s ^ S % X' - >

2。
のよう
に
れて
ピ
スの
表現さ
タゴラ
定理はど
きたか
中学校の数学で学習する定理のなか
で,とりわけなじみ深い定理の 1つである。直角三角形の三辺には α2+′ =
2とぃ
θ
ぅ関係が成り立つということを知ったとき,その意外な事実に感動した
ピタゴラスの定理
(三平方の定理)は
人も多いのではないだろうか。
さて,そのピタゴラスの定理は,現在の中学校の教科書では図 2.1のように
｀
表現されている.
定理
直角三角形の直角をはさむ 2辺の
長さをcと
長さをα
, ら
,纂通の
すれば,次の関係が成り立つ。
α2+ら 2=c2
図 2.1 現在の中学校教科書のビタゴラスの定理
:
現在のピタゴラスの定理は, このように直角三角形の三辺の関係として表現
されている.しかし, ピタゴラスの定理が以前からこのように表現されていた
かというと,そうではない。明治時代になって欧米の科学技術が日本に紹介さ
れ定着していく過程のなかで,数学の教科書に見られるピタゴラスの定理の表
現は,現在のそれと異なっている。
以下では, ピタゴラスの定理はこれまでどのように表現されてきたかについ
て,歴史的に振り返ってみたい。この定理を例にしながら,本来欧米の学問で
あった科学 (数学 )をいかに日本語的に適切に表現するかに取り組んだ人々の工
夫と努力を明らかにしたいと思う。そして最後に,現在の教科書で二辺の関係
として表現されているピタゴラスの定理の意味について考えてみたい。
2δ
2.1
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
ピタゴラスの定理とその証明
2.1.1 もう 1つのビタゴラスの定理の表現
大正時代の中学校 (旧制中学校 )は ,尋常小学校 6年間の義務教育を終えた
生徒が進学する 5年制の男子中等学校であった。当時中学校の数学費は「算
術」
,「三角法」の 4つの科目に分かれており,それぞれの科
,「幾何」
,「代数」
目に応じて異なる教科書が使われていた。図 2.2にあげたのは,大正 5(1916)
年に出版された幾何の教科書に載っているピタゴラスの定理である。その内容
は,三辺上の正方形の面積の関係について加法が成り立つという内容であり
,
現在のピタゴラスの定理の表現とは異なっている。
直角三角形二於テ,斜邊ノ
二
上ノ正方形ハ,他ノニ邊ノ上ノ正方形ノ和等
192 -― 理ワ〇
シ。(Pythagorasノ定理
直角三角形
ABC二
)
3
於
テ Bcフソノ斜邊ナリ
D
トス.然 ″ トキ´ヽ
BCa=AB2+AC2
ナ″ ベン.
図 22
大正時代の中学校教科書のピタゴラスの定理
ここに示したように,現在の教科書と大正時代の教科書に見られるピタゴラ
スの定理の表現は異なっている。両者ともその事実だけが教科書で示されてい
るわけではない.それがなぜ成り立つのかという証明も重要な事柄として扱わ
‐
れている。
2.1.2 表現されなかったピタゴラスの定理
a)江戸時代の算術書『塵劫記』
ピタゴラスの定理に相当する事実は, 日本のみならず諸外国においてもなな
21
・
27
ピタゴラスの定理とその証明
り昔から知られていた.3,4,5という数値を使って三角形を作ると直角三角
形になるという事実
(ピ
タゴラスの定理の特殊な場合)も ,おそらく日常生活
のなかで伝承されてきた庶民の知恵であったのだろう。
ところで,欧米の科学技術が取り入れられる以前の日本の場合, ピタゴラス
の定理はどう扱われていたのだろうか ? 江戸時代を通じて庶民の算術書の代
表であった『塵劫記』という本をとりあげてみたい。寛永 4(1627)年に最初に
世に出た『塵劫記』は後世に大きな影響を与えた算術書であった。庶民はこの
本を通して算術を学んだのである。
ピタゴラスの定理に類する内容を見る前に,簡単にこの本の内容を紹介して
おこう。いまから約 400年前に出された『塵劫記』の内容は,現在われわれが
日ごろ使っている数量のいろいろな表現の仕方や計算方法のなかに生きてい
る。たとえば,大きな数を表現するときに使う位の名称がそうである。『塵劫
記』の初めの部分には,その名称が 21個あげてある
.
一,十 ,百 ,千,万 ,億 ,兆 ,京
(け
い),咳 (がい),稀
(じょう
),溝にう),澗 (かん),正 (せい),載
恒河沙
(こ
うがしゃ),阿僧祗
(ふかしぎ),無量大数 (む
(あ
(じ
い),極
ょ),穣
(ご
く),
そうぎ),那由他 `さ
(なゆた),不可思議
りょうたいすう)
私たちはせいぜい兆ぐらいまでしか使わないが,現在使われている数の位の
名称は江戸時代の『塵劫記』にすでに見ることができる.またこの本には,現
在小学校で習う「三二が四」から始まる九九の呼び名やそろばんでの計算の仕
方も示されている
.
この『塵劫記』は,問題とその解答力り頂々に並べられた算術書であり,一見
すると問題集のような本である.しかし,問題の解答は示されているが,その
解答がどういう考え方で出てくるかについては詳しい解説はない.そこに見ら
れる問題は多種多様であり,土地の測量,桶の容積を求める問題,本こりが立
ち木の高さを求める独特の方法等々,当時の実際的な生活を題材とした問題が
ほとんどである。特にそれらの問題のなかで興味深いのは,実際的な生活には
役立ちそうにない娯楽的な問題がいくつか見られる.点である。数学は,今や多
くの人に嫌われる教科となってしまったが,当時は数学の問題を解くこと自体
が,人々にとって一種の楽しみでもあったことを物語っている。
28
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
そこで娯楽的な問題の 1つ「ねずみ算」をとりあげてみよう
.
「1月に,ひとつがいのネズミがいて,子を 12匹生む.月末には親と子を合わせ
て 14匹になる。これらのネズミが 2月には,1月に生まれた子ネズミも成長し
てそれぞれ 12匹の子ネズミを生む.その結果 2月末には全部で 98匹になる。こ
のようにして親も子も,月々に 12匹ずつ子を生むとすると,12月末にはネズミ
の総数はいくらか ?」
この問題の解答は,次のように書かれている。
「法に,ねずみ二疋に七を十二たび掛くれば,右のねずみの高としれ申候也」
要するに,その結果は,2×
712と
ぃぅことであり,その数 27,682,574,402
匹というのが答だとされている。
どうして 2× 712とぃぅ式が得られるのだろうか ?
その解説は『塵劫記』
には書かれていないので,現代流にこの問題を解いて,その式が正しいのかど
うかを確かめてみよう。
まず,π か月後のネズミの数を α
″として,α ″とα″
+1との関係式を求めてみ
る。前め月のネズミの数がらとすると,つがいの数は %/2となる。その月に
生まれたネズミの数はら/2× 12となるので,次の月のネズミの数は,前の月
の数と合わせて,の十の/2× 12となる。したがって
,
α
"+1-%十下
という関係式が成り立つ.数列
ので,その一般項は α″=14× 7″
×12=7α ″
(α ″
)は ,初項 a=14,公比 7の等比数列な
1=2× 7″ である。 2=12のとき,α 12=2× 712
となり,『塵劫記』の答は正しい答といえる。
b)事実としてのビタゴラスの定理
さて,『塵劫記』ではピタゴラスの定理はどう扱われているのだろうか ?
問題と解答を順次並べた同書には, ピタゴラスの定理に相当する文章も証明も
見当たらない。しかし,そのなかにある問題と解答を検討してみると,当時ピ
タゴラスの定理の事実は知られていたことがわかる。その問題というのは「勾
配の延び」の問題である
.
ここで,「勾配の延び」というのは,図 2.3の直角三角形 ABCにおいて
,
2.1
ピタゴラスの定理とその証明
BCの長さ
を取り去った ADの長さで
ある。 BCを一定にしたと
斜辺 ACから下辺
ヽ
き,ABの長さに応じて AD
の長さは変化する.『塵劫記』
には,ABが 1寸刻みに 1尺
尺
になるまでの ADの長さ
図 2.3
(延び)が示してある.これ
は家を建てるとき軒先がどのくらい出るかを知るために計算されていたらし
.
い
.
ABの長さが 5寸のとき,ADの長さは,『塵劫記』では 1寸 1分 8厘 3糸
と記されている。1尺は 10寸 ,1寸は 10分 ,1分は 10厘 ,1厘は 10豪 ,1身
は 10糸なので,ADの長さは 1.1803寸ということになる。これをメートル法
直すと,1寸は約3.03
￨と
cmな
ので,ADの長さ1.1803寸
￨ま
約3.576309
cm
である
.
`る
今度はピタゴラスの定理を用いて実際に計算してみと,ADの長さは
/25+100-10の計算で 1.1803… 寸となるから,『塵劫記』に示された値は正
確な値である。ADの長さが 1寸 1分 8厘 3糸という結果は,現代の精度でい
,
えば,lcmの 1,000,000分の 1の精度の測定値である。これはきわめて高い
精度である.このような高い精度の結果は,測定器具ど使って得ることは到底
不可能である.ピタゴラスの定理の事実を使わなければ,得られない結果であ
る。
『塵劫記』に載っている問題とその解答を検討してみると, ピタゴラスの定
理に相当する事実は当時知られていたことがわかる。しかしながら,その事実
を明確に表現した文章は見当たらないのである
それでは,事実を明確かつ誤解のないように表現する,そしてその表現の意
.
味することが一般的に正しいということを論理的に証明する,現在の数学に見
られるこのょうな当たり前の考え方の源は, どこにあるのだろうか ? この源
をらきとめるには,この定理の名称にもなっている「ピタゴラス」という名前
の人物が生きた古代ギリシャまでさかのぼらなければならない。
2
θθ
2.1.3
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
ビタゴラスの定理の証明
｀
a)証明の始まり『ユークリッド原論』
紀元前 3世紀ごろの古代ギリシャで編集された幾何学の本に『ユークリッド
原論』というものがある。この本の形式と論理の組み立て方は,その後の数学
研究の模範となり,いわば数学の「バイブル」的存在であった。またこの『ユ
ークリッド原論』は 19世紀末まで中等学校の幾何学の教科書としてそのまま
使われた本でもあった。
13巻からなる『ユークリッド原論』の第 1巻を見ると,まったく不親切
;
無愛想な本である.序文もなく,いきなり幾何学の用語の定義から始まる。そ
れに続いて「公準」 (「公理」)があげられ,命題 1の証明,命題 2の証明と続
き,最後の命題 48の証明で終わる。これが第 1巻の内容である。他の巻も同
様に,命題を示してそれを論理的に証明するというパダーンが繰り返される。
第 1巻の最初の内容を簡単に概観しておこう。まず,定義は「′
点」
,「線」か
ら始まり
,
1)点とは部分のないものである。
2)線とは幅のない長さである。
3)線の端はである。
,点
:
という具合に 23個の用語の定義が示されている。そのなかには現在小学校の
算数で習う「正三角形」,「正方形」「長方形」などの図形の定義も出てくるの
,´
である。たとえば定義 15は円の定義であり,次のように述べられている。
「円とはその図形の内部にある一定′
点から曲線に至る距離がすべて等しいような
曲線によって囲まれた平面図形のことである.」
23個の定義に続いて,5つの公準があげられている
.
5つの公準
‐
1)任意の点から任意の点に直線を引くこと
2)有曝直線を連続して一直線に延長すること
3)任意の点と距離 (半径)とをもって円を描くこと
4)すべての直角は互いに等しいこと
21
31
ピタゴラスの定理とその証明
5)1直線が 2直線に交わり同じ側の内角の和を 2直角より刻ヽさくするならば
,
この 2直線は限りなく延長されると 2直角より刻ヽさい角のある側において交
わること
これはみな当たり前のことばかりで,いったい何の意味があるのだろうと思
いたくなる.ところが,実はこのあとに続く命題の証明にとっては欠かせない
重要な事柄なのである。要するに,ここにあげられている公準は,命題の証明
を行う際に証明なしに使ってよい命題であり,いわば証明の前提なのである。
したがって,数学で 1つの事柄を証明する場合,この公準に相当する前提
,証明を行う
(現在では一般に「公理」と呼ばれている)が明示されなければ
ことはできないのである。これは申学校の図形の学習でも同じことである.た
とえば「二等辺三角形の両底角は等しい」の証明の場合,三角形の合同条件を
ヽ
いわば公準として証明を行うのである。
それでは,『ユークリッド原論』の最初にある命題を使って,そこでの証明
はどんなものかを見てみよう。
b)「与えられた有限の直線の上に正三角形を作ること」を証明する
この命題は証明するまでもなく,紙に直線を引いて,コンパスを使って同じ
長さの辺をとれば,簡単に正三角形を作図することができる。しかし『ユーク
リッド原論』では,正三角形を作ることができることを,先の公準だけから諭
理的に導いているのである
(図 2.4).
ABにおいて,点 A を中心として半径 ABの円を,同様に点 Bを中心と
して半径 ABの円をかくことができる (公準 3).2つの円の交点を Cとし,そ
線分
れぞれ点 A,Bと結ぶこ
とができる (公準 1).
円の定義より,AB=
AC, AB=BC,
同じも
のに等しいものどうしは
等しいので,AC=BC.
ゆえに三角形
ABCは正
三角形となる
.
という証明である。
図 2.4
θ2
2.ピ
タゴラスの定理はどのように表現されてきたか
実際に作図ができるかどうかが問題なのではなく,設定された前提 (公準)
から論理的に導くことができるかどうかが問題なのである.このように論理的
に導かれた命題が一般に「定理」と呼ばれる命題である。
現在の数学でも,ある事柄が正しいことを証明するのに,実際に作図した
り,実際に測定したり,実験したりして確かめることだけでは十分とはみなさ
れない.論理的な推論が要求されるのである。まさに命題を明確に文章に「表
現する」
,そしてそれを論理的に「証明する」という数学の学習の基本的な考
え方は,『ユークリッド原論』から始まるのである
.
c)ピタゴラスの定理と証明
ピタゴラスの定理は,この『ユークリッド原論』第 1巻の最後から 2番目の
命題 47にある。それは次のように表現されている
.
命題 47:「直角三角形において直角の対辺の上の正方形は直角をはさむ 2辺の上
の正方形の和に等しい。」
これに続く第 1巻最後の命題 48は ,「三角形において 1つの辺上の正方形
が ,残りの 2辺の上に立つ正方形の和に等しければ,三角形の残りの 2辺のな
す角は直角である.」という内容であり、命題 47の逆命題となっている。
要するに,全部で 48命題からなる第 1巻は, ピタゴラスの定理を証明する
ことを目標にして論理的に組み立てられている.たとえると, ピタゴラスの定
理を頂点とするピラミッドを作るように,その証明の基礎となる命題が 1つ
つその順番を考慮しながら組み立てられているのが,第 1巻なのである。
1
それでは,命題 47,すなわちピタゴラスの定理の証明ぼどのようなものだ
ろうか,その概略を述べてみよう (図 2.5)。
∠Aを直角とする直角三角形 ABCにおいて,それぞれの辺上に正方形を作図
する.頂点 Aより辺 BCに垂線を下ろし,図のように補助線 AG,CG,AD,
JDを引く。まず,△ ABGと △ CBGに注目すると,底辺 BGと高さ ABとが
等しいので,△ ABG=△ CBG.△ CBCと △ DBAにおいて 2辺とその間の角
が等しいので,△ CBG≡ △ DBA。また,△ DBA=△ DB」である.ゆえに
,
△ ABG=△ DBJ。これより正方形 ABGF=長方形 BDKJ,同様にして,正方
形 AcHI=長方形 JKEC.したがって,正方形 ABGF+正方形 ACHI=正方形
BDECが成り立つ
.
.
21
ピタゴラスの定理とその証明
"
以上のように, ピタゴラスの定理自体を文章として表現ししかもそれを証
明するという考え方は,古代ギリシャの『ユークリッド原論』にまでさかのぼ
,
れる
.
K
図 2.5
一方,江戸時代の『塵劫記』の場合, ピタゴラスの定理に相当する事実は日
本でも知られていた。しかしながら,この事実が直角三角形の三辺において成
り立つ事柄として文章で表現され,それが論理的に証明されるということはな
かった。
ところで,現在のわれわれが数学を含めて科学的研究を行う際に継承してい
る考え方は,『塵劫記』の伝統か,それとも古代ギリシャの『ユークリッド原
ヽ
論』の考え方かといえば, もちろん後者である.『ユークリィド原論』から始
まり,その後ヨーロッパで発展した数学の考え方が本格的に日本に移入された
のは明治時代になってからである.その際, ヨーロッパの言語で書かれた数学
の論理をいかにして適切に日本語で表現するかという問題に,当時の人々は取
り組まなければならなかった
.
そこで,以下で￨まこあ問題に取り組んだ日本最初の数学者の努力と工夫を明
らかにしたいと思う
.
2.ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
数学の日本語表現と菊池大麓
2.2
2.2.1 縦書きピタゴラスの定理
日本の近代化を強力に進めることにした明治政府は,欧米の社会制度,科学
技術を取り入れるための政策を矢つぎばやに行っていった。西洋の近代学校制
度をわが国に定着させる目的で明治5(1872)年に公布された「学制」もその 1
つである.これにより今日の学校教育の制度的な基礎が作られたのである。当
然のことながら,小学校 ,中学校の学科には,数学を含めた西洋の諸科学も教
をいかに日本語で表現し,数学という学問の考え方を定着させ発展させるかと
いう問題は,数学という学科の教科書をいかに作っていくかという問題でもあ
ったのである。
第二百三十六條直角三角形ノ斜邊上二作ンル正方形ハ自余雨邊
上二作ンル雨正方形ノ和二等シ
＞８ヲ以テ所題ノ直角三角形トシＭＰＱフ以テ三邊上二作ンル
正方形トシ而シフト月ヲＣ
Ｂ卜正交二作り畑田ヲ引キな口及ビ８ロ
ナル雨三角形二就テ考フルニＣ鮎二於ヶル角
ハπ角二直角テ加ヘタルモノヨリ成ルフ観ル
且ス甲形ノｍ及ビｍハ乙形ノＲ
Ｃ及ピ∝二等シ
由テ雨直角三角形ノ相等シキヲ知ル然ルニ
な里三角形ハ之卜正高及ビ底邊フ同ジウスル直角形８可ｕノ牛
二等シタ８日三角形ハ之卜正高及ビ底邊ヲ等シウスル正方形Ｐ
ノ牛二等シ絶テ直角形Ｒ及ビ正方形Ｐハ等積形ナリ
同理二体り直角形ｓ及ピ正方形Ｑノ等積形ナルヲ知ル
故ニリｔ即チＭｌお二等シ
縦書きピタゴラスの定理
図 26
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︲
︱
︲
︱
︲︲︱
︲
︲跛鵬世︲
︲
︱鰍︱︱
︲
︲肺順牌卜師︲
︲︲
︱
︲ｉ
︲肺鰈︲
︲︲
ｉ
︲Ｌ肛Ｗ紙︲︲
︲︲
肺鵬︲
ｌ肛＝順雌肥脚︲
肝腋１
︲Ｉ Ⅳ 肝世廠︲
柵儡鵬
︲︲情雌︱
︲
︱性肝Ｌ懸＝牌陣艤ｒ肝鴫ｌ
︲
︲
ｌ
ｉ
柵︲
︲
︲︱
︲︱︱︱
■ ︱︱トトトＦ卜﹂Ｆトトトト旧︱
ｉ
︱
︲
︲
︱しｒ︲
︲ｍ鵬鵬旧︲
︲
︲
・
︲
︲
︲
︱
︱
︲
︲
︲
︲
︲
︱︲︱︱
︲
︲
︲
︱
︲
︲︲
科として位置づけられている。したがって, ヨーロッパの言語で書かれた数学
2.2 数学の日本語表現と菊池大麓
%
明治初期には数学の教科書は原書がそのまま使われていたが,徐々にその翻
訳書が使われるようになった。そのときに,まず問題となったのは,教科書の
文章を縦書きとするか,横書きとするかという問題であった.そのころ出版さ
れた翻訳教科書の多くは縦書きの教科書であり,横書きで書かれた数学の来章
を日本の伝統的な縦書きで表現したものであった。その縦書き数学教科書のな
かのピタゴラスの定理が図 2.6にあげたものである。
この縦書きのピタゴラスの定理が載っているのは,明治22(1889)年に出版さ
れた野口保興という人の書いた『数理学平面幾何学之部』という教科書であ
る。この本のタイトルとなっている「数理学」という用語にも注目する必要が
ある。これは当時使われていた Mathematicsの訳語の 1つである.当時
Mathematicsの訳語として使われた用語には「数学」,「数理学」,「算学」な
どがあり,Mathematicsの用語すら,明治 20年代にあってもまだ統一されて
いなかったのである。
数学の専門用語の訳語および数学の日本語表現が統一されていなかった明治
20年代に, 日本流の数学の文章表現を工夫し,独自の数学の教科書の作成に
努力した人物が菊池大麓であった。
2.22
菊池大麓のビタゴラスの定理
,明治時代を通して日本の数学の近代化に重要な
役割を演じた人物である.12歳のときに幕府派遣留学生としてイギリスに渡
り,ケンプリッジ大学で数学・物理学を修めて優秀な成績で卒業した.菊池は
約 11年間の留学を終えて帰国し,明治 11年早々に帝国大学 (現東京大学)教
菊池大麓 (18551917)は
授に就任し,数学の講義を担当した。24歳の若さであった。明治 14年には帝
国大学に数学科を創設し,数学研究の普及と発展の基礎を築いた。菊池は日本
人初の西洋数学の専門家であった。
当時帝国大学の数学教授であった菊池が明治21(1888)年に執筆した『初等幾
何学教科書』は,その後の日本の数学教育を決定づけた教科書であった。どの
ような点で, この教科書が重要なのか ? まず,ビタゴラスの定理とその証明
を例にして菊地の工夫を見てみよう (図 2.7).
2.2.3 数学の日本語表現のモデル『初等幾何学教科書』
点であ
まず,この教科書の特徴の第 1′ 点は,横書き数学教科書であるという′
2.ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
定理
ノ
直角三角形
9・
二於テ, 斜邊
ハ llLノニッノ邊
ノ和二等シ・
正方形
方形
三角形 JttC二於テ角
レキハ
然′
BCノ
BACヲ
上ノ正方形ハ
ノ上
ノ上ノ正
直角ナリトセヨ
:
BA tt AC′ 上ノ正方形
ノ和二等シカ″ 可シ・
ナレル護明フ掲ク・)
(此定理ハ頗ル重要ナルフ以テニッ′ 異
第一
'證
BCノ
形
BDEC
明法・
上二正方
ヲ:
上 =正方形
AB ′
BAFGブ
J
ACノ上二正方形
ACHK ヲ作レ
AL ヲ BD 二平行ニ
引キ ; AD,CG フ結
;
ヒ付ケも
角
角
CBD,ABGハ
ABCヲ双方
各直角ナルヲ以オ, 相等ン
;
ヘ加フィハ
,
図 2.7『初等幾何学教科書』での
る。先ほどの例に見られるように,そのころ縦書きの数学教科書も出版されて
おり,縦書き,横書きが混在していた時代であった。菊池のこの教科書は,著
者が当時の西洋数学の第一人者であったこと,それに文部省から出版されたと
いうこともあってその影響は大きく,それ以後の数学教科書では横書きが普通
となったのである。
また,図 2.7にあげたこの教科書のピタゴラスの定理を見て気づくことは
普通われわれが数学で使う記号が使われていない点である。これがこの教科書
,
22
角
ABDハ
然レハ
GBC二
等ン,
ABD,GBC二
三角形
ニッノ邊
爽角
角
AB,BDハ
ABD今
爽角
θ7
数学の日本語表現と菊池大麓
於テ,
ニッノ邊
夫々
GBC二
等シキ
GB,BC二
等ンク ,
ヲ以テ,
ニッノ三角形ハ全ク相等シ;
今
BAC,BAFハ
■,9・
各直角ナルヲ以テ ,
FACハ
ナリ;
ー直線
I, 3,
GBC
同シ底邊 GBノ上二在ワ
Hl,2.
故二正方形 BFハ三角形 GBCノニ倍ナリJ
同様二矩形 BLハ三角形 ABDノ三倍ナフ
故二矩形 BLハ正方形 BF, 即 ABノ上ノ正方形 ■ 等
卜正方形 BF′ 、同シ高サニンテ
故二三角形
,
;
;
同様二矩形
CLハ AC
′ 上ノ正方形二等ンキノ證明
スルヲ得 :
而ンテ矩形
BL tt CLハ
合セテ
BE,
即
BCノ
上ノ正
方形二等ン
;
散二
BCノ
上 ′ 正方形 ↑
AB tt ACノ
上ノ正方形
ノ
′
和二等シ・
ピタゴラスの定理と証明
の第 2の特徴である。たとえば ∠ABCと記号で書くべきところを「角 ABC」
としたり,等号「 =」が使われていない。そのころこのような記号が使われて
いなかったというのではなく,数学の記号をあえて使わないというのが菊池の
意図であった。現在では「 ∠ABC」という記号は,「角 ABC」と読むのが普
通である。しかし,そのころはこの記号の読み方は人によっていくつかの読み
方があり,一定していなかったのである.そこでその読み方を何とか統一しよ
うとしてあえて記号を使わず,菊池は「角 ABC」と書いたのである。
■
"
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
2
第 3の特徴は,数学における日本語文章表現の統一である.当時の日本で
書き言葉と話し言葉には独自のスタイルがあり,教科書の文をそのまま口述す
ることは都合が悪かったという。そこで実際の数学の授業では,教師も生徒も
教科書の文章を話し言葉に直したうえで教授し,学習するのが実情であった
1ま
.
しかし幾何学の専門的な内容が書かれた教科書を話し言葉に直す場合,その文
章の意味があいまいになったり,誤解をまねいてしまったりする。このような
弊害を防ぐために菊池が工夫したのは,従来の教科書の文体を変更して,可能
なかぎり口述しやすいような文章にすることであった。
・…・とせよ」
そこで数学の文章表現に,「・
,「然るときは …… なるべし」
,
「…… を結び付けよ」という形式を教科書に取り入れることにしたのである。
書き言葉の多少の不自然さを犠牲にしてまで守り抜こうとしたのは,幾何学と
いう学問の厳密性であった。幾何学的な概念
(用語)の明確な表現と論理的に
進められる定理の証明の厳密性がより重要であったのである。そして菊池が幾
何学を学ぶ学生に期待したのは,幾何学における明確な表現や証明の厳密性を
学ぶことによって, 自分の考えを明白に, しかも順序正しく述べる習慣を身に
つけさせることであったのである。実際,菊池はこの本の序文で次のように述
べている。
「自己ノ思想ヲ明白二順序正シク述ブルノ習慣ヲ得シムルハ又幾何学ヲ学ブノ教
育上ノ価値ヲ増スモノナリ.」
現在の数学の教科書の文章は横書きが普通である, というよりそのことさえ
意識しないほどになっている。またそこでは日常の話し言葉とも,普通の書き
言葉とも違っており,独特の言葉づかいがなされている。たとえば「…… とす
る」,「ゆえに……」,「・……せよ」,「つまり……」などという表現が出てくる
.
語尾からいえば少々命令調で,親しみにくい文章が並んでいる。ここにも数学
の専門的な内容を表現する際に,厳密に表現することを第一に考えた菊池の考
え方が現在に生きているといえる
.
2.3 三辺の関係から面積の関係を導く
2.3
″
三辺の関係から面積の関係を導く
2.3.1 2つの正三角形の面積に等しい正三角形
さて,大正期の教科書
(図
2.2),それに明治時代の教科書
(図
2.7)でのピ
タゴラスの定理は,共通して直角三角形の三辺上の正方形の面積の関係につい
て述べた定理である。しかし,現在では直角三角形の三辺の関係を述べたもの
がピタゴラスの定理である.その表現の違いはどのような意味をもつのだろう
か
.
そこで,次の問題を考えてもらいたい。
「2つの正三角形が与えられたとき,その 2つの正三角形の面積の和に等しい正
三角形を求めよ.」
さて,この問題の代表的な解答をあげてみよう (図 2.8).
まず,与えられた 2つの正三角形の一辺をそれぞれ χ,ノとおき,求める正
一角形の一辺を zとして,2を χ,ノで表す.2つの正三角形の面積をそれぞ
れ Sl,S2,求める正三角形の面積を S3とすると,それぞれの面積は次の式
で表される
.
Sl=シ ,二
争
ヽ
S2=)'='L S3==ZfZ=fノ
ここで,S3=Sl+S2という関係が成り立つので
,
f〆 =争
2+,2
である。
これより
,
zは z=/χ 2+夕 2の式で与えられる。
図 28
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
`θ
この問題の解答としては z=/χ 2+ノ 2でょぃのであるが,ほかにこの問題
2+ノ 2を
もう一度見直
を解く方法はないだろうか ? そこで,答の式,z=vケ
2と
2+ノ
も見れる。すると,各正三角形の一辺
してみよう。この式は z2=χ
χ,夕 ,zにはどんな図形的な関係が読み取れるだろうか ? これは,ピタゴラ
スの定理であり,χ ,夕 ,Zを使って三角形を作るとzを斜辺とする直角三角
形となることをこの式は意味している。したがつて,この問題は,代数的な計
算をしなくても,与えられた 2つの正三角形の辺を使って直角を作り,その斜
辺を一辺とする正三角形を作図すれば,それが求める正三角形 (Ⅲ )なのであ
る (図
2.9)。
図 2.9
2.3.2「拡張ピタゴラスの定理」
上の例が示すように,直角三角形の斜辺上の正方形は他の二辺上の正方形の
面積の和に等しい.これは,正方形に限ったことではない.正三角形の面積に
ついてもそのことが成り立つ。それでは, どのような図形であればこのことが
成り立つのであろうか ? 長方形,台形,二等辺三角形についてはどうだろう
ｉ
ＩⅧ
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か?
これに関して「拡張ピタゴラスの定理」と呼ばれる定理がある。『ユークリ
2.3 三辺の関係から面積の関係を導く
41
ッド原論』では,普通のピタゴラスの定理とは別に,次のような定理として示
されている
.
「直角三角形において直角に対する辺上の図形は直角をはさむ 2辺の上の相似で
かつ相似な位置に描かれた図形の和に等しい。
」
要するに,直角三角形の三辺上の 3つの図形カサロ似でかつ相似な位置にあれ
ば,それらの面積に関して加法性が成り立つのである。
また菊池大麓の『初等幾何学教科書』にも,普通のピタゴラスの定理とは別
の定理として次のような定理がある (図 2.10).内容は『ユークリッド原論』
と同じである。
「直角三角形ノ斜辺上二書キタル直線形ハ他ノニツノ辺上二書キタル之卜相似ニ
シテ相似ノ位置ニアル直線形ノ和二等シ.」
図 210
2.3.3 三辺の関係から「拡張ピタゴラスの定理」を導く
しかし,現在の中学校 ,高等学校の教科書には「拡張ピタゴラスの定理」は
文章の形では出てこない。それでは,なぜ現在の教科書には「拡張ピタゴラス
の定理」が表現されていないのだろうか
とにして,直角三角形の三辺の関係
を導くことが可能だからである
.
?
それは,相似な図形の面積比をも
α7+う 2=θ 2か
ら「拡張ピタゴラスの定理」
ク
2
ピタゴラスの定理はどのように表現されてきたか
直角三角形の辺上の相似な図形を I,Ⅱ ,Ⅲ とし,それぞれの面積を Sl,
S2,S3とする.I∽ Ⅱ∽ Ⅲだから,Sl:S2:S3=α 2:ら 2:ι 2でぁる。すな
わち,Sl=滋 2,s2=々 ι2,s3=力 θ2とぉける。ただし,力は実数 .直角三角
形の三辺においては α2+ι 2≡ θ2が成り立つ (ピタゴラスの定理 ).
′
〕+シ =キ
よって,Sl+S2=S3が成り立つ。
菊池の教科書のように正方形の面積の関係としてピタゴラスの定理を扱え
ば,これとは別に「拡張ピタゴラスの定理」を定理として述べなければならな
くなる。しかし直角三角形の辺の関係としてのピタゴラスの定理としておけ
ば,「拡張ピタゴラスの定理」は論理的に導き出せるので,別に定理としてあ
えて述べなくてもよいのである。
『ユークリッド原論』に見られるように, ピタゴラスの定理はもともとは正
方形の面積の関係を述べた定理であり,戦前の日本の幾何の教科書の多くはこ
れを踏襲していた。しかし現在の中学校の教科書はこれと異なり,直角三角形
の三辺の関係としてピタゴラスの定理を扱っている。三辺の関係としてのピタ
ゴラスの定理は,平面上や立体図形内の直角三角形の辺の長さを求めるときに
スムーズに使える重要な定理であると同時に,それは「拡張ピタゴラスの定
理」も論理的に内在している定理なのである
おわりに
現在のピタゴラスの定理は, きわめてシンプルに表現されている.しかし
,
現在のような表現になるまでには,昔の人々の工夫があったのである。そもそ
も事実を明確に文章表現するという考え方が希薄であった日本の社会に,欧米
の科学的な考え方が定着する過程には多大な努力が払われたといえる.日本
の伝統的な縦書きに対して,横書きで表現し, また日述しやすい書き言葉を作
りあげた菊池大麓は,今日の数学の文章表現に貢献した人物のひとりであっ
た。
以上見てきたように, ピタゴラスの定理の表現には 2つのタイプが区別でき
る。直角三角形の三辺上の正方形の面積の関係と表現するか,辺の関係として
お
わ
りに
表現するかの違いであった。これらの表現の違いは些細なものであるが,その
意味するところは大きい.辺の関係として表現された現在のピタゴラスの定理
は「拡張ピタゴラスの定理」を論理的に導き出すことのできる定理であり,前
者の表現よりもその意味する内容が広いといえる。このような考察をしてみる
と,表現されたものからどんな意味を読み取るかも,いかに表現するかという
ことと同様に重要な問題であるといえる
(山本
.
信也)
参考文献
1)藤田宏監修 (1996):新しい数学 3,東京書籍
2)I.S.プラウン,M.I.ワルター (1990):いかにして問題をつくるか―問題設定の技
術 (平林一栄監訳),東洋館出版
3)菊池大麓 (1888):初等幾何学教科書平面之部,文部省編纂局
4)菊池大麓 (1897):幾何学講義第一巻,大日本図書
5)黒田稔 (1916):幾何学教科書〔平面〕,培風館
6)中村幸四郎ほか訳 (1971):ユークリッド原論,共立出版
7)中村幸四郎 (1981):数学史,共立出版
8)野口保興 (1888):数理学平面幾何学之部,通信講学社
9)小倉金之助 (1932):数学教育史,岩波書店
10)大矢真― (1975):ピタゴラスの定理 ,東海大学出版会
11)佐藤健一 (1994):江戸庶民の数学,東洋書店
12)吉田光由 (1979):塵劫記 (復刻版 ),岩波書店
.
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ム :外国人の見た「日本語表現技法上達法」②
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―‐―‐
―。
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逆問題で見る日本語表現
語で相手の意志を理解することを自然科学の逆問題 (与えられた結
― 夕〕からその原因または法則を同定する問題 )にたとえよう.逆
解く場合 ,(1)解が存在する,(2)解が唯一 (unique)であるとい
の条件が満足されれば,問題は適切 (well― posed)である。そう
れば,問題は不適切または悪条件
(ill―
posed)となる。悪条件下
切な解を得るために,事前情報や拘束条件などを利用して,非常に
1
煩雑な計算を行う必要がある。
日本語では,主語を隠したり,あるいはわざと言及しなかったりするこ
とが特徴の 1つである.主張をあいまいにして,その解釈を相手に任せる
ことで,円滑な人間関係を図ろうとしているのであろう。朝日放送のサン
デープロジェクトを見れば,そのことがよくわかる。司会者の日原総一朗
氏は,いつも「それで,何がいけない ? 何が困る ? 何がだめ ?」と
,
言葉を濁す政治家たちを追及している。番組に出演している政治家たち
は,「いけない」
,「困る」
,「だめ」の主語をやすやすと明言しないことで
自分の主張に対して責任を負わないようにしている。
,
逆問題の立場で解釈すると, 日本語の読み手または聞き手は,主語に関
する解が唯一でないという悪条件の逆問題にたびたび直面する。日常生活
︱トー
︱ー肝＝︱︱
︱
ー
︱
＝︱︱︱
一 ●︱︱ ●
¨
■
ーー
では,悪条件に対処することはそれほど深刻な問題ではない.事前情報
(社会経験)と拘束条件 (社会規則)を参照すればよい.しかし,技術論
文では,悪条件に対処するために,読み手の神経回路が余計な計算を行わ
なければならず,大変苦労する。
学生の書いたレポートには,主語があいまいなケースも少なくない。た
とえば,「条件が変わると,精度が悪くなった」と書かれても,一体何の
条件が変わって,何の精度が悪くなったのかを前後の文章も含めて何回も
読み返さないとわからないことがしばしばある。もちろん,学生たちがわ
ざと言葉を濁しているわけではなく, 日常的習慣を無意識に学問の世界に
持ち込んでしまっただけである。学生に「主語をはっきりして下さい」と
注文をつけたときに,「先生,前後の文章を読めばわかりますよ」と答え
られたことが何回もあった。私には,いつも「先生,神経回路をもっと回
して悪条件と戦え」と聞こえた。
逆問題を考えながら, 自分のレポートをもう一度検討してみましょう。
(楊
子江)
^理科系の
本語表現
栗山次郎編著
朝倉書店
編著者略歴
栗山次郎
1944年
1969年
大分県に生まれる
1975年
愛知教育大学助教授
現
九州工業大学情報工学部教授
在
九州大学大学院文学研究科修士課程修了
理科系の日本語表現技法
1999年 4月 20日
定価はカバーに表示
初版第 1刷
朝
発行所罰
朝倉
書
郎造
発行者
次邦
栗
山倉
編著者
店
東京都新宿区新小川lr1 6 29
郵便番号 1628707
電話 03(3260)0141
く
検印省略〉
FAX o3(3260)0180
http://― asakura co jp
◎ 1999 く
無断複写・転載を禁ず〉
シナノ印刷・渡辺製本
ISBN 4-254-10160-O C3040
Printed in Japan
日 <日本複写権センター委託出版物・特別扱い >
本書の無断複写は,著作権法上での例外を除き,禁じられています。
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