Forme bilineari simmetriche
Qui il campo dei coefficienti `e sempre R.
Definizione 1. Sia V uno spazio vettoriale. Una forma bilineare su V `e una
funzione b: V × V → R tale che
• ∀ v1 , v2 , v3 ∈ V
b(v1 + v2 , v3 ) = b(v1 , v3 ) + b(v2 , v3 ),
• ∀ t ∈ R ∀ v1 , v2 ∈ V
• ∀ v1 , v2 , v3 ∈ V
b(tv1 , v2 ) = tb(v1 , v2 ),
b(v1 , v2 + v3 ) = b(v1 , v2 ) + b(v1 , v3 ),
• ∀ t ∈ R ∀ v1 , v2 ∈ V
b(v1 , tv2 ) = tb(v1 , v2 ).
Equivalentemente, per ogni v ∈ V , b( , v) e b(v, ) sono forme lineari su V .
In generale,
b(t1 v1 +t2 v2 , t3 v3 +t4 v4 ) = t1 t3 b(v1 , v3 )+t1 t4 b(v1 , v4 )+t2 t3 b(v2 , v3 )+t2 t4 b(v2 , v4 ).
Sia A = (ai j ) una matrice n × n. Possiamo definire una forma bilineare bA
su Rn nel modo seguente: per ogni coppia di vettori x, y di Rn , pensati come
vettori colonna
x1
y1
x = ...
y = ... ,
xn
yn
poniamo
bA (x, y) = xT Ay,
cio`e
x1
...
xn
a1 1
.
..
an 1
...
a1 n
...
an n
y1
..
. .
yn
Consideriamo la base canonica (e1 , . . . , en ) di Rn , osserviamo che, per ogni i, j,
bA (ei , ej ) = ai j .
In generale, sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n e sia b una forma bilineare su V . Data B = (v1 , . . . , vn ) una base di V , definiamo la matrice
associata alla forma bilineare b rispetto alla base B
MB (b) = (mi j ),
matrice n × n ottenuta ponendo per ogni i, j
mi j = b(vi , vj ).
1
Cio`e
b(v1 , v1 ) . . .
..
MB (b) =
.
b(vn , v1 ) . . .
b(v1 , vn )
.
b(vn , vn )
Per ogni coppia di vettori v, v 0 in V , abbiamo
b(v, v 0 ) = (vB )T MB (b)vB0 ,
dove vB `e il vettore colonna delle coordinate di v rispetto alla base B.
Fissata una base B, l’applicazione che a ogni forma bilineare b su V associa
la matrice MB (b) `e biettiva (in effetti `e un isomorfismo di spazi vettoriali).
Date due basi B1 e B2 di V , consideriamo la matrice di cambiamento di base
MB1 ,B2 (idV ). Per ogni forma bilineare b su V abbiamo
MB2 (b) = (MB1 ,B2 (idV ))T MB1 (b)MB1 ,B2 (idV ).
Infatti,
(vB2 )T (MB1 ,B2 (idV ))T MB1 (b)MB1 ,B2 (idV )vB0 2 =
T
= MB1 ,B2 (idV )vB2 MB1 (b)MB1 ,B2 (idV )vB0 2 = (vB1 )T MB1 (b)vB0 1 .
Due matrici A e B n × n si dicono congruenti se esiste una matrice
invertibile M tale che
A = M T BM.
Due matrici n × n rappresentano la stessa forma bilineare (rispetto a due
basi eventualmente distinte) se e solo se sono congruenti.
Esercizio. Consideriamo
1
A= 1
0
−1
0
1 −1
1
0
e definiamo b(x, y) = xT Ay. Abbiamo A = ME (b). Consideriamo un’altra base
di R3
1
1
1
B = ( 0 , 1 , 1 ).
0
1
0
Scrivere la matrice MB (b).
Definizione 2. Una forma bilineare b su V si dice simmetrica se per ogni
v1 , v2 in V
b(v1 , v2 ) = b(v2 , v1 ).
2
Una forma bilineare b su V `e simmetrica se e solo se la sua matrice associata
rispetto a una qualsiasi base B `e una matrice simmetrica, cio`e
(MB (b))T = MB (b).
D’ora in avanti consideriamo solo forme bilineari simmetriche.
Sia b una forma bilineare simmetrica fissata. Due vettori v1 , v2 si dicono
ortogonali se b(v1 , v2 ) = 0, si scrive anche v1 ⊥ v2 . Un vettore v si dice
isotropo se b(v, v) = 0.
Per ogni sottoinsieme U di V , l’ortogonale
U ⊥ = {v ∈ V | b(v, u) = 0 ∀ u ∈ U }
`e un sottospazio vettoriale di V .
Abbiamo
U1 ⊆ U2
⇒
U1⊥ ⊇ U2⊥
(U1 + U2 )⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥
(U1 ∩ U2 )⊥ = U1⊥ + U2⊥
Il radicale di b `e
V ⊥ = {v ∈ V | b(v, w) = 0 ∀ w ∈ V }.
Definizione 3. La forma bilineare simmetrica b si dice non degenere se il
suo radicale V ⊥ `e zero.
Si dice definita positiva se b(v, v) > 0 per ogni v 6= 0.
Una forma bilineare simmetrica definita positiva `e necessariamente nondegenere.
La forma bilineare simmetrica b `e non-degenere se e solo se la matrice
associata a b rispetto a una qualsiasi base di V `e di rango massimo.
Infatti, fissato v ∈ V , b(v, ) `e una forma lineare su V , e v ∈ V ⊥ se e solo
se b(v, ) `e la forma lineare nulla. La matrice associata all’applicazione lineare
b(v, ): V → R rispetto alla base B (e alla base canonica in R) `e uguale al vettore
riga
(vB )T MB (b),
quindi v ∈ V ⊥ se e solo se tale vettore riga `e zero, ovvero (trasponendo) se e solo
se il vettore colonna MB (b)vB `e zero, ovvero il vettore colonna vB appartiene a
un sottospazio di Rn di dimensione dim V − rg(MB (b)).
Teorema 1 (Teorema di Sylvester). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione
finita n, sia b una forma bilineare simmetrica su V . Allora esiste una base B
3
di V tale che la matrice associata alla forma bilineare b rispetto alla base B `e
della forma a blocchi
Ip
0 0
0 −Iq 0
0
0 0
con p ≥ 0, q ≥ 0 e p + q ≤ n, dove p e q non dipendono dalla base B scelta, ma
solo dalla forma bilineare b.
Attenzione, precisiamo che i blocchi sulla diagonale della matrice dell’enunciato del Teorema di Sylvester sono rispettivamente della forma p × p, q × q
e (n − p − q) × (n − p − q), ma qualcuno di questi interi p, q, n − p − q pu`o
anche essere zero, quindi qualcuno di questi blocchi pu`o anche non comparire.
Ad esempio, se p = n (quindi q = 0) la matrice diventa semplicemente In .
La coppia di tali numeri naturali (p, q) si chiama segnatura della forma
bilineare simmetrica b.
La forma bilineare simmetrica di segnatura (p, q) `e non-degenere se e solo se
p + q = n, ed `e definita positiva se e solo se p = n.
Dimostrazione. Prima di tutto dimostriamo che per ogni spazio vettoriale V di
dimensione finita e per ogni forma bilineare simmetrica b su V esiste una base
B di V rispetto alla quale la matrice associata a b sia diagonale.
Procediamo per induzione sulla dimensione n di V . Se n = 1 `e banale.
Supponiamo che sia vero per ogni spazio vettoriale di dimensione n − 1, e consideriamo V di dimensione n con b forma bilineare simmetrica. Se b `e identicamente nulla allora tutte le basi di V vanno bene. Supponiamo che b non sia
identicamente nulla, prendiamo un vettore v1 non isotropo. Questo `e sempre
possibile infatti poich´e b non `e identicamente nulla esistono u1 , u2 ∈ V tali che
b(u1 , u2 ) 6= 0, ma se u1 e u2 sono entrambi isotropi, allora u1 +u2 non `e isotropo:
b(u1 + u2 , u1 + u2 ) = b(u1 , u1 ) + b(u2 , u2 ) + 2b(u1 , u2 ) = 2b(u1 , u2 ) 6= 0.
Consideriamo {v1 }⊥ , esso ha dimensione n − 1, infatti coincide con Ker b(v1 , )
e per costruzione b(v1 , ) `e una forma lineare non nulla su V . Inoltre v1 6∈ {v1 }⊥ .
La restrizione di b a {v1 }⊥ `e una forma bilineare simmetrica, diciamo b0 , quindi
per ipotesi induttiva esiste una base B 0 = (v2 , . . . , vn ) di {v1 }⊥ rispetto alla
quale la matrice associata a b0 `e diagonale. Ora (v1 , v2 , . . . , vn ) `e una base di V
rispetto alla quale la matrice associata a b `e della forma a blocchi
0
b(v1 , v1 )
.
0
MB0 (b0 )
Sia quindi B = (v1 , . . . , vn ) una base rispetto alla quale la matrice associata
a b `e diagonale. Gli elementi sulla diagonale sono
m1 1 = b(v1 , v1 ),
...,
4
mn n = b(vn , vn ).
Eventualmente riordinando i vettori della base possiamo supporre che i primi p
elementi siano > 0, i successivi q siano < 0 e i restanti = 0 (per qualche p e q).
Possiamo quindi riscalare i vettori della base nel modo seguente,
(√
v1
vp
vp+1
vp+q
,..., √
,√
,..., √
, vp+q+1 , . . . , vn ),
m1 1
mp p
−mp+1 p+1
−mp+q p+q
ottenendo la matrice desiderata.
Rimane da dimostrare che gli interi p e q non dipendono dalla base scelta.
La loro somma `e uguale al rango della matrice quindi non dipende dalla base.
Mostriamo che p non dipende dalla base scelta, perch´e `e la dimensione massima
di un sottospazio vettoriale di V su cui la restrizione di b sia definita positiva.
Sia W un sottospazio di V su cui la restrizione di b `e definita positiva. Se
dim W fosse > p, intersecando con W 0 = Span{vp+1 , . . . , vn }, per la Formula di
Grassmann avremmo
dim(W ∩ W 0 ) = dim W + dim W 0 − dim(W + W 0 ) > p + (n − p) − n = 0,
cio`e
W ∩ Span{vp+1 , . . . , vn } =
6 {0}
che `e impossibile.
Esercizio.
2
A= 1
0
1
2
1
0
1
2
Trovare una matrice invertibile M tale che M T AM sia della forma prescritta
dal Teorema di Sylvester. (Si procede ricorsivamente come nella dimostrazione:
se la forma `e non nulla si trova un vettore non isotropo e ci si restringe al
sottospazio ortogonale, e poi si ricomincia da capo fino a che non si arriva al
sottospazio zero o a un sottospazio su cui la forma bilineare sia nulla.)
5
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