数学特論2A - So-net

目次
§1
複素数の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
§ 1.1 実数の公理と性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
§ 1.2 複素数の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§ 1.3 複素数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
§2
複素数の代数的な取り扱い
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 2.1 実数係数の 2 次方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 2.2 複素数係数の 2 次方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 2.3 複素数の基本的な計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2.4 代数学の基本定理とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§3
複素数の幾何学的側面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 3.1 ガウス平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 3.2 絶対値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
§ 3.3 複素数の和と差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 3.4 問題演習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 3.5 複素数の積と商 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
§ 3.6 2014/7/26(土) の試験について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2014 年度東京理科大学理学専攻科数学特論 2A (担当：須田学)
No. 1
履修上の注意
教科書は使用しない．参考図書は，次の 2 冊である．
• 複素数の幾何学，片山考次，岩波書店，1982 年
(品切れのため新品での入手は困難．古本で入手可能．例えば，神保町の明倫館，インターネット書店の四方堂など．)
• 幾何の有名な定理，矢野健太郎，共立出版，1981 年
扱う内容は「複素数平面による初等幾何学」である．高等学校の数学 III の複素数平面の内容も含む．評価は，試験，レポート，
出欠により総合的に行う．講義に関連する内容で自由レポート (任意) を提出すれば，評価に加味する．
§ 1 複素数の構成
複素数は，i2 = −1 をみたす文字 i を形式的に与え，実数 x, y に対して，x + yi の形で表される数として説明されることが多い
が，そもそもこの i を勝手に与えている部分に違和感があるだろう．また，“+” の意味や yi における y と i の関係も不透明であ
る．そこで，実数の公理を認めて，複素数を厳密に構成する．まずは，実数の公理を復習しておこう．
§ 1.1 実数の公理と性質
実数の公理以下の性質 (1)–(3) をみたす数の集まり R に対して，その要素を実数とよぶ．
(1) すべての x, y ∈ R に対して，
• 2 つの数 x, y から新たに 1 つの数を作る規則である加法 x + y (∈ R)
• 2 つの数 x, y から新たに 1 つの数を作る規則である乗法 x · y (∈ R)
• 成立するかしないかどちらか一方に決まる関係 x ≦ y
が定められている (x · y を xy と略記することもあるが，ここでは省略しない)．
16 が成立する．
1 –⃝
(2) x, y, z ∈ R に対して，次の⃝
⃝
1 (x + y) + z = x + (y + z)
⃝
2 0 ∈ R が存在して，すべての x ∈ R に対して x + 0 = x = 0 + x が成立する．
⃝
3 すべての x ∈ R に対して，x + y = 0 = y + x をみたす y ∈ R が存在する．
(y は x に対して 1 つに定まり −x と表される．当然，x + (−x) = 0 = (−x) + x をみたす．)
⃝
4 x+y =y+x
⃝
5 (x · y) · z = x · (y · z)
⃝
6 1 ∈ R が存在して，すべての x ∈ R に対して x · 1 = x = 1 · x をみたす．
⃝
7 0 でないすべての x ∈ R に対して，x · y = 1 = y · x をみたす y ∈ R が存在する．
(y は x に対して 1 つに定まり x−1 と表される．当然，x · x−1 = 1 = x−1 · x をみたす．)
⃝
8 x·y =y·x
⃝
9 x · (y + z) = x · y + x · z
10 0 ̸= 1 かつ 0 ≦ 1
⃝
11 x ≦ x
⃝
12 x ≦ y かつ y ≦ x ならば x = y
⃝
13 x ≦ y かつ y ≦ z ならば x ≦ z
⃝
14 x ≦ y と y ≦ x のうち少なくとも一方が成り立つ．
⃝
15 x ≦ y ならば x + z ≦ y + z
⃝
16 0 ≦ x かつ 0 ≦ y ならば 0 ≦ x · y
⃝
(3) R が連続性の公理をみたす（詳細はこの講義では扱わない）．
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No. 2
問1
16 のうちで法則や公理がいくつかある．それらを確認せよ．
1 –⃝
実数の公理において，⃝
問2
実数の公理を用いて，次を示せ．ただし，x, y を実数とする．
2 における 0 (∈ R) が 1 つしか存在しないこと
(1) ⃝
3 で，y が x に対して 1 つに定まること
(2) ⃝
(3) −(−x) = x
6 における 1 (∈ R) が 1 つしか存在しないこと
(4) ⃝
7 で，y が x (̸= 0) に対して 1 つに定まること
(5) ⃝
(6) x ̸= 0 のとき，(x−1 )−1 = x
問3
実数の公理を用いて，次の等式を示せ．ただし，x, y を実数とする．
(1) 0 · x = 0
(2) (−1) · (−1) = 1
(3) (−x) · y = −(x · y) = x · (−y)
(4) (−x) · (−y) = x · y
(5) (−1) · x = −x
(6) x ≦ y ならば −y ≦ −x
(7) x ≦ 0, 0 ≦ y ならば x · y ≦ 0
(8) 0 ≦ x · x
(注意) 一般に，x · x を x2 と表す
x
差と分数は次のように定義される．実数 x, y に対して，x − y を x + (−y)，y ̸= 0 のとき，を x · y −1 で定義する：
y
x − y = x + (−y),
問4
y ̸= 0 のとき
x
= x · y −1
y
(
)
1
−1
特に x = 1 として， = y
.
y
実数の公理を用いて，次を示せ．ただし，x, y, z を実数とする．
(1) x + y = z ⇔ x = z − y
(3) y ̸= 0 のとき，x · y = z ⇔ x =
(5) x ̸= 0, y ̸= 0 のとき，
x
̸= 0
y
(2)
z
y
x
が定義されないこと
0
(4) y ̸= 0 のとき，x · y = 0 ⇔ x = 0
1
y
(6) x ̸= 0, y ̸= 0 のとき， x =
x
y
実数 x, y に対して，x < y を「x ≦ y かつ x ̸= y 」で定義する．このとき，x ≦ y が「x < y または x = y 」を意味することも
10 は 0 < 1 を意味する。さらに，よく知られている実数の性質がすべて証明されるが，この講義では深入
証明できる．また，特に⃝
りしない．以下，実数の性質をすべて認めることにする．また，自然数，整数，有理数，実数の包含関係 N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R も認
める．
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問5
No. 3
実数の公理を前提として，次の数を構成する方法を簡単に述べよ．
(1) 自然数
(2) 整数
(3) 有理数
(4) 無理数
この講義では，実数を前提として，自然数などを構成したが，ペアノの公理による自然数を前提として，
自然数 (ペアノの公理) → 整数 → 有理数 → 無理数 → 実数
の順で，数の体系を広げる方が正攻法である．その理由は，実数を前提とする場合，
ことにある．この構成法に興味のある者は，
• 数の体系，蟹江幸博訳，丸善出版，2014 年
• 数をとらえ直す，柳原弘志・織田進，裳華房，2005 年
• 幾何入門，砂田利一，岩波書店，2004 年
• 数の構造，竹内啓，教育出版，1979 年
• 数の概念，高木貞治，岩波書店，1949 年
などを参考にしてみるとよいだろう．
これまで，x = y ならば x + z = y + z, x · z = y · z を認めてきたが，これらは，等号の公理から証明することができる．
等号の公理
(参考文献：数学の基礎，島内剛一，日本評論社，1971 年)
• 公理 1
∀x : x = x
• 公理 2
P (x) を x に関する命題で y を含まないものとするとき，
( = の反射律)
∀x, y : ( x = y ∧ P (x) ) → P (y)
問6
等号の公理を用いて，次を示せ．
(1) ∀x, y : x = y → y = x
( = の対称律)
(2) ∀x, y, z : ( x = y ∧ y = z ) → x = z
問7
( = の代入法則)
x, y, z ∈ R について，次を示せ．
(1) x = y ならば x + z = y + z
( = の推移律)
ヒント：等号の公理，問 6 の結果を利用せよ．
(2) x = y ならば x · z = y · z
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No. 4
自然数を構成する公理であるペアノ (Peano) の公理を紹介しておく．
ペアノ (Peano) の公理
集合 N は特別な元 1 と，写像 S : N → N を持ち，以下の性質を満たすものとする．
(1) 1 ∈
/ S(N)．
(2) S は単射である (i.e. S(n) = S(m) ⇒ n = m)．
(3) A ⊂ N が，次の性質 (i)，(ii) を満たせば，A = N．
(i) 1 ∈ A
(ii) n ∈ A ならば S(n) ∈ A (i.e. S(A) ⊂ A)
このとき，N を自然数の集合といい，N の元を自然数という．また，S(n) を「n の次の自然数」という．
素朴な意味での自然数 1, 2, 3, · · · とペアノの公理により規定される自然数の関係は，次のようにして与えられる：
2 = S(1),
3 = S(2) = S(S(1)),
4 = S(3) = S(S(2)) = S(S(S(3))),
··· .
このとき，N = {1, S(1), S 2 (1), · · · , S n (1), · · · } と表したくなるが，
の意味
が与えられていないので，厳密には正しくない．これを避けるため，ペアノの公理では，無限に続く手続きを利用せず，(1)–(3)
で一挙に自然数の集合を特徴づけている点に着目して欲しい．
問 8 (数学的帰納法が正しいことの証明) ペアノの公理から，自然数の和が定義され，S(n) = n + 1 と表すことができる (証明
略)．これを認めて，自然数 n に関する命題 P (n) について，
(i) P (1) が真，
(ii) P (n) が真と仮定するとき，P (n + 1) も真
とするとき，任意の n に対して P (n) が真であることを示せ．
§ 1.2 複素数の構成
以下，実数の性質や計算法則等をすべて認めることにして，i2 = −1 をみたす複素数を厳密に構成していく．
R と R の直積 V = { (x, y) | x, y ∈ R } に，等号，加法，実数倍を次のように定める．
• 等号
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔
• 加法
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) =
• 実数倍
c(x, y) =
(c ∈ R)
このとき，α, β, γ ∈ V, c, d ∈ R に対して，次の法則が成り立つ．
(I) (α + β) + γ = α + (β + γ)
(II) α + β = β + α
(III) ∃o ∈ V, ∀α ∈ V, o + α = α = o + α
(問 2 と同様に o は一意に存在することが証明できる)
(IV) ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = o = β + α
(問 2 と同様に β は一意に存在することが証明でき，β を −α と表す)
(V) c(α + β) = cα + cβ
(VI) (c + d)α = cα + dα
(VII) (cd)α = c(dα)
(VIII) 1α = α
問9
(ただし，1 ∈ R)
(I)–(VIII) を証明せよ．特に，o, −α を決定せよ．
(I)–(VIII) をみたすので，V は
である．
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No. 5
さらに，α = (x1 , y1 ), β = (x2 , y2 ) ∈ V に対して，乗法を
α·β =
∈V
· · · (∗)
で定義すると，α, β, γ ∈ V に対して，次の法則が成り立つ．
(IX) (α · β) · γ = α · (β · γ)
(X) α · β = β · α
(XI) ∃ε ∈ V, ∀α ∈ V, ε · α = α = α · ε
(問 2 と同様に ε は一意に存在することが証明できる)
(XII) o ̸= ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α · β = ε = β · α
(XIII) α · (β + γ) = α · β + α · γ,
(問 2 と同様に β は一意に存在することが証明でき，β を α−1 と表す)
(α + β) · γ = α · γ + β · γ
問 10 (IX)–(XIII) を証明せよ．特に，ε, α−1 を決定せよ．
乗法を (∗) のように定義した V を改めて C と書き，C の元を複素数という：
C = { (x, y) | x, y ∈ R }，
(
問 11 α = (−3, −2), β =
(1) α · β
ただし，加法，実数倍は前ページのように，乗法は (∗) のように定義．
)
1
, 5 , γ = (3, −4) ∈ C に対して，次を計算せよ．
2
(2) γ −1
(3) α · (β · γ)
問 12 i · i = (−1)ε をみたす i ∈ C が存在して，C = { xε + yi | x, y ∈ R } と書けることを示せ．
(注意) i2 = i · i と表す
問 13 写像 f : R → C; x → (x, 0) を定義し，R′ = {f (x) | x ∈ R} ( = Im f ) とおくと，R′ ⊂ C である．このとき，f の値域を
R′ に制限した写像 f : R → R′ ; x → (x, 0) を考える．このとき，次に答えよ．
(1) f : R → R′ が全単射であることを示せ．
(2) f : R → R′ が環準同型であることを示せ．
∼
(3) (1)，(2) より，環同型 f : R → R′ ; x → (x, 0) を得るので，対応 x ↔ (x, 0) により，R と R′ (⊂ C) は環として同一視で
きる．この同一視により，i2 = −1 をみたす i ∈ C が存在し，C = { x + yi | x, y ∈ R } と書けることを示せ．
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No. 6
§ 1.3 複素数の性質
∼
環同型 f : R → R′ ; x → (x, 0) による同一視により，i2 = −1 をみたす i ∈ C が存在し，C = { x + yi | x, y ∈ R} と書ける
ことを示した (i を虚数単位とよぶ)．この同一視により，次のように書き換えができる．
No. 4 の等号，加法，実数倍と No. 5 の乗法は，x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R に対して，
(等号)
x1 + y1 i = x2 + y2 i ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 ,
(加法)
(x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i
(実数倍)
c(x + yi) = cx + cyi
(ただし，c, x, y ∈ R)
(x1 + y1 i)(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i
(乗法)
また，o = (0, 0) = 0, ε = (1, 0) = 1 である．よって，(I)–(XIII) については，α, β, γ ∈ C に対して，
(I) (α + β) + γ = α + (β + γ)
(II) α + β = β + α
(III) ∃0 ∈ V, ∀α ∈ V, 0 + α = α = 0 + α
(IV) ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α + β = 0 = β + α
(β は α に対して一意に存在し，β を −α と表す)
(V) c(α + β) = cα + cβ
(VI) (c + d)α = cα + dα
(VII) (cd)α = c(dα)
(VIII) 1α = α
(ただし，1 ∈ R)
(IX) (α · β) · γ = α · (β · γ)
(X) α · β = β · α
(XI) ∃1 ∈ V, ∀α ∈ V, 1 · α = α = α · 1
(XII) 0 ̸= ∀α ∈ V, ∃β ∈ V, α · β = 1 = β · α
(XIII) α · (β + γ) = α · β + α · γ,
(β は α に対して一意に存在し，β を α−1 と表す)
(α + β) · γ = α · γ + β · γ
これらは，実数の公理における「≦ に関する性質」と「連続性の公理」を除くすべての性質が実数と同様に成立すること
1 –⃝
9 と⃝
10 の 0 ̸= 1 である．また，実数のときと同様に，α, β ∈ C に対して，
を示している．具体的には，実数の公理⃝
α
= α · β −1 (β ̸= 0) と定義すると，複素数でも実数と同様な代数的計算がすべて可能となる．よって，複素
β
数の計算では，i を文字とみなして実数と同じように計算し，i2 を −1 に置き換えればよいことになる．ただし，複素数に通常の
α − β = α + (−β)，
意味での不等号は定義できないので，不等式は扱わない．
例1
z 2 = −1 をみたす z ∈ C をすべて求める．z = a + bi (a, b ∈ R) とおくと，z 2 = a2 − b2 + 2ab · i なので，
(a − b ) + 2ab · i = −1 = −1 + 0 · i
2
2
⇔
{
a2 − b2 = −1
2ab = 0
{
⇔
a=0
b = ±1
より z = 0 ± 1 · i，すなわち，z = ±i である．
定義
□
α ∈ C に対して，z 2 = α をみたす z ∈ C を α の平方根 (2 乗根) という．例えば，−1 の平方根は ±i である．
※複素数範囲に解を持つ方程式を考えるときは，変数を x ではなく，z, α などとすることが多い．
問 14 α, β ∈ C に対して，「αβ = 0 ⇔ α = 0 または β = 0」を証明せよ．
問 14 の結果より，z ∈ C に対して，「z 2 = 0 ⇔ z = 0」が成立する．すなわち，0 の平方根は 0 である．次の問で，0 以外の実
数の平方根を複素数範囲で求めてみよう．
問 15 a ∈ R, a > 0 とする．z を変数とする方程式を複素数範囲で解け．
(1) z 2 = a (正の実数)
(2) z 2 = −a (負の実数)
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問 15 (2) の解答例
No. 7
√
i2 = −1 より −a = a · (−1) = ai2 である．また，a > 0 から a = ( a)2 が成立するので，
√
√
√
√
z 2 = −a ⇔ z 2 − ai2 = 0 ⇔ z 2 − ( ai)2 = 0 ⇔ (z − ai)(z + ai) = 0 ⇔ z = ± ai.
√
よって，−a の平方根は ± ai である．
a ∈ R, a > 0 のとき，−a の平方根の一方である
√
−a :=
√
ai
□
√
√
ai (∈ C) を −a と表す：
(a ∈ R, a > 0 のとき).
※左辺の
√
は新しい記号，右辺の
√
は実数における既存の記号
3 の意味でのマイナスである．このとき，−a < 0 なので
ただし，左辺の根号の中にある “−a” は実数の公理 (2) ⃝
意味を持つようになり，根号の用途が
√
(実数) まで拡張される．
√
(負の実数) が
√
√
√
√
√
a ∈ R, a > 0 のとき， −a := ai と定める．特に −1 = i．また，−a の平方根は ± ai，すなわち ± −a．
√
a ∈ R のとき，z 2 = a の複素数範囲の解が，z = ± a となることを示す．
√
(i) a ≧ 0 のとき，問 14，問 15 (1) より，z = ± a．
例2
(ii) a < 0 のとき，
つまり，z 2 = (負の実数) の複素数解も，単純に z = ±
√
．よって，z = ± a．
√
(負の実数) と計算できると言える．
問 16 a, b, c ∈ R, a ̸= 0 のとき，z の 2 次方程式 az 2 + bz + c = 0 を複素数範囲で解く．次の同値変形において，下線部の計算
が正しいか調べよ．また，下線部の計算が必要ないような他の同値変形を考えよ．
(
)2
(
)2
b
b2
b
b2 − 4ac
az 2 + bz + c = 0 ⇔ a z +
−
=c ⇔ z+
=
2a
4a
2a
4a2
√
√
√
b
b2 − 4ac
b2 − 4ac
b2 − 4ac
⇔ z+
=
±
=±
=
±
(最後の等号で複号順不同)
2
2a
4a
|2a|
2a
√
−b ± b2 − 4ac
⇔ z=
2a
√
√
√ √
(負の実数) を含む計算では，
「a, b ∈ R のとき， ab = a b が成立するとは限らない」ことに注意しなければならない．例
√
√
√
√ √
√ √
えば， (−1)(−1) = 1 = 1, −1 −1 = i · i = i2 = −1 より (−1)(−1) ̸= −1 −1 である．
√
√ √
問 17 a ≧ 0 かつ b ≧ 0 のとき， ab = a b が成立することを示せ．
問 18 次の 2 つの数が等しくなるか調べよ．
√
√ √
2 −3, 2 · (−3)
√
√
−3
−3
, √
(3)
2
2
√
√
−2 −3, (−2)(−3)
√
√
3
3
(4)
, √
−2
−2
(1)
(2)
√
根号の中に負の実数を含む計算では，
「a < 0 のとき， a =
√
問 19 a, b ∈ R のとき， ab =
」を用いて，
の計算に帰着させればよい．
√ √
a b が成立するような a, b の値の範囲を定め，実際に証明せよ．
√
問 20 a, b ∈ R, b ̸= 0 のとき，
√
√
a
a
= √ が成立するような a, b の値の範囲を定め，実際に証明せよ．
b
b
問 21 z 2 = −18i をみたす z ∈ C を求めよ．ただし，
√
(実数でない複素数) を定めていないことに注意せよ．
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No. 8
§ 2 複素数の代数的な取り扱い
§ 2.1 実数係数の 2 次方程式
定義
α ∈ C を α = x + yi (x, y ∈ R) とするとき，
Re(α) := x,
Im(α) := y
と表し，それぞれ α の実部(real part)，虚部(imaginary part) という．Im(α) = 0 のとき，α は実数である．一方，Im(α) ̸= 0 の
とき，α = x + yi (y ̸= 0) は虚数とよばれる．特に，Re(α) = 0 である虚数，すなわち，α = yi (y ̸= 0) を純虚数という．
「実数係数の 2 次方程式の複素数範囲での解の公式」について，次のようにまとめられる．
実数係数の 2 次方程式の複素数範囲での解の公式
2 次方程式 az + bz + c = 0 (a, b, c ∈ R) · · · (∗) の複素数範囲での解は，z =
√
−b ± D
2
b − 4ac (∈ R) とおくと，(∗) の解は z =
なので
2a
(1) D > 0 ⇔ (∗) は異なる 2 つの実数解をもつ
2
−b ±
√
b2 − 4ac
である．よって，D =
2a
(2) D = 0 ⇔ (∗) は実数の重解をもつ
(3) D < 0 ⇔ (∗) は異なる 2 つの虚数解 (虚数の解) をもつ
である．b2 − 4ac を 2 次方程式 (∗) の判別式といい，記号 D で表すことが多い．「D ≧ 0 ⇔ (∗) は実数解をもつ」，
√
−b′ ± D′
「D < 0 ⇔ (∗) は虚数解をもつ」も成立する．特に b = 2b のとき，D = D/4 = b − ac とおけば，解は z =
.
a
′
′
′2
問 16 の結果より，(1) ⇒，(2) ⇒，(3) ⇒ が成立することは明らかであるが，逆は成立するだろうか．
問 22 「実数係数の 2 次方程式の複素数範囲の解の公式」において，(1) ⇐，(2) ⇐，(3) ⇐ が成立することを証明せよ．
問 23 a, b, c ∈ R, a ̸= 0 とする．z の 2 次方程式 az 2 + bz + c = 0 が z = x + yi (x, y ∈ R) を解に持つとき，z = x − yi も解
になることを示せ．一般に，z を z の共役という．
§ 2.2 複素数係数の 2 次方程式
実数係数でない 2 次方程式についても考えてみよう．
例3
次の 2 次方程式を複素数範囲で解く．
(1) x − 2ix − 1 = 0
2
(2) x2 − 3ix − 2 = 0
解
(1) x2 − 2ix − 1 = 0 ⇔ (x − i)2 = 0 ⇔ x = i ←虚数の重解
(2) x2 − 3ix − 2 = 0 ⇔ (x − i)(x − 2i) = 0 ⇔ x = i, 2i ←共役でない虚数解
これらの結果は，実数係数の 2 次方程式の解の性質「重解は実数のみ」「共役な虚数解をもつ」とは異なる．実数係数の 2 次方
程式がいかに綺麗な性質をもつかが実感できるだろう．
問 24 z の 2 次方程式を複素数範囲で解け．
(1) z 2 − 2iz − 2 = 0
(2) z 2 + (i − 1)z − 2(i − 1) = 0
問 25 α ∈ C を α = a + bi (a, b ∈ R) とするとき，z の 2 次方程式 z 2 = α の解を複素数範囲で求めよ．また，この結果から，
√
α をどのように定めたらよいか考えよ．
問 26 α, β, γ ∈ C, α ̸= 0 のとき，z の 2 次方程式 αz 2 + βz + γ = 0 の解を複素数範囲で求めよ．
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複素数係数の 2 次方程式の複素数範囲での解の公式
No. 9
変数 z ∈ C とする．(2) では (1) を利用する．
(1) a, b ∈ R のとき，z 2 = a + bi (∈ C) の複素数解 z
√
√
(i) b = 0 のとき z = ± a
( 特に a < 0 のとき，z = ± |a| i )
(ii) b ̸= 0 のとき
 (√ √
)
√√
2 + b2 + a
2 + b2 − a
a
a

√ √
 
√√

+
i

±
2 + b2 + a
2 + b2 − a
2
2
a
b
a
(√ √
)
√√
z = ±
+
i =
2 + b2 + a
2 + b2 − a

2
|b|
2
a
a


−
i

±
2
2
(b > 0)
(b < 0)
√
(i)，(ii) における 2 つの解は，まとめて ± a + bi と表される (複号同順とは限らない)．
(2) α, β, γ ∈ C, α ̸= 0 のとき，αz 2 + βz + γ = 0 の複素数解 z
z=
ただし，±
−β ±
√
β 2 − 4αγ
2α
(
′
特に β = 2β のとき，z =
−β ′ ±
)
√
β ′ 2 − αγ
α
√
β 2 − 4αγ については，β 2 − 4αγ = a + bi (a, b ∈ R) とおいて，(1) の結果を適用する．
問 27 上記の公式を利用して，次の z の 2 次方程式を複素数範囲で解け．
(1) z 2 + i = 0
(2) z 2 − 3i = 0
(3) z 2 − 1 − i = 0
(4) iz 2 + 2iz +
(5)
1
+i=0
4
3 2 √
iz − 3iz + i − 1 = 0
4
§ 2.3 複素数の基本的な計算
C ∋ α = a + bi (a, b ∈ R) に対して，α = a − bi とおき，α を α の共役(conjugate) という．また，
N (α) = αα,
S(α) = α + α
とおき，それぞれ α のノルム(norm)，トレース(英: trace, 独: Spur) という．また，(α) を α と略記する．
問 28 C ∋ α = a + bi (a, b ∈ R) とおくとき，次のことを示せ．
(1) N (α) ∈ R, N (α) ≧ 0
(2) S(α) ∈ R
(4) N (α) = N (α)
(5) S(α) = S(α)
(3) α = α
1
α
(6)
=
α
N (α)
問 29 α, β ∈ C に対して，次のことを示せ．
(1) α ± β = α ± β
(4) N (αβ) = N (α)N (β)
(2) αβ = α · β
( )
α
N (α)
(5) N
=
β
N (β)
(3)
(β ̸= 0)
( )
α
α
=
β
β
(α ̸= 0)
(β ̸= 0)
(6) S(α ± β) = S(α) ± S(β)
問 30 α ∈ C に対して，次のことを示せ．
(1) α ∈ R ⇔ α = α
(2) α : 純虚数 ⇔ α = −α
(3) α = 0 ⇔ N (α) = 0
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No. 10
§ 2.4 代数学の基本定理とその応用
代数学の基本定理 αi ∈ C (i = 0, 1, 2, · · · , n), α0 ̸= 0 のとき (n ∈ N)，x を変数とする n 次代数方程式
α0 xn + α1 xn−1 + · · · + αn−1 x + αn = 0
は少なくとも 1 つ解 x = α を持ち，必ず α ∈ C である．
※この性質を C は代数的に閉じているという．
※一方，R は代数的に閉じていない
証明は省略する．代数学の基本定理の意味を確認してみよう．
α1
∈ C である．代数学の基本定理の n = 1 の場合の証明に該当する．
α0
(2) n = 2 のとき，α0 x2 + α1 x + α2 = 0 の解 x = α は，「複素数係数の 2 次方程式の複素数範囲での解の公式」より，α ∈ C
(1) n = 1 のとき，α0 x + α1 = 0 の解は，x = −
である．代数学の基本定理で n = 2 の場合の証明に該当する．
(3) n ≧ 3 のとき，例えば n = 3 であれば，α0 x3 + α1 x2 + α2 x + α3 = 0 の解 x = α が存在するかがそもそも分からず，存
在したとしても，α ∈ C であることはすぐには分からない (α ̸∈ C かもしれない)．しかし，代数学の基本定理によれば，
解の存在と α ∈ C であることが保証される．よって，3 次以上の方程式であっても，x = a + bi (a, b ∈ R) とおくことに
より，必ず a, b ∈ R を決めることができる．
問 31 次の複素数係数の方程式を解け．2 次方程式の解の公式，代数学の基本定理等を利用してもよい．
(1) x3 − 1 = 0
(2) x3 + i = 0
(3) x4 + i = 0
実数係数の方程式は，2 次方程式のときと同様に，綺麗な性質を持つ．
問 32 ai ∈ R (i = 0, 1, 2, · · · , n), a0 ̸= 0 のとき (n ∈ N)，f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an とおく．
(1) f (x) = 0 の解が x = α である，すなわち f (α) = 0 をみたすならば，x = α も f (x) = 0 の解となることを示せ．
注意：代数学の基本定理より，解の存在と α ∈ C であることは保障されているので，α が意味を持つ．
(2) f (x) は次の形に因数分解される：
※以下の問 34，35 の結論は利用してよい
f (x) = a0 (x − c1 ) · · · (x − ct )(x2 + p1 x + q1 ) · · · (x2 + pr x + qr ),
ただし， c1 , c2 , · · · , ct ∈ R,
p1 , · · · , pr , q1 , · · · , qr ∈ R,
pi − 4qi < 0 (i = 1, 2, · · · , r),
2
t + 2r = n.
問 33 問 32 の f (x) を，f (x) = (x − α)(x − α)g(x) + lx + m と書くことにより，問 32(1) を証明せよ．
以下，必要であれば，n ∈ N, αi ∈ C (i = 0, 1, 2, · · · , n), α0 ̸= 0 に対して，f (x) = α0 xn + α1 xn−1 + · · · + αn−1 x + αn · · · (∗)
を利用せよ．
問 34 (因数定理) f (x) を複素数係数である x の整式とするとき，f (α) = 0 ならば f (x) は x − α で割り切れることを示せ．
問 35 自然数 n に対して，複素数係数の n 次代数方程式は n 個の解 (重解はその重複の個数をすべて考える) を持つことを数学
的帰納法を利用して示せ．
問 35 の系 f (x) を (∗) で定める．複素数係数の n 次代数方程式 f (x) = 0 の n 個の解を β1 , β2 , · · · , βn とするとき，f (x) は次
の形に因数分解される： f (x) = α0 (x − β1 )(x − β2 ) · · · (x − βn )．
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No. 11
§ 3 複素数の幾何学的側面
§ 3.1 ガウス平面
複素数を平面上の点として表すことを考える．
図1
y
Im
図2
y
Z(x, y)
図3
z = x + yi
yi
Im
z = x + yi
yi
O
O
x
x
O
Re
x
Re
x
図 1 は原点を O とする xy 平面である．平面上の点は 2 つの実数の組 (x, y) を定め，逆に 2 数の組 (x, y) は平面上の点を定め
る．点 Z が定める 2 数の組が (x, y) であるとき，Z(x, y) と表している．
次に，図 2 のように点 Z(x, y) は複素数 z = x + yi を表すものと定める．これによって，平面上の各点と，すべての複素数の
間に 1 対 1 の対応が生じる．そこで，点 Z と複素数 z を同じものとみて，単に点 z ということが多い．
上の対応により，実数 x = x + 0i は点 (x, 0) に，純虚数 yi = 0 + yi は点 (0, y) に対応するから，x 軸は実数に，y 軸は純虚数
に対応する．そこで，x 軸を実軸，y 軸を虚軸とよぶ．図中では，これらを，Re，Im と表している．単に，x, y で表すことも多
い．実軸，虚軸が設定された平面をガウス平面または複素平面とよぶ．
問 36 右のガウス平面上に，点 z1 = −1 + 2i, z2 = 2 − i, z3 =
問 37 図 3 のガウス平面上に，−z, z, −z, S(z) = z + z,
√
Im
√
2 + i をとれ．
N (z) =
√
zz をとれ．
i
O
1
Re
§ 3.2 絶対値
C ∋ z = x + yi (x, y ∈ R) に対し，N (z) = x2 + y 2 ≧ 0 であった．そこで，
|z| =
√
N (z)
(=
√
√
zz = x2 + y 2 )
と定義し，|z| を z の絶対値（または長さ，大きさ）という．定義より，次のことが成立する：
|z| ≧ 0,
|z|2 = N (z) = zz.
問 38 z ∈ C について，次を示せ．
(1) |z| = 0 ⇔ z = 0．
(2) z ∈ R のとき，|z| は普通の “実数の絶対値” と一致する．
問 39 z1 , z2 ∈ C に対して，次を示せ．
z1
|z1 |
=
z2
|z2 |
(1) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
(2)
(3) |z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2 Re(z1 z2 )
(4) |z1 + z2 | ≦ |z1 | + |z2 |
(等号成立条件も考えよ)
問 40 α, β ∈ C, |α| = |β| ならば，任意の γ ∈ C に対して |γ + α|2 + |γ − α|2 = |γ + β|2 + |γ − β|2 であることを示せ．
問 41 z ∈ C, |z| = 1 とする．α, β ∈ C に対して，
αz + β
= 1 であることを示せ．
βz + α
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よく使う複素数の性質 (定義含む)
No. 12
√
zz と定義し，|z| = 0 ⇔ z = 0 が成立する．
z
|z|
(2) |zw| = |z||w|
(3)
=
(w ̸= 0)
w
|w|
(z)
z
(5)
=
(w ̸= 0)
(6) z ± w = z ± w
w
w
(8) z + z = 2Re(z)
(9) |cz| = c|z| (c ∈ R, c > 0)
z, w ∈ C とする．|z| =
(1) |z|2 = zz
(4) zw = z · w
(7) z = z
問 42 z, z1 , z2 ∈ C に対して，次の不等式を示せ．等号成立条件も与えること．
(1) |z| ≧ Re(z),
等号成立条件 |z| = Re(z) ⇔
(2) |z1 + z2 | ≦ |z1 | + |z2 |,
等号成立条件 |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | ⇔
(3) |z1 | − |z2 | ≦ |z1 + z2 |,
等号成立条件 |z1 | − |z2 | = |z1 + z2 | ⇔
(2)，(3) より，一般に |z1 | − |z2 | ≦ |z1 + z2 | ≦ |z1 | + |z2 | が成立する．等号成立条件は，それぞれ (2)，(3) と同様．
§ 3.3 複素数の和と差
z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i とおくと，c ∈ R に対して，
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i,
−−−−−→
Im
cz1 = cx1 + (cy1 )i
z1 + z2
z2
−−−−−→
なので，z1 を (x1 , y1 )，z2 を (x2 , y2 ) とみなして，ベクトルの等式
−−−−−→ −−−−−→ −−−−−−−−−−−−−→
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
−−−−−→ −−−−−−→
c(x1 , y1 ) = (cx1 , cy1 )
z1
Re
O
と対応させて考えることができる．例えば，和については，右図のようになる．
問 43 右図に，−z1 , −z2 , z1 − z2 , z2 − z1 , 2z1 , −2z1 , z1 , z1 + z1 をとれ．
問 44 0 ̸= z ∈ C, c ∈ R について，ガウス平面における z と cz の位置関係を調べよ．
→
z1 を始点とし，z2 を終点とするベクトルを −
z−
1 z2 と書く．また，z1 , z2 を結ぶ線分を [z1 z2 ]，その長
さを [z1 z2 ] と表す．具体的には，z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i とおくと，
−
→ −−−−−−−−−−−−−→
z−
1 z2 = (x2 − x1 , y2 − y1 ),
Im
−
→
z−
1 z2
√
→
[z1 z2 ] = |−
z−
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
1 z2 | =
→
である．このとき，−
z−
1 z2 = z2 − z1 のように，ベクトルと複素数を同一視することもある．この記号の
z1 + z2
もとで，例えば，線分 [z1 z2 ] の中点は
である．
2
O
z1
問 45 異なる 2 点 z1 , z2 に対して，次の条件をみたす点 z を求めよ．ただし，m, n > 0 とする．
(1) 線分 [z1 z2 ] を m : n に内分する点 z
(2) 線分 [z1 z2 ] を m : n に外分する点 z (ただし，m ̸= n)
z1 , z2 , z3 を頂点とする三角形を △z1 z2 z3 と表す．このとき，3 点 z1 , z2 , z3 は同一直線上にない異なる 3 点である．
問 46 △z1 z2 z3 の重心 z を求めよ．
z2
Re
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No. 13
平行条件 z1 , z2 ∈ C が z1 ̸= 0, z2 ̸= 0 をみたすとき，z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i とおくと，次の同値が成立する．
Im(z1 z2 ) = 0
⇔
x1 y2 − x2 y1 = 0
⇔
∃c ̸= 0, z1 = cz2
−
→
⇔
−
→ −
→
z1 は 0 と z2 を通る直線上の 0 以外の点
−
→
ちなみに，通常のベクトルによる表現では， v1 = (x1 , y1 ) ̸= 0 , v2 = (x1 , y2 ) ̸= 0 のとき，
x1 y2 − x2 y1 = 0
⇔
−
→
→
−
∃c ̸= 0, v1 = c v2
⇔
−
→ →
−
v1 // v2
(最後の同値は平行の定義より)
三角不等式 z1 , z2 ∈ C のとき，|z1 + z2 | ≦ |z1 | + |z2 | が成立する．等号成立 ( i.e. |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | ) のための必要十分
条件は，例えば，次の (1)–(5) である (すべて同値なので，どれでもよい)．問 42 (2) の証明では，(1) ⇔ (5) を確認した．
(1) z1 z2 = 0 または ∃c > 0, z2 = cz1
(2) z1 = 0 または z2 = 0 または ∃c > 0, z2 = cz1
(3) ∃c ≧ 0, z2 = cz1 または z1 = cz2
(4) ∃c ≧ 0, z2 = cz1
または
∃c ≧ 0, z1 = cz2
(5) Re(z1 z2 ) ≧ 0 かつ Im(z1 z2 ) = 0
問 47 上記の三角不等式の等号成立条件 (1)–(4) が同値であることを示せ．
(注) (1) ⇔ (5) は証明済み
§ 3.4 問題演習
以下，z, z1 , z2 , α, β, γ, δ ∈ C とおく．
問 48 c ∈ R, c > 0 に対して，|z| = |z| = | − z|, |cz| = c|z| を示せ．
問 49 |α| = 1, |β| ̸= 1 のとき，
α−β
の値を求めよ．また，|1 − αβ| ̸= 0 であることも確認せよ．
1 − αβ
問 50 |z1 | = |z2 | = |z1 + z2 | = 1 ならば，z1 3 = z2 3 であることを示せ．
問 51 α ̸= ±i, Im(α) ̸= 0 のとき，
α
∈ R となるための必要十分条件を α の方程式で求めよ．また，この条件をみたす α
1 + α2
をガウス平面上に表せ．
問 52 次の同値を証明せよ．また，この同値の図形的な意味をガウス平面で考えよ．
(1) Re(α) < 0 のとき， Re(z) ⪌ 0 ⇔ |z − α| ⪌ |z + α|
(2) Im(α) > 0 のとき， Im(z) ⪌ 0 ⇔ |z − α| ⪋ |z − α|
(3) |α| < 1 のとき， |z| ⪌ 1 ⇔ |z − α| ⪌ |αz − 1|
問 53 不等式 |z1 | − |z2 | ≦ |z1 − z2 | を示せ．等号成立条件も求めること．
問 54 互いに異なる 4 つの複素数 α, β, γ, δ に対して，次の式の値を求めよ．
(1)
δ−α
δ−β
δ−γ
+
+
(α − β)(α − γ) (β − γ)(β − α) (γ − α)(γ − β)
(2)
(δ − β)(δ − γ)
(δ − γ)(δ − α)
(δ − α)(δ − β)
+
+
(α − β)(α − γ) (β − γ)(β − α) (γ − α)(γ − β)
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No. 14
§ 3.5 複素数の積と商
C ∋ z = a + bi ̸= 0 に対して，r := |z| > 0，θ を半直線 0z が実軸の正の向きとなす一般角と
Im
おくと，a = r cos θ, b = r sin θ なので，z = a + bi = r cos θ + (r sin θ)i より
(∗)
r
θ
と表せる．この表し方を z の極座標表示という．また，θ を z の偏角といい，arg(z) と表す：
r = |z|,
z = a + bi
b
z = r(cos θ + i sin θ) (r > 0)
O
a
Re
θ = arg(z).
θ が z の偏角の 1 つであるとき，θ + 2πn (n ∈ Z) も z の偏角なので，すべての偏角は次のように表せる：
arg(z) = θ + 2πn (n ∈ Z)
また，合同式を使って，arg(z) ≡ θ (mod 2π) と表すこともある．
ここまで z ̸= 0, r > 0 としてきたが，z = 0 のときを (∗) で r = 0，θ を任意の一般角として表すこともある．よって，(∗) で
0 も含めた任意の複素数 z を表しているとみてよい．
例4
Im
1, i, 1 + i の絶対値，偏角はそれぞれ次のようになる．
(1) |1| = 1, arg(1) = 0 + 2πn (n ∈ Z)
π
(2) |i| = 1, arg(i) = + 2πn (n ∈ Z)
2
√
π
(3) |1 + i| = 2, arg(1 + i) = + 2πn (n ∈ Z)
4
i π
2
O
1+i
π
4
1
Re
問 55 1 − i, i − 1 の絶対値，偏角をそれぞれ求めよ．
例5
0 ̸= z ∈ C に対して，次の同値が成立する．
(1) z ∈ R ⇔ arg(z) =
(2) z は純虚数 ⇔ arg(z) =
問 56 方程式 z 3 = 1 について，Im(z) > 0 をみたす解 z を ω とおいて，次に答えよ．
(1) この方程式を解き，ω を決定せよ．また，|ω|, arg(ω) を求めよ．
(2) ω 以外の 2 つの解をそれぞれ ω の式で表せ．また，3 つの解をガウス平面上にとれ．
(3) −ω, 2 + ω, ω − 1 の絶対値および偏角をそれぞれ求めよ．
問 57 0 ̸= z ∈ C に対して，arg(z) = − arg(z) を示せ．
(この式は，z = 0 で成立しているとみなしてもよい)
定理 (複素数の積の性質) C ∋ z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) に対して，次の等式が成立する：
z1 z2 = r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )),
すなわち，
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |,
arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ).
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No. 15
問 58 上記の定理「複素数の積の性質」を示せ．また，ガウス平面上で図形的な意味を考えよ (図 1–3 参照)．
図1
図2
Im
Im
図3
z2
z2
z1
O
1
Im
z2
z1
Re
O
Re
1
O
z1
1
Re
問 59 z1 , z2 , · · · , zn ∈ C に対して，次の等式が成立することを示せ：
|z1 z2 · · · zn | = |z1 ||z2 | · · · |zn |,
arg(z1 z2 · · · zn ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + · · · arg(zn ).
問 60 (ド・モアブルの公式) C ∋ z = r(cos θ + i sin θ)，整数 n に対して，次の等式が成立することを示せ：
z n = rn (cos nθ + i sin nθ),
すなわち，
|z n | = |z|n ,
arg(z n ) = n arg(z).
問 61 C ∋ z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) ̸= 0 に対して，次の計算をせよ：
z1
=
z2
,
z1
=
z2
(
,
arg
z1
z2
)
=
.
問 62 r = 1 のときのド・モアブルの公式 (cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ) を利用して，正弦 (sin)，余弦 (cos) に対する 2
倍角の公式，3 倍角の公式，4 倍角の公式を導け．
問 63 0 ̸= b + ai ∈ C のとき，
問 64 C ∋ α =
a + bi
の値を求めよ．また，arg(a + bi) と arg(b + ai) の関係を決定せよ．
b + ai
1 + sin θ + i cos θ
に対して，|α|, arg(α) を求めよ．
1 + sin θ − i cos θ
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No. 16
問 65 問 60 の「ド・モアブルの公式」
，すなわち，C ∋ z = r(cos θ + i sin θ), n ∈ Z に対して，z n = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)) が
成立することについて，ガウス平面上で図形的な意味を考えよ．例えば，図 1–3 において，· · · , z 3 , z 2 , z 1 , z 0 , z −1 , z −2 , · · ·
をとってみよ．
図1
図2
Im
Im
z
O
z
Re
1
Im
図3
O
z
Re
1
O
Re
1
問 66 次の方程式を複素数範囲で解け．ただし，n は 2 以上の自然数とする．
(1) z 2 = i
(2) z 3 = i
(3) z n = 1
(3) の解を 1 の n 乗根という．1 の n 乗根のうち，n 乗してはじめて 1 に等しくなるものを 1 の原始 n 乗根という．
(
√ )
−1 + 3
2
例 6 1 の 3 乗根は，1, ω, ω
ω :=
であり，1 の原始 3 乗根は ω, ω 2 である．
2
問 67 次の自然数 n について，1 の n 乗根と 1 の原始 n 乗根をそれぞれ求めよ．また，ガウス平面上にそれらを記せ．
(1) n = 4
(2) n = 6
(3) n = 7
(4) n = 8
n を 2 以上の自然数とするとき，α ∈ C に対して，z n = α をみたす z ∈ C を α の n 乗根という．
例7
問 66 において，(1) の解は i の 2 乗根，(2) の解は i の 3 乗根である．
問 68 次の複素数をガウス平面上に記せ．
4 3
(1) α = + i の 4 乗根
5 5
√
2 3 5
(2) α = +
i の 8 乗根
7
7
(3) α = −
4√
2
6 + i の 4 乗根
5
5
問 69 C ∋ α = r(cos θ + i sin θ) ̸= 0 (r > 0) に対して，z 2 = α をみたす z ∈ C を求めよ．また，(1)–(3) の場合について，次の
図に z を記せ．
(1) r > 1 のとき
Im
(2) r = 1 のとき
Im
α
α
θ
O
√
問 69 の結果より，± α =
(3) r < 1 のとき
Im
r
Re
α
θ
O
r
Re
θ
O
r
Re
(複号の順は定めない) である．No.9「複素数係数の
2 次方程式の複素数範囲での解の公式」と比較してみると，三角関数の半角の公式が得られる．
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No. 17
§ 3.6 2014/7/26(土) の試験について
No.9 公式 (1) (ii)
(√ √
)
√√
2 + b2 + a
2 + b2 − a
a
b
a
+
· i である．
a, b ∈ R, b ̸= 0 のとき，z 2 = a + bi の複素数解 z は，z = ±
2
|b|
2
は試験の問題用紙に書いておくので，暗記する必要はない．
プリント No. 1–No. 16 をしっかり勉強しておくこと．以下，練習問題の解答とヒント．
【49】値は 1．「̸= 0」の証明は，例えば背理法による．
【50】 z1 3 = z2 3 ⇔ (z1 − z2 )(z1 2 + z1 z2 + z2 2 ) = 0 なので，z1 2 + z1 z2 + z2 2 = 0 を示せばよい．
【51】 |α| = 1．4 点 ±1, ±i を除く単位円上．
【52】 (1) |z − α| ≧ 0, |z + α| ≧ 0 より，|z − α|2 − |z − α| ⪌ 0 を示せばよい．
【54】通分して計算すればよい．
(1) 0
(2)，(3) も同様の方針で証明できる．
(2) 1
【62】結果の形は一意とは限らない．
• cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ， sin 2θ = 2 sin θ cos θ
• cos 3θ = cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ (= 4 cos3 θ − 3 cos θ)，
sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ (= 3 sin θ − 4 sin3 θ)
• cos 4θ = cos4 θ − 6 cos2 θ sin2 θ + sin4 θ， sin 4θ = 4 cos3 sin θ − 4 cos θ sin3 θ
π
【63】値は 1．関係は arg(a + bi) + arg(b + ai) = + 2πn (n ∈ Z)
2
π
【64】 |α| = 1, arg(α) = − θ + 2πn (n ∈ Z)
2
【68】
4
3
, sin φ = をみたす φ ∈ R をとるとき，
5
5
(φ π )
(φ π )
αk = cos
+ k + i sin
+ k
(k = 0, 1, 2, 3)
4
2
4
2
√
3 5
2
をみたす φ ∈ R をとるとき，
(2) |α| = 1 である．cos φ = , sin φ =
7
7
(φ π )
(φ π )
αk = cos
+ k + i sin
+ k
(k = 0, 1, 2, · · · , 7)
8
4
8
4
(1) |α| = 1 である．cos φ =
2√
1
6, sin φ = をみたす φ ∈ R をとるとき，
5
5
( φ π ))
(
(φ π )
√
4
+ k + i sin
+ k
(k = 0, 1, 2, 3)
αk = 2 cos
4
2
4
2
(
(
)
(
))
(
)
√
√
θ
θ
θ
θ
【69】z = r cos
+ πk + i sin
+ πk
(k = 0, 1)，
すなわち， z = ± r cos + i sin
.
2
2
2
2
(3) |α| = 2 である．cos φ = −

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