1
Lezione del 09/ 10/2014 Argomenti trattati:
• Complemento diretto
• Sistemi lineari (senza parametro)
0.1
Complemento diretto
Dato U ≤ V , un complemento diretto di U ´e un sottospazio W ≤ V tale che
U ∩ W = {0}
U + W = V
cio´e la somma di U con il suo complemento diretto ´e diretta, e d´a tutto lo spazio
vettoriale V .
Come trovo un complemento diretto per un sottospazio vettoriale U di V ((K))?
1. trovo una base BU di U ;
2. trovo un completamento B di BU . Il completamento ´e un insieme libero di
vettori che uniti a quelli della base di U trovata, sono una base per tutto lo
spazio V .
3. il complemento diretto di U ´e la chiusura del completamento B della sua base
BU .
Esercizio 0.1.1. Dato
α+1 α+β+1
∈ M at2 (R)|α, β ∈ R
W =C
0
β−1
Determina
a) una base BW e la dim(W );
b) un completamento B di BW ;
c) un complemento diretto di W .
2
Svolgimento:
a)
a+c a+b+c
∈ M at2 (R)|a, b ∈ R
W =
0
b−c
L’insieme
1 1
0 1
1 1
,
,
S=
0 0
0 1
0 −1
´e un insieme di generatori per W . E’ anche una base? Verifico che i vettori
sono linearmente indipendenti, dunque
BW
1 1
0 1
1 1
,
,
=
0 0
0 1
0 −1
e dim(W ) = 3.
b) Cerco un completamento della base BW cio´e un insieme di vettori che uniti
ai vettori di BW siano una base per lo spazio vettoriale M at2 (R). So che
dim(W ) = 3 e che dim(M at2 (R)) = 4, dunque devo aggiungere ai vettori di
BW un vettore linearmente indipendente con essi. Posso sceglierlo tra quelli
della base canonica di M at2 (R). Osservo che i vettori di BW generano matrici
di M at2 (R) che hanno 0 in posizione a2,1 , dunque mi servir´
a un vettore che
utilizzato nella combinazione lineare ”generi ” anche quella posizione per potere
ottenere una generica matrice di M at2 (R). Il vettore della base canonica che
posso scegliere ´e dunque
e3 =
0 0
1 0
Verifico che i vettori di BW con e3 sono linearmente indipendenti, allora un
completamento B di BW ´e
3
0 0
.
B =
1 0
c) Per trovare un complemento diretto W di W faccio la chiusura del
completamento B di BW :
0 0
∈ M at2 (R)|a ∈ R
W =< B >=
a 0
Esercizio 0.1.2. Dato
2 1+a
∈ M at2 (R)|a ∈ R
U =C
a
1
Determina un complemento diretto di U . Svolgimento:
a)
2b a + b
∈ M at2 (R)|a, b ∈ R
U=
a
b
L’insieme
2 1
0 1
,
S=
0 1
1 0
´e un insieme di generatori per U . E’ anche una base? Non essendo i due
vettori uno multiplo dell’altro, s´ı, dunque
2 1
0 1
,
BU =
0 1
1 0
e dim(U ) = 2.
b) Cerco un completamento della base BU cio´e un insieme di vettori che uniti
ai vettori di BU siano una base per lo spazio vettoriale M at2 (R). So che
dim(U ) = 2 e che dim(M at2 (R)) = 4, dunque devo aggiungere ai vettori di
BU due vettori linearmente indipendente con essi. Posso sceglierli tra quelli
della base canonica di M at2 (R), ma come li scelgo? Ho a disposizione i vettori
4
0 1
0 0
0 0
, e2 =
, e3 =
, e4 =
e1 =
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0
Osservo che il secondo vettore v2 della base BU ´e la somma di e2 con e3 , dunque
non sceglier´
o questi due vettori come vettori del completamento, perch´e non
saranno linearmente indipendenti con i vettori della base di U . Posso scegliere
ad esempio e1 ed e2 e poi controllo se sono linearmente indipendenti con i
vettori di BU (posso scegliere anche altre coppie di vettori di BC purch´e siano
linearmente indipendenti con i vettori di BU ). Dato che e1 e e2 sono l.i. con
i vettori di BU , allora un completamento B di BU ´e
1 0
0 1
,
B =
0 0
0 0
c) Per trovare un complemento diretto U di U faccio la chiusura del
completamento B di BU :
a b
∈ M at2 (R)|a, b ∈ R
U =< B >=
0 0
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