Exercices

Licence Mathématique, Informatique, Mécanique, Physique
Algèbre linéaire – M22
Exercices
"
Mf =
2
1
1
1
2
#
rf
Ke
f
Im
Exo7
L’essentielle des exercices de ce document proviennent du site web exo7.emath.fr
Ce document est publié sous licences Creative Commons CC-BY-NC-SA.
Janvier 2014
Cité Scientifique - Bâtiment M2, Villeneuve d’Ascq 59655 Cédex
+33(0)3 20 43 42 34 |
mathematiques.univ-lille1.fr
Systèmes linéaires
1
Systèmes linéaires
Exercice 1 Résoudre les systèmes suivants








x + y − z = 0
 3x − y + 2z = a
 x + y + 2z = 5

−x + 2y − 3z = b
x−y− z =1,
x− y
=0,







x
 x + 4y + z = 0
x + 2y + z = c
+ z=3
Exercice 2 Résoudre, suivant les valeurs de m :
(
(
x + (m + 1)y = m + 2
mx + (m − 1)y = m + 2
(S1 )
,
(S2 )
mx + (m + 4)y = 3
(m + 1)x −
my = 5m + 3
Exercice 3
suivant :
Exercice 4
En appliquant l’algorithme de Gauss,



 2x1 + 4x2 − 6x3 −
S :
3x1 + 6x2 − 7x3 +


 5x + 10x − 11x +
1
2
3
résoudre le système linéaire
2x4
= 2
4x4
= 2 .
6x4
= 3
Soit f l’application de R4 dans lui-même définie par
f (x, y, z, t) = (x + y + 2z − t, x + 2y − 2z + 3t, 2x + 3y + 2t, x − 2y + 3z + t).
Trouver des conditions sur b = (b1 , b2 , b3 , b4 ) pour que f (v) = b ait une solution
v = (x, y, z, t).
Déterminants
Exercice 5
1
1
1
Calculer les déterminants suivants.
2 3 3 ,
2 1 3
1
3
2
1 2 ,
1 1
3
3
5
0
0
13 −16 ,
2 −3
−1
0
1
0
0
0 − 12 ,
√
3 2
0
√
3
2
1
2
0
1
0
0
0
1
1 0 0 Pour aller plus loin
Exercice 6
Résoudre le système :


 x3 y 2 z 6

4
5
12
x y z


 x2 y 2 z 5
=
1
=
2
=
3.
lorsque x, y, z sont réels strictement positifs.
Exercice 7
Trouver trois réels α, β, γ tels que pour tout polynôme de degré ≤ 3
on ait :
Z
4
P (x) dx = αP (2) + βP (3) + γP (4).
2
Exercice 8
P2
B
On fixe A, B, C trois points du plan complexe,
P3
donnés par leurs affixes zA , zB , zC . Soit P1 , P2 ,
P3 d’affixes z1 , z2 , z3 : traduire sous forme d’un
système (d’inconnues z1 , z2 , z3 ) les conditions



 A = milieu de [P1 P2 ]
B = milieu de [P2 P3 ]


 C = milieu de [P P ]
1 3
A
C
P1
En déduire qu’on peut construire un unique triangle P1 P2 P3 vérifiant ces
conditions.
Exercice 9
Étudier l’existence de solutions du système :



 ax + by + z = 1
x


 x
+ aby
+
z
=
b
+
+
az
=
1.
by
2
Matrices
Produit de matrices
Exercice 10
Lorsque c’est possible effectuer le produit de deux matrices
parmi :

2
1
3
2
!
1
−1
1
1
!
1
2
0
3
1
4
b
c

 c

1
b

a 

1
Exercice 11 On considère les trois matrices suivantes :




7
2
2 −3
1
0



 −5

2 



 et C =
A= 5
B=
4
1
3 
1 
 3

6 −2 −1
7
6
0
a) Calculer AB puis (AB)C. Calculer BC puis A(BC).
b) Que remarque-t-on ?

a
!
1
−1
2
6
3
5
7
!
Exercice 12
On considère les deux matrices suivantes :


3 −1 −3
7
2
3 −4
1





 5
4
0
2
1
2
1
0 
,
B=
A=


 3
3
0 −5
1 −6
7 
 2

1
6
6
1
2
4
0
1







a) Calculer AB.
b) Calculer BA.
c) Que remarque-t-on ?

2
3
4
5
Calculer M , M , M et M ,

0
a
b
c

 0
où M = 
 0

0
0
d
0
0
0
0

e 
.
f 

0
Exercice 13
Inverse de matrice
Exercice 14
Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices :

a
c
!
1
2
1


0
1
1
1



  1 0 1 1


,
1
2 −1 , 

 1 1 0 1
−2 −2 −1
1 1 1 0


1 2 3
n



0
1
1


 0





3

, 
.
 



2
0
0 1


0
0 1
b

, 

d
Exercice 15
Résoudre les systèmes linéaires de l’exercice 1 par inversion de matrices.
Exercice 16
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système
suivant, en fonction de α, a, b et c :



 x − y − αz = a
x + 2y + z = b


 x+ y − z =c

−1
1
1


2
1 
. Calculer A et montrer que
1
1 −1
2
A = 2I − A. En déduire que A est inversible et calculer A−1 .
Exercice 17

Soit A = 

1
−1
Pour aller plus loin
Exercice 18
Que peut-on dire d’une matrice A ∈ M3 (R) qui vérifie tr(AAT ) = 0 ?
Exercice 19 [ Effet des arrondis ]



1 21 13
1



1
1
1


Soient A = 
 2 3 4  et B = 0.5
1
1
1
0.33
3
4
5
Exercice 20

0.5
0.33
0.33

−1
−1
0.25
. Calculer A et B .
0.25
0.20


1
0
0

a) Trouver les matrices qui commutent avec A = 
 0
!
a b
3
b) De même avec A =
.
0 a
1

1 
.
2
1
Espaces vectoriels et
applications linéaires
3
Espaces vectoriels
Exercice 21
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des R-espaces vecto-
riels :
a) E0 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − 3z = 0};
b) E1 = f : [0, 1] → R : l’ensemble des fonctions à valeurs réelles définies
sur l’intervalle [0, 1], muni de l’addition f + g des fonctions et de la
multiplication par un nombre réel λ · f .
c) E2 = (un ) : N → R : l’ensemble des suites réelles muni de l’addition
des suites définie par (un ) + (vn ) = (un + vn ) et de la multiplication par
un nombre réel λ · (un ) = (λ × un ).
d) E3 = P ∈ R[X] | deg P ≤ n : l’ensemble des polynômes à coefficients
réels de degré inférieur ou égal à n muni de l’addition P +Q des polynômes
et de la multiplication par un nombre réel λ · P .
Exercice 22
Déterminer si R2 , muni des lois internes et externes suivantes,
est ou n’est pas un R-espace vectoriel :
a) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (a, λb), λ ∈ R.
b) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); λ(a, b) = (λ2 a, λ2 b), λ ∈ R.
c) (a, b) + (c, d) = (c, d); λ(a, b) = (λa, λb), λ ∈ R.
Pour aller plus loin
Exercice 23
Soit R∗+ muni de la loi interne ⊕ définie par a⊕b = ab, ∀a, b ∈ R∗+
et de la loi externe ⊗ telle que λ ⊗ a = aλ , ∀a ∈ R∗+ , ∀λ ∈ R. Montrer que
E = (R∗+ , ⊕, ⊗) est un R-espace vectoriel.
Sous-espaces vectoriels
Exercice 24
Déterminer lesquels des ensembles sont des sous-espaces vecto-
riels :
a) {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y = 0} ;
h) {(x, y, z, t) ∈ R4 | y = 0, x = z};
b) {(x, y, z) ∈ R3 | xy = 0} ;
i) {(x, y, z) ∈ R3 | x = 2} ;
c) {(x, y, z) ∈ R3 | x2 − z 2 = 0} ;
d) {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − 2z =
x + y + 2z = 0} ;
e) {(a + b, a − 2b) | a, b ∈ R} ;
j) {(x, y) ∈ R2 | x2 + xy ≥ 0};
k) {(x, y) ∈ R2 | x2 + xy + y 2 ≥ 0} ;
l) {f ∈ C(R, R) | f (1) = 0};
f) {(x, y, z) ∈ R3 | ex ey = 0} ;
m) {f ∈ C(R, R) | f ( 12 ) = 1} ;
g) {(x, y, z) ∈ R3 | z(x2 + y 2 ) = 0} ;
n) {f ∈ C(R, R) | f est croissante}.
Exercice 25
On munit Rn des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles
suivants de Rn , lesquels sont des sous-espaces vectoriels ?
a) {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 = 0}
n
b) {(x1 , ..., xn ) ∈ R | x1 = 1}
c) {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 = x2 }
d) {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn |
n
P
xi = 0}
i=1
e) {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn | x1 .x2 = 0}
Pour aller plus loin
Exercice 26
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
a) L’ensemble des fonctions réelles sur [0, 1], continues, positives ou nulles,
pour l’addition et le produit par un réel.
b) L’ensemble des fonctions réelles sur R vérifiant limx→+∞ f (x) = 0.
c) L’ensemble des fonctions impaires sur R.
d) L’ensemble des fonctions sur R qui sont nulle en 1 ou nulle en 4.
e) L’ensemble des nombres complexes d’argument π/4 + kπ, (k ∈ Z).
f) L’ensemble des points (x, y) de R2 , vérifiant sin(x + y) = 0.
g) L’ensemble des vecteurs (x, y, z) de R3 orthogonaux au vecteur (−1, 3, −2).
h) L’ensemble des polynômes ne comportant pas de terme de degré 7.
L’ensemble des polynômes de degré exactement n.
Exercice 27
VRAI ou FAUX ?
a) L’ensemble {0} est un espace vectoriel réel.
b) L’ensemble {0, 1} est un espace vectoriel réel.
c) Tout sous-espace vectoriel autre que {0} possède un sous-espace strict.
d) L’intersection de deux sous-espaces vectoriels (d’un même espace plus
grand) est un espace vectoriel.
e) La réunion de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
f) La somme de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.
g) Le produit cartésien E × F de deux espaces vectoriels est un espace
vectoriel.
Applications linéaires
Exercice 28
Déterminer si les applications fi suivantes sont linéaires :
f 1 : R2 → R2 ,
3
f1 (x, y) = (2x + y, x − y)
3
f2 : R → R ,
f2 (x, y, z) = (xy, x, y)
f 3 : R3 → R3 ,
f3 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y)
f 4 : R2 → R4 ,
f4 (x, y) = (y, 0, x − 7y, x + y)
f5 : R3 [X] → R , f5 (P ) = P (−1), P (0), P (1)
3
Pour aller plus loin
Exercice 29
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
−−→ →
−
i) R3 → R : M 7→ OM · V ,
→
−
où V = (4, −1, 1/2)
a) R → R : x 7→ 4x − 3
√
b) R → R : x 7→ x2
c)
C([0, 1], R) → C([0, 1], R) :
f
7→
{t 7→
f (t)
1+t2 }
d) C([0, 1], R) → R : f 7→ f (3/4)
p
e) R2 → R : (x, y) 7→ 3x2 + 5y 2
f) R2 → R : (x, y) 7→ xy
2
g) R
(
→
y
x+y
0
R
:
(x, y)
si x + y 6= 0
sinon
3
√
h) R → R : x 7→ (2x, x/π, x 2)
j) R2 → R2 : (x, y) 7→ la solution du système d’équations en
(u, v) :
(
3u − v
= x
6u + 2v
= y.
7→
k) R[X] → Rn [X] : A 7→ quotient
de A par B, où B est polynôme
fixe de degrée n + 1
Image et noyau
Exercice 30
Soit E un espace vectoriel de dimension 3, {e1 , e2 , e3 } une base
de E, et t un paramètre réel. Démontrer que la donnée de
{φ(e1 ) = e1 + e2 , φ(e2 ) = e1 − e2 , φ(e3 ) = e1 + te3 }
définit une application linéaire φ de E dans E. Écrire le transformé du vecteur
x = α1 e1 +α2 e2 +α3 e3 . Comment choisir t pour que φ soit injective ? surjective ?
Exercice 31
Soit f la fonction de R4 dans R4 définie par :
f (x, y, z, t) = (x + y + z + t, x + y + z + t, x + y + z + t, 2x + 2y + 2z + 2t) .
a) Montrer que f est linéaire.
b) Vérifier que les vecteurs ~a = (1, −1, 0, 0), ~b = (0, 1, −1, 0) et ~c = (0, 0, 1, −1)
appartiennent à Ker f .
c) Vérifier que le vecteur d~ = (5, 5, 5, 10) appartient à Imf .
Exercice 32
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer Ker fi et
Im fi . En déduire si fi est injective, surjective, bijective.
f 1 : R2 → R2 ,
3
f1 (x, y) = (2x + y, x − y)
3
f2 : R → R ,
f2 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y)
f 3 : R2 → R4 ,
f3 (x, y) = (y, 0, x − 7y, x + y)
f4 : R3 [X] → R , f4 (P ) = P (−1), P (0), P (1)
3
Exercice 33
Donner des exemples d’applications linéaires de R2 dans R2
vérifiant :
a) Ker(f ) = Im(f ).
b) Ker(f ) inclus strictement dans Im(f ).
c) Im(f ) inclus strictement dans Ker(f ).
Exercice 34
Soient f : E → F et g : F → G deux applications linéaires.
Montrer que Ker(f ) ⊂ Ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Im(f ).
Exercice 35
Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f ◦ g = g ◦ f .
Montrer que Ker f et Im f sont stables par g.
Pour aller plus loin
Exercice 36
Soit f ∈ L(E) telle que f 3 = f 2 + f .
Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Im(f ) (on remarquera que f ◦ (f 2 − f − Id) = 0).
Exercice 37
∀x ∈ E
Soit f ∈ L(E) où E est un K−espace vectoriel. On suppose que
∃λ ∈ K
f (x) = λx. Montrer que ∃µ ∈ K
f = µ Id.
Dimension finie
4
Familles libres
Exercice 38
Les familles suivantes sont-elles libres ?
a) v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 2, 2), v3 = (3, 7, 1) dans R3 .
b) v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1) dans R3 .
c) v1 = (2, 4, 3, −1, −2, 1), v2 = (1, 1, 2, 1, 3, 1), v3 = (0, −1, 0, 3, 6, 2)
dans R6 .
d) v1 = (2, 1, 3, −1, 4, −1), v2 = (−1, 1, −2, 2, −3, 3), v3 = (1, 5, 0, 4, −1, 7)
dans R6 .
Exercice 39
On considère dans Rn une famille libre de 4 vecteurs :
(e1 , e2 , e3 , e4 ). Les familles suivantes sont-elles libres ?
a) (e1 , e3 )
c) (3e1 + e3 , e3 , e2 + e3 )
b) (e1 , 2e1 + e4 , e4 )
d) (2e1 + e2 , e1 − 3e2 , e4 , e2 − e1 )
Exercice 40
On suppose que v1 , v2 , v3 , . . . , vn sont des vecteurs indépendants
n
de R .
a) Les vecteurs v1 − v2 , v2 − v3 , v3 − v4 , . . . , vn − v1 sont-ils linéairement
indépendants ?
b) Les vecteurs v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , . . . , vn + v1 sont-ils linéairement
indépendants ?
c) Les vecteurs v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 , . . . , v1 + v2 + · · · + vn
sont-ils linéairement indépendants ?
Famille génératrice
Exercice 41
Les familles suivantes sont-elles génératrices ?
a) (1, 1), (3, 1) dans R2 .
b) (1, 0, 2), (1, 2, 1) dans R3 .
Exercice 42
Soient les vecteurs v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (1, −2, 3, −4) de R4 .
Peut-on déterminer x et y pour que (x, 1, y, 1) ∈ Vect{v1 , v2 } ? pour que
(x, 1, 1, y) ∈ Vect{v1 , v2 } ?
Exercice 43
Prouver que dans R3 , les vecteurs u1 = (2, 3, −1) et u2 =
(1, −1, −2) engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs v1 =
(3, 7, 0) et v2 = (5, 0, −7).
Base
Exercice 44
a) Montrer que les vecteurs v1 = (0, 1, 1), v2 = (1, 0, 1) et v3 = (1, 1, 0)
forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur w = (1, 1, 1)
dans cette base (v1 , v2 , v3 ).
b) Montrer que les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 1, 0) et v3 = (1, 0, −1)
forment une base de R3 . Trouver les composantes du vecteur e1 = (1, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) et w = (1, 2, −3) dans cette base (v1 , v2 , v3 ).
c) Dans R3 , donner un exemple de famille libre qui n’est pas génératrice.
d) Dans R3 , donner un exemple de famille génératrice qui n’est pas libre.
Exercice 45
Dans R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon
décrire le sous-espace qu’ils engendrent.
a) v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1).
b) v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13).
c) v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11).
Exercice 46
Montrer que dans R3 , les trois vecteurs ~a = (1, 0, 1), ~b =
(−1, −1, 2) et ~c = (−2, 1, −2) forment une base, et calculer les coordonnées dans
cette base d’un vecteur ~x = (x, y, z).
Exercice 47
Soient v~1 (1, 2, 3, 4), v~2 (2, 2, 2, 6), v~3 (0, 2, 4, 4), v~4 (1, 0, −1, 2),
v~5 (2, 3, 0, 1) des vecteurs dans R4 . Soient F = Vect{v~1 , v~2 , v~3 } et G =
Vect{v~4 , v~5 }. Déterminer une base des sous-espaces F ∩ G, F, G et F + G.
Exercice 48
Déterminer une base de P = (x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0 .
Exercice 49
Déterminer une base de
D = (x, y, z) ∈ R3 | x + y = 0, x − y + z = 0 .
Pour aller plus loin
Exercice 50
On considère dans R3 , P = Vect {(1, 1, 1), (1, 1, −1)} et D =
Vect {(0, 1, −1)}. Montrer que R3 = P ⊕ D.
Exercice 51
Dans l’espace R5 [X] des polynômes de degré ≤ 5, on définit les
sous-ensembles :
E1
=
{P ∈ R5 [X] | P (0) = 0}
E2
=
{P ∈ R5 [X] | P 0 (1) = 0}
E3
=
{P ∈ R5 [X] | x2 + 1 divise P }
E4
= {P ∈ R5 [X] | x 7→ P (x) est une fonction paire}
E5
= {P ∈ R5 [X] | ∀x, P (x) = xP 0 (x)}
a) Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1 , E2 , E3 , E4 , E5 ,
E1 ∩ E2 , E1 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 , E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4 .
b) Déterminer dans R5 [X] des sous-espaces supplémentaires de E4 et de
E1 ∩ E3 .
Dimension
Exercice 52
a) Décrire les sous-espaces vectoriels de R ; puis de R2 et R3 .
b) Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l’union n’est pas
un sous-espace vectoriel.
Exercice 53
Par des considérations géométriques répondez aux questions
suivantes :
a) Deux droites vectorielles de R3 sont-elles supplémentaires ?
b) Deux plans vectoriels de R3 sont-ils supplémentaires ?
c) A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 sont-ils
supplémentaires ?
Exercice 54
Compléter la famille {(1, −3, 2, 0), (0, 1, −2, 1)} en une base de R4 .
Exercice 55
On considère, dans R4 , les vecteurs : v1 = (1, 2, 3, 4),
v2 = (1, 1, 1, 3), v3 = (2, 1, 1, 1), v4 = (−1, 0, −1, 2), v5 = (2, 3, 0, 1).
Soit F l’espace vectoriel engendré par {v1 , v2 , v3 } et soit G celui engendré
par {v4 , v5 }. Calculer les dimensions respectives de F , G, F ∩ G, F + G.
Exercice 56
Soient v1 = (0, 1, −2, 1), v2 = (1, 0, 2, −1), v3 = (3, 2, 2, −1),
v4 = (0, 0, 1, 0) et v5 = (0, 0, 0, 1) des vecteurs de R4 . Les propositions suivantes
sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre réponse.
a) Vect{v1 , v2 , v3 } = Vect{(1, 1, 0, 0), (−1, 1, −4, 2)}.
b) (1, 1, 0, 0) ∈ Vect{v1 , v2 } ∩ Vect{v2 , v3 , v4 }.
c) dim(Vect{v1 , v2 } ∩ Vect{v2 , v3 , v4 }) = 1 (c’est-à-dire c’est une droite vectorielle).
d) Vect{v1 , v2 } + Vect{v2 , v3 , v4 } = R4 .
e) Vect{v4 , v5 } est un sous-espace vectoriel supplémentaire de Vect{v1 , v2 , v3 }
dans R4 .
Pour aller plus loin
Exercice 57 Soient E = (x, y, z, t) ∈ R4 | x + y + z + t = 0 et
F = (x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = z + t .
Déterminer dim E, dim F, dim(E + F ), dim(E ∩ F ).
Exercice 58
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) telle que
f 2 6= 0 et f 3 = 0. Soit x0 ∈ E tel que f 2 (x0 ) 6= 0.
a) Montrer que (x0 , f (x0 ), f 2 (x0 )) est une base.
b) Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est
un sous-espace vectoriel de L(E) de base (id, f, f 2 ).
Exercice 59
Soient u = (1, 1, ..., 1) et F = Vect(u) puis G = {(x1 , ..., xn ) ∈
n
R | x1 + ... + xn = 0}. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de Rn et
que Rn = F ⊕ G.
Matrices et
applications linéaires
5
Rang d’une famille de vecteurs
Rang d’une matrice
Exercice 60
Déterminer suivant la valeur de x ∈ R le rang de la famille de
vecteurs e1 = (1, x, −1), e2 = (x, 1, x), e3 = (−1, x, 1).
Exercice 61
Soit E le sous ensemble de M3 (R) défini par


a
0
c
n
o


 a, b, c ∈ R .
E = M (a, b, c) = 
0
b
0


c
0
a
a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R) stable pour la
multiplication des matrices. Calculer dim (E).
b) Soit M (a, b, c) un élément de E. Déterminer, suivant les valeurs des
paramètres a, b et c ∈ R son rang. Calculer (lorsque cela est possible)
l’inverse M (a, b, c)−1 de M (a, b, c).
c) Donner une base de E formée de matrices inversibles et une autre formée
de matrices de rang 1.
Pour aller plus loin
Exercice 62

1

1
Discuter suivant les valeurs de λ ∈ R le rang de la matrice 
2
1
3
1
2
1
3
1
4

1
3
1 .
4
λ
Théorème du rang
Exercice 63
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous-espaces
vectoriels de dimension finie de E, on définit l’application f : E1 × E2 → E par
f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
a) Montrer que f est linéaire.
b) Déterminer le noyau et l’image de f .
c) Que donne le théorème du rang ?
Exercice 64
a) Soit f une application linéaire surjective de R4 dans R2 . Quelle est la
dimension du noyau de f ?
b) Soit g une application injective de R26 dans R100 . Quelle est la dimension
de l’image de g ?
c) Existe-t-il une application linéaire bijective entre R50 et R72 ?
Exercice 65
linéaire
(
f :
R3
Calculer une base de l’image et une base du noyau de l’application
−→
(x, y, z) 7−→
Quel est le rang de f ?
R5
(x + y, x + y + z, 2x + y + z, 2x + 2y + z, y + z)
Pour aller plus loin
Exercice 66
a) Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de R3 dans R2 vérifiant
f ((1, 0, 0)) = (1, 1) puis f ((0, 1, 0)) = (0, 1) et f ((0, 0, 1)) = (−1, 1).
Calculer f ((3, −1, 4)) et f ((x, y, z)) en général.
b) Déterminer Kerf . En fournir une base. Donner un supplémentaire de
Kerf dans R3 et vérifier qu’il est isomorphe à Imf .
Exercice 67
Soit E = R[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients
réels.
(
a) Soit f :
E
→
P
7→ P 0
E
.
(i) L’application f est-elle linéaire, injective, surjective ?
(ii) Fournir un supplémentaire de Kerf .
(
E →
E
b) Les mêmes questions pour g :
.
Rx
P 7→ 0 P (t) dt
Exercice 68
Soit g : R → R une fonction, et des réels a0 < a1 < · · · < an .
Montrer qu’il existe un unique polynôme P (appelé polynôme interpolateur de
Lagrange) de degré inférieur ou égal à n tel que
∀i = 0, . . . , n, P (ai ) = g(ai )
Matrice d’une application linéaire
Exercice 69
Soient trois vecteurs e1 , e2 , e3 formant une base de R3 . On note φ
l’application linéaire définie par φ(e1 ) = e3 , φ(e2 ) = −e1 + e2 + e3 et φ(e3 ) = e3 .
a) Écrire la matrice A de φ dans la base (e1 , e2 , e3 ). Déterminer le noyau de
cette application.
b) On pose f1 = e1 − e3 , f2 = e1 − e2 , f3 = −e1 + e2 + e3 . Calculer e1 , e2 , e3
en fonction de f1 , f2 , f3 . Les vecteurs f1 , f2 , f3 forment-ils une base de R3
?
c) Calculer φ(f1 ), φ(f2 ), φ(f3 ) en fonction de f1 , f2 , f3 . Écrire la matrice B
de φ dans la base (f1 , f2 , f3 ) et trouver la nature de l’application φ.


1
1 −1


d) On pose P = 
1 
 0 −1
. Vérifier que P est inversible et calculer
P
−1
−1
0
1
. Quelle relation lie A, B, P et P −1 ?
Soit h l’homomorphisme de R3 dans R2 défini par !
rapport à
2 −1
1
deux bases (e1 , e2 , e3 ) et (f1 , f2 ) par la matrice A =
.
3
2 −3
Exercice 70
a) On prend dans R3 la nouvelle base :
e01 = e2 + e3 ,
e02 = e3 + e1 ,
e03 = e1 + e2 .
Quelle est la nouvelle matrice A1 de h ?
b) On choisit pour base de R2 les vecteurs :
1
1
f10 = (f1 + f2 ), f20 = (f1 − f2 )
2
2
en conservant la base (e01 , e02 , e03 ) de R3 . Quelle est la nouvelle matrice A2
de h ?

3
−1
1



 dans la base
Soit f ∈ L(R3 ) de matrice 
0
2
0


1 −1
3
canonique. Déterminer la matrice de f dans la base (1, 0, −1), (0, 1, 1), (1, 0, 1).
Exercice 71
Exercice 72
a) Écrire la matrice de la rotation du plan d’angle
Idem dans l’espace avec la rotation d’angle
π
4
π
4
centrée à l’origine.
d’axe (Ox).
b) Écrire la matrice de la réflexion du plan par rapport à la droite (y = −x).
Idem dans l’espace avec la réflexion par rapport au plan d’équation
(y = −x).
c) Soit f la réflexion du plan par rapport à l’axe (Ox) et soit g la rotation d’angle
2π
3
centrée à l’origine. Calculer la matrice de f ◦ g de deux
façons différentes (produit de matrices et image de la base canonique).
Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer l’inverse. Interprétation
géométrique. Même question avec g ◦ f .
d) Soit f la projection orthogonale de l’espace sur le plan (Oxz) et soit g
la rotation d’angle
π
2
d’axe (Oy). Calculer la matrice de f ◦ g de deux
façons différentes (produit de matrices et image de la base canonique).
Cette matrice est-elle inversible ? Si oui, calculer l’inverse. Interprétation
géométrique. Même question avec g ◦ f .
Exercice 73
n
Soit

0



A= 0


1

0
1
0



0  n


0
En utilisant l’application linéaire associée de L(Rn , Rn ), calculer Ap pour p ∈ Z.
Exercices de synthèse
Exercice 74
Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou
égal à n.
a) Justifier que (1, X, . . . , X n ) est une base de E (appelée base canonique).
b) En utilisant la formule du binôme de Newton, décomposer (1 + X)k dans
la base canonique de E, et écrire la matrice M donnant l’expression des
(1 + X)k (k = 0, . . . , n) dans cette base.
c) Quel est le rang de M ? Que peut-on en déduire sur la famille {(1 +
X)k | k = 0, . . . , n} ?
Exercice 75
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et u, v deux
endomorphismes de E.
a) Montrer que u ◦ v = 0 si et seulement si l’image de v est contenue dans le
noyau de u.
b) Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. On suppose dans cette question que u et
v s’expriment dans cette base par
u(e1 ) = e1 ,
u(ei ) = 0 si i 6= 1,
v(e2 ) = e2 ,
v(ei ) = 0 si i 6= 2.
Trouver les matrices de u, v et u ◦ v dans cette base.
c) Si u est un endomorphisme quelconque non nul de E, quelle condition
doit vérifier le noyau de u pour qu’il existe un endomorphisme non nul v
tel que u ◦ v = 0 ? Dans ce cas, u est-il bijectif ?
Exercice 76
Soit E un espace à n dimensions et f un endomorphisme de E.
a) Montrer que la condition f 2 = 0 est équivalente à Imf ⊂ Ker f . Quelle
condition vérifie alors le rang de f ? On suppose dans le reste de l’exercice
que f 2 = 0.
b) Soit E1 un supplémentaire de Ker f dans E et soit {e1 , e2 , . . . , er } une
base de E1 . Montrer que la famille des vecteurs
{e1 , e2 , . . . , er , f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (er )}
est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des
vecteurs de Ker f de façon à obtenir une base de E. Quelle est la matrice
de f dans cette base ?
c) Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on Imf = Ker f ?
3
d) Exemple : Soit f l’endomorphisme
de R
dont la matrice dans la base

1
0
1


2

canonique est M (f ) =  2
0
2 
. Montrer que f = 0. Déter−1
0 −1
miner une nouvelle base dans laquelle la matrice de f a la forme indiquée
dans la question b).
Exercice 77
Soit f ∈ L(R3 ) telle que f 3 = −f et f 6= 0.
a) Montrer que Ker(f ) ∩ Ker(f 2 + I) = {0}, Ker(f ) 6= {0} et Ker(f 2 + I) 6=
{0}.
b) Soit x un élément distinct de 0 de Ker(f 2 + I). Montrer qu’il n’existe pas
α ∈ R tel que f (x) = αx. En déduire que {x, f (x)} est libre.
c) Calculer dim(Ker(f )) et dim(Ker(f 2 + I)).

0

d) Déterminer une base ε de R3 telle que : Mat(f, ε) = 
 0
0
Exercice 78
0
0


0 −1 .

1
0
Soit (e1 , e2 , e3 ) une base de l’espace E à trois dimensions sur un
corps K. IE désigne l’application identique de E. On considère l’application
linéaire f de E dans E telle que :
f (e1 ) = 2e2 + 3e3 ,
f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3 ,
f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .
a) Étudier le sous-espace Ker(f − IE ) : dimension, base.
b) Étudier le sous-espace Ker(f 2 + IE ) : dimension, base.
c) Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de E.
Quelle est la matrice de f dans cette nouvelle base ? et celle de f 2 ?
Pour aller plus loin
Exercice 79
Soient A, B deux matrices semblables (i.e. il existe P inversible
telle que B = P −1 AP ). Montrer que si l’une est inversible, l’autre aussi ; que si
l’une est idempotente, l’autre aussi ; que si l’une est nilpotente, l’autre aussi ;
que si A = λI, alors A = B.
Exercice 80
Soient (xn )n∈N et (yn )n∈N deux suites réelles, vérifiant la relation
de récurrence linéaire suivante :
(
xn+1
=
−9xn
−18yn
yn+1
=
6xn
+12yn
avec x0 = −137 et y0 = 18. On se propose dans ce problème de trouver les
termes généraux de ces deux suites.
a) Montrer qu’il existe une matrice A ∈ M2 (R) telle que la relation de
récurrence linéaire
ci-dessus soit équivalente à la relation Un+1 = AUn ,
!
xn
où Un =
.
yn
b) Trouver une expression de Un en fonction de A et de U0 .
c) Trouver le noyau de A, et en donner une base B1 . Calculer le rang de A.
d) Montrer que l’ensemble des vecteurs X ∈ R2 tels que AX = 3X est un
sous-espace vectoriel de R2 . Quelle est sa dimension ? En donner une
base, qu’on notera B2 .
e) Montrer que la réunion B1 ∪ B2 forme une base B de R2 . Soit P la
matrice formée des composantes des vecteurs de B relativement à la base
canonique de R2 . Montrer que P est inversible, et que le produit P −1 AP
est une matrice diagonale D qu’on calculera.
f) Montrer que An = P Dn P −1 . Calculer Dn , et en déduire An , pour tout
n ∈ N.
g) Donner les termes généraux xn et yn .

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