第2講 無理関数と逆関数 【問題 1】 (1) y = -2x のグラフを用いて, y = 6 - 2x のグラフをかけ. (2)関数 y = 6 - 2x + 2 のグラフをかけ. { } (3) x - 3 ≦ x ≦1 を定義域とするとき,(2)の関数の値域を求めよ. 7 2 数学Ⅲ 【問題 2】 (1)不等式 2 x - 1 ≧ 1 x + 1 を解け. 2 (2)方程式 2 x - 1 = 1 x + k が 2 つの異なる実数解をもつために,実数 k がとる値の範囲を求 2 めよ. 8 【問題 3】 関数 y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) …① , y = x + 4 ( x ≧ - 4) …②について,次の問いに答えよ. (1)①のグラフ上の点を ( a,b) とすれば,点 (b,a ) は②のグラフ上にあることを示せ.また 逆も成り立つことを示せ. (2)①,②のグラフの交点は直線 y = x 上にあることを証明せよ. (3) (2)を用いて①,②のグラフの交点を求めよ. 9 第2講 無理関数と逆関数 解答 数学Ⅲ 【問題 1】 (1) y = -2x のグラフを用いて, y = 6 - 2x のグラフをかけ. (2)関数 y = 6 - 2x + 2 のグラフをかけ. { } (3) x - 3 ≦ x ≦1 を定義域とするとき,(2)の関数の値域を求めよ. 2 (1) y = -2( x - 3) のグラフは y = -2x のグラフをかき,これを x 軸方向に 3 だけ平行 移動して得られる(太線の曲線の部分). y 2 -2 O 1 x 3 (2) y = -2( x - 3) + 2 よって, y = -2x のグラフを, x 軸方向に 3, y 軸方向に 2 だけ平行移動して得ら れる(太線の曲線の部分). y 4 5 2 -2 - 3 2 (3)上図より関数の値域は { y|4 ≦ y ≦ 5} 10 O1 3 x 【問題 2】 (1)不等式 2 x - 1 ≧ 1 x + 1 を解け. 2 (2)方程式 2 x - 1 = 1 x + k が 2 つの異なる実数解をもつために,実数 k がとる値の範囲を求 2 めよ. (1) y = 2 x - 1 , y = 1 x + 1 とおき,曲線が直線の上側(交点も含む)にある部分に対す 2 る x の値の範囲を求める. y 1 O 12 10 x 2 x - 1 = 1 x + 1 より, 2 ( x - 2)( x - 10) = 0 \ x = 2, 10 であるから,グラフより,求める x の値の範囲は, 2 ≦ x ≦10 (2)題意を満たす k の最小値は,直線が点 (1, 0) を通るときで, k = - 1 2 次に,2 つのグラフが接するときの k の値を求める.接するのは,与方程式の両辺 を 2 乗して展開整理することから得られる方程式 x 2 + 4( k - 4)x + 4( k2 + 4) = 0 が重解をもつ場合であるから, D = 4( k - 4)2 - 4( k 2 + 4) = 0 より, k = 3 4 2 よって,求める k の値の範囲は, -1 ≦k< 3 2 2 11 【問題 3】 関数 y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) …① , y = x + 4 ( x ≧ - 4) …②について,次の問いに答えよ. (1)①のグラフ上の点を ( a,b) とすれば,点 (b,a ) は②のグラフ上にあることを示せ.また 逆も成り立つことを示せ. (2)①,②のグラフの交点は直線 y = x 上にあることを証明せよ. (3) (2)を用いて①,②のグラフの交点を求めよ. (1) y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) y= …① x + 4 ( x ≧ - 4) …② 点 ( a, b) が①の上にあるとすれば b = a2- 4 a2 = b + 4 a ≧ 0 より, a = b+4 (b ≧ - 4) \ (b, a ) は②の上にある. (b, a ) が②の上にあるとすれば a = b+4 a ≧0 ,b≧ - 4 両辺を 2 乗して, b + 4 = a 2 b = a2- 4 ( a ≧ 0) \ ( a, b) は①の上にある. よって、①,②のグラフの交点は直線 y = x 上に存在する. …終 (1)より (b, a ) も交点となるから (2)交点を ( a, b) とすると, b = a2- 4 …③ a = b2 - 4 …④ ③-④より (b - a ) = -(b - a )(b + a ) \ a = b または a + b = -1 y = -x - 1 と y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) との交点は 1 個であり,その点は②をみたさないから a + b ¹ -1 \ a =b \ 交点は y = x 上にある. (3) y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) , y = x より x 2- x - 4 = 0 x = 1 ± 17 , x ≧ 0 より 2 (1 + 2 17 , 1 + 2 17 ) 12
© Copyright 2024 Paperzz