Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014 Università

Matematica - C.d.L. in Scienze Biologiche A.A. 2013/2014
Università dell’Aquila
Prova Scritta di Matematica del 14 luglio 2014 - Canale B
Nome e Cognome:
Matricola:
Per evitare la valutazione del compito scrivere qui RITIRATO/A e firmare:
Es. 1
Es. 2
Es. 3
Es. 4
Es. 5
Es. 6
Es. 7
Totale
Esercizio 1. Considerare, al variare del parametro k ∈ R, la funzione quadratica f (x) =
(2 − k)x2 + 2x − k.
Per quali k ∈ R la funzione f (x) è costantemente maggiore di 2?
Soluzione 1. Dobbiamo trovare i valori di k per cui vale la disuguaglianza f (x) > 2 per
ogni x ∈ R.
Poniamo g(x) = f (x) − 2 e riscriviamo la disuguaglianza f (x) > 2 come g(x) > 0, ossia
(2 − k)x2 + 2x − k − 2 > 0 .
Si tratta di una disequazione di secondo grado ed è soddisfatta per ogni x ∈ R se e solo
se sono soddisfatte le due condizioni
1. ∆ < 0 (cioè la parabola grafico di g non incontra l’asse x);
2. 2 − k > 0 (cioè la parabola grafico di g ha la concavità rivolta verso l’alto).
La prima
4 + 4(4 − k 2 ) < 0, quindi 4k 2 > 20 che è soddisfatta quando
√
√ condizione diventa
k < −√5 oppure k > 5. Tenendo conto anche della seconda condizione abbiamo quindi
k < − 5.
1
Esercizio 2. Si consideri il vettore bidimensionale v = (2, −2).
a) Calcolare il modulo di v.
b) Determinare l’angolo formato da v col vettore u = (2, 21 ).
c) Trovare un vettore w parallelo a u e avente lo stesso modulo di v.
d) Trovare un vettore che formi un angolo di 75◦ con v (Ragionare geometricamente!).
e) Trovare un’equazione cartesiana per la retta avente direzione v e passante per il punto
(−1, 4).
p
√
Soluzione 2. a) |v| = 22 + (−2)2 = 8.
b) Se indichiamo con α l’angolo fra i due vettori si ha
2 · 2 + (−2) 12
v·u
3
q
cos α =
=
=√ ,
√
|v||u|
34
8 17
4
quindi α = arccos( √334 ) .
c) Due vettori sono paralleli se e solo se uno è multiplo scalare dell’altro, quindiq
sarà
√
w = λ(2, 21 ) = (2λ, λ2 ). Imponendo |w| = 8 abbiamo: 17
λ2 = 8, cioè λ = ± 32
.
4
q
q 17
Pertanto di vettori con le caratteristiche cercate ce ne sono due: w1 = (2 32
, 1 32
)
17 2
17
q
q
e w2 = (−2 32
, − 12 32
) = −w1 .
17
17
d) Il vettore v “sta sotto” l’asse x e con esso forma un angolo di 45◦ , pertanto basta
prendere un vettore che “sta √sopra” l’asse x formando con esso un angolo di 30◦ , ad
esempio (cos 30◦ , sin 30◦ ) = ( 23 , 21 ) .
e) Possiamo scrivere immediatamente un’equazione parametrica per la retta cercata:
(
x = 2t − 1
y = −2t + 4 ,
e scrivendo il parametro t ad esempio in funzione di x otteniamo l’equazione cartesiana
y = −x + 3 .
2
Esercizio 3. Si consideri la funzione f (x) = 6x − e2x .
a) Studiare la funzione f (x), in particolare determinandone dominio, comportamento
agli estremi, ed eventuali massimi e minimi.
b) A posteriori, cosa si può dire del numero degli zeri di f (x)?
Soluzione 3. a) Dominio: tutte le funzioni coinvolte sono definite per ogni numero
reale, pertanto D(f ) = R .
Simmetrie: poiché f (−x) = −6x − e−2x , la funzione f non è né pari né dispari.
Segno: non è possibile studiare algebricamente il segno di f .
Limiti: si ha immediatamente
lim f (x) = −∞ ,
x→−∞
mentre per x → +∞ la forma indeterminata ∞ − ∞ si risolve nel modo seguente:
6x
2x
lim f (x) = lim e
−1 + 2x = −∞ ,
x→+∞
x→+∞
e
ove si vede che il secondo termine dentro la parentesi tende a zero usando il teorema
di de l’Hôpital.
Derivata: f 0 (x) = 6 − 2e2x , quindi
f 0 (x) > 0 ⇐⇒ e2x < 3 ⇐⇒ 2x < ln 3 ⇐⇒ x <
√
1
ln 3 = ln 3
2
√
√
di conseguenza f ha un punto di massimo in x0 = ln 3. Inoltre si ha f (ln 3) =
3 ln 3 − 3 = 3(ln 3 − 1) e tale valore è positivo poiché e < 3 e quindi ln 3 > ln e = 1 .
Il seguente grafico qualitativo riassume l’andamento della funzione:
b) Tenendo conto dei limiti e del fatto che nell’ unico punto di massimo la funzione
assume un valore positivo, si ha che f deve avere esattamente due zeri.
3
Esercizio 4. Trovare tutte le funzioni f (x) tali che f 0 (x) = xe−f (x) . (Suggerimento:
considerare la funzione g(x) = ef (x) e calcolarne la derivata).
Soluzione 4. Usiamo il suggerimento e calcoliamo
g 0 (x) = f 0 (x)ef (x) .
Poiché le f che cerchiamo soddisfano l’uguaglianza f 0 (x) = xe−f (x) si ha g 0 (x) = x.
Integrando si ha g(x) = 21 x2 + c con c ∈ R e poiché f (x) = ln g(x) le funzioni cercate
sono quelle del tipo
1 2
f (x) = ln
x + c , con c ∈ R .
2
Esercizio 5. Calcolare l’area della regione limitata di piano {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤
π 1
, ≤ y ≤ sin 2x}.
4 2
Soluzione 5. Conviene innanzitutto disegnare sommariamente un grafico per
individuare la regione di cui dobbiamo calcolare l’area.
Poi bisogna determinare l’ascissa dei punti di intersezione fra il grafico di f (x) = sin 2x
e la retta y = 21 . L’equazione sin 2x = 12 dà 2x = π6 + 2kπ o 2x = 56 π + 2kπ, quindi
5
π
π
x = 12
+ kπ o x = 12
π + kπ e in realtà l’unica soluzione che ci interessa è x = 12
.
Pertanto l’area richiesta è data da:
√
√
π
Z π
4
1
1
1 4
π
3
π
3
π
sin 2x −
dx = − cos 2x − x
=− +
+
=
−
.
π
2
2
2 π
8
4
24
4
12
12
12
4
Esercizio 6. Determinare, al variare di α ∈ R il numero di soluzioni del sistema lineare
Ax = b, ove
1
α
x
3
A=
,
x=
,
b=
.
α+1 2
y
α−1
Risolvere infine il sistema Ax = b nel caso α = 2.
Soluzione 6. Poiché il numero di equazioni è uguale al numero delle incognite (cioè la
matrice A è quadrata!), il sistema Ax = b ha un’unica soluzione esattamente quando
det A 6= 0.
Si calcola immediatamente det A = −(α + 2)(α − 1), pertanto se α 6= −2, 1 il sistema ha
esattamente una soluzione.
Se α = 1 il sistema diventa
(
x+y =3
2x + 2y = 0
ed è quindi impossibile (S = ∅).
Se invece α = −2 il sistema diventa
(
x − 2y = 3
−x + 2y = −3
ed ha quindi infinite soluzioni, più precisamente S = {(3 + 2y, y) : y ∈ R}.
Calcoliamo infine l’unica soluzione che il sistema ha nel caso α = 2 : procedendo per
sostituzione troviamo S = {(−1, 2)}.
Esercizio 7. Dare un esempio esplicito di funzione derivabile f : [0, 2) → R che sia
monotona crescente e tale che Im (f ) = [0, +∞). (Suggerimento: Provare con una
funzione del tipo f (x) = − ln(ax + b) + c. Attenzione: l’insieme naturale di definizione
di f non deve necessariamente coincidere con [0, 2)).
Soluzione 7. Traducendo le richieste dell’esercizio, la funzione richiesta deve avere le
seguenti tre caratteristiche, oltre ad essere derivabile:
1. f (0) = 0;
2. lim− f (x) = +∞ ;
x→2
3. f deve essere crescente in tutto l’intervallo [0, 2).
Seguendo il suggerimento e imponendo la prima condizione si ha c = ln b (e di conseguenza b > 0), mentre la seconda dà 2a + b = 0. La terza condizione è invece implicata
dalle prime due poiché la funzione logaritmo è monotona in tutto il suo dominio. In
2
).
definitiva, prendendo ad esempio b = 2, otteniamo f (x) = − ln(−x + 2) + ln 2 = ln( 2−x
Si osservi che l’insieme naturale di definizione della funzione trovata non è l’ intervallo
[0, 2), bensì l’intervallo (−∞, 2).
5

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