Indice - Politecnico di Milano

Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione.
Corso di Analisi e Geometria 1
(Docente: Federico Lastaria)
8. Teoria dell’integrazione secondo Riemann
Dicembre 2014
Indice
1 Considerazioni euristiche introduttive
2
1.1
Calcolo dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Calcolo delle aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Teoria dell’integrazione secondo Riemann
4
2.1
Integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Integrale in termini di somme inferiori e superiori, o integrale di Darboux. . . . . . . .
6
2.3
Integrabilit`
a di alcune classi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Prime propriet`
a dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Integrale orientato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
Teorema del Valore Medio per il calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.7
Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8
Cambio di variabili negli integrali definiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3 Ricerca di una primitiva
16
3.1
Il metodo di sostituzione per il calcolo di una primitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2
Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Integrali impropri o generalizzati
4.1
4.2
19
Integrali su intervalli non limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
20
4.1.1
Integrale di 1/x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.1.2
Criterio del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.1.3
Criterio del confronto asintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Integrali di funzioni non limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.2.1
a
Integrali di 1/x . Criteri del confronto e del confronto asintotico . . . . . . . .
1
24
1
Considerazioni euristiche introduttive
Prima di imbarcarci in definizioni rigorose, introduciamo in modo informale il concetto di integrale e
il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e Differenziale, presentando due problemi: il calcolo
dello spazio percorso da una particella in moto rettilineo, quando si conosca la velocità in ogni istante,
e il calcolo dell’area di un segmento parabolico.
1.1
Calcolo dello spazio
Problema 1. Trovare lo spazio percorso, quando si conosca la velocit`
a in ogni istante.
In modo pi`
u specifico: supponiamo che un punto si muova lungo l’asse reale; denotiamo con s(t) la
coordinata della sua posizione all’istante t e con v(t) = s0 (t) la velocità istantanea (che supporremo
funzione continua del tempo nell’intervallo [a, b]).
Problema Supponiamo che siano note la posizione iniziale s(a) del punto all’istante iniziale t0 = a
e la velocit`
a istantanea v(τ ), in ogni istante τ dell’intervallo temporale [a, b]. Come possiamo calcolare
lo spazio percorso dal punto nell’intervallo di tempo che intercorre fra l’istante iniziale a e l’istante
finale b?
Fissiamo un insieme finito di istanti P = (t0 , t1 , ..., tn−1 , tn ) in modo tale che si abbia
a = t0 < t1 < ... < tn = b
Diremo che P è una partizione di [a, b]. Per il Teorema del Valore Medio applicato alla funzione s nel
sottointervallo [ti−1 , ti ], esiste un τi ∈ (ti−1 , ti ) per il quale
s(ti ) − s(ti−1 ) = s0 (τi )(ti − ti−1 ) = v(τi )(ti − ti−1 )
per
i = 1, ..., n
(1.1)
Se sommiamo questi termini, e ricordiamo che tn = b e t0 = a, otteniamo
s(b) − s(a) =
n
X
[s(ti ) − s(ti−1 )] =
i=1
n
X
v(τi )(ti − ti−1 )
i=1
Denotiamo con |P |, e chiamiamo norma della partizione P , la lunghezza del pi`
u grande dei sottointervalliP[ti−1 , ti ]. Quando si prendono in considerazione partizioni la cui norma tende a zero, le
n
somme i=1 v(τi )(ti − ti−1 ) tendono (in un senso che verrà spiegato in modo rigoroso nel prossimo
Rb
paragrafo) a un numero, che si denota a v(τ ) dτ e che si chiama integrale di v su [a, b], e scriveremo
lim
|P |→0
n
X
Z
v(τi ) (ti − ti−1 ) =
b
v(τ ) dτ
a
i=1
Otteniamo allora l’uguaglianza
Z
b
v(τ ) dτ = s(b) − s(a)
a
Quest’ultima uguaglianza, che possiamo riscrivere come
Z b
s0 (τ ) dτ = s(b) − s(a)
a
2
non è altro che la formula di Newton-Leibniz (Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e DiffeRb
renziale). Questa formula permette di trovate l’integrale a v(τ ) dτ quando v = s0 è la derivata di
una funzione s. In tal caso, l’integrale è dato dalla variazione totale s(b) − s(a) della funzione s (una
antiderivata o primitiva della funzione integranda v) sull’intervallo di integrazione [a, b].
1.2
Calcolo delle aree
Problema 2. Calcolo di un’area.
f (x) = x2
1
S
0
xi−1 xi
1
Figura 1: Approssimazione un’area S al di sotto di un grafico mediante la somma delle aree di
rettangoli.
Facciamo un esempio: vogliamo trovare l’area S della figura compresa tra il grafico della parabola
f (x) = x2 e l’asse delle x, quando x varia nell’intervallo [0, 1]. Effettuiamo una partizione dell’intervallo
[0, 1] mediante i punti
0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1
e poniamo ∆xi = xi − xi−1 . Senza entrare nei dettagli su cosa si intenda in generale per area di una
figura piana, possiamo ragionevolmente approssimare l’area S mediante somme di aree di rettangoli
(come in figura) di base ∆xi e altezza x2i−1 :
S≈
n
X
x2i−1 ∆xi
i=1
3
Posto f (xi−1 ) = x2i−1 , riscriviamo la formula come
S≈
n
X
f (xi−1 )∆xi
i=1
Se vogliamo ottenere una vera uguaglianza (e non un’uguaglianza approssimata) passiamo al limite e
otteniamo
Z 1
n
X
S = lim
f (xi−1 )∆xi =
f (x) dx
λ→0
0
i=1
dove, come sopra, λ è la massima ampiezza degli intervallini [xi−1 , xi ]. Vediamo allora che il problema
del calcolo delle aree ha la stessa forma matematica del problema del calcolo dello spazio, nota la
velocit`
a. Come in quest’ultimo problema, se troviamo una funzione F (x) tale che F 0 (x) = f (x),
possiamo concludere che
Z
1
S=
f (x) dx = F (1) − F (0)
0
1 3
3x .
Dunque
Nel nostro caso, basta prendere F (x) =
Z 1
1
1
S=
f (x) dx = F (1) − F (0) = − 0 =
3
3
0
Si noti che l’area del segmento parabolico (cioè della regione di piano limitata dalla parabola e dalla
retta y = 1) è uguale a 23 dell’area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico. Questo è un
caso particolare di un classico risultato dimostrato da Archimede con metodi puramente geometrici.
2
Teoria dell’integrazione secondo Riemann
Ci sono diverse teorie dell’integrazione; quella che noi studieremo è la teoria dell’integrazione secondo
Riemann. Il concetto di integrale di Riemann può essere introdotto in due modi equivalenti: come
limite di somme di Riemann (dette anche somme di Cauchy-Riemann), oppure in termini di somme
superiori e somme inferiori (Integrale secondo Darboux).
Premessa:
Nella teoria dell’integrazione secondo Riemann, prendiamo in considerazione (almeno inizialmente)
f
funzioni [a, b] −→ R, soddisfacenti le condizioni seguenti:
(a) f è una funzione limitata (cioè, esiste una costante K in R per la quale f (x) ≤ K, per ogni x
in [a, b]);
(b) il dominio [a, b] è un intervallo chiuso e limitato.
Pi`
u avanti definiremo gli integrali generalizzati, che sono integrali di funzioni non limitate, o di
funzioni il cui dominio non è limitato.
2.1
Integrale come limite di somme di Cauchy-Riemann
Se I = [a, b] è un intervallo chiuso e limitato di R, una partizione di I è un insieme finito e ordinato
P = (a0 , a1 , ..., am−1 , am ) di punti in I che soddisfano:
a = a0 < a1 < a2 < · · · · · · < am = b
4
I punti della partizione P = (a0 , a1 , ..., am ) dividono l’intervallo [a, b] in m sotto-intervalli
[a0 , a1 ]
[a1 , a2 ]
......
[am−1 , am ]
Denoteremo ∆k = ak − ak−1 la lunghezza di [ak−1 , ak ]. La norma o parametro di finezza1 della
partizione P = (a0 , a1 , ..., am ) è per definizione il numero
|P | = max (ai − ai−1 )
i=1,...,m
vale a dire la massima tra le lunghezze dei sotto-intervalli della partizione. (Per gli scopi della integrazione, pi`
u piccolo è il parametro di finezza, meglio è). Ovviamente, molte diverse partizioni possono
avere la stessa norma, e quindi la partizione non è funzione della norma.
Una partizione marcata, o partizione puntata, di [a, b] consiste in una partizione P
a = a0 < a1 < a2 < · · · · · · < am = b
dell’intervallo [a, b], insieme a una ulteriore scelta di punti {x1 , ..., xm }, tali che
x1 ∈ [a0 , a1 ], x2 ∈ [a1 , a2 ], ......, xm ∈ [am−1 , am ]
I punti {x1 , ..., xm } sono dunque intercalati a quelli della partizione P = (a0 , a1 , ..., am ):
a = a0 ≤ x1 ≤ a1 ≤ x2 ≤ a2 < · · · · · · < am−1 ≤ xm ≤ am = b
(2.1)
Denoteremo una partizione marcata
a = a0 < a1 < a2 < · · · · · · < am = b,
x1 ∈ [a0 , a1 ], x2 ∈ [a1 , a2 ], ......, xm ∈ [am−1 , an ]
con il simbolo P˙ o, pi`
u semplicemente, con lo stesso simbolo P usato per la partizione (non marcata)
(a0 , a1 , ..., am ).
f
Consideriamo ora una funzione [a, b] −→ R definita su un intervallo compatto [a, b]. Non richiediamo
che f sia continua; anzi, il caso di funzioni non continue è importante. Richiediamo invece che f sia
limitata su [a, b]. (Questa richiesta è, a stretto rigore, superflua, perché si dimostra che se una funzione
è integrabile, nel senso definito in questo paragrafo, essa deve essere necessariamente limitata. L’ipotesi
di limitatezza di f sar`
a invece necessaria nella definizione di integrale secondo Darboux, che daremo
nel prossimo paragrafo)
A ogni partizione marcata P˙ di [a, b],
a = a0 < a1 < a2 < · · · · · · < am = b,
x1 ∈ [a0 , a1 ], x2 ∈ [a1 , a2 ], ......, xm ∈ [am−1 , an ]
associamo la somma di Riemann di f associata a P˙ , definita come
Sf (P˙ ) =
m
X
f (xj )(aj − aj−1 ) =
j=1
m
X
f (xj )∆j
j=1
Se accade che le somme di Riemann di f si avvicinano quanto si vuole a un numero reale A, purché
sia sufficientemente piccola la norma |P | della partizione marcata (e quale che sia la scelta dei punti
xj ∈ [aj−1 , aj ]) si dice che la funzione f è integrabile (secondo Riemann) e che A è il suo integrale.
Pi`
u precisamente, diamo la seguente definizione.
1 Inglese:
norm o mesh.
5
Definizione 2.1 (Integrale secondo Riemann, come limite di somme) Una funzione
f
[a, b] −→ R si dice integrabile secondo Riemann se esiste un numero reale A che soddisfa la seguente
propriet`
a:
Per ogni numero ε > 0 esiste un numero δ > 0, tale che, per ogni partizione puntata P˙ con
parametro di finezza |P | < δ, si abbia
(2.2)
Sf (P˙ ) − A < ε
Se un tale numero A esiste, si dimostra facilmente che esso è unico; lo si denota
Z b
f (x) dx
a
e si chiama integrale di Riemann di f sull’intervallo compatto [a, b].
Se f è integrabile secondo Riemann su [a, b] e A =
anche
Z
Rb
a
b
f (x) dx = lim
|P |→0
a
f (x) dx è il valore del suo integrale, scriveremo
n
X
f (t1 ) ∆ti
(2.3)
i=1
Rb
e diremo che a f (x) dx è il limite delle somme di Riemann, fatto sull’insieme delle partizioni di [a, b],
al tendere a zero del parametro di finezza |P | delle partizioni.
2.2
Integrale in termini di somme inferiori e superiori, o integrale di
Darboux.
f
Data una funzione [a, b] −→ R limitata sull’intervallo compatto [a, b] e una partizione P
a = a0 < a1 < a2 < · · · · · · < am = b
dell’intervallo [a, b], poniamo:
mi
=
Mi
=
S − (f ; P )
inf{f (x) | x ∈ [ai−1 , ai ]}
sup{f (x) | x ∈ [ai−1 , ai ]}
m
X
mi (ai − ai−1 )
=
i=1
S + (f ; P )
=
m
X
Mi (ai − ai−1 )
i=1
Le S − (f ; P ) e le S − (f ; P ) si chiamano rispettivamente somme inferiori (di Darboux) e somme
superiori (di Darboux) della funzione f relative alla partizione P .
Le seguenti propriet`
a delle somme inferiori e superiori si verificano facilmente:
1. Per ogni partizione P ,
S − (f ; P ) ≤ S + (f ; P )
2. Se P1 è una partizione pi`
u fine della partizione P2 , nel senso che P1 ⊃ P2 (cioè P1 si ottiene da
P2 aggiungendo altri punti), allora
S − (f ; P1 ) ≥ S − (f ; P2 )
S + (f ; P1 ) ≤ S − (f ; P2 )
6
3. Siano P1 , P2 due partizioni dell’intervallo [a, b] e sia P = P1 ∪ P2 la loro unione. Allora
S − (f ; P1 ) ≤ S − (f ; P ) ≤ S + (f ; P ) ≤ S + (f ; P2 )
(2.4)
Dalla propriet`
a 2.4 segue che ogni somma inferiore S − (f ; P1 ) è minore o uguale di ogni somma
+
superiore S (f ; P2 ), quali che siano le partizioni P1 , P2 .
Per definizione, l’integrale inferiore di f e l’integrale superiore di f su [a, b] sono rispettivamente i
numeri
Integrale inferiore di f
Integrale superiore di f
= I(f )
= I(f )
=
=
sup {Tutte le somme inferiori S − (f ; P ), P ∈ P}
inf {Tutte le somme superiori S + (f ; P ), P ∈ P}
Qui P denota l’insieme di tutte le possibili partizioni dell’intervallo [a, b]. A priori, l’integrale inferiore
è minore o uguale dell’integrale superiore:
I(f ) ≤ I(f )
Definizione 2.2 (Integrale secondo Darboux, come valore comune dell’integrale inferiore
f
e dell’integrale superiore) Una funzione [a, b] −→ R, limitata sull’intervallo compatto [a, b], si dice
integrabile su [a, b], se
I(f ) = I(f )
(2.5)
ossia se il suo integrale inferiore e il suo integrale superiore sono uguali. Se f è integrabile, il comune
Z b
valore (2.5) si chiama allora integrale di f su [a, b] e si denota
f (x) dx.
a
I due modi di introdurre l’integrale (come limite di somme di Cauchy-Riemann oppure come valore comune dell’integrale inferiore e dell’integrale superiore) sono equivalenti. Infatti si dimostra la
seguente
Proposizione 2.3 Se una funzione è integrabile sull’intervallo compatto [a, b] secondo la definizione
2.1, allora è limitata ed è integrabile anche secondo la definizione 2.2. Viceversa, ogni funzione
integrabile secondo la definizione 2.2 è integrabile anche secondo la definizione 2.1. Inoltre, i valori
dei due integrali coincidono.
La dimostrazione di questo teorema non è difficile, ma non ci interessa riportarla.2
Dal momento che i due concetti di integrale sono equivalenti, d’ora in poi ci riferiremo indifferentemente all’una o all’altra definizione, a seconda della convenienza.
f
Osservazione. La funzione di Dirichlet [0, 1] −→ R
1 se x è razionale
f (x) =
0 se x è irrazionale
(pur essendo limitata) non è integrabile secondo Riemann, perché in ogni sottointervallo ci sono sia
numeri razionali che irrazionali, e quindi le somme inferiori di Darboux valgono zero, mentre le somme
superiori di Darboux valgono 1.
2 L’idea della dimostrazione `
e semplice. Da un lato, le somme di Cauchy-Riemann sono incastrate fra somme inferiori
e somme superiori; quindi, se l’integrale inferiore e l’integrale superiore coincidono con lo stesso numero A, anche le
somme di Cauchy-Riemann convergono a tale numero A. Viceversa, scegliendo opportune partizioni marcate, si dimostra
che ci si pu`
o avvicinare quanto si vuole all’integrale inferiore e all’integrale superiore. Quindi, se esiste l’integrale come
limite di somme e vale A, allora l’integrale inferiore e l’integrale superiore coincidono entrambi con il numero A.
7
2.3
Integrabilit`
a di alcune classi di funzioni
(Di questo paragrafo sono stati dati a lezione soltanto gli enunciati dei teoremi, senza alcuna dimostrazione).
Dalle propriet`
a delle somme inferiori e superiori e dalla definizione di integrale segue facilmente la
seguente proposizione:
f
Proposizione 2.4 (Criterio di integrabilit`
a) Una funzione [a, b] −→ R, limitata sull’intervallo
compatto [a, b], è integrabile secondo Riemann se e solo se per ogni ε > 0 esiste una partizione X tale
che
S + (f ; X) − S − (f ; X) ≤ ε
(2.6)
In base a tale criterio, si dimostra il seguente teorema.
Teorema 2.5 (Integrabilit`
a delle funzione continue sui compatti) Se f è una funzione reale
continua su un intervallo compatto [a, b] ⊂ R, allora f è integrabile su [a, b].
(La dimostrazione di questo teorema richiede la nozione di uniforme continuità ed è facoltativa).
Dimostrazione. Si sfrutta la propriet`
a di uniforma continuità di f . Per il teorema di Heine-Cantor,
la funzione f , essendo continua su un compatto, è uniformemente continua. Dunque per ogni ε > 0
esiste un δ > 0 tale che se |x1 − x2 | < δ, allora |f (x1 ) − f (x2 )| < ε. Ne segue che se P è una qualunque
partizione di [a, b] con parametro di finezza |P | < δ, si ha
sup{f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} − inf{f (x), x ∈ [xi−1 , xi ]} ≤ ε
(2.7)
S + (f ; P ) − S − (f ; P ) ≤ ε(b − a)
(2.8)
e quindi
Da questo segue, per il criterio 2.6, che f è integrabile su K.
2
Enunciamo tre teoremi, dei quali non diamo la dimostrazione.
f
Teorema 2.6 Una funzione [a, b] −→ R la quale sia nulla su [a, b] eccetto che in numero finito di
punti p1 , ..., pN è integrabile e ha integrale nullo.
(Idea della dimostrazione: Basta dimostrare l’enunciato nel caso in cui f sia sempre nulla, tranne
che in un unico punto p1 , in cui, per fissare le idee, si abbia f (p1 ) > 0. Fissato ε > 0, sia P una
qualunque partizione marcata con parametro di finezza |P | < ε/f (p1 ). Allora la somma inferiore
S − (f ; P ) vale zero, mentre S + (f ; P ) ≤ 2f (p1 ) f (pε 1 ) = 2ε se p1 è un punto della partizione comune
a due intervallini contigui, mentre S + (f ; P ) ≤ f (p1 ) f (pε 1 ) = ε se p1 è un punto interno a uno degli
intervallini della partizione. Quindi sia l’integrale inferiore che l’integrale superiore (estremo inferiore
delle somme superiori) valgono zero, e pertanto la funzione f è integrabile, con integrale nullo).
Ne segue che se f è una funzione integrabile e una funzione g differisce da f solo in numero finito
di punti, allora anche g è integrabile e i due integrali coincidono. (Infatti, la differenza f − g è sempre
nulla, tranne che su un numero finito di punti, e quindi, per il teorema precedente, ha integrale nullo).
Questo significa che, nel calcolo dell’integrale di una funzione f , possiamo cambiare i valori che f
assume in un insieme finito di punti (o trascurare del tutto tali valori), senza che l’integrale cambi.
Teorema 2.7 (Integrabilit`
a delle funzioni monot`
one) . Se f è una funzione mon`
otona su un
intervallo compatto [a; b], allora è integrabile.
8
Teorema 2.8 (Integrabilit`
a delle funzioni con un numero finito di punti di discontinuit`
a)
f
Sia [a, b] −→ R una funzione limitata e supponiamo che l’insieme dei punti di discontinuit`
a di f sia
finito. Allora f è integrabile su [a, b].
Osservazione. (Facoltativa). Gli esempi precedenti rendono naturale la seguente domanda:
Quali sono esattamente le funzioni integrabili su un intervallo compatto [a, b]?
Allo scopo di rispondere a questa domanda, premettiamo una definizione. Un sottoinsieme Z ⊂ R
si dice uno zero-insieme se per ogni ε > 0 esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti (ai , bi )
tali che
+∞
[
X
(ai , bi )
e
Z⊂
(bi − ai ) < ε
(2.9)
i=1
i∈N
(Ricordiamo il significato della convergenza
P+∞ di una somma di infiniti addendi, ossia di una serie
numerica. Si dice che la serie numerica i=1 an converge a S se, posto sn = a1 + · · · + an , si ha
limn→+∞ sn = S.)
Se una propriet`
a vale ovunque, tranne che su uno zero-insieme , si dice che la proprietà vale quasi
ovunque.
f
Teorema 2.9 (Riemann-Lebesgue) Una funzione [a, b] −→ R è Riemann-integrabile se e solo se
è limitata e l’insieme dei punti di discontinuit`
a è uno zero-insieme.
In altri termini, il teorema di Riemann-Lebesgue afferma che una funzione è Riemann-integrabile
su un intervallo compatto se e solo se è limitata e quasi-ovunque continua.
2.4
Prime propriet`
a dell’integrale
Indichiamo con R[a, b] lo spazio delle funzioni Riemann-integrabili sull’intervallo [a, b].
Enunciamo, senza dimostrarle, alcune proprietà dell’integrale.
Teorema 2.10 Valgono le propriet`
a seguenti:
1. R[a, b] è uno spazio vettoriale. Vale a dire, se f, g appartengono a R[a, b] e λ, µ sono numeri
reali, allora anche λf + µg appartiene a R[a, b].
2. (Linearit`
a dell’integrale). Per ogni f1 , f2 ∈ R[a, b], e per ogni numero reale λ, si ha
Z
b
Z
(f1 + f2 )(x) dx =
a
b
Z
f2 (x) dx
a
b
Z
(2.10)
a
Z
λf1 (x) dx = λ
a
b
f1 (x) dx +
b
f1 (x) dx
(2.11)
a
Queste due propriet`
a si sintetizzano dicendo che l’operatore di integrazione
Rb
Z
a
R[a, b] −→ R,
f 7−→
f (x) dx
a
è lineare.
9
b
(2.12)
3. (Monotonia dell’integrale). Se f1 , f2 ∈ R[a, b] e f1 (x) ≤ f2 (x) per ogni x ∈ [a, b], allora
Z b
Z b
f1 (x) dx ≤
f2 (x) dx
(2.13)
a
a
4. Per ogni f ∈ R[a, b] e c ∈ (a, b), le restrizioni di f agli intervalli [a, c] e [c, b] sono integrabili e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx
(2.14)
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
5. Se f ∈ R[a, b] e M ∈ R è un numero tale che |f (x)| ≤ M per ogni x ∈ [a, b], allora
Z
b
f (x) dx ≤ M (b − a)
a
6. Se f ∈ R[a, b], allora anche |f | ∈ R[a, b] e
Z
Z
b
b
|f (x)| dx
f (x) dx ≤
a
a
(2.15)
(2.16)
7. Se f, g ∈ R[a, b], allora anche il loro prodotto f g ∈ R[a, b].
2.5
Integrale orientato
Definizione 2.11 (Integrale orientato) Se a > b, si pone, per definizione,
Z b
Z a
f (x) dx = −
f (x) dx
a
Ad esempio,
R0
1
(2.17)
b
R1
x2 dx è uguale, per definizione, a − 0 x2 dx:
Z 0
Z 1
x2 dx = −
x2 dx
1
0
Con questa definizione di integrale orientato, l’uguaglianza
Z b
Z c
Z
f (x) dx =
f (x) dx +
a
a
b
f (x) dx
(2.18)
c
vale per ogni scelta di a, b, c (qualunque sia la posizione reciproica di a, b e c), ovviamente se gli
integrali in questione esistono.
2.6
Teorema del Valore Medio per il calcolo integrale
Teorema 2.12 (della Media Integrale, o del Valore Medio per il calcolo integrale) Sia f ∈
R[a, b] (e quindi limitata). Denotiamo
m = inf f
M = sup f
Allora
Z
m(b − a) ≤
(2.19)
b
f (x) dx ≤ M (b − a)
(2.20)
a
Se inoltre f è continua, esiste un punto c in [a, b] tale che
Z b
1
f (x) dx = f (c)
b−a a
10
(2.21)
Se f ≥ 0 e si interpreta l’integrale come l’area della regione di piano A compresa tra il grafico di f
e l’asse delle x, le disuguaglianze (2.20) sono evidenti, perché M (b − a) è l’area di un rettangolo che
contiene interamente A, mentre m(b − a) è l’area di un rettangolo tutto contenuto in A.
Dimostrazione.
dell’integrale,
Da m ≤ f (x) ≤ M (per ogni x ∈ [a, b]) segue, per la proprietà di monotonia
b
Z
Z
Z
f (x) dx ≤
m dx ≤
Rb
a
b
M dx
(2.22)
a
a
a
che coincide con (2.20), in quanto
b
m dx = m(b − a) e
Rb
a
M dx = M (b − a).
Per dimostrare (2.21), supponiamo f continua su [a, b]. Per le disuguaglianze (2.20), il numero
Z b
1
f (x) dx
(2.23)
b−a a
è compreso tra l’estremo inferiore m e l’estremo superiore M di f in [a, b]. Poiché f è continua
sull’intervallo [a, b], assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e il suo estremo superiore.
Quindi esister`
a un punto c tra a e b per il quale vale (2.21).
2
2.7
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Figura 2: “Cos`ı, se le aree ABC, ABDG sono descritte dalle ordinate BC, BD che avanzano con
moto uniforme sulla base AB, le flussioni delle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo di quelle ordinate, perché
quelle ordinate stanno tra loro come gli incrementi nascenti delle aree.”Isaac Newton, De Quadratura
Curvarum, manoscritto del 1691-1692
Premettiamo due definizioni.
f
Definizione 2.13 Sia [a, b] −→ R integrabile su [a, b]. Si chiama funzione integrale di f con puntoF
base a la funzione [a, b] −→ R definita nel modo seguente: per ogni x ∈ [a, b],
Z x
F (x) =
f (t) dt
(2.24)
a
Pi`
u in
a
R xgenerale, fissato un qualunque x0 ∈ [a, b], la funzione integrale di f basata in x0 sar`
F (x) = x0 f (t) dt.
11
g
G
Definizione 2.14 Una funzione [a, b] −→ R è una antiderivata o una primitiva di [a, b] −→ R, se G
è derivabile e G0 (x) = g(x), per ogni x ∈ [a, b]. (Si intende di considerare la derivata destra in a e la
derivata sinistra in b).
Una interpretazione geometrica della funzione integrale di f con punto-base a, nel caso in cui la
funzione f sia non negativa, è data nella figura di sotto.
y
F (x) è l’area
sotto il grafico
di f tra a e x.
Grafico di f
Z
F (x) =
x
f (t)dt
a
a
x
x
b
f
Teorema 2.15 (Teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia [a, b] −→ R una funzione
continua. Allora valgono i due fatti seguenti:
1. La funzione integrale di f con punto-base a,
Z
F (x) =
x
f (t) dt
(2.25)
a
è una antiderivata di f , ossia è derivabile e F 0 (x) = f (x) per ogni x in [a, b]:
Z x
d
f (t) dt = f (x)
dx a
(2.26)
2. Se G è una qualunque antiderivata di f su [a, b], ossia G0 (x) = f (x) per ogni x in [a, b], allora
Z b
f (t) dt = G(b) − G(a)
(2.27)
a
Dimostrazione. 1) Fissiamo un punto x in [a, b]. Allora
Z
Z x
i 1 Z x+h
1 h x+h
F (x + h) − F (x)
=
f (t) dt −
f (t) dt =
f (t) dt = f (c)
h
h a
h x
a
12
(2.28)
dove c è un opportuno punto tra x e x + h. La (2.28) segue dall’uguaglianza (2.21) del precedente
lemma della media integrale, applicato all’intervallo di estremi x e x + h. Quando h tende a zero, il
punto c, compreso tra x e x + h, tende a x. Poiché f è continua, f (c) tende a f (x) e quindi
F (x + h) − F (x)
= f (x)
h→0
h
lim
(2.29)
Si è cos`ı dimostrato che F 0 (x) = f (x).
Spiegazione intuitiva:
F (x + h) − F (x) è l’area della piccola
striscia verticale, che è quasi un rettangolino (quando h è molto piccolo) di base
h e altezza f (x), e quindi di area h.f (x).
Allora
[F (x+h)−F (x)]/h =
y
h.f (x)
area
=
= f (x)
base
h
Dunque,
F 0 (x) = f (x)
Grafico di f
f (x)
a
x
x+h
x
b
2) Sia ora G(x) una qualunque funzione derivabile tale che G0 (x) = f (x). Poiché
G0 (x) = f (x) = F 0 (x)
Z
le due funzioni G(x) e F (x) =
scono per una costante:
x
f (t) dt hanno la stessa derivata sull’intervallo [a, b]. Quindi differia
x
Z
G(x) =
f (t) dt + c
(2.30)
a
Ponendo in questa uguaglianza prima x = b e poi x = a e sottraendo, si ottiene:
hZ b
i hZ a
i
G(b) − G(a) =
f (t) dt + c −
f (t) dt + c
Z
=
a
b
(2.31)
a
f (t) dt
a
13
(2.32)
2
Cos`ı abbiamo dimostrato l’uguaglianza (2.27).
R xComplemento. Diamo un’altra dimostrazione del fatto che, se f è continua su [a, b], allora F (x) =
f (f ) dt è una antiderivata di f su [a, b].
a
Seconda dimostrazione della parte 1) del Teorema Fondamentale del Calcolo.
Sia c ∈ [a, b).
Vogliamo dimostrare che la funzione integrale F è derivabile a destra in c e F+0 (c) = f (c). Poiché f è
continua in c, dato ε > 0 esiste un δ > 0 tale che se c ≤ x < c + δ, allora
f (c) − ε < f (x) < f (c) + ε
(2.33)
Sia 0 < h < δ. Applicando il Teorema della Media a f sull’intervallo [c, c + h], otteniamo
Z c+h
(f (c) − ε).h <
f < (f (c) + ε).h
(2.34)
c
R c+h
R c+h
Rc
R c+h
Ora c f = F (c + h) − F (c). (Infatti, F (c + h) − F (c) = a f − a f = c f ). Dunque le
disuguaglianze (2.34) si scrivono
(f (c) − ε).h < F (c + h) − F (c) < (f (c) + ε).h
(2.35)
Se dividiamo per h > 0, otteniamo
f (c) − ε <
F (c + h) − F (c)
< f (c) + ε
h
(2.36)
Ma, poiché ε è arbitrario, concludiamo che
lim
h→0+
F (c + h) − F (c)
= f (c)
h
(2.37)
Questo significa che la derivata destra di F in c esiste ed è uguale a f (c).
Nello stesso modo si dimostra che F−0 (c) = f (c) quando c ∈ (a, b] e quindi è dimostrato che F è
una antiderivata di f su tutto [a, b].
2
2.8
Cambio di variabili negli integrali definiti.
f
Teorema 2.16 (Cambio di variabili negli integrali definiti) Sia [a, b] −→ R una funzione conϕ
tinua sull’intervallo [a, b] e sia [α, β] −→ [a, b] una funzione biunivoca con derivata continua ϕ0 (t) > 0.
(Dunque ϕ(α) = a e ϕ(β) = b.) Allora vale questa uguaglianza:
Z b
Z β
f (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
(ϕ(α) = a, ϕ(β) = b)
(2.38)
a
α
Prima dimostrazione.
Consideriamo una partizione P = (x0 , x1 , ..., xn ) di [a, b],
x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b
14
La funzione biunivoca ϕ induce la partizione Π di [α, β]:
t0 = α < t1 < t2 < · · · < tn = β
definita da xi = ϕ(ti ), per i = 0, ..., n. (Qui usiamo il fatto che ϕ sia crescente; se invece fosse
decrescente, alla partizione t0 = α < t1 < t2 < · · · < tn = β dovremo associare la partizione
ϕ(β) = a < ϕ(tn−1 ) < ϕ(tn−2 ) < · · · < ϕ(α) = b).
Per il Teorema del Valore Medio (del calcolo differenziale, detto anche Teorema di Lagrange) si ha
xi − xi−1 = ϕ(ti ) − ϕ(ti−1 ) = ϕ0 (ηi )(ti − ti−1 )
(2.39)
per opportuni ηi ∈ (ti−1 , ti ). Posto ci = ϕ(ηi ), per i = 0, ..., n, abbiamo allora
n
X
f (ci )(xi − xi−1 ) =
i=1
n
X
f (ϕ(ηi ))ϕ0 (ηi )(ti − ti−1 )
(2.40)
i=1
A primo membro di (2.40) abbiamo la somma di Riemann di f relativa alla seguente partizione marcata
P˙ di [a, b]:
a = x0 < x1 < x2 < · · · · · · < xn = b,
c1 ∈ [x0 , x1 ], c2 ∈ [x1 , x2 ], ......, cn ∈ [xn−1 , xn ]
A secondo membro di (2.40) abbiamo la somma di Riemann della funzione composta f (ϕ(t)ϕ0 (t)
˙ dell’intervallo [α, β] data da:
relativa alla partizione marcata Π
t0 = α < t1 < t2 < · · · < tn = β,
η1 ∈ (t0 , t1 ), · · · · · · , ηn ∈ (tn−1 , tn )
Rb
Dunque, le somme di Riemann che figurano a primo membro di (2.40) convergono a a f (x) dx,
Rβ
mentre le somme di Riemann che figurano a secondo membro di (2.40) convergono a α f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.
Dunque i due integrali coincidono.
Seconda dimostrazione.
Consideriamo le due funzioni G, H definite sull’intervallo [α, β] nel modo seguente:
ϕ(y)
Z
G(y) =
Z
f (x) dx
y
H(y) =
a
f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt
(2.41)
α
per ogni y ∈ [α, β]. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale (insieme al teorema di derivazione
di funzione composta, per la G(y)), queste due funzioni sono derivabili in [α, β] e hanno la stessa
derivata:
G0 (y) = f (ϕ(y))ϕ0 (y)
H 0 (y) = f (ϕ(y))ϕ0 (y)
(2.42)
Dunque G e H differiscono per una costante. Ma nel punto y = α assumono lo stesso valore:
G(α) = F (α) = 0
Ne segue che G e H sono uguali:
per ogni y in [α, β]
G(y) = H(y)
In particolare G(β) = H(β), che è la tesi.
2
15
3
Ricerca di una primitiva
3.1
Il metodo di sostituzione per il calcolo di una primitiva.
Per cercare una primitiva di una funzione assegnata, a volte può essere utile un cambio di variabili.
Descriviamo questa tecnica, che si chiama metodo di sostituzione. Presentiamo questo metodo nei due
casi che si incontrano pi`
u spesso.
Metodo di sostituzione: Primo caso.
Supponiamo di volere calcolare un integrale indefinito del tipo
Z
f (h(u)) du
(3.1)
Ricordiamo che il problema consiste nel trovare una funzione H(u) la cui derivata sia H 0 (u) = f (h(u)).
Nel nostro caso la funzione integranda f (h(u)) è una funzione composta, dove f e h sono funzioni
assegnate. Supponiamo che la funzione x = h(u) sia invertibile e denotiamo con u = h−1 (x) = k(x) la
sua inversa. Per semplicit`
a, scriveremo anche x = x(u), anziché x = h(u); analogamente, scriveremo
u = u(x), al posto di u = h−1 (x). Ma sia chiaro che questo significa che x = x(u) è la specifica funzione
h e che u = u(x) denota l’inversa di h. Supponiamo inoltre che h abbia una derivata continua h0 (u)
che non si annulli mai. Questa richiesta ci permette di dire che anche la funzione inversa k = h−1 è
derivabile. (Regola della derivata della funzione inversa.)
Il metodo di sostituzione si basa sulla seguente osservazione:
Sia G(x) qualunque primitiva della funzione f (x)u0 (x), cioè si abbia
G0 (x) = f (x)u0 (x) = f (x)k 0 (x)
(3.2)
Allora la funzione composta G(h(u)) è una primitiva di f (h(u)) (che è la funzione integranda iniziale
nell’integrale 3.1).
Infatti, per la regola di derivazione di una funzione composta, abbiamo:
d
G(h(u)) = G0 (h(u)) h0 (u) = f (h(u)) k 0 (h(u)) h0 (u) = f (h(u))
du
(3.3)
perché k 0 (h(u)) h0 (u). (Infatti, per la regola di derivazione della funzione inversa k = h−1 ,
k 0 (h(u)) =
1
h0 (u)
e quindi k 0 (h(u))h0 (u) = 1.)
Riassumiamo schematicamente. Per trovare una primitiva di f (h(u)), si può procedere nel modo
seguente:
1. Si pone h(u) = x;
2. Si trova la funzione inversa u = h−1 (x) = u(x);
3. Si considera la funzione f (x)u0 (x), dove u(x) = h−1 (x) è l’inversa di x = h(u);
4. Si cerca una primitiva G(x) di f (x)u0 (x);
5. In G(x) si opera la sostituzione x = h(u), ottenendo cos`ı la funzione G(h(u)).
16
La funzione finale G(h(u)) sar`
a allora una primitiva di f (h(u)).
In altri termini, per calcolare l’integrale indefinito
Z
f (h(u)) du
(3.4)
basta calcolare l’integrale indefinito
Z
f (x) u0 (x)dx
(3.5)
f (h(u)) du
(3.6)
e poi effettuare la sostituzione x = h(u).
Il simbolo
che appare sotto il segno di integrale, suggerisce la trasformazione giusta da fare, quando si effettua
una sostituzione di variabili: se al posto di h(u) si sostituisce h(u) = x e al posto di du si sostituisce
du = u0 (x)dx
dove u(x) = h−1 (x), allora si passa automaticamente da 3.4 a 3.5. Dunque, se per denotare gli
integrali indefiniti si usa la notazione di Leibniz 3.6, il metodo di sostituzione si ricorda pi`
u facilmente
e si effettua meccanicamente.
Ovviamente, non è detto che il metodo di sostituzione sia sempre praticabile. Ad esempio, il metodo
fallisce se non si sa trovare esplicitamente la funzione inversa u = h−1 (x); oppure se non si sa trovare
una primitiva G(x) di f (x)u0 (x).
Metodo di sostituzione: Secondo caso.
Supponiamo di dovere calcolare un integrale indefinito del tipo:
Z
f (h(u))h0 (u) du
(3.7)
che differisce dal precedente integrale 3.1 perché ora nella funzione integranda compare il termine
h0 (u). Si ponga h(u) = x e sia F (x) una primitiva di f (x). Allora si vede subito che F (h(u) è una
primitiva di f (h(u))h0 (u). Infatti, per la regola di derivazione di una funzione composta, si ha:
d
F (h(u)) = F 0 (h(u))h0 (u) = f (h(u))h0 (u)
du
Anche in questo caso la notazione simbolica di Lebniz suggerisce la cosa giusta da fare. Si ponga
h(u) = x e dx = x0 (u)du = h0 (u)du. Allora il metodo di sostituzione prende la forma
Z
Z
f (h(u))h0 (u) du = f (x) dx = F (x) = F (h(u))
(3.8)
In questo caso il metodo di sostituzione risulta semplificato, perché non è necessario trovare l’inversa
della funzione h(u).
Esempio 3.1 Calcolare:
Z
π
4
sin 2x dx
0
17
Soluzione. Cambiamo la variabile, ponendo 2x = t, ossia x = 2t . In termini pi`
u precisi, definiamo la
funzione x = h(t) = 2t , con t ∈ [0, π2 ]. Si ha h0 (t) = 21 . Allora, per la formula del cambio di variabile,
abbiamo:
Z π
Z π4
Z π2
π
1 2
1
1
0
sin 2x dx =
(sin h(t)) h (t) dt =
(sin t)dt = [− cos t]02 =
2
2
2
0
0
0
Z
1
du
Esempio 3.2 Calcolare:
eu + e−u
Poniamo eu = x. Allora la funzione inversa è u = ln x e du = u0 (x)dx =
1
dx. Quindi per il metodo
x
di sostituzione (primo metodo) si ha
Z
Z
Z
1
1
1
1
du
=
dx = arctan x
dx
=
eu + e−u
x + x−1 x
1 + x2
Ora torniamo alla variabile iniziale u con la sostituzione x = eu , e cos`ı troviamo la primitiva cercata:
arctan eu .
R u√
Esempio 3.3 Calcolare:
e 1 + eu du
Usiamo il metodo
di sostituzione, ponendo 1 + eu = x = x(u). Notiamo che con tale sostituzione
√
u
l’espressione e 1 + eu du diventa
p
√
eu 1 + eu du = x(u) x0 (u) du
Si noti che, per la presenza del termine x0 (u) du = dx, siamo nel secondo caso del metodo di
sostituzione. Allora
Z
Z p
Z
√
√
2 √
2 3
eu 1 + eu du =
x(u)x0 (u)du =
x dx = x 2 = x x
3
3
√
2
u
Ora al posto di x si deve porre: x = 1 + e . Quindi la primitiva cercata è 3 (1 + eu ) 1 + eu .
Se invece non ci fossimo accorti di quel fattore x0 (u)du = eu du che ci ha fatto usare il secondo caso
del metodo di sostituzione, avremmo proceduto nel modo seguente (Metodo di sostituzione: Primo
caso). La funzione inversa di x = 1 + eu è u = ln(x − 1). Allora
du = u0 (x)dx =
1
dx
x−1
1
La regola di sostituzione, ponendo 1 + eu = x e du = x−1
dx, prende la forma:
Z
Z
Z
√
√
√
1
eu 1 + eu du = (x − 1) x
dx =
xdx
x−1
e da qui si procede come sopra.
R
R
Esempio 3.4 Calcolare tan x dx e cot x dx
Z
Z
sin x
Per definizione di tangente, si ha
tan x dx =
dx. Poniamo cos x = t. Non è necessario
cos x
invertire questa relazione, in quanto è presente il termine (− sin x)dx = dt. (Siamo nel secondo caso
del metodo di sostituzione). Quindi
Z
Z
Z
sin x
1
tan x dx =
dx = − dt = − ln |t| = − ln | cos x|
cos x
t
In modo analogo, con la sostituzione sin x = t, si trova:
Z
Z
Z
cos x
1
cot x dx =
dx =
dt = ln |t| = ln | sin x|
sin x
t
18
3.2
Integrazione per parti
Ricordiamo che se f (x) e g(x) sono funzioni derivabili, la derivata del prodotto f (x)g(x) è data dalla
regola di Leibniz
h
i0
f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
(3.9)
Se integriamo entrambi i membri e ricordiamo che una primitiva della derivata di una funzione è la
funzione stessa, otteniamo
Z
Z
f (x)g(x) = f 0 (x)g(x)dx + f (x)g 0 (x)dx
(3.10)
ovvero
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f 0 (x)g(x)dx
(3.11)
La 3.11 si chiama formula di integrazione per parti. Come al solito, l’uguaglianza 3.10 va intesa nel
senso seguente: la somma di una qualunque primitiva di f 0 (x)g(x) e di una qualunque primitiva di
f (x)g 0 (x) è uguale a f (x)(g(x), a meno di una costante additiva. Allo stesso modo va interpretata la
3.11.
Esempio 3.5 Per calcolare
R
ln x dx, possiamo usare la formula di integrazione per parti 3.11, dove
1
f (x) = ln x e g 0 (x) = 1. Si ha f 0 (x) = e g(x) = 1. Dunque
x
Z
Z
x
ln x dx = x ln x −
x = x ln x − x
x
Esempio 3.6
Z
2
Z
Z
sin x sin x dx = − cos x sin x −
Z
= − cos x sin x + cos2 x dx
Z
= − cos x sin x + (1 − sin2 x) dx
Z
= − cos x sin x + x − sin2 x dx
sin x dx =
Portando l’integrale a primo membro, si ottiene
Z
x − cos x sin x
sin2 x dx =
2
In modo del tutto analogo si trova
Z
4
cos2 x dx =
x + cos x sin x
2
(− cos x) cos x dx
(3.12)
(3.13)
Integrali impropri o generalizzati
Rb
Finora abbiamo considerato solo integrali a f (x)dx dove l’intervallo [a, b] è limitato e la funzione f (x)
è limitata su [a, b]. Ora vediamo come il concetto di integrale si definisce quando la funzione f (x)
19
è limitata ma l’intervallo di integrazione non è limitato, oppure quando la funzione non è limitata e
l’intervallo di integrazione è limitato. Un esempio del primo tipo è l’integrale
Z +∞
1
dx
(4.1)
2
x
1
(L’intervallo (1, +∞) non è limitato). Un esempio del secondo tipo è
1
Z
1
√ dx
x
0
(La funzione
√1
x
(4.2)
non è limitata vicino a 0).
In entrambi i casi si parla di integrali generalizzati (o impropri).
4.1
Integrali su intervalli non limitati
Sia f una funzione reale definita su un intervallo non limitato [a, +∞):
f
[a, +∞) −→ R
(4.3)
Diremo che f è integrabile (o integrabile in senso generalizzato, o in senso improprio) sulla semiretta
[a, +∞) se f è integrabile su ogni intervallo [a, t] con t > a ed esiste finito il limite
t
Z
lim
t→+∞
f (x) dx
In questo caso si pone, per definizione,
Z +∞
Z
f (x) dx = lim
t→+∞
a
(4.4)
a
t
f (x) dx
(4.5)
a
R +∞
Se l’integrale a f (x) dx esiste (finito) si dice che tale integrale è convergente. Se il limite 4.4 è +∞,
R +∞
si dice che l’integrale a f (x) dx è divergente.
In modo simile si definiscono le funzioni integrabili su intervalli non limitati del tipo (−∞, b].
4.1.1
Integrale di 1/xa
Teorema 4.1 (Integrabilit`
a di 1/xa in un intorno di +∞)

Z +∞
 diverge a + ∞
1
dx
 converge (al numero 1 )
xa
1
a−1
se a ≤ 1
(4.6)
se a > 1
Dimostrazione. Se a = 1, abbiamo
Z
lim
t→+∞
1
t
1
dx = lim (ln t − ln 1) = +∞
t→+∞
x
(4.7)
e quindi l’integrale
Z
1
+∞
1
dx
x
vale +∞, ossia è divergente.
20
(4.8)
Se a 6= 1, si ha
Z
1
t
1
1
1 h 1−a it
=
dx
=
x
(t1−a − 1)
a
x
1−a
1−a
1
(4.9)
Ora
1
lim
(t1−a − 1) =
t→+∞ 1 − a
Riassumendo:
Z
1
+∞
(
+∞
1
a−1
se a < 1
se a > 1

 diverge a + ∞
1
dx
xa
se a ≤ 1
 converge (al numero
1
)
a−1
(4.10)
se a > 1
Esempio 4.2 Vediamo se la funzione xex è integrabile (in senso improprio) sulla semiretta (−∞, 0).
Per ogni t < 0, la funzione xex è integrabile su [t, 0] (perché è continua) e si ha:
Z 0
0
xex = (x − 1)ex = −1 − (t − 1)et
(4.11)
t
t
Ora si deve calcolare il limite per t che tende a −∞. Si ottiene:
Z 0
lim
xex = lim (−1 − (t − 1)et ) = −1
t→−∞
t→−∞
t
Dunque la funzione xex è integrabile su (−∞, 0) e
Z 0
Z
x
xe dx = lim
t→−∞
−∞
4.1.2
(4.12)
0
xex = −1
(4.13)
t
Criterio del confronto
A volte si pu`
o stabilire se una funzione è integrabile in senso generalizzato, senza bisogno di trovarne
esplicitamente un’antiderivata. Pu`
o bastare un confronto con funzioni integrabili pi`
u semplici.
Teorema 4.3 (Criterio del confronto.) Supponiamo che f (x) e g(x) siano funzioni continue definite su una stessa semiretta I = (a, +∞) e soddisfacenti
0 ≤ f (x) ≤ g(x)
Allora:
Z
+∞
0≤
Z
+∞
f (x) dx ≤
a
(4.14)
g(x)dx
(4.15)
a
In particolare:
1. Se g è integrabile su I, anche f è integrabile su I;
R +∞
2. Se f non è integrabile su I (cioè, se a f (x) dx = +∞), anche g non è integrabile su I (ossia,
R +∞
anche a g(x)dx = +∞)
Dimostrazione. Poiché le funzioni integrande f e g sono non-negative, gli integrali in questione
sicuramente esistono3 , magari uguali a +∞. Per la proprietà di monotonia dell’integrale, valgono le
disuguaglianze
Z
Z
t
0≤
t
f (x) dx ≤
a
g(x)dx
(4.16)
a
3 Ricordiamo che se una funzione reale h(t) `
e crescente su un intervallo (a, +∞), allora sicuramente esiste (finito o
+∞) il limite limt→+∞ h(t), e tale limite `
e uguale al sup di h su (a, +∞). Nel nostro caso, siccome le funzioni f e g
R
R
sono non-negative, le funzioni integrali at f e at g sono crescenti, e quindi hanno limite per t → +∞.
21
per ogni t > a. Passando al limite per t → +∞, si ha allora la tesi.
2
L’enunciato del teorema è del tutto ragionevole quando si pensi alla seguente interpretazione geometrica. Poiché 0 ≤ f (x) ≤ g(x), la regione di piano compresa tra l’asse delle x e il grafico di f (x)
R +∞
è tutta al di sotto del grafico di g(x). Quindi, se l’area a g(x)dx è finita, a maggior ragione l’area
R +∞
R +∞
R +∞
f (x) dx sar`
a finita. Mentre se l’area a f (x) dx è infinita, a maggior ragione l’area a g(x)dx
a
sar`
a infinita.
Z
Esempio 4.4 Stabilire se l’integrale
+∞
2
e−x dx è convergente.
0
2
Soluzione. La funzione e−x è ovviamente integrabile su ogni intervallo [0, b], in quanto è continua.
Occorre studiare la sua integrabilit`
a in un intorno di +∞. Non si sa trovare esplicitamente un’antide2
rivata di e−x . Osserviamo per`
o che in un intorno di +∞ (vale a dire per tutti gli x sufficientemente
grandi) si ha
1
1
(4.17)
0 ≤ x2 ≤ 2
x
e
(In realt`
a la 4.17 vale per ogni x in (0, +∞), perché et > t per ogni t ∈ R, e quindi
0<
1
1
<
et
t
(4.18)
1
per ogni t > 0). Siccome sappiamo gi`
a che in un intorno di +∞ la funzione 2 è integrabile, per il
x
Z +∞
−x2
criterio del confronto possiamo concludere che l’integrale
e
dx è convergente.
2
0
4.1.3
Criterio del confronto asintotico
Un altro criterio per stabilire se una funzione è integrabile in senso generalizzato è il criterio del
confronto asintotico. Ricordiamo una definizione. Date due funzioni f (x), g(x), definite entrambe su
(a, +∞), con g(x) sempre diverso da zero, si dice che f (x) è asintoticamente equivalente a g(x) quando
x tende a +∞, e si scrive
f (x) ∼ g(x), per x → +∞
(4.19)
se
lim
x→+∞
f (x)
=1
g(x)
(4.20)
Vale allora il seguente
Teorema 4.5 (Criterio del confronto asintotico.) Siano f (x) e g(x) funzioni non-negative continue definite su una stessa semiretta I = (a, +∞). Supponiamo f (x) ∼ g(x) per x → +∞. Allora
f (x) è integrabile su I se e solo se g(x) è integrabile su I.
(x)
(x)
= 1. Quindi, per ogni fissato ε > 0, il rapporto fg(x)
sar`
a
Dimostrazione. Per ipotesi, limx→+∞ fg(x)
contenuto nell’intervallo [1 − ε, 1 + ε] per tutti gli x sufficientemente grandi. In altri termini, varranno
definitivamente le due disuguaglianze
(1 − ε)g(x) ≤ f (x) ≤ (1 + ε)g(x)
(4.21)
Ora la tesi segue subito dal teorema del confronto. Infatti, se g(x) è integrabile sulla semiretta I, da
f (x) ≤ (1 + ε)g(x)
22
segue che f (x) è integrabile; mentre, se g(x) non è integrabile su I, da
(1 − ε)g(x) ≤ f (x)
segue che f (x) non è integrabile.
Esempio 4.6 Stabilire se l’integrale
Z
+∞
1
x3 + 2x2 − x + 1
dx
x5 + x4 + 7
(4.22)
converge.
Infatti, la funzione integranda è asintotica a
1
:
x2
x3 + 2x2 − x + 1
1
∼ 2,
5
4
x +x +7
x
per x → +∞
(4.23)
Ne segue, per il criterio del confronto asintotico, che l’integrale 4.22 è convergente.
Esempio 4.7 L’integrale
Z
+∞
1
1
− sin
dx
x
x
1
(4.24)
è convergente.
Infatti, per x → +∞, si ha
e
1 1
3! x3
4.2
1
1 1
1
− sin ∼
x
x
3! x3
è integrabile sulla semiretta [1, +∞).
Integrali di funzioni non limitate
Vediamo ora come estendere il concetto di integrale definito a funzioni che non sono limitate in
un intorno di un punto. Sia f (x) una funzione definita su un intervallo (a, b] (a, b ∈ R e a < b).
Supponiamo che f non sia limitata in un intorno del punto a. Se esiste finito il limite
Z b
lim+
f (x)dx
(4.25)
c→a
c
esso viene chiamato integrale improprio, o generalizzato, di f sull’intervallo [a, b] e si denota ancora
con il simbolo
Z b
f (x) dx
a
Come esempi guida, consideriamo le due funzioni f (x) = x1 e g(x) = √1x , definite sull’intervallo
(0, 1]. Ovviamente, entrambe non sono limitate vicino a 0. Nel primo caso, una primitiva di f (x) su
(0, 1] è ln x e
Z 1
lim+
f (x) dx = lim+ ln(1) − ln(c) = +∞
c→0
c
c→0
Nel secondo caso,
Z
lim+
c→0
c
1
√ 1
√
1
√ dx = lim 2 x c = lim (2 − 2 c) = 2
+
+
x
c→0
c→0
1
x
Quindi, f (x) = non è integrabile in senso generalizzato su [0, 1], mentre g(x) =
integrale vale 2).
23
√1
x
lo è (e il suo
4.2.1
Integrali di 1/xa . Criteri del confronto e del confronto asintotico
Con un conto del tutto analogo a quello svolto per studiare l’integrabilità di
si ottiene il seguente
Teorema 4.8 (Integrabilit`
a di 1/xa in un intorno di zero)

Z 1
 diverge a + ∞
1
dx
a
 converge (al numero 1 )
0 x
1−a
1
xa
sull’intervallo [1, +∞),
se a ≥ 1
(4.26)
se a < 1
Anche per gli integrali impropri di funzioni non limitate, valgono il criterio del confronto e il criterio
del confronto asintotico.
Teorema 4.9 (Criterio del confronto.) Supponiamo che f (x) e g(x) siano funzioni continue sull’intervallo I = (a, b], entrambe non limitate vicino al punto a e soddisfacenti
0 ≤ f (x) ≤ g(x)
Allora:
Z
0≤
b
Z
f (x) dx ≤
a
(4.27)
b
g(x)dx
(4.28)
a
In particolare:
1. Se g è integrabile su I, anche f è integrabile su I;
Rb
2. Se f non è integrabile su I (cioè a f (x) dx = +∞), anche g non è integrabile (cioè, anche
Rb
g(x)dx = +∞).
a
Teorema 4.10 (Criterio del confronto asintotico.) Siano f (x) e g(x) funzioni non-negative continue sull’intervallo I = (a, b], entrambe non limitate vicino al punto a. Supponiamo f (x) ∼ g(x) per
x → a+ . Allora f (x) è integrabile su I se e solo se g(x) è integrabile su I.
Le dimostrazioni di questi due teoremi sono del tutto simili a quelle già viste nel caso di integrali
su intervalli illimitati, e non le ripeteremo.
24

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