Misure di deformazione con estensimetri elettrici Estensimetro

Misure di deformazione con estensimetri elettrici
Ricordiamo la relazione tra la variazione di resistenza di un conduttore
filiforme e la deformazione longitudinale ad esso applicata:
ΔR
= kε Mis
R
1
Estensimetro
Lo strumento più diffuso per le misure di deformazione è l’estensimetro
elettrico: esso è composto da una pista conduttiva deposta su un film
polimerico
polimerico.
Indicatori di
Supporto polimerico
allineamento
Direzione
di misura
Terminali per saldatura cavi
La relazione fondamentale dell’estensimetria fornisce la variazione di
resistenza di un conduttore filiforme soggetto ad una deformazione
longitudinale:
ΔR
R
= kε Mis
Se alimentato, l’estensimetro produce una variazione di tensione che può
essere facilmente letta da un voltmetro.
2
1
Estensimetro
L’estensimetro fornisce una variazione di resistenza proporzionale al
valore medio della deformazione nell’area da lui coperta.
Def. p
picco
SI
NO
Def. effettiva
Def. indicata
NO
Def. effettiva
Def. effettiva
Def. indicata
Def. indicata
L’ t
L’estensimetro
i t d
dovrebbe
bb essere iinstallato
t ll t in
i zone a deformazione
d f
i
uniforme: l’effetto di media sulle deformazioni è comunque generalmente
contenuto viste le dimensioni contenute del sensore.
Un po’ più critico il caso di estensimetri a griglia multipla (rosette) che
leggono la deformazione idealmente nello stesso punto ma in direzioni
differenti.
3
Estensimetro
Esistono in commercio numerosi modelli di estensimetro in grado
di incontrare le esigenze delle più varie applicazione.
4
2
Estensimetro
5
Estensimetro
I criteri di selezione riguardano:
¾ allungamento massimo;
¾ numero di cicli di deformazione;
¾ temperatura di lavoro;
¾ precisione richiesta.
1600 με
> 1000000
80°
Moderata
6
3
Misure di deformazione con Ponte di Wheatstone
7
Misure di deformazione
L’impiego degli estensimetri nei sistemi di
misura di deformazione è normalmente
associato al ponte di Wheatstone
Wheatstone.
Con le convenzioni di figura si ha:
ΔV =
VS
4
⎛ ΔR1 ΔR2 ΔR3 ΔR4 ⎞
−
+
−
⎜
⎟
R
R
R ⎠
⎝ R
Ricordando la prima relazione fondamentale dell’estensimetria:
ΔR
= kε Mis
R
k strain gauge factor
Nel caso comune di impiego di estensimetri uguali si ottiene la seconda
relazione fondamentale dell
dell’estensimetria
estensimetria :
ΔV =
VS
V
( k1ε1 − k2ε 2 + k3ε 3 − k4ε 4 ) = S k (ε1 − ε 2 + ε 3 − ε 4 )
4
4
8
4
Misure di deformazione
Una misura di classico impiego strutturale è quella di una componente di
deformazione in un punto di una struttura.
Per ottenere questa informazione si utilizza un solo estensimetro e la
configurazione a ¼ di ponte.
La seconda relazione fondamentale si riduce quindi a: ΔV =
VS ⎛ ΔR ⎞
⎜
⎟
4⎝ R ⎠
Con le convenzioni di figura un incremento di
resistenza (deformazione di estensione) la
variazione è positiva per gli estensimetri 1 e 3.
L’estensimetro è sensibile sia alla deformazione
meccanica (ε M ) sia a quella termica (ε T ) .
ΔV =
VS
4
⎛ ΔR ⎞ VS
⎜
⎟ = k (ε M + ε T )
⎝ R ⎠ 4
L’uscita è proporzionale alla tensione di alimentazione. Sarebbe quindi
utile alzarla per ottenere un miglior rapporto segnale/rumore.
Ci sono dei limiti?
9
Bilanciamento del ponte
La seconda relazione fondamentale si ottiene
bilanciando il ponte ( R1 R3 = R2 R4):
ΔV =
VS
4
⎛ ΔR ⎞
⎜
⎟
⎝ R ⎠
Anche nella discussione delle caratteristiche del ponte si è assunto
il ponte bilanciato
Cosa succede se non si effettua tale compensazione?
10
5
Bilanciamento del ponte
Con la numerazione di figura, l’uscita a
ponte scarico è:
VO = VS
R1 R3 − R2 R4
( R1 + R4 )( R2 + R3 )
Nominalmente il ponte è bilanciato se R1 R3 = R2 R4.
Per resistenze nominalmente uguali da 120 Ω, di tolleranza 0.5%, e
p però
p
arrivare
un’alimentazione da 10 V,, lo sbilanciamento di tensione può
ad essere dell’ordine di 15 mV.
Un valore piccolo, ma non trascurabile rispetto alla misura attesa!
La variazione di tensione dovuta alla deformazione
di un estensimetro è data da:
ΔV = k
VS
ε3
4
La deformazione corrispondente a tale lettura, con k=2, è di 3000 με :
un valore che è prossimo al limite di snervamento di un comune
materiale metallico
11
Bilanciamento del ponte
Sono possibili due tecniche per ovviare a questo problema:
1) effettuare misure differenziali senza bilanciare preventivamente il
ponte;
2) bilanciare preventivamente il ponte ed effettuare una sola lettura
diretta della variazione di tensione dovuta alla deformazione.
Per discuterli consideriamo il caso di ¼ di ponte con estensimetro in
posizione 3.
12
6
Bilanciamento del ponte
1) Ponte non bilanciato
VO = VS
(misura differenziale)
R1R3 − R2 R4
≠0
( R1 + R4 )( R2 + R3 )
VO′ = VS
R1 ( R3 + ΔR3 ) − R2 R4
≈
( R1 + R4 )( R2 + R3 + ΔR3 )
⎛
⎞
R1 R3 − R2 R4
R1 R3 kε
VS ⎜⎜
+
⎟⎟
⎝ ( R1 + R4 )( R2 + R3 (1 + kε ) ) ( R1 + R4 )( R2 + R3 (1 + kε ) ) ⎠
VO′ − VO =
⎛
⎞
R1 R3 − R2 R4
R1 R3 kε
R1 R3 − R2 R4
VS ⎜⎜
+
−
⎟⎟
⎝ ( R1 + R4 )( R2 + R3 (1 + kε ) ) ( R1 + R4 )( R2 + R3 (1 + kε ) ) ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) ⎠
La rimozione dell’offset non è perfetta a causa della presenza del
contributo di deformazione a denominatore del primo termine, invece
assente nel terzo.
Il legame tra ΔV e ε non è perfettamente lineare, ma nell’ambito delle
approssimazioni fatte rimane trascurabile.
13
Bilanciamento del ponte
2) Ponte bilanciato
Comportamento
C
t
t puramente
t proporzionale
i
l con lla d
deformazione,
f
i
sempre
nell’ambito delle approssimazioni fatte:
VO = ΔV = k
VS
ε
4
Bil
Bilanciando
i d sii evita:
it
¾ la lettura di zero;
¾ la misura differenziale;
¾ di impostare il fondoscala di lettura sulla somma dell’offset e del
segnale diminuendo la risoluzione (in genere comunque trascurabile
dato che lo sbilanciamento è piccolo)
piccolo).
14
7
Bilanciamento del ponte
Come ottenere il bilanciamento di un ponte per cui R1 R3 ≠ R2 R4 ?
La modifica delle resistenze normalmente comporta solo piccole
correzioni (es. caso di 4 estensimetri nominalmente uguali ma
leggermente diversi per incertezze legate alla realizzazione).
Di fatto basta correggere la resistenza di uno solo dei rami del ponte.
Occorre quindi scegliere cosa è più conveniente
fare: aumentare uno dei due prodotti o diminuire
l’altro?
Per incrementare una resistenza si aggiunge una
resistenza in serie:
REquiv = RA + RB
Per diminuire una resistenza si aggiunge una
resistenza in parallelo:
REquiv =
RA RB
RA + RB
15
Bilanciamento del ponte
Supponiamo che sia necessario modificare la resistenza di un ramo di
un 1%.
Caso della serie. Occorre aggiungere una resistenza 1/100 di quella
del ramo (0.01 R):
RB = REquiv − RA = 1.01 RA − RA = 0.01 RA
Caso del parallelo. Occorre aggiungere una resistenza 99 volte più
grossa di quella del ramo (99.0 R):
REquiv =
RA ⋅ RB
= 99Ω
RA + RB
REquiv ( RA + RB ) = RA RB
RB =
RA REquiv
RA − REquiv
= RA
1
RA / REquiv − 1
RB = 99 ⋅ RA
16
8
Centraline estensimetriche
17
Centraline estensimetriche
La lettura dei ponti viene spesso effettuata con un sistema di
condizionamento e misura specifico: la centralina estensimetrica.
La centralina mette a disposizione tutta la
componentistica per:
¾ completare un ponte;
¾ alimentarlo;
¾ bilanciarlo;
¾ leggere lo sbilanciamento sotto carico;
¾ fornire la misura in termini di
microdeformazioni.
Questo per qualsiasi configurazione di ponte (¼ ,
½ o ponte intero).
18
9
Approfondimento: effetto dei cavi
Nota: per la risoluzione del problema dell’effetto dei cavi si rimanda alle
esercitazioni
esercitazioni.
19
Effetto dei cavi
Configurazione a ponte intero: 4 estensimetri installati
Rk2
R1
R2
Rk4
Vo
Vi
Rk3
R4
R3
Rk1
Effetto della resistenza dei cavi di collegamento
20
10
Effetto dei cavi
Configurazione a mezzo ponte: 2 estensimetri installati
Rk2
R1
R2
Rk1
Vo
Vi
R3
R4
Rk3
Effetto della resistenza dei cavi di collegamento
21
Effetto dei cavi
Configurazione a quarto di ponte: 1 estensimetro installato
Rk2
R1
R2
Rk1
Vo
Vi
R4
R3
Effetto della resistenza dei cavi di collegamento
22
11
Effetti della temperatura sulle misure
con estensimetri elettrici
23
Ponte di Wheatstone: effetti di temperatura
Una variazione di temperatura dell’estensimetro genera una variazione:
¾ di lunghezza della griglia estensimetrica: ΔLEst=αEst ΔT LEst
¾ di lunghezza del supporto dell’estensimetro: ΔLPez=αPez ΔT LPez
¾ di resistenza per effetto del cambiamento di resistività del materiale.
I primi due termini producono una
deformazione meccanica equivalente
pari a:
ε APP = (α Est − α Pez )ΔT
Il terzo una variazione di resistenza
pari a:
ΔR =
L
⎡ ρ(T ) - ρ(TRif ) ⎤
⎦
A⎣
Variazione del fattore di sensibilità con
la temperatura in funzione di materiale
24
della griglia e del supporto.
12
Ponte di Wheatstone: effetti di temperatura
La compensazione degli effetti della temperatura, ovvero l’eliminazione
della variazione di tensione generata dal calore, può essere fatta con
varie modalità:
•
correzione analitica grazie ad
appositi diagrammi (poco utilizzata
in ambito sperimentale);
•
utilizzo combinato di estensimetri di
misura
i
iin un ponte
t di Wh
Wheatstone
t t
per una compensazione diretta,
peraltro praticabile solo in alcune
condizioni che dovranno essere
verificate;
•
annullamento dell’effetto di
t
temperatura
t
tramite
t
it un’apposita
’
it
misura (tecnica detta del provino
morto), normalmente con un ponte
di Wheatstone (sempre utilizzabile).
25
Misure di deformazione: il «morto»
Il provino morto è :
¾ costituito da un pezzo di materiale identico a quello del quale si vuole
misurare la deformazione;
¾ sottoposto alla stessa temperatura;
¾ strumentato in maniera identica;
¾ ma non caricato.
Quindi la sua uscita è:
ΔRB
= kε B = kε T
R
Mentre l’uscita dell’estensimetro di
misura è:
A
B
ΔRA
= kε A = k (ε M + ε T )
R
La compensazione deve per differenza di due misure indipendenti di due
ponti in configurazione ¼.
Può essere preferibile l’utilizzo di un unico ponte di misura.
26
13
Misure di deformazione: compensazione termica
La compensazione termica può avvenire inserendo il morto su un ramo
del ponte adiacente a quello dell’estensimetro di misura.
In questo modo si realizza direttamente la compensazione sfruttando le
proprietà del ponte.
ΔR
ΔR
ΔR
ΔR
1
R
2 R
1
= kε1
R
= kε 4
2
R
=
3
R
=0
L’uscita del ponte diventa:
ΔV =
R4
ep
poiché:
si ottiene un’uscita sensibile
solo all’effetto meccanico:
4
ΔV =
VS ⎛ ΔR1 ΔR2 ΔR3 ΔR4 ⎞
−
+
−
⎜
⎟=
R
R
R ⎠
4⎝ R
VS ⎛ ΔR1 ΔR4 ⎞
−
⎜
⎟
R ⎠
4⎝ R
ε1 = ε M + ε T
ε 4 = εT
VS
V
k ( ε1 − ε 2 ) = S kε M
4
4
27
Configurazioni tipiche di impiego
di estensimetri elettrici
28
14
Configurazioni tipiche
Un estensimetro collegato ad ¼ di ponte misura la deformazione in un
punto di una struttura, secondo una direzione.
In alcuni casi però risulta di particolare utilità riuscire ad individuare nella
deformazione generica presente in un punto il contributo dovuto ad una
singola modalità meccanica di sollecitazione, tralasciando gli effetti di altre
modalità di sollecitazione: il caso tipico è la separazione tra gli effetti di
carichi assiali, di flessione e termici.
L’interesse è q
quindi p
per una configurazione
g
di misura che compensi
p
intrinsecamente gli effetti non desiderati ed eventualmente amplifichi
quelli a cui si è interessati.
29
Configurazioni tipiche
Nel caso di una struttura allungata prende significato la
separazione tra effetti di carichi assiali,
assiali di flessione e
termici.
Un carico longitudinale produce:
¾ effetti uniformi nella sezione (modalità membranale);
¾ effetti linearmente variabili attraverso lo spessore della
sezione
i
quando
d non allineato
lli
t con l’asse
l’
neutro
t della
d ll
trave (modalità flessionale).
Può, in generale, essere presente anche una deformazione
termica (non necessariamente uniforme sulla sezione
sebbene per i metalli lo sia).
1l
Contributi :
L interesse è per configurazioni di misura , di volta in volta, • Termico
L’interesse
che compensino intrinsecamente gli effetti non
• Membranale
desiderati e mettano in evidenza il solo effetto
• Flessionale
desiderato.
30
15
Configurazioni tipiche: carico assiale
Misura della deformazione assiale con un solo estensimetro in
configurazione quarto di ponte.
Contributi possibili:
• Termico
• Membranale
• Flessionale
1l
ΔV
¾ L’uscita del ponte è:
ΔV =
¾ La sensibilità del ponte è:
VS
V
( kε1 + 0 + 0 + 0 ) = ⎛⎜ S
4
⎝ 4
k
⎛V ⎞
S = ⎜ S k ⎟o
SV =
4
⎝ 4 ⎠
¾ Cosa misura l’estensimetro?
l estensimetro?
⎞
k ⎟ ε1
⎠
ε Mis = ε1 = ε Ass + ε Fles + ε Term
Quindi la misura risente di un’eventuale flessione e degli effetti termici.
31
Configurazioni tipiche: carico assiale
Misura della deformazione assiale con due estensimetri uguali su facce
opposte e collegati su rami opposti (mezzo ponte, es. 1 e 4).
Contributi possibili:
• Termico
• Membranale
• Flessionale
ΔV
4
¾ L’uscita
L’
i d
dell ponte è
è:
4l
VS
V
k ( ε1 + ε 4 ) = S kε Mis
4
4
k
⎛V ⎞
SV =
S =⎜ S k⎟ o
2
⎝ 2 ⎠
ΔV =
¾ La sensibilità del ponte raddoppia:
¾ Cosa misurano gli estensimetri?
1l
ε Mis
Mi = ε 1 + ε 4 = ε 1− A + ε 1-F
1 F + ε 1-T
1 T + ε 2 − A + ε 2-F
2 F + ε 2-T
2 T = 2 (ε A + εT )
Lo sforzo flessionale cambia segno tra le due facce, le componenti di
deformazione corrispondenti si elidono nella somma.
La misura è compensata a flessione ma risente ancora di eventuali
effetti termici.
32
16
Configurazioni tipiche: carico assiale
Misura della deformazione assiale con quattro estensimetri uguali, due
per ciascuna faccia, uno allineato con la direzione di carico e uno in
direzione trasversale.
Collegamento a ponte intero, gli estensimetri posti su di una faccia devono
essere sui lati adiacenti del ponte.
1l,2t
4l,3t
4
ΔV
3
4
VS
V
ΔV = k ( ε1 + ε 4 − ε 2 − ε 3 ) = S kε Mis
4
4
¾ L’uscita del ponte è:
¾ Esaminiamo le misure degli estensimetri:
ε1 = (ε Ass + ε Fles ) + α Long ΔT
ε 2 = −ν (ε Ass + ε Fles ) + αTrasv ΔT
ε 4 = (ε Ass − ε Fles ) + α Long ΔT
ε 3 = −ν (ε Ass − ε Fles ) + α Trasv ΔT
33
Configurazioni tipiche: carico assiale
Misura della deformazione assiale con ponte intero.
1l,2t
4l,3t
ΔV
4
3
¾ La componente flessionale è compensata
compensata, come nel caso precedente
precedente.
¾ La deformazione misurata vede compensarsi gli effetti termici, se il
coefficiente di dilatazione termica è isotropo:
α
=α
Long
Trasv
¾ La sensibilità è aumentata della componente trasversale della
deformazione: ε
= ε + ε − ε − ε = 2(1 +ν )ε
Mis
1
4
2
A
3
¾ La sensibilità del ponte diventa: S = 2(1 + ν )VS
k
4
o
SV = (1 + ν )
k
2
34
17
Configurazioni tipiche: carico flessionale
Misura della sola componente flessionale della deformazione.
Il problema è misurare solo la componente flessionale della deformazione,
evitando il contributo di una eventuale deformazione assiale o di una
dilatazione termica.
Andamento momento flettente
Deformazioni possibili:
• Termica
• Membranale
• Flessionale
braccio
Attenzione: si misura la componente flessionale della deformazione
proporzionale al momento flettente indotto dalla forza N ma NON la forza
(a meno di conoscere con certezza il braccio).
35
Configurazioni tipiche: carico flessionale
Misura della deformazione flessionale con due estensimetri uguali su
facce opposte e collegati al ponte su rami adiacenti (mezzo ponte, es.1 e
2).
1l
2l
ΔV
2
VS
V
k ( ε1 − ε 2 ) = S kε Mis
4
4
¾ La componente flessionale cambia segno ε 2-F = −ε 1-Fe raddoppia.
¾ L’uscita
L’
i d
dell ponte è
è:
ΔV =
¾ Le componenti membranale e termica sono uguali e si annullano:
ε Mis = ε1 − ε 2 = ε1− A + ε 1-F + ε 1-T − ε 2− A − ε 2-F − ε 2-T = 2ε F
quindi la misura è compensata alla deformazione assiale e agli eventuali
effetti termici.
⎛ VS ⎞ o
k⎟
⎝ 2 ⎠
¾ La sensibilità del ponte è: S = ⎜
SV =
k
2
36
18
Altre necessità di misura
Necessità di caratterizzazione completa dello stato di deformazione
superficiale
γ xy
εy
εx
Necessità di rilevamento di effetti di scorrimento
37
Estensimetro
Un singolo estensimetro misura una deformazione longitudinale
p in direzioni diverse consentono la ricostruzione completa
p
Misure multiple
dello stato di deformazione superficiale mediante l’utilizzo delle relazioni di
cambiamento di sistema di riferimento o il cerchio di Mohr
ε x ′ = ε x cos 2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sin θ cosθ
y′; ε y ′
ε y ′ = ε x sin 2 θ + ε y cos 2 θ − γ xy sin θ cosθ
εyy12 ; ε
P
2
γ x ′y ′ = 2(ε x − ε y )sin θ cosθ + γ xy (cos θ − sin θ )
2
2
Evitando i termini trigonometrici quadratici:
ε x ′ = 12 (ε x + ε y ) + 12 (ε x − ε y )cos 2θ + 12 γ xy sin 2θ
x′; ε x ′
θ
xP ; ε 1
ε y ′ = 12 (ε x + ε y ) − 12 (ε x − ε y )cos 2θ − 12 γ xy sin 2θ
γ x ′y ′ = −(ε x − ε y ))sin 2θ + γ xy cos 2θ
Date le deformazioni in tre direzioni note, è possibile risalire alle
deformazioni principali e alla loro direzione: essendo lo scorrimento nel
riferimento delle deformazioni principali nullo, abbiamo un sistema di 3
equazioni in 3 incognite (deformazioni principali e angolo)
38
19
Misura della deformazione a scorrimento
Possiamo risalire alla componente di scorrimento a partire da
due misure di deformazione lineare rilevate a ±45° rispetto
alla direzione di applicazione del taglio
In presenza di uno stato di deformazione di puro scorrimento,
in una direzione a 45° avremo deformazioni lineari uguali ed
opposte: ε x = −ε y
Quindi
γ xy = 0
cos(2θ ) = 1.0;sin(2θ ) = 0.0
ε x ′ = 12 (ε x + ε y ) + 12 (ε x − ε y )cos 2θ + 12 γ xy sin 2θ
= 0.5(ε x + ε y ) ≈ 0
ε y ′ = 12 (ε x + ε y ) − 12 (ε x − ε y )cos 2θ − 12 γ xy sin 2θ
= 0.5(ε x + ε y ) ≈ 0
γ x ′y ′ = −(ε x − ε y )sin 2θ + γ xy cos 2θ
= −(ε x − ε y ) ≈ −2ε x
Dovendo operare una differenza delle due deformazioni
immediato ricorrere ad un ponte: utilizzando 4 stensimetri
accoppiati: griglie in direzione x su due rami opposti e griglie
in direzione y sugli altri due
39
Misure di deformazione
Facciamo il modello generalizzato dell’estensimetro
40
20
Misure di deformazione
Facciamo il modello generalizzato dell’estensimetro
M d ll di resistenza
Modello
i t
variabile:
i bil
Δt, α Est , α Str
ε
ΔR
Estensimetro
ROut = (1+ k ε) R
Modello di sbilanciamento del ponte:
ε
Δt, α Est , α Str
Estensimetro
ΔR
Alimentatore
Ponte
VOut = GkVS ε
Bilanciamento
La sensibilità dello strumento dipende dalla tensione di alimentazione.
Sensibilità tra deformazione e tensione: può essere opportuno risalire alla
causa della deformazione attraverso il legame forza-deformazione.
41
Approfondimenti:
misura completa dello stato di deformazione piano
42
21
Rosetta «Delta» (120°)
Date le misure di 3 deformazioni lineari in direzioni a 120°
una dall’altra è possibile determinare le deformazioni
principali e la loro direzione
Sia θ l’angolo tra la direzione principale 1 e la direzione
di misura della deformazione A
Le deformazioni nelle direzioni di misura possono essere espresse in
funzione di quelle principali e della direzione 1
ε A = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2θ
ε B = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2(θ + 120°)
θ
ε C = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2(θ + 240°)
Il sistema può essere risolto rispetto a ε1 , ε 2 e θ :
ε +ε +ε
ε1 , ε 2 = A B C ± (ε A − ε B ) 2 + (ε B − ε C ) 2 + (ε C − ε A ) 2
3
⎛
1
(ε C − ε B ) ⎞
θ = tan −1 ⎜ 3
⎟
2
2ε A − ε B − ε C ⎠
⎝
43
Rosetta rettangolare (45°)
Lo stesso procedimento può essere applicato alle
misure di una rosetta rettangolare, nella quale le
misure laterali sono orientate a ±45° rispetto a quella
centrale
Sempre indicando con θ l’angolo tra la direzione principale 1 e la
direzione di misura della deformazione A, le deformazioni nelle direzioni
di misura possono essere espresse in funzione di quelle principali e della
direzione 1
ε A = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2θ
ε B = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2(θ + 45°)
ε C = 12 (ε1 + ε 2 ) + 12 (ε1 − ε 2 )cos 2(θ + 90°)
θ
Anche in questo caso il sistema può essere risolto rispetto a ε1 , ε 2 e θ
A voi determinare le relazioni risolutive
44
22
Misura sforzi principali
Con misure multiple è possibile determinare le deformazioni nelle
direzioni principali
Nel caso di comportamento elastico lineare, le direzioni degli sforzi e
delle deformazioni principali coincidono, quindi gli sforzi principali
possono essere determinati, nota la relazione costitutiva del materiale,
a partire dalle deformazioni principali:
E
σ1 =
(ε1 + υε 2 )
1−υ2
E
σ2 =
(ε 2 + υε1 )
1−υ2
Nel caso della misura di scorrimento lo sforzo di taglio può essere
calcolato come:
τ = Gγ
45
23

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