Problema 2 ordinamento

PROBLEMA 2
A lato è disegnato il grafico Γ della funzione
1. Si calcoli il massimo e il minimo assoluti di
.
2. Si dica se l’origine O è centro di simmetria per Γ e si calcoli, in
gradi e primi sessagesimali, l’angolo che la tangente in O a Γ
forma con la direzione positiva dell’asse x.
3. Si disegni la curva d’equazione
e si calcoli
l’area della parte di piano da essa racchiusa.
Sia h(x) = sen(f(x)) con 0 ≤ x ≤ 2. Si tracci l’andamento di h(x) .
Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo
assoluti o relativi?
Si dica per quali valori reali di k la retta di equazione y = k interseca il grafico in quattro punti
distinti.
Soluzione
1. Essendo f(x) una funzione continua, per il teorema di Weierstrass ammette minimo e
massimo assoluto nell’intervallo chiuso e limitato
.
Il grafico suggerisce che sia il minimo , sia il massimo assoluto coincidono, rispettivamente, con il
minimo e il massimo relativo;il loro valore può essere determinato studiando il segno della
derivata prima
i cui zeri sono
Segno di
-2 __________-
--------------
____________________+
+++++++++++++++++++
Pertanto f(x) è decrescente per
per
Soluzione di Adriana Lanza
-------------------
e per
, crescente
Il punto di coordinate
Il punto di coordinate
2.
O è centro di simmetria per Γ in quanto f(x) è una funzione
dispari, cioè tale che
Infatti
=
Per rispondere all’altra domanda calcoliamo
L’ampiezza dell’angolo che la tangente in O a Γ forma con la
direzione positiva dell’asse x è
3.
La curva
d’equazione
è l’unione della curva Γ e della sua
simmetricarispetto all’asse x.
Poiché a sua volta Γ è simmetrica rispetto all’origine, l’area richiesta equivale al
quadruplo dell’area della regione appartenente al primo quadrante
L’area racchiusa è uguale a
dx=
4. Sia
è una funzione composta :
con z=
Se 0 ≤ x ≤ 2
Poiché f(x) non è monotona nell’intervallo [0;2} ma è monotona crescente per 0 ≤ x <
mentre è monotona decrescente
<x≤
, a ciascun valore di z ≠ 2 corrispondono due
valori distinti di x, uno a sinistra e l’altro a destra dell’ascissa del punto di massimo, x=
.
In particolare, esistono due valori ,
, tali che
, in corrispondenza
dei quali h(x) assume il valore 1 ,che è il massimo assoluto.
Si ha inoltre
( punti di minimo assoluto )
La funzione
)
 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ cresce da 0 fino ad assumere il valore 1 in corrispondenza
del valore x0
 nell’intervallo
≤ decresce da 1 a
Soluzione di Adriana Lanza

nell’intervallo

nell’intervallo
<x ≤
0________________
cresce da
≤
decresce da 1 a
___________
__________ __________--2
I punti di ordinata 1 sono punti di massimo relativi, oltre che assoluti.
Il punto di coordinate
è punto di minimo relativo
Una retta di equazione y=k incontra il grafico di h(x) in 4 punti distinti se
Soluzione di Adriana Lanza

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