第 17 講 微分法の応用（ⅷ） 数学Ⅲ 【問題 1】 水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている．毎秒 4m の速さで綱をた ぐるとき， 2 秒後の船の速さを求めよ． 106 【問題 2】 座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき，この点 の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ． ì x = cos t - t sin t í î y = sin t + t cos t 107 【問題 3】 f ( x ) が x = a で微分可能で，|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される． f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h この式を使って，次の式の近似値を求めよ． （1） 1.0053 （2） 65 （3） log e 1.001 108 【問題 4】 h ≒ 0 のとき， sin( a + h ) の近似式を導き，それを利用して sin 61° の近似値を求めよ． 109 第 17 講 微分法の応用（ⅷ） 解答 数学Ⅲ 【問題 1】 水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている．毎秒 4m の速さで綱をた ぐるとき， 2 秒後の船の速さを求めよ． 船から岸壁の真下および頂までの距離をそれぞれ xm ， ym とすると，三平方の定理に より x 2 + 302 = y2 …① ①の両辺を t で微分すると 題意から， dy 2x dx = 2 y dt dt 4y \ dx = dt x dy = -4 dt また， 2 秒後では y = 58 - 4 ´ 2 = 50 であるから①より x = 40 ( ) \ dx dt t =2 = - 4 ´ 50 = -5 40 よって，求める速さは岸壁に向かって 5[m/s] 110 【問題 2】 座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき，この点 の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ． ì x = cos t - t sin t í î y = sin t + t cos t dx = -2sin t - t cos t ， dy = 2 cos t - t sin t dt dt d2x d2 y = + ， = -3sin t - t cos t 3 cos t t sin t dt 2 dt 2 速さ|v|= ( -2sin t - t cos t )2 + (2cos t - t sin t )2 = 4 + t2 加速度 |a |= ( -3cos t + t sin t )2 + ( -3sin t - t cos t )2 = 9 + t2 したがって， t = 2 における速さと加速度の大きさは |v|= 2 2 ，|a |= 13 111 【問題 3】 f ( x ) が x = a で微分可能で，|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される． f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h この式を使って，次の式の近似値を求めよ． （1） 1.0053 （2） 65 （3） log e 1.001 （1） 1.0053 = (1 + 0.005)3 ≒1 + 3 ´ 0.005 = 1.015 ( = 8 (1 + 1 ) 64 ) 64 （2） 65 = 64 + 1 = 64 1 + 1 ( 1 2 ) ≒ 8 1 + 1 × 1 = 8.0625 2 64 （3） log e 1.001 = log e (1 + 0.001) ≒ log e 1 + 0.001 = 0.001 1 112 【問題 4】 h ≒ 0 のとき， sin( a + h ) の近似式を導き，それを利用して sin 61° の近似値を求めよ． f ( x ) = sin x とおくと， f ¢( x ) = cos x であるから，求める近似式は h ≒ 0 のとき sin( a + h) ≒ sin a + h cos a ここで， a = p ， h = p とおくと， h は十分小さいから， 3 180 ( sin 61° = sin p + p 3 180 ) ≒ sin p + p cos p 3 180 3 = 3 + p ´1 2 180 2 ≒ 0.866 + 0.017 ´ 0.5 ≒ 0.875 113
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