エルミートの補間法測定などで得られる数個の点とそれに対応する測定値から、その間を埋める関数値を計算するものが補間法である。その方法はいろいろあるが、一つの方法がエルミートの補間法である。 ¶ ³ [例題] 与えられた点列をエルミート補間法により補間し、ディスプレイに表示するプログラムを作れ。 µ ´ [解説] [前置き] エルミートの補間法の解説に入る前に、前置きをします。エルミートは、条件として、n+1 個の点で、関数値とその微係数が既知であるものとしました。したがって、2n+2 個の既知の値があることになります。ということは、2n+1 次の多項式を考えてもよいことになります。(たとえば、1 次関数は 2 点が、2 次関数は 3 点が与えられれば、関数が決定します。) 一方、ラグランジュの補間多項式 L(x) は、n 次多項式です。そこで、1 次式と (L(x))2 の積で、2n+1 次の多項式とすることを考えました。それにより、より精度の高い補間をすることができます。このように解釈することができます。これから解説に入ります。関数を f (x) とするとき、次の式をエルミート (Hermite) の補間多項式とする。 P (x) = n ∑ hk (x)f (xk ) + k=0 n ∑ gk (x)f 0 (xk ) (1) k=0 ここで、hk (x), gk (x) を決定するための条件を式で表すと P (xk ) = f (xk ) . . . 関数が一致 0 0 P (xk ) = f (xk ) . . . 微係数が一致 (2) (3) (k = 0, 1, 2, . . . , n) 以下の δkl をクロネッカのデルタとする。 δkl = { 0 1 (k = 6 l) (k = l) (4) P (xk ) = f (xk ) となるにはであり、P 0 (xk ) = f 0 (xk ) となるには hk (xl ) = δkl , gk (xl ) = 0 (5) h0k (xl ) = 0, gk0 (xl ) = δkl (6) でなければならない。前置きに述べたことから、hk (x), gk (x) は、1 次式と (L(x))2 積の条件から、 hk (x) = (ax + b)[Lk (x)]2 (7) 2 (8) gk (x) = (cx + d)[Lk (x)] 1 と表すことができる。この式は (5)(6) 式を満足するという条件より axk + b = 1 cxk + d = 0 } (9) h0k (xk ) = a + 2(axk + b)L0k (xk ) = 0 gk0 (xk ) = c + 2(cxk + d)L0k (xk ) = 1 } (10) となることになり、a,b,c,d が決定され、次のようになる。                  n ∏ x − xm Lk (x) = x − xm m=0 k L0k (xk ) = 6=k n ∑ 1 x − xm k m=0     hk (x) = [1 − − xk )][Lk (x)]   2   gk (x) = (x − xk )[Lk (x)]   n n  ∑ ∑   0 P (x) = hk (x)f (xk ) + gk (x)f (xk )    6=k 2L0k (xk )(x k=0 2 k=0 この解説は、長嶋秀世氏の下記の書籍によっています。 a,b,c,d の決定については、同書に詳しく述べられています。槙書店、長嶋秀世著、数値計算法 2 (11)