✶ 問題 水素原子の電子の波動方程式のハミルトニアンは極座標で ˆ =− H 2 1 ∂ r2 ∂r 2me r2 ∂ ∂r + r2 1 ∂ sin θ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + r2 1 ∂2 e2 2 ∂φ2 − 4π r sin θ 0 ✭✶✮ となることを示せ． 解答 極座標とデカルト座標の関係：x = r sin θ cos φ，y = r sin θ sin φ，z = r cos θ を用いて，デカルト座標 でのハミルトニアン： ˆ =− H 2 2me ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 − 2 ∂x ∂y ∂z 4π e2 0 x2 + y 2 + z 2 ✭✷✮ を変形する． ポテンシャル項が式 のように変換されるのは自明である．よって，目的はラプラシアン： ✭✶✮ ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 の極座標での形を求めることになる． r = (x, y, z) の関数 f (r) を考える．dr に対する f (r) の微小変化は df (r) = dr · gradf (r) = dr · ∇f (r) dr ✭✸✮ ✭✹✮ を極座標の基底ベクトルを用いて表すと， dr = er dr + eθ rdθ + eφ r sin θdφ ✭✺✮ であるから，これを式 に代入して， ✭✹✮ df (r) = er · ∇f (r) dr + eθ · ∇f (r) rdθ + eφ · ∇f (r) r sin θdφ ✭✻✮ となる．この式と全微分の定義より， ∂f (r) = er · ∇f (r) ∂r ∂f (r) = eθ · ∇f (r) r ∂θ ∂f (r) = eφ · ∇f (r) r sin θ ∂φ ✭✼✮ ✭✽✮ ✭✾✮ ✷ これより， ∇f (r) = er 1 ∂f (r) 1 ∂f (r) ∂f (r) + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ✭✶✵✮ したがって，極座標でのナブラは ∇ = er ∂ 1 ∂ 1 ∂ + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ✭✶✶✮ 極座標でのナブラから極座標でのラプラシアンを求めるためには，極座標の基底ベクトルの r，θ，φ に対する微分をあらかじめ知っておく必要がある． デカルト座標と極座標の基底ベクトル間の関係は er = ex sin θ cos φ + ey sin θ sin φ + ez cos θ ✭✶✷✮ eθ = ex cos θ cos φ + ey cos θ sin φ − ez sin θ ✭✶✸✮ eφ = −ex sin φ + ey cos φ ✭✶✹✮ である．e ，e ，e は座標変数（x，y，z，r，θ，φ）の関数ではないが，e ，e ，e は θ，φ の関数で あることに注意すると，以下の関係が導かれる． x y z ∂er = 0, ∂r ∂er = eθ , ∂θ ∂er = eφ sin θ, ∂φ r ∂eθ = 0, ∂r ∂eθ = −er , ∂θ ∂eθ = eφ cos θ, ∂φ θ φ ∂eφ =0 ∂r ∂eφ =0 ∂θ ∂eφ = −er sin θ − eθ cos θ ∂φ ✭✶✺✮ ✭✶✻✮ ✭✶✼✮ したがって， ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ + eθ + eφ · er + eθ + eφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ = er · er + eθ · er + eθ · eθ ∂r ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ r ∂θ 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ + eφ · er + eφ · eθ + eφ r sin θ ∂φ ∂r r sin θ ∂φ r ∂θ r sin θ ∂φ ∂2 1 ∂ 1 ∂2 1 ∂ cos θ ∂ 1 ∂2 = 2+ + + + + ∂r r ∂r r2 ∂θ2 r ∂r r2 sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 = 2 r2 + 2 sin θ + 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 ∇·∇= er · eφ 1 ∂ r sin θ ∂φ ✭✶✽✮ ✭✶✾✮ これを用いてハミルトニアンのラプラシアンを書き換えると，題意の式となる． （ ✷✵✶✹ 年 月 日作成， ✼ ✷✾ ✷✵✶✹ 年 月 日改訂） ✽ ✶✼
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