VETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI. APPLICAZIONI. [Digitare il testo] Angela Donatiello → Sia AB un segmento orientato. Ad esso è possibile associare: 1) la direzione,, cioè la direzione della retta su cui giace il segmento AB 2) il verso,, ossia quello che sulla retta porta da A a B 3) il modulo (o intensità) dato dalla lunghezza del segmento AB rispetto ad una prefissata unità di misura. Tale modulo lo si indica con il simbolo ||AB||. DEF. Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo. → Esistono infiniti segmenti orientati equipollenti ad un segmento orientato dato AB. La relazione di equipollenza tra segmenti ori orientati è una relazione di equivalenza, equivalenza in quanto gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Ricordiamo. R è una relazione di equivalenza se e solo se: ⇔ xRx, ∀ x∈S R simmetrica : ⇔ (xRy ⇒ yRx) R transitiva ⇔ (xRy, yRz ⇒ xRz) R riflessiva : [Digitare il testo] Angela Donatiello Ogni relazione di equivalenza “induce” sull’insieme in cui è definita una partizione “canonica” i cui elementi ( sottoinsiemi di A a due a due disgiunti, la cui unione dà ancora A) sono le classi di equivalenza della partizione. L’insieme delle classi di equivalenze è detto Insieme Quoziente. Dividiamo tutti i segmenti orientati dello spazio in classi di equivalenza, ponendo in ogni classe tutti i segmenti orientati tra loro equipollenti. In tal modo viene a costituirsi una partizione dello spazio data dall’insieme quoziente V i cui elementi sono le classi di equivalenza suddette. DEFINIZIONE. Si chiama vettore ogni elemento dell’insieme quoziente V, ossia ogni classe di equivalenza di segmenti orientati. → v simbolo con cui si indicano i vettori (ossia le classi di equivalenza) → || v || simbolo che indica il modulo di un vettore → → Nella classe di equivalenza di v ci sono infiniti segmenti orientati AB, tutti equipollenti tra → → loro, ognuno di questi segmenti orientati AB è detto un rappresentante del vettore v . [Digitare il testo] Angela Donatiello L’estremo A è detto punto di applicazione del vettore o origine. L’estremo B è detto estremo libero del vettore B B A D A C → → Sicuramente è possibile affermare che AB = CD (uguali nel senso di equipollenti) hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo ABCD è un parallelogramma Ogni segmento orientato può essere traslato parallelamente a se stesso La direzione di un vettore è la classe delle rette parallele, ossia è definita da un fascio improprio di rette [Digitare il testo] Angela Donatiello → → Due vettori si dicono paralleli u // v se hanno la stessa direzione VERSORE. Si chiama versore un vettore di modulo unitario avente direzione e verso assegnato e si indica con il simbolo vˆ VETTORE NULLO. Si chiama vettore nullo un vettore che ha modulo nullo e direzione e → verso indeterminati. Tale vettore si indica con il simbolo 0 . VETTORI OPPOSTI. Due vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto. SOMMA TRA VETTORI → → B Siano u e v vettori non nulli, sia O un punto qualunque del piano, → → → siano OA e AB due rappresentanti rispettivamente dei vettori u e [Digitare il testo] Angela Donatiello O A → v , si definisce somma (o risultante) dei due vettori il vettore avente come rappresentante → il segmento orientato OB . (metodo punta – coda) → → → Tale somma si indica con il simbolo r = u + v NOTA. Attenzione a non confonderla con l’usuale somma tra numeri!!! Anche se il simbolo usato per indicarla è ancora un “+”, essa rappresenta un’operazione diversa, in quanto applicata ad elementi completamente diversi. REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA E’ possibile definire la somma tra vettori anche in un altro modo, ossia traslando il → segmento orientato AB in modo da portare entrambi i segmenti orientati nel medesimo punto di applicazione O. In tal caso la risultante o somma → → C ’ B sarà la diagonale OC del parallelogramma avente per lati i → due segmenti orientati OA e OB . [Digitare il testo] Angela Donatiello O A PROPRIETA’ DELLA SOMMA → → → La somma tra vettori è una legge interna, ossia r = u + v è ancora un vettore → → → → → → ( u + v ) + w = u + ( v + w ) proprietà associativa → → → → → u+ 0 = 0+ u = u → → → → → esistenza dell’elemento neutro per la somma u + (−u ) = (−u )+ u = 0 esistenza dell’elemento simmetrico u+ v = v+ u proprietà commutativa → → → → V (+) è un gruppo abeliano [Digitare il testo] Angela Donatiello MODULO DEL VETTORE SOMMA C ’ B E’ possibile determinare il modulo del vettore somma, noti i moduli dei due vettori e l’angolo da essi formato → → 2 w →2 = u →2 + v → π−α v → − 2 u ⋅ v cos(π − α) α O → u A Casi particolari: π α= i vettori sono perpendicolari 2 → 2 w →2 = u →2 + v α = 0 i vettori hanno stessa direzione e stesso verso → → w = u + v → α = 180° i vettori hanno stessa direzione, ma verso opposto w = [Digitare il testo] Angela Donatiello → → → u − v α DIFFERENZA TRA VETTORI → → → → La differenza tra due vettori u e v è uguale alla somma di u con l’opposto di v → → → → C ’ B ( u − v ) = u + (− v ) → v → u → −v [Digitare il testo] O Angela Donatiello A PRODOTTO DI UN VETTORE PER UNO SCALARE Def. Uno scalare è un numero reale. → → Se k è uno scalare e v un vettore, il prodotto dello scalare k per il vettore v è 1) ancora un vettore (legge interna) → 2) ha direzione uguale a quella del vettore v (sono vettori paralleli) → 3) modulo uguale al valore assoluto di k per il modulo di v → → → kv = k ⋅ u → 4) verso uguale a quello di v se k > 0, opposto a quello di v se k < 0 Proprietà del prodotto di uno scalare per un vettore → → → 1 ⋅ u = u ⋅1 = u → → → (m + n ) ⋅ u = m ⋅ u + n ⋅ u → → → (elemento neutro per il prodotto) proprietà distributive → m( u + v ) = m ⋅ u + m ⋅ v → → m(n ⋅ u ) = (mn ) ⋅ u [Digitare il testo] proprietà associativa Angela Donatiello Oss. || || versore → Si definisce prodotto scalare dei due vettori lo scalare → → → v → u • v = || u || ⋅ || v || cos α Variazioni e casi particolari: O → → → → α = 0 ⇒ cos 0 = 1 ⇒ u • v =|| u || ⋅ || v || → → π 0 < α < ⇒ 0 < cos α < 1 ⇒ u • v > 0 2 → → → → π π α = ⇒ cos = 0 ⇒ u • v =|| u || ⋅ || v ||= 0 2 2 → → π < α < π ⇒ −1 < cos α < 0 ⇒ u • v < 0 2 → → → → α = π ⇒ cos π = −1 ⇒ u • v = − || u || ⋅ || v || [Digitare il testo] C ’ B PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI Angela Donatiello α → u A Condizione di perpendicolarità: Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il → → → → loro prodotto scalare è nullo. u ⊥ v ⇔ u • v = 0 Esercizio: Dati i vettori e tali che | | 10 | | 6 determina il loro prodotto scalare nel caso in cui i due vettori formino un angolo di 45° e nel caso in cui formino un angolo di 120°. Proprietà del prodotto scalare 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0 0 0 proprietà commutativa proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma || || in quanto ogni vettore è parallelo a se stesso, per cui cos0 = 1 1 || || || || [Digitare il testo] Angela Donatiello 10) Ricordiamo la relazione che permette di calcolare il modulo della somma di vettori mediante il teorema di Carnot: → → 2 u+ v → 2 = u → 2 + v → → 2 → − 2 u ⋅ v cos(π − α ) = u → 2 + v → → 2 → + 2 u ⋅ v cos α = u → 2 + v → → +2u • v Ciò permette di determinare il prodotto scalare tra due vettori, noti i moduli dei due vettori || e della loro somma · || || || || || Applicazioni in fisica 1) Lavoro di una forza costante #$ ,-. ! " %& ' ( ' · ) α B A ** ' (+ * & ' 2) Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie piana ' [Digitare il testo] 3 S / '/ Φ1 E 3 · '/ Angela Donatiello 3/ * !( ( [Digitare il testo] Angela Donatiello Proprietà del prodotto vettoriale Applicazioni in fisica Momento di una forza rispetto ad un punto O Il momento di una forza 1) Modulo uguale a M = F ha: = F b con b = braccio della forza = 2) Direzione perpendicolare al piano su cui giacciono r ed F 3) Verso uguale a quello di avanzamento di una vite destrorsa, ossia ruotando in senso antiorario di un angolo minore di 180° sovrapponendo r con F. Equivalentemente si può dire che nell’ordine [Digitare il testo] costituiscono una terna destrorsa. Angela Donatiello DECOMPOSIZIONE DI UN VETTORE RISPETTO A DUE DIREZIONI ASSEGNATE Sia un vettore e 4# un suo rappresentante. Siano r ed s rette assegnate nel piano. Si traccino le parallele ad r ed s passanti per l’estremo libero A del segmento orientato e si individuino un punto #5 e un punto #6 come intersezioni delle parallele suddette con le rette assegnate r ed s. s As A r O 4# Ar 4#5 4#6 Per definizione di somma #5 #6 #5 ̂ #6 ̂ #5 #6 sono dette componenti del vettore lungo le due direzioni assegnate I versori ̂ 8 ̂ costituiscono una base del piano [Digitare il testo] Angela Donatiello VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI. BASI Siano ; ;…; ; n vettori. Si dice che il vettore è combinazione lineare dei vettori ; < < = <; ; con < ; < ; … ; <; numeri reali ;…; ; se risulta I vettori ; ; … ; ; si dicono linearmente dipendenti se esistono n numeri reali < ; < ; … ; <; non tutti nulli, tali che < < = <; ; 0 Se ciò non si verifica, cioè se la combinazione lineare dei vettori ; ; … ; ; è uguale al vettore nullo solo con scalari < ; < ; … ; <; tutti nulli, allora i vettori si diranno linearmente indipendenti. Se i vettori ; ; … ; ; sono linearmente dipendenti allora uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti. Infatti, essendo gli scalari < ; < ; … ; <; non tutti nulli, ?@ ?B allora esisterà, ad esempio < > 0 per cui = C = C; ; ? ? ; A A → → Due vettori paralleli sono linearmente dipendenti: infatti se u // v allora [Digitare il testo] Angela Donatiello & Viceversa se sono linearmente dipendenti, allora sono paralleli. Sulla retta il numero massimo di vettori li linearmente nearmente indipendenti è 1 Ogni altro vettore sarebbe parallelo al primo e quindi del tipo Nel piano il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è 2. (E’ intuitivo comprendere ciò, in quanto ogni altro vettore potrebbe essere visto comee somma dei primi due e pertanto come combinazione lineare dei primi due) Nello spazio il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è 3 I vettori linearmente indipendenti del piano o dello spazio costituiscono una base del piano o dello spazio, ossia ogni altro vettore potrà essere scritto come combinazione lineare dei vettori della base. [Digitare il testo] Angela Donatiello [Digitare il testo] Angela Donatiello Determinazione del modulo del vettore componenti | | Y Z note le [ applicando il Teorema di Pitagora Determinazione delle componenti del vettore forma con l’orizzontale noto il suo modulo e l’angolo che esso Detto \ l’angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse si ha che: || || \ Z | | '\ [ Determinazione dell’angolo \ note le componenti del vettore \ [Digitare il testo] % Angela Donatiello [ Z VERSORI E COSENI DIRETTORI α [ ϑ | | O \ || [Digitare il testo] ] ] || Z '\= | | '` Z || || [ || || ^ ; _ || || || || Z || || [ Angela Donatiello \; a \ b | | OPERAZIONI TRA VETTORI MEDIANTE LE COMPONENTI CARTESIANE Somma tra vettori Z; c Esempio: c [ c Z 3; 2 2; 6 cZ ; c[ cZ ; [ c c[ 1; 4 Prodotto di un vettore per uno scalare g [Digitare il testo] g Z; [ Z; g [ Angela Donatiello Prodotto scalare tra due vettori → → → → u • v = || u || ⋅ || v || cos α Dati i versori ĥ 1; 0 ĥ · ĥ ( î 1 0; 1 per le proprietà sul prodotto scalare si ha che: î · î j 1 ĥ · î 0 Siano due vettori entrambi applicati in O ed espressi Z ĥ [ î e Z ĥ [ î mediante le componenti cartesiane, si ha che: · k Z ĥ [ îl · k Z ĥ [ îl Z Z ĥ · ĥ · · || |||| || [Digitare il testo] Z [ ĥ Z Z Y · î [ Z î · ĥ [ [ î [ [ Z Z Z Angela Donatiello [ ·Y [ [ Z [ · î Z Z [ [ RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI NELLO SPAZIO VERSORI CANONICI degli assi [Digitare il testo] Angela Donatiello Prodotto vettoriale tra due vettori Siano Z ĥ k m [ î [ o ĥ m ĥ ĥ m î î m ĥ k n og Z ĥ î m î 0 gn m gn î m gn ĥ gn m ĥ gn m î ĥ ĥ m gn 0 gn gn e o [ lĥ [ î m [Digitare il testo] n m k Z ĥ o gl o Z p Z ĥ Z o ĥ Z Z Angela Donatiello î [ [ î gn op o k 0 î [ î [ î Z [ î n og nl og n [ Z lg
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