Integratore/derivatore RC: impedenze e condizioni

Integratore/derivatore RC: impedenze e condizioni
[email protected]; http://www.df.unipi.it/∼fuso/dida
(Dated: version 3 - FF, 29 novembre 2014)
Queste nota fa riferimento al circuito integratore + derivatore RC in cascata realizzato in una
esperienza pratica e intende mostrare un po' più nel dettaglio come il circuito completo possa essere
trattato seguendo l'approccio del metodo simbolico (fasori). In particolare vengono sviluppate
le considerazioni che riguardano il dimensionamento delle capacità che compaiono nel circuito.
I.
INTRODUZIONE
Il circuito di riferimento è mostrato in Fig. 1(a): esso
è costituito da due sotto-circuiti montati in cascata uno
rispetto all'altro. Il progetto richiede che alla frequenza
di lavoro prescelta,
f = ω/(2π),
il sotto-circuito A sia un
integratore e B un derivatore.
A dierenza di quanto realizzato nell'esperienza pratica, qui supporremo di lavorare con segnali alternati di
sinusoidale, e lo faremo con l'obietnel dominio delle frequenze.
occuperemo delle soluzioni a regime, trascu-
tipo armonico, cioè
tivo di studiare il circuito
Pertanto ci
rando i transitori dovuti a carica/scarica dei condensatori (all'istante iniziale e a quello nale). Vedremo poi più
avanti (una specica nota sarà dedicata a questo) come
i risultati ottenuti in regime sinusoidale possano essere
periodiche
estesi per trattare altre forme d'onda
grazie
all'approccio della serie di Fourier.
Dunque l'ingresso è costituito dal generatore di funzioni che produce la forma d'onda sinusoidale
fasore);
VωA
VωG
rappresenta l'uscita del derivatore e
(è un
VωB
quella dell'integratore. Nell'analisi nel dominio delle frequenze, integrazione e derivazione temporale corrispondono rispettivamente a sfasamenti del fasore di uscita
rispetto a quello di ingresso di
−π/2
o
Figura 1. Circuito integratore/derivatore RC in cascata (a) e
sua suddivisione in maglie (b). I rettangolini rappresentano
componenti di impedenza
π/2.
glio
fT A
sia quella di progetto, si può aermare che deve
anche essere
A.
le, o signicativa, considerando l'impedenza equivalente
frequenze di taglio per i due sotto-circuiti
separatamente come fT A,B = 1/(2πRA,B CA,B ).
Anché essi si comportino nel modo desiderato (rispettivamente integratore e derivatore) occorre che
f << fT B .
fT A <<
Questa aermazione, che qui diamo per ac-
cettata, può essere facilmente dimostrata ragionando o
nel dominio dei tempi, o nel dominio delle frequenze, facendo riferimento in questo caso a un ltro passa-basso
per l'integratore e un passa-alto per il derivatore.
Dalla condizione sulle frequenze risulta
RA C A .
Zeq
CA , che ha
ZCA = 1/(jωCA ), si trova in parallelo con
l'impedenza ZB della serie costituita da CB e RB . Si ha
vista dall'integratore. Il condensatore
impedenza
quindi
1
1
1
1
=
+
= jωCA + jωCB
,
Zeq
ZCA
ZB
1 + jω/ωT B
dove
ωT B = 1/(RB CB ). Nelle condizioni di
ω/ωT B << 1, per cui, riarrangiando:
(1)
lavoro
prescelte è
RB CB <<
1
' jω(CA + CB ) = jωCA (1 + CB /CA ) .
Zeq
Inoltre, come vericato nell'esperienza pratica,
c'è un'ulteriore condizione sul rapporto
CB << CA .
Questa giusticazione può essere resa più ragionevo-
Dimensionamento
Deniamo le
presi
Z.
CB /CA ,
che de-
(2)
ve essere molto piccolo. Una giusticazione molto grossolana si può dare osservando che, in buona sostanza,
CB
CA ,
Per
CB << CA
si ha
Zeq ≈ ZCA ,
dunque eettiva-
per cui
mente l'integratore funziona come se fosse indipenden-
l'integratore è eettivamente dotato di una capacità equi-
te, cioè come se ad esso non fosse collegato in cascata il
il condensatore
valente
si trova in parallelo a
Ceq = CA + CB ,
e volendo che la frequenza di ta-
derivatore.
2
II.
Notate che nella soluzione trovata non è stata ancora im-
CIRCUITO A DUE MAGLIE
piegata alcuna approssimazione, se non quella relativa
Il bello del metodo simbolico risiede in gran parte nella circostanza che tutte le aermazioni, o tecniche, che
sappiamo essere valide nel caso di circuiti resistivi, per i
quali vale la legge di Ohm, possono essere trasferite
alle resistenze interne.
La soluzione permette di determinare le d.d.p.
VωA,B .
allo studio di circuiti in alternata (in regime sinusoidale)
che contengono anche componenti reattivi, per esempio
1
(IωA − IωB ) =
(12)
jωCA
1
CB
)×
(13)
= [(1 −
CA 1 + jω/ωT B + CB /CA
1
×(
)]VωG (14)
,
1
B
1 + jω/ωT A − C
CA 1+jω/ωT B +CB /CA
Ri-disegniamo lo schema come in Fig. 1(b), dove i vari componenti sono stati rappresentati con rettangolini,
ognuno dotato di una specica impedenza. Notate che,
per semplicità, le resistenze interne di generatore e gli
eetti delle resistenze interne degli strumenti di misumostra in maniera chiara come i due sotto-circuiti A e B
costituiscano delle maglie, a ognuna delle quali attribuiremo una corrente descritta dai fasori
IωA
e
IωB .
Il ra-
CA , ovvero il componente di impedenza
ZCA = 1/(jωCA ), è in comune tra le due maglie, essen-
mo che contiene
do attraversato dalle due correnti di maglia. Osservate
che, per la scelta convenzionale del verso di percorrenza
delle maglie, le due correnti si trovano a scorrere in verso
opposto attraverso lo stesso componente.
Le equazioni delle due maglie recitano:
VωG = (ZRA + ZCA )IωA − ZCA IωB
0 = −ZCA IωA + (ZRB + ZCB + ZCA )IωB .
Esplicitando le espressioni delle impedenze,
(3)
(4)
le due
equazioni diventano
dove nell'ultimo passaggio si è usata un po' di algebra.
Inoltre è anche
VωB = RB IωB =
(15)
CB
1
= RB (
)IωA =
(16)
CA 1 + jω/ωT B + CB /CA
jω/ωT B
= [(
)×
(17)
1 + jω/ωT B + CB /CA
1
)]VωG (18)
.
×(
CB
1 + jω/ωT A − CA 1+jω/ωT B1 +CB /CA
Le due orribili equazioni appena scritte permettono di
descrivere i fasori in uscita dal nostro circuito in funzione
dell'ingresso e quindi consentono di predire tutto quello
che si può, incluse attenuazioni e sfasamenti, come qualsiasi
funzione di trasferimento
complessa. Il problema è
che determinare attenuazioni e sfasamenti da equazioni
1
1
)IωA −
IωB
(5)
jωCA
jωCA
1
1
1
IωA + (RB +
+
)IωB , (6)
0=−
jωCA
jωCB
jωCA
VωG = (RA +
complicate come quelle di Eqs. 12,15 è una follia che richiede di consumare pagine e pagine di carta per rendere
maneggiabili le espressioni. Una alternativa molto valida è quella di dare in pasto le equazioni a un qualche
software che sappia maneggiare grandezze complesse, e
questo vedremo se saremo in grado di farlo in futuro.
ovvero, con un pizzico di algebra
1 + jω/ωT A
1
VωG =
IωA −
IωB
(7)
jωCA
jωCA
1 + jω/ωT B
1
1
IωA + (
+
)IωB , (8)
0=−
jωCA
jωCB
jωCA
dove
Si ha infatti
VωA =
capacitori.
ra (canali dell'oscilloscopio) sono trascurati. Lo schema
tra
qualsiasi coppia di punti del circuito, per esempio le
Per il momento, però, per capirci qualcosa dobbiamo accontentarci di far planare sulle equazioni le approssimazioni che derivano dalle condizioni di lavoro
prescelte, cioè
ωT A << ω << ωT B
ed eventualmente
l'approssimazione sulla scelta delle capacità,
CB << CA .
ωT A = 1/(RA CA ).
Dalla seconda equazione del sistema si ottiene
IωB =
CB
1
IωA ,
CA 1 + jω/ωT B + CB /CA
A.
(9)
VωG
Una premessa prima di usare materialmente le approssimazioni. È prassi comune quella di procedere con una
certa disinvoltura quando, nelle relazioni complesse che
che, inserita nella prima, conduce a
1
=
(1 + jω/ωT A −
jωCA
CB
1
−
)IωA .
CA 1 + jω/ωT B + CB /CA
Approssimazioni
si scrivono in questo ambito, si confrontano parte reale
(10)
e parte immaginaria.
Il senso è chiaro se si pensa alla
rappresentazione delle grandezze complesse come vettori nel piano complesso (di Gauss):
(11)
se, per esempio, il
coeciente della parte reale è numericamente molto più
piccolo di quello della parte immaginaria, allora il vetto-
Dunque il sistema delle due equazioni di maglia è sta-
re rappresentativo giace pressoché interamente sull'asse
to risolto, dato che è possibile determinare le correnti
complesso, cioè, di fatto, si trascura la parte reale rispetto
di maglia in funzione del segnale applicato all'ingresso.
a quella immaginaria. Viceversa nel caso opposto.
3
Ispezioniamo rapidamente le Eqs. 12,15 supponendo
per il momento solo
ω/ωT B
molto piccolo (tendente a
CB
1
)×
CA 1 + CB /CA
1
)]VωG
×(
CB
1
1 − CA 1+CB /CA + jω/ωT A
VωA ' [(1 −
1−
CB
CA
jω/ωT B
]VωG .
1
1+CB /CA + jω/ωT A
per un integratore (in regime sinusoidale).
(19)
(21)
con altri termini, questi altri termini diventino trascurabili (la procedura non è proprio elegante, ma funziona).
jω/ωT A ,
questo è il solo termine che sopravvive, cioè i denominatori in questione diventano puramente immaginari. Con
questa ulteriore approssimazione si ottiene
VωB
VωB
(26)
sore in uscita da B è sfasato di
π/2
rispetto a quello in
uscita da A, dunque la maglia A esegue una derivazione temporale del segnale, attenuandone l'ampiezza per
un fattore
ω/ωT B = f /fT B .
Inne, paragonato al fa-
sore in ingresso all'intero circuito, quello che esce da B
è in fase e la sua ampiezza risulta attenuata del fattore
ωT A /ωT B = fT A /fT B ,
indipendente dalla frequenza
Alcune di queste approssimazioni sono sta-
te ben confermate nell'esperienza pratica con onde non
(22)
sinusoidali.
(23)
osservare come, nelle approssimazioni utilizzate, si abbia
Inne, tornando indietro ad esempio all'Eq. 9, si può
(24)
|IωB | << |IωA |, cioè il sotto-circuito B assorbe
una cor-
rente trascurabile dal sotto-circuito A, ovvero ancora il
sotto-circuito B inuenza in modo trascurabile il funzionamento del sotto-circuito A. Questa constatazione,
La prima equazione ci dice che all'uscita del sotto-
−π/2
(25)
interessata dall'approssimazione). Essa ci dice che il fa-
di lavoro.
CB
1
1
)(
)VωG =
CA 1 + CB /CA jω/ωT A
1
1
=
VωG
1 + CB /CA jω/ωT A
jω/ωT B
ωT A
'
VωG =
VωG .
jω/ωT A
ωT B
VωA ' [(1 −
1
VωG
jω/ωT A
ωT A
VωG = jω/ωT B VωA ,
'
ωT B
VωA '
dove abbiamo riscritto anche la seconda equazione (non
ω/ωT A molto grande, suppotermine jω/ωT A compare a somma
In altre parole, nei denominatori in cui compare
Con questa
ulteriore approssimazione si ottiene quindi:
(20)
Immaginiamo ora anche
nendo che, quando il
CB << CA tale attenuazione tenωT A /ω = fT A /f , che è l'espressione attesa
particolare, nel caso
de proprio a
zero). Si ottiene facilmente
VωB ' [
dipende dalla frequenza e dal rapporto delle capacità. In
che è una conseguenza della scelta
CB << CA ,
si può
(ricordate:
leggere come una verica del corretto accoppiamento
rispetto all'ingresso, che è il comportamento
fra i diversi stadi del circuito, in cui l'impedenza di in-
atteso per un integratore. L'ampiezza del fasore in uscita
gresso del secondo è molto maggiore dell'impedenza di
circuito A si trova un fasore sfasato di
1/j = −j !)
è attenuata di un fattore
(1/(1 + CB /CA ))(ωT A /ω),
che
uscita del primo, come si può facilmente vericare.

Download Report