赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) オリスタ Z 140 3 2 cos x sin x dx (2) (1) この 140 Z e オリスタ解説 p x dx (3) Z eax cos x dx の中に不定積分の計算に必要な基本的手法がすべて入っています.これだけできれば十分で しょう. (1) cos x の次数が 2,sin x の次数が 3 という 微分して, ように次数が 1 ズレていることがポイント.さて, (eax sin x)0 = aeax sin x + eax cos x Ý1 どっちを置換するのかな? (eax cos x)0 = aeax cos x ¡ eax sin x Ý2 A cos2 x sin3 x = cos2 x sin2 x sin x = cos2 x(1 ¡ cos2 x) sin x 1 + 2 £ a より, cos x = t とおくと,¡ sin x dx = dt. Z cos2 x sin3 x dx Z = cos2 x(1 ¡ cos2 x) sin x dx Z = t2 (1 ¡ t2 ) (¡dt) Z = (t4 ¡ t2 ) dt (eax sin x + aeax cos x)0 = (1 + a2 )eax cos x ∴ 1 5 1 t ¡ t3 + C 5 3 1 1 5 = cos x ¡ cos3 x + C 5 2 からなければ質問に来ること. x = t と置換するしかないでしょう. t eax cos x dx Z eax (sin x)0 dx Z =eax sin x ¡ (eax )0 sin x dx Z ax =e sin x ¡ a eax sin x dx Z ax =e sin x ¡ a eax (¡ cos x)0 dx Z =eax sin x ¡ a #eax (¡ cos x) ¡ (eax )0 (¡ cos x) dx; Z =eax sin x ¡ a #¡eax cos x + aeax cos x dx; Z ax ax 2 =e sin x + ae cos x ¡ a eax cos x dx = cos2 x sin2 x dx はできますよね.分 A x = t とおくと,x = t2 より,dx = 2t dt Z p Z e x dx = et ¢ 2t dt Z = (et )0 2t dt Z t = 2te ¡ 2et dt Z A るんでしたっけ? Z p ex (sin x+a cos x)+C a2 + 1 なり慎重に計算しないと間違う可能性大です. Q 指数のズレのない場合はどのように計算す p eax cos x dx = 分積分を 2 回やると元に戻ってくるタイプです.か (2) 0 ex (sin x + a cos x)k = eax cos x +1 a2 Y 教科書的にやれば次のようになります.部 = 例えば, Z S ここで, Z eax cos x dx = A とおくと, t = 2te ¡ 2e + C p p = 2( x ¡ 1)e x + C A = eax sin x + aeax cos x ¡ a2 A (a2 + 1)A = eax (sin x + a cos x) A= (3) はうまいやり方がありました.教科書的に部 分積分を 2 回やってもかまいませんが,かなりメン ドウです. A まずは,eax sin x と eax cos x をそれぞれ ∴ Z eax (sin x + a cos x) a2 + 1 eax cos x dx = eax (sin x+a cos x)+C +1 a2
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