u) = n ∈ H.
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Questa proprietà è una comoda condizione necessaria: se non vale, sicuramente la applicazione non
è un omomorfismo.
Associa all'inverso di un elemento in G l'inverso dell'immagine di quell'elemento in H:
ƒ(a−1) = [ƒ(a)]−1.
Infatti per ogni a∈G risulta ƒ(a o a−1) = ƒ(u) = n, ma per l'omomorfismo deve risultare
ƒ(a o a−1) = ƒ(a) ƒ(a−1) = n cioè ƒ(a−1) = [ƒ(a)]−1.
Esempi:
f : (Z,+) → (Q,+) definita da:
(ricordiamo che deve essere f (a + b) = f(a) +f(b).)
1
f(z)=
non è omomorfismo, f(0) non è definito.
No
z
3z
3(a + b) 3a 3b
f ( z) =
C.N. f(0)=0 verificata. f (a + b) =
=
+
= f (a ) + f (b) Sì
2
2
2
2
f ( z) = z 2
C.N. f(0)=0 verificata. f (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ≠ a 2 + b 2 No
Proprietà:
Due gruppi finiti che abbiano un diverso numero di elementi possono essere omomorfi ma non
isomorfi, perché tra essi, ovviamente, non è possibile alcuna corrispondenza biunivoca.
Se il dominio ha ordine maggiore del codominio, può esistere un omomorfismo suriettivo, non
un omomorfismo iniettivo, se invece ha ordine minore, può esistere un omomorfismo iniettivo,
ma non uno suriettivo.
Dire che due gruppi sono isomorfi significa che esiste un isomorfismo tra i gruppi, non che ogni
omomorfismo sia un isomorfismo.
Può accadere che un gruppo sia isomorfo ad un suo sottogruppo proprio (solo per insiemi infiniti). Per esempio il gruppo dei numeri interi rispetto alla somma (Z,+) è isomorfo al sottogruppo
(Mk, +) dei multipli di qualunque k ∈ Z, k ≠ 0. La corrispondenza biunivoca è ƒ(z) = k z per
ogni z ∈ Z.
L’immagine di un elemento a di G è un elemento h di H, l’antiimagine di h è il sottoinsieme di G
costruito da tutti gli a tali che f(a) = h.
Definizione. Si chiama immagine di G nell'omomorfismo f(G, o) → (H, ), e si indica con f (G) o
con Imf, il sottoinsieme di (H, ) costituito dai trasformati degli elementi di G.
Imf = {h ∈ H : esiste a ∈ G per cui f(a) = h}
Teorema: Dato un omomorfismo di gruppi f:(G, o) → (H, ), l’immagine Imf ⊆ H è sottogruppo
del codominio.
Dimostrazione. Basta usare il criterio per i sottogruppi:
Siano h e k elementi qualsiasi di f (G), questo significa che esistono a e b in G tali che f(a) = h e f(b) = k. Ma allora
h k-1= h f(b−1) = f(a) f(b-1) = f(a o b-1)
−1
quindi h k ∈ f (G).
|||
Definizione. Si chiama nucleo di un omomorfismo f tra due gruppi (G,o) e (H,) il sottoinsieme di
(G, o) costituto da tutti gli elementi a ∈ G tali che f(a) = n, essendo n l’elemento neutro di H. Il nucleo è indicato con ker(f ).
ker(f ) ={a∈G tali che f(a) = n}
Il nucleo di un omomorfismo non è mai vuoto, dato che contuene almeno il neutro u del dominio,
dal momento che f(u) = n.
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Gruppi
Teorema: Dato un omomorfismo di gruppi f (G, o) → (H, ), il nucleo ker(f ) è sottogruppo del
dominio.
Dimostrazione. Anche in questo caso basta usare il criterio:
Siano a e b elementi di ker(f), questo significa che f(a) = n e f(b) = n. Ma allora
f(a o b-1)= f(a) f(b-1) = f(a) f(b)-1= n (n)-1= n
quindi a o b-1∈ ker(f).
|||
Nucleo e immagine sono definiti, allo stesso modo, anche per applicazioni qualsiasi, ma non è detto
che siano sottogruppi.
Teorema (dell'ordine): Dati due gruppi finiti (G, o) e (H, ), entrambi di ordine finito.
Sia f un omomorfismo tra i due gruppi. Allora
ord(ker(f)) × ord(f(G)) = ord(G).
Infatti ogni elemento di h di f(G) è il trasformato di un laterale del nucleo, poichè per ogni m∈
ker(f),
f(a om) = f(a) f(m)= f(a) = a’,
quindi ord(f(G)) è l'indice di ker(f) in G.
|||
Questa proprietà consente, con le precedenti, di costruire tutti i possibili omomorfismi tra due gruppi, anche se non sempre in modo banale.
Esempio:
Determinare:
1. tutti i possibili omomorfismi f :(Z6,+) →( Z*5,×)
2. tutti i possibili omomorfismi f :(Z*5,×) → (Z6,+).
(Z6,+) ha ordine 6, i suoi sottogruppi sono
{0}, {0, 3}, {0, 2, 4} e Z6 di ordini 1, 2, 3, 6 rispettivamente.
(Z*5, ×) ha ordine 4 e i suoi sottogruppi sono:
{1}, {1, 4} e Z*5 di ordini 1, 2, 4 rispettivamente.
1. Risultano possibili solo i prodotti 6 = 6 × 1, 6 = 3 × 2
Nel primo caso si ha l'omomorfismo banale f(z)=1 per ogni z.
Nel secondo caso si ha sicuramente f(0) = f(2) = f(4) = 1, perché il nucleo è {0, 2, 4}, e quindi
f(1) = f(3) = f(5) = 4
Gli elementi del dominio 1 2 3 4 5 0
sono trasformati in
4 1 4 1 4 1
La trasformazione così definita è un omomorfismo, infatti per ogni a e b è f(a + b) = f(a) ×f(b)
2. Risultano possibili i prodotti 4 = 4×1, 4 = 2×2
Nel primo caso si ha l'omomorfismo banale f(z) = 0 per ogni z.
Nel secondo caso essendo il nucleo {1,4} risulta f(1) = f(4) =0. Essendo l'immagine {0, 3} risulta f(2) = f(3) = 3.
Gli elementi del dominio 1 2 3 4
sono trasformati in
0 3 3 0
Se si cercano tutti i possibili omomorfismo tra due gruppi finiti f (G,o)→(H,) e il dominio G è un
gruppo ciclico, esiste un modo semplice per costruirli:
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si considera un generatore a di G (supponiamo abbia periodo n).
Si costruiscono tutte le funzioni f tali che f(a)=b ove b è un qualsiasi elemento di H (ce ne sono
tante quante l’ordine di H), e tali che f(a2) = b2, f(a3) = b3, … , f(an) = bn .
Poiché a ha periodo n, an è il neutro di G; quindi f è un omomorfismo se bn risulta essere il neutro di
H; altrimenti non si ha un omomorfismo.
Poiché a è un generatore, quelli trovati sono tutti i possibili omomorfismi.
•
•
Esempio costruire tutti i possibili omomorfismi f:(Z*7,×) →(Z 6,+).
o Vediamo se (Z*7,×) è ciclico cercandone un generatore, cioè un elemento di periodo 6, che è
l’ordine di Z*7, anche se sappiamo che è ciclico dalla teoria, serve un generatore.
1 ha periodo 1, è il neutro.
2, 22 = 4, 23 = 8 ≡ 1, quindi 2 ha periodo 3.
3, 32 = 9 ≡ 2, 33 = 2⋅3 = 6, 34 = 2⋅2 = 4, 35 = 4⋅3 = 12 ≡ 5, 36 = 5⋅3 =15 ≡ 1 quindi 3 è un generatore, per cui Z*7 è ciclico.
o Costruiamo la tabella dei possibili omomorfismi. Nella prima colonna mettiamo le successive
potenze del generatore 3, nella prima riga gli elementi del codominio, in un ordine qualsiasi.
f
0
1
2
3
4
5
3
0
1
2
3
4
5
2
0
1+1=2
2+2=4
3+3≡0
4+4≡2
5+5≡4
6
0
2+1=3
4+2≡0
0+3=3
2+4≡0
4+5≡3
4
0
3+1=4
0+2=2
3+3≡0
0+4=4
3+5≡2
5
0
4+1=5
2+2=4
0+3=3
4+4≡2
2+5≡1
1
0
5+1≡0
4+2≡0
3+3≡0
2+4≡0
1+5≡0
Kerf
Z*7
{1}
{1,6}
{1,2,4}
{1,6}
{1}
Imf
{0}
Z6
{0,2,4}
{0,3}
{0,2,4}
Z6
Tutte le colonne rappresentano un omomorfismo, poiché f(1) = 0 per ogni colonna.
Poiché dominio e codominio hanno lo stesso ordine e sono entrambi ciclici, gli omomorfismi in
cui un generatore del dominio viene trasformato in uno del codominio sono isomorfismi (quelli
dunque caratterizzati da f(3) = 1 e f(3) = 5).
Quello per cui f(3) = 0 è l’omomorfismo banale.
Negli altri tre casi il nucleo e l’immagine si riconoscono dalla tabella.
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