36.積分の計算 ~ 37.定積分で表された関数 [三クリア12ABWa38]f(2),f'(2),∫f(x)dx[-1.1]からf(x)を求める"三クリアーⅠⅡAB受近畿大# 2 次関数 f 0 x1 が f 0 21 =26,f - 0 21 =18, Q 1 -1 f 0 x1 dx=6 を満たすとき f 0 x1 を求めよ。 [三クリア12ABSt159]定積分で表された関数のグラフ"三クリアーⅠⅡAB受中央大# 関数 f 0 x 1 は x <0 のとき 0,0 (x( 1 のとき x,x >1 のとき 1 の値をとるとする。こ Q x 1 3 6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 ,f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 ,f 0 1 1 =1 の条件を満たすとき,f 0 x 1 ,g 0 x 1 を求めよ。 のとき次の問いに答えよ。 0 1 1 y = f 0 x 1 のグラフをかけ。 s f 0 x1 =3x 2 +6x +2 0 2 1 g 0 x 1 = 解説 f 0 x1 = ax 2 + bx + c 0 a ' 01 とおける。 f - 0 x1 =2ax + b であるから,f - 0 21 =18 より 4a + b =18 …… ① Q x x-1 s f 0 x 1 = x 2 - x +1 ,g 0 x 1 = x 2 +2x -6 f 0 t 1 dt を次の 4 つの場合にそれぞれ求めよ。 解説 4 1 5 x( 0 4 2 5 0< x( 1 4 3 5 1< x( 2 4 4 5 2< x Q 0 3 1 y = g 0 x 1 のグラフをかけ。 Q 1 -1 よって, 1 1 Q 0ax +c1dx=2< 3 x + cx= = 3 a +2c f 0 x1 dx =2 Q 1 -1 a 2 3 0 2 s 0 1 1 2 図 3 0 2 1 4 1 5 g 0 x 1 =0 4 2 5 g 0 x 1 = 0 f 0 x1 dx =6 から ①,②,③ を解いて a =3,b =6,c =2 ( a' 0 を満たす ) f - 0 x 1 - g - 0 x 1 =-3 …… ③ であるから,②+③ より 3f - 0 x 1 =6x -3 よって f - 0 x 1 =2x -1 011 Q y f 0 1 1 =1 であるから 1 2 -1+ C =1 ゆえに C =1 ゆえに f 0 x1 =3x +6x +2 y= f 0 x1 1 [三クリア12ABPr38]絶対値を含む定積分を定数tで表す"三クリアーⅠⅡAB受早稲田大# O (1) t を定数とする。x の不等式 x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 を解け。 Q 1 0 O したがって f 0 x 1 = x 2 - x +1 y= g 0 x1 1 1 2 x 1 これを ① に代入して 20 x 2 - x +11 + g 0 x 1 =3x 2 -4 よって g 0 x 1 = x 2 +2x -6 1 2 x x 2 -0 1 + t 1x + t dx を求めよ。 解説 s (1) t <1 のとき x <t,1< x; t =1 のとき x <1 ,1< x; t >1 のとき x <1 ,t <x 1 (2) f 0 t 1 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11 6 g 0 x 1 = 解説 Q 011 y x x-1 0dt =0 y= f 0 x1 1 4 2 5 0< x( 1 の場合 (1) x 2 - 0 1 + t 1x + t >0 から 0 x - t 10 x -1 1 >0 g 0 x 1 = よって,この不等式の解は t <1 のとき x <t,1< x g 0 x 1 = t >1 のとき x <1,t <x (2) 0 (t( 1 のとき,(1) の結果から x 2 - 0 1 +t 1x + t = 1 x 2 - 0 1 + t 1x + t 0 0 ( x ( t 1 > -0 x - t 10 x - 1 1 0 t( x( 1 1 Q = 6 x - 0 1+ t 1x + t7 dx- 0 x - t 10 x - 1 1dx Q Q 0 t x 2 -0 1 + t 1x + t dx 1 2 0 Q 0 x-1 0dt + Q x 0 tdt = 1 x 1 <2t = =2x 2 O 2 x 1 0 4 3 5 1< x( 2 の場合 t =1 のとき x <1,1< x ゆえに f 0 t 1 = 0 1 1 y = f 0 x 1 のグラフは右の図のようになる。 0 2 1 4 1 5 x( 0 の場合 Q 1 x-1 tdt + Q x 1 1dt = 1 <2t = 2 1 45 + t x-1 x 1 1 1 1 = - 0 x - 1 1 2 + x -1 =- x 2 +2x -1 2 2 2 4 4 5 2< x の場合 g 0 x 1 = Q x x-1 45 1dt = t x x-1 = x - 0 x -1 1 =1 031 y y= g 0 x1 1 1 2 O 1 2 0 3 1 y = g 0 x 1 は右の図のようになる。 t t3 1 1 1 = - 0 1 + t 1t 2 + t 2 - - 0 1 - t 1 3 =- 0 2t 3 -6t 2 +3t -11 3 2 6 6 > ? [三クリア12ABSt160]定積分を含む等式,導関数の関係からf(x),g(x)"三クリアーⅠⅡAB受久留米大# 2 次関数 f 0 x 1 および g 0 x 1 が Q f 0 x 1 = f - 0 x 1 dx = 0 2x - 1 1dx = x 2 - x + C (C は積分定数) 031 y 2 (2) 0 (t( 1 のとき,f 0 t 1 = 3 6 2f 0 t 1 + g 0 t 1 7dt = x -4x +3 の両辺を微分して 更に,この式の両辺を微分して 2f - 0 x 1 + g - 0 x 1 =6x …… ② 1 2 x 2 1 4 3 5 g 0 x 1 =- x 2 +2x -1 4 4 5 g 0 x 1 =1 0 3 1 2 図 3 2 2 a +2c =6 …… ③ 3 1 2f 0 x 1 + g 0 x 1 =3x 2 -4 …… ① f 0 21 =26 から 4a +2b + c =26 …… ② x x [三クリア12ABCl161]∫{f(x)-x^2+1}dx[ a .1]=0となるcの値"三クリアーⅠⅡAB受島根大# 2 2 f 0 x1 = ax + bx + c とし,2 つの曲線 y = f 0 x1 と y =-x +1 は点 (1,0) で共通接線を もつとする。 0 1 1 s 0 1 1 略 0 2 1 a = b Q 0 1 1 (2) 方程式 f 0 x1 =0 が 1 以外の解 a をもつとき,a を c を用いて表せ。 (3) (2) と同じ仮定のもとで Q 1 a 2 6 f 0 x1 - x + 17 dx =0 となるような c の値を求めよ。 a 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt の値を求めよ。 0 0 2 1 a の値を求めよ。 解説 (1) a と b を c を用いて表せ。 Q 1 Q 2 0 x + a 1 dx = A, 0 1 0 x + a 10 x + b 1dx = B, 0 Q 1 2 0 x + b 1 dx = C とおく。 0 0 3 1 F0 x 1 = Q x 0 f 0 t 1 dt とするとき,lim h.0 t を任意の実数とすると 6 t0 x + a 1 + 0 x + b 1 7 2 ) 0 であるから 1 s 0 1 1 2 0 2 1 a = Q 6 t0 x+ a 1 + 0 x+ b 1 7 dx) 0 …… ① が常に成り立つ。 2 0 s (1) a = c -2,b =-2c +2 (2) a = 1 ここで = 解説 また,y =-x 2 +1 から y - =-2x ①,② から a = c -2,b =-2c +2 これが解 1 と a 0 ' 11 をもつとき,c -2 ' 0 であり,解と係数の関係から Q a 6f 0 x1 - x + 17dx = Q a f 0 x1 dx - Q a 2 x dx + Q 1 a dx 1 1 = 0 c - 21 0 x - a1 0 x - 11 dx- x 3 + x 3 a a Q 1 2 2 0 Q 2 1 0 Q 2 0 x + a 1 dx +2t 1 0 0 x + a 10 x + b 1dx + Q 1 0 < = 45 D = B 2 - AC( 0 よって B 2 (AC 4 2 1 1 2 1 0 [三クリア12ABWa39]∫f(t)dt[a.x]=x^4-4x^3+5x^2-2xとなるf(x),a"三クリアーⅠⅡAB受愛媛大# =- 1 1 - a1 260 c -21 0 1 - a1 -20 a +21 7 60 1 =- 0 1 - a1 260 1 - a1 c -67 6 Q a s f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2 , a =0,1,2 解説 等式の両辺を x で微分すると f 0 x 1 =4x 3 -12x 2 +10x -2 また,等式の x に a を代入すると, 3 Q a a f 0 t 1 dt =0 より 2 a -4a +5a -2a =0 2 6f 0 x1 - x + 17dx =0,1- a ' 0 より 0 1 - a1 c -6=0 因数分解すると a0 a - 1 1 20 a -2 1 =0 2 ここで,1- a =であるから c-2 - f 0 t 1 dt = x 4 -4x 3 +5x 2 -2x 4 よって a =0,1,2 2c 3 -6=0 よって c = c-2 2 [三クリア12ABPr39]定積分で表されたf(x),積分区間の上端の値など"三クリアーⅠⅡAB受北九州市立大# 次の関数について答えよ。 [三クリア12ABCl162]シュワルツの不等式の証明,等号成立条件"三クリアーⅠⅡAB受津田塾大# Q f 0 x 1 =-2+ x + x 2 a,b を定数とする。 0 1 1 不等式 >Q 1 2 ? >Q 0 x + a 10 x + b 1dx ( 0 1 ?>Q 2 0 x + a 1 dx 0 1 ? 2 0 x + b 1 dx を示せ。 0 0 2 1 0 1 1 で等号が成立するための a,b の条件を求めよ。 k 2 3 1 k 1 k 3 0 5 k 3 5 2 0 2 1 f 0 x 1 =2x + x -2 であるから Q a 0 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt = ただし,a は定数であり, 1 a 0 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt 5 Q f 0 t1 dt=- 6 である。 0 Q a 0 2 2 226 0 t + 1 1 - t 7 + 0 t + 1 1 - t3dt = =2a 2 +3a よって,0 1 1 の結果より 2a 2 +3a =2 ゆえに 0 2a -1 10 a +2 1 =0 したがって a = . 1 1 =- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a1 0a 2 + a -21 6 3 1 2 0 次の等式を満たす関数 f 0 x 1 と定数 a をすべて求めよ。 1 1 c -21 0 1 - a1 3+ 0 1 - a1 20 a +21 60 3 0 1 0 3 1 lim h 0 a 1 0 ゆえに k =2 >Q 0x+a10x+b 1dx? (>Q 0x+a1 dx?>Q 0 x+b 1 dx? x 1 0 よって,① から At 2 +2Bt + C) 0 Q t2 Q f 0 t1 dt= Q 0kt + t- 21dt= < 3 t + 2 - 2t= = 3 + 2 -2= 3 - 2 Q f 0 t1 dt=- 6 であるから 3 - 2 =- 6 1 1 =- 0 c -21 0 1 - a1 3- 0 1 - a 31 +1- a 6 3 =- 2 6 f 0 t + 1 1 - f 0 t 1 7dt = k (k は定数) とおくと f 0 x 1 = kx + x -2 0 0 x + b 1 dx 1 a a よって = At 2 +2Bt + C すなわち Q 2 0 2 1 0 (x( 1 である任意の x の値について常に t0 x + a 1 + 0 x + b 1 =0 すなわち 0 t +1 1x + at + b =0 であればよい。 よって t +1=0 ,at + b =0 ゆえに a = b (3) (2) より f 0 x1 = 0 c -21 0 x - a1 0 x -11 1 0 1 1 0 c c 1・a = すなわち a = c-2 c-2 1 2 これが常に成り立つから (2) (1) より,方程式 f 0 x1 =0 は 0 c -21 x 2 + 0 -2c +21 x + c =0 2 1 Q 6t 0 x+ a 1 + 2t0 x+a 10 x+b 1 + 0 x+ b 1 7dx = t 曲線 y = f 0 x1 は点 0 1,01 を通るから a + b + c =0 …… ① 点 0 1,01 での 2 つの曲線の接線の傾きが等しいから 2a + b =-2 …… ② 1 2 0 (1) f 0 x1 = ax 2 + bx + c,f - 0 x1 =2ax + b 1 ,-2 0 3 1 19 2 解説 Q 6 t0 x+a 1 + 0 x+b 1 7 dx c 3 (3) c = 2 c-2 F0 3 + h 1 - F0 3 1 の値を求めよ。 h F0 3 + h 1 - F0 3 1 = F -0 3 1 = f 0 3 1 =19 h 1 ,-2 2 Q a 0 4 5 2 0 4t + 3 1dt = 2t + 3t a 0 [三クリア12ABSt163]定積分で表された関数.極値などから係数決定"三クリアーⅠⅡAB受弘前大# a,b,c を定数とし,関数 f 0 x 1 を f 0 x 1 = Q x 0 2 0t + at + b1dt + c とおく。関数 f 0 x 1 は Q x 1 f - 0 t1 dt = f 0 x1 - f 0 11 であるから f 0 x1 = x 2 - ax +26 f 0 x1 - f 0 11 7 よって f 0 x1 =-x 2 + ax +2f 0 11 …… ① x =-1 と x =2 で極値をとり,曲線 y = f 0 x 1 上の点 0 1,f 0 1 1 1 における接線と x 軸と したがって,f 0 x1 は 2 次関数である。 の交点の座標が (-1,0) であるとする。このとき,a,b,c を求めよ。 (2) ① に x =1 を代入すると f 0 11 =-1+ a +2f 0 11 11 s a =-1 ,b =-2 ,c =6 ① に代入して f 0 x1 =-x 2 + ax +2-2a ゆえに a = 解説 2 1 0 0 < f - 0 x 1 = x + ax + b 2 = f - 0 -1 1 =1- a + b =0 , f - 0 2 1 =4+2a + b =0 よって a =-1 ,b =-2 よって a = Q < = 8 9 この接線が点 0 -1,0 1 を通るから Q 1 -2 x 2 + 2ax dx について,次の問いに答えよ。ただし,a) 0 とする。 11 x3 x2 11 = -2x f 0 x 1 = 0t 2 - t - 21dt 6 6 3 2 0 … 2 … f -0 x 1 + 0 - 0 + 9 2 3 : 31 6 f0 x 1 したがって a =-1 ,b =-2 ,c =- Q 6 6 (2) a = U のとき最小値 3- U 4 2 Q -2a -2 < = -2a -2 Q < x3 + ax 2 3 S =- -2 0 -2a Q 1 0 f - 0 t1 dt を満たすとき,次の問いに答えよ。 0 f 0 y 1 dy + f 0 y 1 dy + < x 0 = 1 : 6 3- U 2 9 8 3 9 2 2 0 1 Q 0 x+y1 f 0 y1 dy=x + C から 2 2 0 Q 0 = < + -2 1 0 0 1 x 1 f - 0 t1 dt -2 -2a O a = Q y f 0 y1 dy=C …… ① 2 0 Q x 0 1 1 0 0 Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy=x f 0 y 1 dy + x 2 x 2 Q x 0 f 0 y 1 dy = 0 1 - a 1x 2 -2bx 1 1 0 0 1 Q f 0 y1 dy=Q 6 20 1- a 1y-2b 7dy= 40 1 -a 1y -2by5 =1-a-2b 2 0 よって 2a +2b =1 …… ② y = x 2 +2ax 1 2 2 両辺を x で微分すると f 0 x 1 =20 1 -a 1x -2b 1 [2] y 1 0 0 x3 7 + ax 2 =5a 3 3 0 = 1 Q f 0 y1 dy+2xQ yf 0 y1 dy+Q y f 0 y1 dy= x + C f 0 y 1 dy + x 2 y b = 1 1 0 0 -2a -2 O 1 x 1 Q yf 0 y1 dy=Q 620 1- a 1y -2by7dy= < 3 0 1- a1y -by = = 3 0 1 -a 1 -b 2 2 3 2 2 0 2 2 a +2b = …… ③ 3 3 ② と ③ を連立して解くと a = 2 S Q 0 x+ y1 f 0 y1 dy= x +C 解説 0 + 1 よって 1 + 3 1 5 x - ,C = 2 2 24 1 2 2 s (1) 略 (2) f 0 x1 =-x 2 + x + 3 3 Q f 0 t1 dt= a ( a は定数) とおくと f 0 x1 =x - ax+2Q + Q f 0 y1 dy= a,Q yf 0 y1 dy= b (a,b は定数) とおくと 1 [1] y = x 2 +2ax Q 1 1 x3 8 + 0 0 + 2a1 3 + + ax 2 = a 3 -3a +3 6 3 3 0 (1) f 0 x1 は 2 次関数であることを示せ。 (2) f 0 x1 を求めよ。 (1) 0 よって,次の等式が成り立つ。 1 2 2 0x + 2ax1dx+ 0 0 x + 2ax1dx 2 2 0x + 2ax1 dx+ 0 0x + 2ax1dx [三クリア12ABSt164]f(x)=x^2-x∫f(t)dt+2∫f'(t)dtを満たすf(x)"三クリアーⅠⅡAB受佐賀大# 0 x 0 0 =- Q f 0 t1 dt+2Q Q [2] a ) 1 のとき x Q x =0 を代入すると 2 0 x + 2ax1dx- x3 + ax 2 = 3 11 6 x S = 9 1 - 解説 (1) x 2 +2ax = x0 x +2a1 [1] 0 (a <1 のとき よって,f 0x 1 は条件を満たす。 関数 f 0 x1 が等式 f 0 x1 = x 2 - x 8 3 7 a -3a +3,a) 1 のとき S =5a 3 3 解説 f 0x 1 の増減表は次のようになる。 -1 (2) S を最小にする a の値とそのときの最小値を求めよ。 s (1) 0 (a <1 のとき S = x … … 整式 f 0 x 1 と実数 C が s f 0 x 1 = 1 11 ゆえに c =6 6 x 1 を満たすとき,この f 0 x 1 と C を求めよ。 (1) S を a の関数で表せ。 逆に f 0 x 1 が条件を満たすことを示す。 Q … 2 2 2 したがって f 0 x1 =-x 2 + x + 3 3 3 [三クリア12ABCl165]絶対値を含む定積分の最小値"三クリアーⅠⅡAB受日本女子大# S= 13 1 =-20 x -1 1 すなわち y =-2x + c 6 6 0=2+ c - 4 [三クリア12ABCl166]∫f(y)dy+∫(x+y)^2f(y)dy=x^2+Cとなるf(x),C"三クリアーⅠⅡAB受京都大# よって,点 0 1,f 0 1 1 1 における接線の方程式は y - c - U6 … dS da 6 最小値 3- U をとる。 2 1 t3 t2 13 また f 0 1 1 = 0 t - t - 21dt + c = - - 2t + c = c 6 3 2 0 0 2 0 a 6 よって,S は a = U のとき 4 1 ゆえに,f - 0 x 1 = x 2 - x -2 であり f - 0 1 1 =1-1-2=-2 1 7 は単調に増加する。 3 a) 0 において,S の増減表は右のように t a 3 5 = - + t 2 + 0 2 - 2a1 t =- a + 3 2 2 3 0 f 0x 1 が x =-1 と x =2 で極値をとるから dS 6 =0 とすると a = U 4 da なる。 Q f 0 t1 dt=Q 0-t +at+ 2- 2a1dt 3 dS =8a 2 -3 da [2] a ) 1 のとき,S =5a - よって f 0 11 =1- a 1 (2) [1] 0 (a <1 のとき 1 1 3 1 ,b = したがって f 0 x 1 = x 4 4 2 2 よって,① から C = 1 1 1 Q y 8 2 y- 2 9dy =Q 8 2 y - 2 y 9dy= < 8 y - 6 y = = 24 0 2 3 1 0 3 3 1 2 3 4 1 3 0 5
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