TD 2014

Sol!ivditra
L.itn4nwulaye Cellule de Sciencu Phyçitp~es TE.RMINAI..E$ S
~Ol) V E:Mt:NT DJUI'i;E PARTJCU LE CHA~(;~_E f)A!~S UN
All!lé•~
scalaire_ 13/2014
~AG.NE'"fiQUF{
CHJ\MP
UNflORM_F;
- ~t<;ig;l :Déflexion magnétique
t)imuf.e~: D = 40cm-; 1=1 cm; d = 10cm; m = 9,1.10· 31kg; .E =
5.104- V.m-1.
Dans tout J'exercice, o.n négligera le poids de l'électron devant Ies
autres forces qui agissent surluL
l)Des éleçtrons de massem et de charge q sont émis sans vitesse
lmtia:lepar la cathode-(C). Ils s-Ubissent surlalongueur d, l'action
du champ elec-trique,uniforme.
-1..!1- -QueUe est la nature du mouvement de l'électron entre la
cathode (C) et J'anode (A)
domaine(!)
(E)
--+
!lvo l! d'un électron au point 01?
2) Arrivks en 0 : , les étecttonsslibtssent suflad~stanœ l ,l'action
d 'unthalùp magnétiqu e uniforme perpendiculatre au plan dela
figure {If! 'domaine où règne ce champ est hachuré). Queldoitètre le sem; du vecteur pour que les électrons décrivent l'arc
decerele.·Justifier fa répons-e.
Établir l'expression du ray~n R z: 0'01 = O'N de tet arc de cercle.
A.N. <:akuler E pour B = 2.10·3 T.
~· 'QueHe est la r.atute du mouvement de l'électron dans le domaine m où n 'existe aucun champ?
3.b- Le domaine HI est limtté par un écran (E) sur leque!arriventles électrons. Exprimer e n fonction de rn, e, B, o,I et Vola
déflexion tnagnétique Ü 3l =Y subie par un él-ectron à la traversée du-système H +IH.
La droite IN coupe l'axe OtOz au pol nt M : V-écran Rest à la distance D de œ point M.
Dn fera les hypo thèses simplificatrices suivante!'\ :
-dans le domaine !Ide l'espace, on peut confondre ta longueur de-l'arc avec ta longueur OrOz= I où règne le champ.
- On supposera •:]lie la dévi.ati.on angulaire est faible.
Lb- Que vaut la 'iitesse
--+
J.J;- Sachant que Y= 3,35 cm, retrouver la vale ur j 1Vo Il dela vitesse de J'électron au point 01.
Exerdçe2:
At
Des ions
z-X·
et
Az
z X·
ions d'atomes isotopes, créés dans une chambre
d'ionisation a Vt:L tine vitesse négligeal'>le,.sont accélérés pm· une ddp Uo.1l:>$Ont
.e nsuite -et_w oyés dans une chambre de déviation où règne un champ
magrtétfq\le uniforn-Je. L'impact des deux types d'ions sur une plaque
photographiquE se fait respectivement aux points M1 et Mz.
Montrer que la ï .:::ation entre les distances OM1 et OM peut se m ettre sous la
OM1
flh_
forme : OM 2 =~'JA;_
Exer-oice 3 : SpectrO{Jraphe de_ masse
/fltl/=4;00.10:; V; B= i;OO.l.0-1 T; e= 1,.6Q.JQ-19C
1}' Des ions de masse m et de .charge. q < 0 sont produits dans la chambre
d'ionisation {1] avec une vitesse pratiquement nulle. Ils entrent ea E dans
l'enceinte A, sou<:; vide, où ils sont .accélérés -etressortent>en S.
Les orifices E et S sont p ratiquement ponctuels, et -o n note Ua = VE - Vs la
différence de po tentiel ao::élératrice. La vitesse des ions reste suffisamment
faible poucque les lois de la mécanique classique soient applicables.
Etablir l'expre..,_.,üJ 1 i Jittér:a je de la .rwz•ne du vecteur vitesse d'ün ion à Sa sortie
euS, .eu fimctioJJ ùe _rn, q .e t Ug.
2).AJeur.sortie e 11 S, les ioJ ls -p é.nêtre!lt dài1s ulle deuxième éutdnle sous vide
D, dans laquell e ,·8gne m.1 champ magnétique.uniforme vertical
Quel doit êtrt: lè sens du vecteur champ magnétique pour que tes ions
püissentattefnO:::r.:- :t:s poir, ts O~ ou Oz? ·
Justiti'er Ia répo nse.
En S~ te ·v-ecteur · vi tesse des ïons est perpendjculaire à la dmîtè passant par Jes points Oz, Oi et S.
M-ontrer que la traj octoire d "un km dans l'enceinteD est plane.
Montrerqm~f.a -;.·itcsse de l'ion est constante; que la traje-ctoire est·un cerde de rayon R.
_z.a-
a-
Détemtinerr·expression du rayon R.
- - ---·--- - ----·------·- -·----------
3) Le jet d'ions sortant de la chambre d'ionisation est un mélange d'ions mBr, de masse m1 = 1,3104.:to-;s kg, et d'ions
79
Blôiilllllllla-
mz = 1,3436.10· 2 ~ kg.
, de masse
3.a- Dans quel collecteur sont reçus les ions de masse m1? Justifier la réponse.
3.b- Calculer la distance entre les entrées 01 et Oz des deux collecteurs C1 et Cz chargés de récupérer
les deux types d'ions.
J.h- En une minute, les quantités d'électricité reçues respectivement par les collecteurs C1 et Cz sont
q1 =-6,60.10·11 C et qz =-1,95.10-s C. Déterminer la composition du mélange d'ions. Justifier votre réponse.
~
Exercice 4 : Le cyclotron
MN
Soit un cyclotron à fréquence fixe N. C'est un
accélérateur de particules constitué de deux demicylindres conducteurs creux D1 et Dz appelés «dés »,
séparés par un intervalle étroit. A l'intérieur des deux
dés D1 et Dz, règne un champ magnétique uniforme
(voir figure).
Une tension U est maintenue entre les deux dés. Cette
tension change de signe périodiquement.
Des protons sont lancés à partir d'un point 0 dans la
région D1 avec un vecteur vitesse
1) Exprimer le rayon R, de la trajectoire des protons dans le dé D1, ainsi que la durée du trajet effectué.
2) Déterminer le vecteur vitesse des protons lorsqu'ils sortent de la région D1 en traversant la paroi PQ. Quel doit être alors
le signe de la tension U pour accélérer les protons? Avec quelle vitesse Vz pénètrent-ils dans le dé Dz?
3) Exprimer le rayon Rz de la trajectoire des protons dans le dé Dz, ainsi que la durée du trajet effectué.
4) Quel est le signe de la tension U lorsque les protons quittent le dé Dz er\ traversant la paroi PQ?
Calculer la période T et la fréquence N de la tension U, en négligeant la durée de transfert dans l'intervalle entre les deux
dés.
5) Soit RQle rayon des dés. Donner les expressions de la vitesse et de l'énergie cinétique maximales acquises par les protons
ExerciceS:
On considère le dispositif expérimental schématisé ci-contre,
comportant 4 zones notées
1,2, 3,4.
zone 1 :chambre d'accélération entre P1 et Pz. zone 2 :
sélecteur de vitesse entre Pz et P3.
zone 3 : chambre de déviation de largeur 1. zone 4 :région
où il ne règne ni un champ électrique, ni un champ
magnétique. F est un écran placé à une distance D de la
plaque P3, perpendiculairement à l'axe horizontal x'x. C est
une chambre d'ionisation qui émet des ions sodium Na+ de
masse m et de charge q. P1, Pz, P3 sont des plaques
métalliques verticales percées de trous T1, Tz, T3 alignés sur
l'axe
horizontal x'x. A1 et Az sont des plaques métalliques
horizontales séparées par une distance d; elles n'ont aucun
contact électrique avec P2 et P3.
Le dispositif est placé dans le vide. On néglige le poids des ions devant les autres forces.
1) Les ions Na+ sortent du trou T1, avec une vitesse supposée nulle. Accélc!rés par une différence de
f
-->
potentiel U = VP1 - VPz entre les plaques Pt et Pz, ils franchissent le trou T:~ avec une vitesse VO .
Par application du théorème de l'énergie cinétique, montrer que le rapport.!!.. (charge massique) pour un ion Na+ est donné
m
par l'expression: _q_ = vJ
m
2U
->
2) Dans la zone 2, règnent simultanément un champ électrique uniforme de vecteur E vertical et un champ magnétique
-->
unifonne dont le vecteur B est perpendiculaire au plan de la figure.
-->
a) Sur votre feuille de copie, faire un schéma où sera représentée la force électrique Fe qui s'exerce sur un ion se
trouvant dans la zone
z.
-->
b) Sur le même schéma, représenter, justification à l'appui, la force magnétique Fm qui doit s'appliquer sur le même ion
p c·--·· ~~----·~~ :-: - -~- -- _ --~~-~ _ ~~- ~~; -: 2t airc rectHigne jusqu'au trou T3.
--'>
. ·-·~ ·- ·.·- · " .i.:-·- ·
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~
· --··
. , _,
, ,.
~
-·. .. '"...
_, _____ :: __ .. : :_ ·"·- -··
-->
.~,:
B
d) Exprimer le rapport !L en fonction de U, E et B. Faire l'application numérique. Uo3,9kV;EoÜ03Vm·';Bo5.11>' . . .
TrL
T.
_,.
3) Après le trou T3, les ions arrivent dans la zone 3 où règne le champ magnétique uniforme de vecteur B' représenté sur
la figure. A la sortie de la zone 3, le vecteur vitesse d'un ion Na+ fait un angle 8 faible avec l'axe (x'x).
a) Représenter, justification à l'appui, la trajectoire d'un ion de T3 à l'écran.
b) Le point M est le point d'impact des ions Na+ sur l'écran, I est le point d'intersection de l'axe
(x'x) avec l'écran .Etablir l'expression de la déflexion magnétique Y= lM en fonction de q, rn, Vo, B', let D puis en
fonction de q, m, U, B', let D. Peut-on en déduire une détermination expérimentale de !l..? Expliquer
m
Exercice6:
A l'intérieur d'une chambre d'ionisation, on produit des ions potassium K+ . Parmi ces ions existent deux isotopes :
9K+
1
et 1~ K+ de masse respectives m1 et m2.
1/ Ces ions pénètrent dans l'accélérateur par le trouS avec une vitesse pratiquement nulle (figure (S). Ils sont accélérés
sous l'action d'une différence de potentiel positive U = Vr :.. V1•, établie entre les plaques Pet P'. Ils parviennent au trou S'
qui les conduit vers le filtre de vitesse.
~
On désigne par V 1 le vecteur vitesse en S' de l'ion
9K+ et par ~V 2 celui de l'ion 19b K+. On désigne par v1 et vz les
1
valeurs de ces vitesses.
1) Montrer que les énergies cinétiques des deux isotopes sont égales.
et le rapport des vitesses v2 en fonction des nombres de masse a et b (on
ml
VI
assimilera la masse de l'ion à la somme des masses des nucléons composant son noyau).
3) Application numérique :pour cette question et pour toute la suite du problème, on prendra a =39 et b = 40.
2) Déterminer le rapport des masses
mz
Calculer m 2 et v 2 . Déterminer la valeur de U permettant d'obtenir v1 =10 5 m.s-1• Quelle est alors ta valeur de v2 ?
m1
V}
II l Les deux isotopes pénètrent à l'intéri.eur du filtre de vitesse avec des vitesses horizontales ayant les valeurs v1 et
précisées dans la question l.
~
vz
~
Le faisceau d'ions K+ est soumis à l'action simultanée de deux champs: un champ électrique E pe:rpendiculaire à V 1 et
~
~
~
~
V 2 et dans le plan de la figure ; un champ magnétique uniforme de vecteur B perpendiculaire à la fois à V 1 , V 2 et ..
~
~
~
E . E et B sont tels que la force électrique et la force magnétique sont de même direction_ mais de sens contraires. On
~
~
désignera par E et B les intensités de E et B .
1} On règle E à la valeur E1, telle que le mouvement des ions
9
K+ soit, dans le filtre de vitesse, un m ouvement rectiligne
1
uniforme de trajectoire horizontale S'O (0 étant le trou de communication avec le déviateur magnétique). Quelle relation
existe-t-il entre B, Et et Vt? Montrer que seuls les ions
9
K+ parviennent au point O.
1
2) E1 étant égal à 4000 V.m-1, quelle est la valeur de B ?
Cette valeur de B sera maintenu constante dans toute la suite du problème.
3) On donne à E une autre valeur Ez permettant de sélectionner au point 0 l'isotope
Déterminer le rapport E 2 en fonction de a et b, puis calculer numériquement Ez.
EJ
~ K+
1
Ill/ Les ions sélectio:és au point 0 pénètrent dans le déviateur magnétique où règne uni~ement un champ magnétique~
uniforme de vecteur B' perpendiculaire au vecteur vitesse des ions, parallèle au vecteur B , de même sens que ce
vecteur et d'intensité B'.
1) Etudier, dans le déviateur, la trajectoire et
la vitesse des ions sélectionnés en O.
2) On règle à la valeur Et permettant de
~..
1
~
sélectionner l'isotope ~K+ au point 0, avec la
lU-Iii'
vitesse horizontale de valeur V1. Ces ions
parviennent au trou P1 tel que OP = 2,000m.
Calculer numériquement B'. Cette valeur sera
maintenue dans la question suivante.
3) On règle E à la valeur Ez permettant de
m.aleiJ!ti
sélectionner l'isotope ~ K+ au point 0, avec la
1
vitesse horizontale de valeur vz. Ces ions
parviennent au point Pz.
Déterminer le rapport OP2 en fonction de a et b,
OPJ.
puis calculer numériquement la distance Pt Pz.
NB : Dans tout le problème, le poids des ions sera
considéré comme négligeable devant les
interactions électromagnétiques qu'i1s subissent et les lois de la mécanique classique seront applicables.
On utilisera les données suiVântes: !!_ = 0,96. to 8 C.kg -l et rn= 1,040.10- 8 kg.c-1.
m
e
Exercice 7: Filtre de vitesse
3
4
6
Données: ZJfeZ+: m1 = 5,0.10-2 7 kg; zHeZ+: m1 =6,7.1(}-27 kg; :zHeZ+ : m3
1) Une cl!_ambre d'ionisation produit des
p
noyaux~'héliwn ~He 2 +,~He 2 +, ~
He2 +de
masses respective m1, mz, m3. Leur poids est négligeable devant les
forces électromagnétiques qu'ils subissent. Ils pénètrent en S sans vitesse
initiale dans un accélérateur linéaire où ils sont somriis à l'action d'un
champ électrique uniforme créé par une différence de potentiel Uo =VMVN.
-.)
-~
3
·~
On désignera par V1, Vz, VJ
4
6
les vecteurs vitesse en 0 des ions 2 HeZ+, 2 He2 +, He 2 +. On notera ela charge électrique
2
élémentaire.
l.a- Déterminer le signe de Uo et représenter le champ électrique dans l'accélérateur.
4
l.b- Exprimer l'accélération d'un ion 2 He2• en fonction de Uo, do, e et mz; préciser la nature de son mouvement.
2) Montrer qu'en 0, à la sortie de l'accélérateur, mtv~ =mzv~::::m3v;.
3) Les ions pénètrent ensuite dans un sélecteur de vitesse limité par les plaques P et Q. Ils sont alor5: soumis à l'action
simultanée de deux champs : un champ électrique uniforme, créé par une différence de potentiel positive
~
_,.
~
U = VQ- VP, et un champ magnétique uniforme perpendiculaire à V1, Vz, V3.
1&.- Représenter le champ magnétique pour que la force électrique et la force magnétique aient mème direction, mais des
sens contraires.
4
J.b.- On règle la valeur de U de façon que le mouvement des ions He2 +soit rectiligne uniforme de trajectoire 00'. Exprimer ·
2
U en fonction de B, vz et d.
4) Comment seront déviés les ions
~HeZ+, ~Hez.. , ~HeZ+?
On se contentera de donner l'allure des trajectoires sans préciser leur nature et sans faire de calcul.
EXERCICE 8
SANTE MILITAIRE 2013
Données:
Charge élémentaire: e= 1,6.10-19 C ; Masse molaire du soufre: M (S) = 32 g.mol-1.
Constante d'Avogadro: N = 6,023.10 23 mol-1
«Aujourd'hui très focalisée sur les cancers, la médecine nucléaire est appelée à élargir son champ d'application, notamme~t
en cardiologie. A cette fin, il est nécessaire de disposer de radio-isotopes variés, en quantités suffisantes et aux caractéristiqu
adaptées, telles qu'une demi-vie ni très inférieure ni très supérieure à quelques heures. De nouveaux isotopes particulièrement
intéressants seront disponibles grâce au cyclotron Arronax comme des isotopes du cuivre. »Extrait de "Tête chercheuses"
actualité et culture des sciences en Pays de Loire. Printemps 2008.
Généralement on trouve le cuivre dans les sulfures tels que la chalcopyrite (CuFeSz), la covelline (CuS), la c~alcosine (CuzS)
ou la cuprite (CuzO). Le cuivre naturel est essentiellement constitué des isotopes 6SCu et xcu. Pour déterminer la composition
massique de ces deux isotopes dans le cuivre naturel, on soumet à une analyse spectrométrique un échantillon de cove1liné.
La covelline est placée dans la chambre d'ionisation (compartiment (I) de la figure 3) où ces moléctùes sont transformées
en ions x CuS 2+ et 65CuS 2+ de masses respectives m1 et m2.
l l Les ions sont accélérés entres les deux plaques Pt et Pz (compartiment (II) de la figure 3) par une tensionj UP1P2l
=U=4000V.
3-1-1
Quelle est le signe de la tension UPiïlPfil?
.l:1:l
Déterminer l'expression littérale de la vitesse Vt de l'ion xCuS 2+ etVz de l'ion
65
CuS 2+ à la sortie O. En déduire
la valeur numérique de x sachant que Vt =1,01.
V2
--->
H Les ions pénètrent ensuite dans le compartiment (Ill) de la figure 3 où règne un champ magnétique B uniforme
perpendiculaire au plan de la figure. La distance F tFz qui sépare les deux points d'impact sur la plaque est de 10 mm.
J.:Z::.1
.H.:Z
Déterminer le sens de B pour que les ions décrivent dans ce compartiment des trajectoires .comme indiqué sur la
figure puis montrer que le mouvement d'un ion est circulaire et uniforme.
Déterminer les valeurs des rayons Rt et Rz décrits respectivement par les ions x CuS 2+ et 65 CuS 2+ • En déduire
la valeur de l'intensité du champ màgnétique uti1isé.
3:3 En réalité la vitesse d'un ion à la sortie de la chambre d'ionisation est faible mais non nulle. Ainsi les ions qui arrivent
en 0, ont une vitesse qui varie entre ~ et V; (1 + e) avec & < <1 (i =1 ou 2). Derrière les fentes F1 et Fz sont placés
deux collecteurs.
l.::l:.l Exprimer en fonction deR; et e la largeur minimale lm de la fente de chaque collecteur recevant un type
d'ion.
.l.:.H Pour e = 1.lo:z, cakuler la'largeur minimale de la fenfe de chaque collecteur. En déduire les distances
3-4
· minimales dmin et maximale dmax entre les points d'entrée dans les collecteurs.
Les collecteurs sont reliés électriquement au sol
.---------,~r-------,r--·--------.
par deux circuits contenants deux ampèremètres
très sensibles At et Az. Lorsqu'un ion tombe sur
un collecteur, des électrons apportés par le
circuit contenant l'ampèremètre, vient les
neutraliser. Le courant qui traverse At est h et
celui qui traverse Az est h. On constate que
h==0,43Jt.
Déterminer
la
composition
centésimale massique des deux isotopes dans le
cuivre naturel (on considérera que le cuivre
naturel est constitué essentiellement de ces deux
isotopes). t:
7
!...-.,.-----~-,
. _QI)__ ._. _P._ .~. _ . _ · - . _ .
(1)
F,~
F,t
(III)
0
-=·-------'
-·
Figure3

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