東大蓮尾研検索東京大学コンピュータ科学専攻蓮尾研究室 Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory) ジミなことを，ド派手にやる「理論計算機科学」ほとんど数学 5 Foundational study: concurrency and the microcosm principle one !m" ◦ !m × id" on the right edge is such that (X1 , X2 , X3 ) C−1 m,m×id #−→ (X1 ⊗ X2 ) ⊗ X3 . • Cm,id×m of the iso-2-cells is what gives us a natural w the composite ∼ = (X1 ⊗ X2 ) ⊗ X3 . morphism α : X1 ⊗ (X2 ⊗ X3 ) → Moreover, the coherence condition on such isomorphisms in a monoidal category [14, 96]) requires that “any two compositions of such natural isomorphisms are ntical.” A well-known instance is commutativity of the following “pentagon diam.” α (X1 ⊗ X2 ) ⊗ (X3 ⊗ X4 ) X1 ⊗ (X2 ⊗ (X3 ⊗ X4 )) X1 ⊗ α α X1 ⊗ ((X2 ⊗ X3 ) ⊗ X4 ) α (X1 ⊗ (X2 ⊗ X3 )) ⊗ X4 ((X1 ⊗ X2 ) ⊗ X3 ) ⊗ X4 α ⊗ X4 圏論・代数学・数理論理学新パラダイム計算をねじふせる量子計算ハイブリッドシステム（情報＋物理） eed, commutativity of this pentagon is derived from the fact that the following composed iso-2-cells are identical. C4 C3 !1·2,3" !1·2,3" C2 !1·2" !1·2" C C3 !1,2·3" id C3 !1,2·3" !1·2,3" α C2 !1·2,3" C2 α ⇓ C2 α !1,2,3·4" !1·2,3,4" ⇓ !1,2·3" !1,2·3" ⇓ C3 C4 ⇓ C×α α×C ⇓ !1,2·3,4" C3 ⇓ !1,2,3·4" !1·2,3,4" C2 !1·2" !1·2" !1·2" C se two composites are identical due to the coherence condition on the mediating 2s Cb,a of a pseudo functor (see [19]). Here the notation 1· 2, 3, 4—with its intention ng x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 · x2 , x3 , x4 following the categorical logic tradition—denotes arrow )m ◦ )π1 , π2 *, π3 , π4 * : 4 → 3 in Mon. May However, 16, 14 at this moment it is not clear what is a canonical SoFriday, far so good. 1 東大蓮尾研検索東京大学コンピュータ科学専攻蓮尾研究室 Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory) 王様のように遊び，数学って楽しいよね大統領のように働く Kleisli 圏での余代数けれど応用上のインパクトも狙う！ Geometry of Interaction Hoare 論理＋超準解析数学的な定式化「数学的本質」パラメータをを見極める変えて具体化既存の手法非決定的システムふつうの計算 Friday, May 16, 14 離散的システム新たな手法確率的システムハイブリッドシステム量子計算東大蓮尾研検索東京大学コンピュータ科学専攻蓮尾研究室 Dept. Computer Science, The University of Tokyo Group MMM (aka. Hasuo Laboratory) 求める学生像数学的な議論に慣れていると良い前提知識は不問目指す学生像理論研究における共同研究のスキル俯瞰力と問題設定力やる気スイッチを見つけよう（成功体験）地味な研究だからこそ，ハデにやろう！ Friday, May 16, 14 圏論とは？単射の概念（element による）の，矢印だけによる言い換え練習問題 P s '>1 ko s >1 k o '! >^1 6 · · · b0 x 'i > 1 f o ··· o ' C 1 osk ! s F 1 ko ··· o Fi 1 ! i x F 1 fo ⇡i Fi ! !+1 >1 F ! 1_ 8 ··· b F ⇡i 1 ⌃ F !+1 1 F (beh(c)) _ _ _ _ _/ F Z FX O O c final For a function f : X ! Y , the following are equivalent. • f is injective, that is, f (x) = f (x0 ) =) x = x0 . • f is left-cancelable, that is, for any set Z and any functions g, h : Z ◆ X, f g=f h =) g=h . _ _ _ _/ Z X _ _beh(c) Category Theory 矢印ばっかり書いているのだもともと代数学の道具抽象化と一般化の「乗り物」計算機科学での応用余代数 (coalgebra) オートマトンの抽象化関数型プログラムの意味論 Haskell のモナドとか． Friday, May 16, 14 藤井宗一郎修士課程メンバー片岡俊基博士課程 (計数出身) (数学科出身) 圏論的論理，topos，圏論的双対性，超準解析普遍代数，豊穣圏由水輝博士課程 (内部生) 線形論理，量子プログラミングパリVIIに行ってる蓮尾一郎木戸肩吾赤崎拓未小川浩志講師修士課程ボス！！プログラム検証，量子的システム，物理情報物理情報システム coalgebra システム津曲紀宏ポスドク確率的システム，クリーニ代数 Friday, May 16, 14 (内部生) (内部生) 中川翔太室屋晃子修士課程修士課程修士課程 (内部生) 線形論理，圏論的意味論修士課程 (内部生) 卜部夏木 (内部生) 修士課程 (内部生) 確率的システム，確率的システム，ゲーム論的確率論 coalgebra 教員は一人だけどいろんな人に話を聞けます研究協力者京都大学数理解析研究所の先生方長谷川真人，照井一成，勝股審也，星野直彦圏論，プログラム意味論，線形論理，... 毎年夏に合同セミナー実施この他にも... 末永幸平先生京都大学プログラム検証，ハイブリッド・システム Friday, May 16, 14 国内外，大学，企業などに（ゆかいな）協力者多数