Vettori. Operazioni. Rappresentazione cartesiana.

VETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI.
RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI.
APPLICAZIONI.
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Angela Donatiello
→
Sia AB un segmento orientato. Ad esso è possibile associare:
1) la direzione,, cioè la direzione della retta su cui giace il
segmento AB
2) il verso,, ossia quello che sulla retta porta da A a B
3) il modulo (o intensità) dato dalla lunghezza del segmento AB rispetto ad una prefissata
unità di misura. Tale modulo lo si indica con il simbolo ||AB||.
DEF. Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno stessa direzione, stesso verso e
stesso modulo.
→
Esistono infiniti segmenti orientati equipollenti ad un segmento orientato dato AB.
La relazione di equipollenza tra segmenti ori
orientati è una relazione di equivalenza,
equivalenza in
quanto gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Ricordiamo. R è una relazione di equivalenza se e solo se:
⇔ xRx, ∀ x∈S
R simmetrica : ⇔ (xRy ⇒ yRx)
R transitiva ⇔ (xRy, yRz ⇒ xRz)
R riflessiva :
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Angela Donatiello
Ogni relazione di equivalenza “induce” sull’insieme in cui è definita una partizione “canonica”
i cui elementi ( sottoinsiemi di A a due a due disgiunti, la cui unione dà ancora A) sono le
classi di equivalenza della partizione. L’insieme delle classi di equivalenze è detto Insieme
Quoziente.
Dividiamo tutti i segmenti orientati dello spazio in classi di equivalenza, ponendo in ogni
classe tutti i segmenti orientati tra loro equipollenti. In tal modo viene a costituirsi una
partizione dello spazio data dall’insieme quoziente V i cui elementi sono le classi di
equivalenza suddette.
DEFINIZIONE. Si chiama vettore ogni elemento dell’insieme quoziente V, ossia ogni classe di
equivalenza di segmenti orientati.
→
v simbolo con cui si indicano i vettori (ossia le classi di equivalenza)
→
|| v ||
simbolo che indica il modulo di un vettore
→
→
Nella classe di equivalenza di v ci sono infiniti segmenti orientati AB, tutti equipollenti tra
→
→
loro, ognuno di questi segmenti orientati AB è detto un rappresentante del vettore v .
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Angela Donatiello
L’estremo A è detto punto di applicazione
del vettore o origine.
L’estremo B è detto estremo libero del
vettore
B
B
A
D
A
C
→
→
Sicuramente è possibile affermare che AB = CD (uguali nel senso di equipollenti)
hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo
ABCD è un parallelogramma
Ogni segmento orientato può essere traslato parallelamente a se stesso
La direzione di un vettore è la classe delle rette parallele, ossia è definita da un fascio
improprio di rette
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Angela Donatiello
→ →
Due vettori si dicono paralleli u // v se hanno la stessa direzione
VERSORE. Si chiama versore un vettore di modulo unitario avente direzione e verso
assegnato e si indica con il simbolo vˆ
VETTORE NULLO. Si chiama vettore nullo un vettore che ha modulo nullo e direzione e
→
verso indeterminati. Tale vettore si indica con il simbolo 0 .
VETTORI OPPOSTI. Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso
modulo, ma verso opposto.
SOMMA TRA VETTORI
→
→
B
Siano u e v vettori non nulli, sia O un punto qualunque del piano,
→
→
→
siano OA e AB due rappresentanti rispettivamente dei vettori u e
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Angela Donatiello
O
A
→
v , si definisce somma (o risultante) dei due vettori il vettore avente come rappresentante
→
il segmento orientato OB .
(metodo punta – coda)
→
→
→
Tale somma si indica con il simbolo r = u + v
NOTA. Attenzione a non confonderla con l’usuale somma tra numeri!!! Anche se il simbolo
usato per indicarla è ancora un “+”, essa rappresenta un’operazione diversa, in quanto
applicata ad elementi completamente diversi.
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA
E’ possibile definire la somma tra vettori anche in un altro modo, ossia traslando il
→
segmento orientato AB in modo da portare entrambi i segmenti orientati nel medesimo
punto di applicazione O. In tal caso la risultante o somma
→
→
C
’
B
sarà la diagonale OC del parallelogramma avente per lati i
→
due segmenti orientati OA e OB .
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Angela Donatiello
O
A
PROPRIETA’ DELLA SOMMA
→
→
→
La somma tra vettori è una legge interna, ossia r = u + v è ancora un vettore
→
→
→
→
→
→
( u + v ) + w = u + ( v + w ) proprietà associativa
→
→
→
→
→
u+ 0 = 0+ u = u
→
→
→
→
→
esistenza dell’elemento neutro per la somma
u + (−u ) = (−u )+ u = 0
esistenza dell’elemento simmetrico
u+ v = v+ u
proprietà commutativa
→
→
→
→
V (+) è un gruppo abeliano
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Angela Donatiello
MODULO DEL VETTORE SOMMA
C
’
B
E’ possibile determinare il modulo del vettore somma, noti i
moduli dei due vettori e l’angolo da essi formato
→
→ 2
w
→2
= u
→2
+ v
→
π−α
v
→
− 2 u ⋅ v cos(π − α)
α
O
→
u
A
Casi particolari:
π
α=
i vettori sono perpendicolari
2
→ 2
w
→2
= u
→2
+ v
α = 0 i vettori hanno stessa direzione e stesso verso
→
→
w = u + v
→
α = 180° i vettori hanno stessa direzione, ma verso opposto w =
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Angela Donatiello
→
→
→
u − v
α
DIFFERENZA TRA VETTORI
→
→
→
→
La differenza tra due vettori u e v è uguale alla somma di u con l’opposto di v
→ →
→
→
C
’
B
( u − v ) = u + (− v )
→
v
→
u
→
−v
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O
Angela Donatiello
A
PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE
Def. Uno scalare è un numero reale.
→
→
Se k è uno scalare e v un vettore, il prodotto dello scalare k per il vettore v è
1) ancora un vettore (legge interna)
→
2) ha direzione uguale a quella del vettore v (sono vettori paralleli)
→
3) modulo uguale al valore assoluto di k per il modulo di v
→
→
→
kv = k ⋅ u
→
4) verso uguale a quello di v se k > 0, opposto a quello di v se k < 0
Proprietà del prodotto di uno scalare per un vettore
→
→
→
1 ⋅ u = u ⋅1 = u
→
→
→
(m + n ) ⋅ u = m ⋅ u + n ⋅ u
→
→
→
(elemento neutro per il prodotto)
proprietà distributive
→
m( u + v ) = m ⋅ u + m ⋅ v
→
→
m(n ⋅ u ) = (mn ) ⋅ u
[Digitare il testo]
proprietà associativa
Angela Donatiello
Oss.
|| ||
versore
→
Si definisce prodotto scalare dei due vettori lo scalare
→
→
→
v
→
u • v = || u || ⋅ || v || cos α
Variazioni e casi particolari:
O
→ →
→
→
α = 0 ⇒ cos 0 = 1 ⇒ u • v =|| u || ⋅ || v ||
→ →
π
0 < α < ⇒ 0 < cos α < 1 ⇒ u • v > 0
2
→ →
→
→
π
π
α = ⇒ cos = 0 ⇒ u • v =|| u || ⋅ || v ||= 0
2
2
→ →
π
< α < π ⇒ −1 < cos α < 0 ⇒ u • v < 0
2
→ →
→
→
α = π ⇒ cos π = −1 ⇒ u • v = − || u || ⋅ || v ||
[Digitare il testo]
C
’
B
PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI
Angela Donatiello
α
→
u
A
Condizione di perpendicolarità: Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il
→
→
→ →
loro prodotto scalare è nullo. u ⊥ v ⇔ u • v = 0
Esercizio: Dati i vettori e tali che | |
10 | |
6 determina il loro prodotto
scalare nel caso in cui i due vettori formino un angolo di 45° e nel caso in cui formino un
angolo di 120°.
Proprietà del prodotto scalare
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
0
0
0
proprietà commutativa
proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma
|| || in quanto ogni vettore è parallelo a se stesso, per cui cos0 = 1
1
|| ||
|| ||
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
10) Ricordiamo la relazione che permette di calcolare il modulo della somma di vettori
mediante il teorema di Carnot:
→
→ 2
u+ v
→ 2
= u
→ 2
+ v
→
→ 2
→
− 2 u ⋅ v cos(π − α ) = u
→ 2
+ v
→
→ 2
→
+ 2 u ⋅ v cos α = u
→ 2
+ v
→
→
+2u • v
Ciò permette di determinare il prodotto scalare tra due vettori, noti i moduli dei due vettori
||
e della loro somma
·
||
|| ||
|| ||
Applicazioni in fisica
1) Lavoro di una forza costante
#$
,-.
! "
%& '
( '
·
)
α
B
A
**
'
(+
*
& '
2) Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie piana
'
[Digitare il testo]
3
S
/ '/
Φ1 E
3 · '/
Angela Donatiello
3/
* !( (
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
Proprietà del prodotto vettoriale
Applicazioni in fisica
Momento di una forza rispetto ad un punto O
Il momento di una forza
1) Modulo uguale a M = F
ha:
= F b con
b = braccio della forza =
2) Direzione perpendicolare al piano su cui giacciono r ed F
3) Verso uguale a quello di avanzamento di una vite destrorsa, ossia ruotando in senso
antiorario di un angolo minore di 180° sovrapponendo r con F. Equivalentemente si può
dire che nell’ordine
[Digitare il testo]
costituiscono una terna destrorsa.
Angela Donatiello
DECOMPOSIZIONE DI UN VETTORE RISPETTO A DUE DIREZIONI ASSEGNATE
Sia un vettore e 4# un suo rappresentante. Siano r ed s rette assegnate nel piano. Si
traccino le parallele ad r ed s passanti per l’estremo libero A del segmento orientato e si
individuino un punto #5 e un punto #6 come intersezioni delle parallele suddette con le rette
assegnate r ed s.
s
As
A
r
O
4#
Ar
4#5 4#6
Per definizione di somma
#5 #6 #5 ̂ #6 ̂
#5 #6 sono dette componenti del vettore lungo le due
direzioni assegnate
I versori ̂ 8 ̂ costituiscono una base del piano
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI. BASI
Siano
;
;…;
;
n vettori.
Si dice che il vettore è combinazione lineare dei vettori ;
<
<
= <; ; con < ; < ; … ; <; numeri reali
;…;
;
se risulta
I vettori ; ; … ; ; si dicono linearmente dipendenti se esistono n numeri reali
< ; < ; … ; <; non tutti nulli, tali che <
<
= <; ; 0
Se ciò non si verifica, cioè se la combinazione lineare dei vettori ; ; … ; ; è uguale al
vettore nullo solo con scalari < ; < ; … ; <; tutti nulli, allora i vettori si diranno linearmente
indipendenti.
Se i vettori ; ; … ; ; sono linearmente dipendenti allora uno di essi si può scrivere come
combinazione lineare dei rimanenti. Infatti, essendo gli scalari < ; < ; … ; <; non tutti nulli,
[email protected]
?B
allora esisterà, ad esempio < > 0 per cui
=
C
= C; ;
?
? ;
A
A
→ →
Due vettori paralleli sono linearmente dipendenti: infatti se u // v allora
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
&
Viceversa se sono linearmente dipendenti, allora sono paralleli.
Sulla retta il numero massimo di vettori li
linearmente
nearmente indipendenti è 1
Ogni altro vettore sarebbe parallelo al primo e quindi del tipo
Nel piano il numero massimo di vettori linearmente
indipendenti è 2.
(E’ intuitivo comprendere ciò, in quanto ogni altro vettore
potrebbe essere visto comee somma dei primi due e pertanto
come combinazione lineare dei primi due)
Nello spazio il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è 3
I vettori linearmente indipendenti del piano o dello spazio costituiscono una base del piano o
dello spazio, ossia ogni altro vettore potrà essere scritto come combinazione lineare dei
vettori della base.
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Angela Donatiello
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
Determinazione del modulo del vettore
componenti
| |
Y
Z
note le
[
applicando il Teorema di Pitagora
Determinazione delle componenti del vettore
forma con l’orizzontale
noto il suo modulo e l’angolo che esso
Detto \ l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle
ascisse si ha che:
|| || \
Z
| | '\
[
Determinazione dell’angolo \ note le componenti del vettore
\
[Digitare il testo]
%
Angela Donatiello
[
Z
VERSORI E COSENI DIRETTORI
α
[
ϑ
| |
O
\
||
[Digitare il testo]
]
]
||
Z
'\= | |
'`
Z
|| ||
[
|| ||
^
;
_
|| || || ||
Z
|| ||
[
Angela Donatiello
\;
a
\
b
| |
OPERAZIONI TRA VETTORI MEDIANTE LE COMPONENTI CARTESIANE
Somma tra vettori
Z;
c
Esempio:
c
[
c
Z
3; 2
2; 6
cZ ; c[
cZ ;
[
c
c[
1; 4
Prodotto di un vettore per uno scalare
g
[Digitare il testo]
g
Z;
[
Z; g [
Angela Donatiello
Prodotto scalare tra due vettori
→
→
→
→
u • v = || u || ⋅ || v || cos α
Dati i versori
ĥ
1; 0
ĥ · ĥ
(
î
1
0; 1
per le proprietà sul prodotto scalare si ha che:
î · î
j
1
ĥ · î
0
Siano
due vettori entrambi applicati in O ed espressi
Z ĥ
[ î e
Z ĥ
[ î
mediante le componenti cartesiane, si ha che:
·
k
Z ĥ
[ îl
· k Z ĥ
[ îl
Z Z ĥ
· ĥ
·
·
|| |||| ||
[Digitare il testo]
Z [ ĥ
Z Z
Y
· î
[ Z î
· ĥ
[ [ î
[ [
Z Z
Z
Angela Donatiello
[
·Y
[ [
Z
[
· î
Z Z
[ [
RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI NELLO SPAZIO
VERSORI CANONICI degli assi
[Digitare il testo]
Angela Donatiello
Prodotto vettoriale tra due vettori
Siano
Z ĥ
k
m
[ î
[ o
ĥ m ĥ
ĥ m î
î m ĥ
k
n
og
Z ĥ
î m î 0
gn m gn
î m gn ĥ
gn m ĥ
gn m î
ĥ ĥ m gn
0
gn
gn
e
o [ lĥ
[ î
m
[Digitare il testo]
n m k Z ĥ
o gl
o Z
p
Z ĥ
Z o
ĥ
Z
Z
Angela Donatiello
î
[
[
î
gn
op
o
k
0
î
[ î
[ î
Z [
î
n
og
nl
og
n
[ Z lg