Lezione 6b

Lezione 6b
 Spettri di risposta
L’equazione del moto assume la seguente forma:
m  u(t )  c  u (t )  k  u (t )   m  ug (t )
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Supponendo di risolvere tale equazione utilizzando l’integrale di
Duhamel, si ottiene:
t
1
u (t )  
 en (t  )  sin[ D (t   )]  P( )d
m  D
0
Poiché nel caso in esame risulta: P ( )   m  u g ( )
Si ottiene:
u (t ) 
1
D
t
 n ( t  )

(
)

u


e
 sin[ D (t   )]d
g

0
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Considerando il caso di piccoli valori dello smorzamento, ovvero
nD, e trascurando il segno:
u (t ) 
1
n
t
  n ( t  )

(
)

u


e
 sin[ n (t   )]d
 g
0
Considerando la derivata prima per ottenere la velocità:
t
u (t )   ug ( )  e
0
 n ( t  )
t
 cos[ n (t   )]d    ug ( )  en (t  )  sin[ n (t   )]d
0
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Riscrivendo l’equazione del moto nella seguente forma:
m  utot (t )  c  u (t )  k  u (t )  0
utot (t )  2 n  u (t )   n2  u (t )  0
Si ottiene che:
utot (t )  2 n  u (t )   n2  u (t )
e sostituendo in questa le espressioni dedotte prima si ottiene:
t
utot (t )   2  n  n   ug ( )  e
2
0
  n ( t  )
t
 sin[n (t   )]d   2n   ug ( )  en (t  )  cos[n (t   )]d
0
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Risolvendo le espressioni trovate prima è possibile trovare il
massimo in termini di valore assoluto delle corrispondenti
quantità.
Esse vengono indicate come:
Sa ( , n )
accelerazione assoluta spettrale
Sv ( ,  n )
velocità relativa spettrale
Sd ( ,  n )
spostamento relativo spettrale
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Nella pratica, invece di considerare la velocità relativa spettrale,
si considera invece la pseudo-velocità relativa spettrale definita
come:
t

  n ( t  )
S pv   ,  n     ug ( )  e
 sin[ n (t   )]d 
0
 max
Lezione 6b
 Spettri di risposta
In particolare, se si considera smorzamento nullo si osserva che
la velocità spettrale e la pseudo-velocità spettrale differiscono
solo per il termine trigonometrico:
t

S pv  0,  n     ug ( )  sin[ n (t   )]d 
0
 max
t

Sv  0,  n     ug ( )  cos[ n (t   )]d 
0
 max
Hudson ha dimostrato che numericamente queste due quantità differiscono poco se
non si è nel caso di periodi di vibrazione della struttura molto elevati. Differenze tra
queste due quantità aumentano in presenza dello smorzamento.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Inoltre, poiché:
 1 t

  n ( t  )
S d   ,  n      ug ( )  e
 sin[ n (t   )]d 
 n 0
 max
segue che:
Sd  ,  n  
1
n
S pv   ,  n 
E, allo stesso modo si può osservare che per smorzamento nullo
si ha:
t


S a  0,  n     n  ug ( )  sin[ n (t   )]d 
0

 max
Lezione 6b
 Spettri di risposta
ovvero:
Sa  0,  n    n S pv  0,  n 
Si può dimostrare che nell’intervallo 0<<0.20 si ha:
Sa   ,  n    n S pv   ,  n 
dove quest’ultima viene indicata col termine di pseudoaccelerazione:
S pa   , n   n S pv   ,  n 
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Quest’ultima quantità è molto importante in quanto consente di
calcolare la massima forza esplicata dalla molla di rigidezza k
dell’oscillatore semplice:
f S ,max  k  Sd   ,  n   m   n2 Sd   ,  n 
poiché:
Sd   ,  n  
1
n
S pv   ,  n 
S pa   , n   n S pv   , n 
segue che:
Sd  ,  n  
1

2
n
S pa   ,  n 
Lezione 6b
 Spettri di risposta
e dunque la forza massima esplicata dalla molla risulta:
f S ,max  m  S pa   ,  n 
Lezione 6b
 Spettri di risposta
S pa ( , n )
S pv ( ,  n )
Sd ( ,  n )
dipendono da:
dalla storia temporale del moto del suolo
dalla frequenza naturale di vibrazione del sistema
dal rapporto di smorzamento.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Infatti, dato un terremoto, assegnato un rapporto di
smorzamento, si può calcolare la pseudo-velocità per differenti
valori di n , ovvero del periodo naturale di vibrazione del
sistema.
Si ottiene una curva denominata spettro di risposta in termini di
pseudo-velocità.
Conseguentemente la stessa curva può essere realizzata in
termini di spostamento e di pseudo-accelerazione, ottenendo
appunto lo spettro di risposta in termini di spostamento ed in
termini di pseudo-accelerazione.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Lezione 6b
 Spettri di risposta
FATTORI INFLUENZANTI LO SPETTRO DI RISPOSTA
-meccanismo di rilascio dell’energia sismica nelle vicinanze dell’ipocentro e
lungo l’interfaccia della faglia
-la distanza della stazione dall’epicentro
-la profondità dell’ipocentro
-la geologia del suolo e la sua variazione lungo il percorso seguito dalle onde
sismiche
-la magnitudo
-le condizioni locali di sito della stazione dove avviene la registrazione.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI DELLE NORMATIVE
In fase di progetto o di verifica delle costruzioni risulta invece importante
utilizzare spettri convenzionali ricavati sulla base di spettri calcolati dedotti con
riferimento a numerose registrazioni storiche relative ad eventi occorsi nella
stessa zona di interesse ed opportunamente normalizzati. Dall’insieme di
questi spettri si estrapola infatti uno spettro medio, oppure uno spettro di
inviluppo, regolarizzandone (‘lisciandone’) la forma, tagliando i picchi più
elevati e ‘appianando’ i minimi.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
NTC-08
Sono stati recepiti i risultati di uno studio recente (Progetto S1 –
http://esse1.mi.ingv.it/) che ha prodotto per ogni punto di una griglia regolare
con passo di circa 5 km nelle due direzioni orizzontali, l’analisi probabilistica di
pericolosità sismica, fornendo le curve di pericolosità per le accelerazioni
spettrali elastiche.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
NTC-08
Dove per undici periodi di oscillazione sono stati fornite nove ordinate spettrali
in accelerazione, ciascuna delle quali relativa ad un periodo di ritorno TR
compreso tra 30 e 2475 anni.
Il riferimento al periodo di ritorno è molto importante dal punto di vista
probabilistico in quanto esso rappresenta quell’intervallo che mediamente
intercorre tra due terremoti che producono, nel sito in esame, un valore
dell’accelerazione spettrale uguale o maggiore di quello considerato.
Assegnato infatti il periodo di ritorno è possibile ricavare la probabilità di
superamento, PVR, di quello specifico valore dell’accelerazione spettrale in un
periodo temporale qualsiasi, VR:
PVR=1-e-VR/TR
Lezione 6b
 Spettri di risposta
NTC-08
La valutazione delle azioni sismiche sulle costruzioni secondo le NTC avviene
proprio in base alla pericolosità del sito che viene a sua volta definita in
termini di accelerazione orizzontale massima attesa ag su un suolo di tipo A
(roccia), ovvero il picco del segnale che ha una certa probabilità PVR di essere
superato in un periodo di riferimento VR.
In particolare, nelle NTC, il periodo di riferimento VR viene calcolato tramite il
prodotto tra la vita nominale della costruzione, VN, (intesa come il numero di
anni in cui la struttura, purché soggetta alla manutenzione ordinaria, deve
poter essere usata per lo scopo a cui è destinata) e il coefficiente d’uso, CU (il
quale considera l’importanza della struttura in funzione della gravità delle
perdite dovute al raggiungimento di un determinato stato limite):
VR=VN · CU
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Nelle NTC vengono forniti dei valori di riferimento della PVR ai quali fare riferimento
nell’ambito della progettazione. Per quanto detto sopra, essi risultano funzione dello
Stato Limite a cui si fa riferimento.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad ag
(accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F0, che
definisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed ag per quel sito (esso
rappresenta l’amplificazione spettrale) e TC* che rappresenta invece il periodo finale
del ramo piatto dello spettro.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
La definizione dello spettro elastico in accelerazione necessità oltre ad ag
(accelerazione massima attesa al sito) anche di altri due parametri, ovvero di F0, che
definisce il rapporto tra il massimo valore dello spettro ed ag per quel sito (esso
rappresenta l’amplificazione spettrale) e TC* che rappresenta invece il periodo finale
del ramo piatto dello spettro.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Poiché i parametri sono riferiti ad un suolo di tipo A su piano orizzontale è
necessario introdurre ulteriori parametri che consentano di tenere conto delle
condizioni locali del sottosuolo e della morfologia della superficie. Nelle NTC si tiene
conto dell’amplificazione stratigrafica, SS, e dell’amplificazione topografica, ST,
tramite il fattore S:
S=SS · ST
Valutando il valore iniziale del periodo del tratto dello spettro a velocità costante, TC,
tramite la seguente relazione:
TC=TC* · CC
dove CC è un coefficiente funzione della categoria del sottosuolo.
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Le espressioni analitiche dello spettro di risposta in accelerazione (componenti
orizzontali) contenute nelle NTC, sono le seguenti:
T
1 
T 

0  T  TB  Se (T )  ag  S   F0   
1


 TB  F0  TB  
TB  T  TC  Se (T )  ag  S   F0
T 
TC  T  TD  Se (T )  ag  S   F0   C 
T 
 T T 
TD  T  Se (T )  ag  S   F0   C 2 D 
 T

Lezione 6b
 Spettri di risposta
Oltre ai fattori descritti sopra, nelle espressioni dello spettro elastico compare anche
un parametro  che esprime la dipendenza delle ordinate spettrali dal rapporto di
smorzamento :
  10 / (5   )  0.55
funzione del tipo di materiale strutturale, della tipologia strutturale e del terreno di
fondazione.
Infine, nelle stesse espressioni compaiono anche i valori del periodo TB, inizio del
tratto ad accelerazione costante, e del periodo TD, inizio del tratto a spostamento
costante, i quali sono legati ai parametri precedenti tramite le seguenti relazioni:
TB=TC/3
TD=4.0 · ag/g + 1.6
Lezione 6b
 Spettri di risposta
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
Il criterio di progettazione basato sul danneggiamento della struttura nel caso di
terremoti severi, costringe a considerare il comportamento dell’oscillatore non solo in
caso di regime elastico lineare, che riflette una struttura in assenza di danni, ma
anche nel caso di comportamento non lineare del materiale (di seguito si farà
riferimento all’oscillatore semplice a comportamento elasto-plastico).
u (t )
f
m
c,k
fy
k0
uy
u
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
la duttilità proprio come la capacità della struttura di sopportare spostamenti oltre il
limite elastico.
In particolare, se si considera un sistema costituito da materiale a comportamento
elastico-perfettamente plastico, il rapporto tra lo spostamento al collasso, um, e lo
spostamento corrispondente al superamento del limite elastico, uy, viene definito
come duttilità disponibile del sistema.
Lo stesso rapporto in cui però al posto di um si sostituisce lo spostamento massimo,
umax, esibito dal sistema durante il terremoto, si ottiene la duttilità richiesta al sistema
u (t )
f
m
c,k
fy
k0
uy
u
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
Il sistema potrà essere dimensionato sulla base di una forza minore rispetto a quella
a cui sarebbe soggetto se avesse un comportamento elastico-lineare proprio
confidando sulla sua capacità di subire spostamenti in campo plastico.
Se si conosce la duttilità disponibile del
sistema si può valutare di quanto ridurre la
forza massima elastica per far si che la duttilità
disponibile del sistema sia proprio pari alla
duttilità massima richiesta dal terremoto.
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
Gli studi di Newmark (1960) hanno infatti evidenziato che per valori alti del periodo
(ovvero maggiori di quelli corrispondenti al picco della campana dello spettro), gli
spostamenti relativi massimi della massa strutturale sono sostanzialmente gli stessi
sia per l’oscillatore elastico sia per quello elasto-plastico.
Fd=Fy=Fmax,e/m
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
Per periodi minori tale approccio non risulta più valido e, sebbene in questo caso il
problema sia maggiormente complesso, si utilizza il principio di uguaglianza
dell’energia, ovvero delle aree sottese dalle due curve. Ciò dà luogo a una forza di
progetto pari a:
Fd=Fy=Fmax,e/(2m-1)0.5
Lezione 6b
DUTTILITÀ E SPETTRI DI PROGETTO
Nelle NTC oltre agli spettri elastici vengono definiti gli spettri di progetto che tengono
appunto conto della duttilità della struttura, consentendo di utilizzare forze di progetto
più basse rispetto a quelle elastiche ma effettuando comunque un’analisi su un
modello elastico lineare.
T
1
q 
T
0  T  TB  Se (T )  ag  S   F0     1 
q
 TB F0  TB
1
TB  T  TC  Se (T )  ag  S   F0
q


 
1
T 
TC  T  TD  Se (T )  ag  S   F0   C 
q
T 
1
 T T 
TD  T  Se (T )  ag  S   F0   C 2 D 
q
 T

Si osserva dunque che, in luogo della duttilità viene utilizzato il fattore di struttura q
per tenere conto del fatto che nei sistemi a più gradi di libertà la riduzione delle forze
elastiche non è legata solo al comportamento del materiale ma anche al
comportamento globale della struttura e dunque materiale –strutturale / tipologia
strutturale.
Azione Sismica
Esempio
Dalla tabella:
ag=1.74 m/s2
Fo=2.45
T*c=0.29 s
DM08 - Azione Sismica
Esempio
Fase 2. spettro elastico
T
1 
T
1
0  T  TB  Se (T )  ag  S   F0   


T
F
TB

 B
0 
TB  T  TC  Se (T )  ag  S   F0
T 
TC  T  TD  Se (T )  ag  S   F0   C 
T 
 T T 
TD  T  Se (T )  ag  S   F0   C 2 D 
 T



 
DM08 - Azione Sismica
Esempio
Fase 2. spettro elastico
Tc=Cc T*c =1.0 x 0.29 = 0.29 s
DM08 - Azione Sismica
Esempio
Fase 2. spettro elastico
TB=TC/3=0.29/3 = 0.097 s
TD=4.0 (ag/g)+1.6=2.31 s
S=Ss St = 1.0
DM08 - Azione Sismica
Esempio
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
DM08 - Azione Sismica
Esempio
Fase 3. spettro di progetto
Fattore di struttura q:
q=4.5 u/1= 4.5 · 1.3 =5.85
DM08 - Azione Sismica
Esempio
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4

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