双対定理の応用 1. 2. 双対シンプレックス法と相補性定理感度分析 2014/5/16 1 双対シンプレックス法双対問題をシンプレックス法で解く主問題よりも早くなることがあるシンプレックス法の反復回数通常，制約条件の1.5～3倍程度双対問題はスラック変数が多い →初期実行可能解を見つけやすい 2014/5/16 2 標準形の双対問題 T （Ｐ） min c x s.t. Ax b, x 0 T （Ｄ） max b w T s.t. A w c T （Ｄ） min b w T s.t. A w v c v 0 2014/5/16 初期基底解の候補になりやすい 3 双対シンプレックス法双対問題をシンプレックス法で解く主問題よりも早くなることがあるシンプレックス法の反復回数通常，制約条件の1.5～3倍程度双対問題はスラック変数が多い →初期実行可能解を見つけやすい双対問題の解→主問題の解？ 2014/5/16 4 相補性定理(Complementarity) min c T x （Ｐ） s.t. Ax b, x 0 max b T w （Ｄ） s.t. A T w c, w 0 x , w 実行可能解とする wi x , w : 最適解 i 0 0 または A w b i 0 w T Ax b 0 x T AT w c 0 xi 2014/5/16 0 または Ax b T 5 証明弱双対定理より c T x w T Ax b T w が成立 cT x w T Ax bT w x , w : 最適解 w T Ax b w T Ax b x T AT w c 0 0 cT x w T Ax 0, x T AT w c 0 bT w 双対定理からわかること（２）より最適解 2014/5/16 6 双対問題の解→主問題の解相補性定理の証明より w :（Ｄ）の最適解非退化の仮定 2014/5/16 T w Ax b 0 wi 0 Ax b i 0 wi 0 は B に対応 : BxB b 7 感度分析 T min c x s.t. Ax b, x 0 において，A,b,c,の変化に対する，最適解や最適値の振る舞いを調べることを，感度分析という． b→b+Δbの場合を考える． 2014/5/16 8 T min c x s.t. Ax b b b, x 0 1 0 のときの最適解 xB 最適性の条件 c T N T B 1 B b 0 c B N 0 変化しない b を動かしたとき xB 2014/5/16 1 B b b 0 ならば最適解 9 最適値は T B z 1 c B b T B c B 1 w T z T B c B 1 b は双対問題の最適解 wi は bi を1単位変化させたときの最適値の変化量を表している資源iの潜在価格 2014/5/16 10 例題２種類の原料A，Bを加工して２種類の製品Ⅰ，Ⅱを作る．製品をそれぞれ１単位作るのに，製品Ⅰ：A 1単位，B 1単位製品Ⅱ：A 1単位，B 5単位必要である． A，Bの在庫はそれぞれ１００単位，400単位である．製品Ⅰ，Ⅱの純益がそれぞれ４，７であるとき，純益を最大とするようなⅠ，Ⅱの生産量を求めよ． 2014/5/16 11 LPに定式化（製品Ⅰ: x1 , 製品Ⅱ: x2） max 4 x1 7 x2 min 4 x1 7 x2 s.t. x1 s.t. x1 x2 100 x1 5 x2 x1 0, x2 400 0 x2 x3 100 x1 5 x2 x4 x1 , x2 , x3 , x4 0 400 標準形（主問題（P）） 2014/5/16 12 シンプレックス法で解く x3 4 1 7 0 0 0 1 1 0 100 x4 1 5 0 3 x1 1 1 x4 0 4 0 1 400 4 0 400 0 0 13 4 1 0 100 x1 1 0 54 1 1 300 x2 0 1 14 最適解 : x1 2014/5/16 25, x2 34 625 14 25 14 75 75 最大値 : 625 13 原料B : 400 400 と変化最適基底が変化しない範囲 b 1 1 1 5 より 300 100 1 B b 2014/5/16 1 100 400 0 14 がこの範囲にあるとき最適値は T B 1 c B b b 4 7 T 1 1 1 5 1 100 400 3 625 4 最適タブロー x1 x2 2014/5/16 0 0 13 4 34 625 1 0 0 1 14 14 25 75 54 14 15 線形計画法のまとめシンプレックス法二段階法双対定理と相補性定理感度分析 2014/5/16 16 補足シンプレックス法は有限回で収束実用的に早いただし理論的には指数オーダーの計算量多項式時間のアルゴリズム楕円体法(ハチヤン，１９７９）：遅い内点法：実用的で早い →後日説明 2014/5/16 17 ソフトウェア商用 Gurobi（昔はCPLEX） Matlabのlpsolve(最適化ツールボックス) Excel の最適化ソルバー（200変数くらいまで，以外と使える） GLPK lp_solve ほか多数 2014/5/16 フリー 18 演習課題次の例題について max 4 x1 7 x2 s.t. x1 x2 100 x1 5 x2 x1 1. 2. 0, x2 400 0 双対問題を作れ双対問題を解いて，双対定理と相補性定理を確かめよ（締切：5月22日（木）16時，Ⅳ系事務室） 2014/5/16 19