高1数α 1学期中間試験（問題用紙）井村・滝口・柳生

高１数α １学期中間試験（問題用紙）井村・滝口・柳生 2014.5.24（土）【注意事項】
・試験終了後は「解答用紙」のみを回収する．
・ 6 , 7 , 8 , 11 を除き，答のみを採点する．
・ 6 , 7 , 8 , 11 は，答に至る過程を書くこと．過程を記述していないものは採点しないことがある．
1 半直線 OX を始線とするとき，次の一般角 θ を表す動径をそれぞれ図示せよ．ただし，解答欄の目盛り
は全て等間隔である．
(1) θ =
7π
4
(2) θ =
38π
15
(3) θ = −
121π
12
2 半直線 OX を始線とするとき，次のそれぞれの動径 OP の表す一般角 θ を弧度法で答えよ．ただし，
−π < θ 5 π とする．
(1)
(2)
(3)
.P
.P
.B
.1 .1
.
.O .
.X
.X
O
.
.A
.O .
.X
.4
.円弧 AB の長さは 4
.P
3 次のそれぞれの関数が奇関数であれば O，偶関数であれば E ，どちらでもなければ N を記せ．
(1) y = sin x
(2) y = cos x
4 次のそれぞれの値を求めよ．
( π)
4π
(1) sin
(2) cos −
3
4
(3) y = 2x5 + 4x3 + 6x
11π
(3) tan
6
(4) y = 3x4 + 5x2
(
(4) cos 25π
(5) sin
55π
6
)
5 O を中心とする半径 2 の円を，円上の定点 P が点 A で直線 l に接した状態から，l に沿ってすべらない
ように時計回りに 1 回転だけ転がす．転がしている途中で，点 P が右下の図の位置にきたときの線分 AB
の長さを求めよ．
.O.
.O.
.P
.
P
.A
.l
.1
.A
.B
6 tan θ = 2 かつ π < θ < 2π のとき，cos θ, sin θ の値を求めよ．
√
1 − sin θ
cos θ
+
の値を求めよ．
cos θ
1 − sin θ
(
(π
)
π)
8 次の式を簡単にせよ． sin (θ + π) cos θ +
+ sin
− θ cos (−θ)
2
2
7 cos θ =
3 − 1 のとき，
9 次の関数のグラフを解答欄に合わせて描け．θ 軸および y 軸との交点を明示すること．
(
π)
(1) y = sin θ
(2) y = cos θ
(3) y = sin θ −
+1
(4) y = 2 cos 2θ
4
.l
(
π)
について，以下の文中の空欄に当てはまる適切な数を記入せよ．
10 関数 y = 3 cos 2θ −
6
「この関数のグラフは，y = cos θ のグラフを θ 軸方向にア倍，y 軸方向にイ倍に拡大または縮小し
た後，θ 軸方向にウだけ平行移動したものである．また，この関数のグラフの y 切片はエである．
y = 0 となるのは θ = オ
(n ∈ Z) のときである．また，最大値はカ，最小値はキであり，最小
値をとるときの 0 < θ < π の範囲の θ の値は θ = クである．
」
11 次の方程式・不等式を解け．ただし，θ の範囲は 0 5 θ < 2π とする．
(
√
√
√
π)
(1) 2 sin θ = − 3
(2) 2 sin θ = − 3
(3) 3 sin θ = sin θ +
2
(4) tan 4θ = tan θ
12 以下はある日の麻布生の日常会話である．空欄に当てはまる適切な数・式または語句を答えよ．
生徒 A「昨日，授業で周期関数について習ったよ．実数 T が存在して，定義域に属する任意の x について
f (x + T ) = f (x) が成り立つとき，T を周期といい，f (x) を周期関数とよぶんだ．」
生徒 B「へえ．じゃあ，y = sin x や y = cos x，y = tan x は周期関数だね．いずれも 2π が周期になる．」
生徒 A「そうだね．y = tan x については，2π は確かに周期の 1 つだけど，もっと短い周期があるよね．周
期関数の周期は無数に存在するけれど，そのうち正で最小の周期が存在するならば，それを基本周期という
んだ．y = tan x の基本周期はアだね．」
生徒 B「なるほど．確かにそうだ．三角関数は典型的な周期関数の
1 つといえそうだね．y = sin 2x は基本
(
)
x
π
+
は基本周期ウをもつ周期関数だ．」
2
4
x
x
生徒 A「じゃあ問題だ．y = sin + sin は周期関数かな．
」
2
3
周期イをもつ周期関数，y = cos
生徒 B「周期関数だよ．基本周期はエだ．簡単だね．
」
生徒 A「じゃあもう少し難しいのを出そう．y = cos (sin x) は周期関数か．」
生徒 B「周期関数になるのは明らかだけど，基本周期を求めるのはちょっと難しそうだね．君，分かるの？」
生徒 A「実数 T が周期であるとすれば，cos (sin (x + T )) = cos (sin (x)) が任意の x で成り立つから，特
に x = 0 のときに成り立つ必要があるよね．」
生徒 B「つまり，cos (sin T ) = オが成り立たなきゃいけないわけか．ということは，sin T = カとな
る T が何かを考えればいいから，T = キ
(n ∈ Z) だ！」
生徒 A「そう！その中で正で最小のものはクだから，これがちゃんと周期になっているかどうか確かめ
ればいいのさ．実際にそうなっているでしょ？」
生徒 B「本当だ！ある数が周期であるための必要条件をまず求め，それから十分性を示すというわけだね．
問題を解く際の典型的な方法だった．僕はまだまだ修行が足りないな．
」
（チャイムの音）
生徒 A「おっと，数学 α の授業が始まる．ケ先生が来るぞ！続きはまた後にしよう．」
（走り去る二人）
（問題はこれで終わりである）

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