Bac blanc obligatoire – Spécialité . TS2. Lycée Moissan

Bac blanc obligatoire – Spécialité . TS2. Lycée Moissan. 10 avril 2014.
Exercice 1 : (Communs à tous les candidats). 4 points : 8 x 0.5
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des
questions, une seule des quatre propositions est exacte. Les réponses fausses ne sont pas sanctionnées.
i

i
1. Soit z1  6 e 4 et z2  2e
i
a.
3e
19
12

3
. La forme exponentielle de i
i
b. 12e

12
c.
i
z1
est :
z2
7
3e 12
d.
i
3e
13
12
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O ; u ; v ) . Alors l’ensemble des points M
d’affixe z tels que : z  4i 
3  i est :
a. Le cercle de diamètre AB avec A(0 ; -4) et B( 3 ;  1) .
b. La médiatrice du segment [AB] avec A(0 ; -4) et B( 3 ;  1) .
c. Le cercle de centre A(0 ; -4) et de rayon 2.
d. Le cercle de centre A(0 ; -4) et passant par B( 3 ;  1)
 
  
  i sin    alors :
 12 
 12  
7
13
c. arg( z) 
d . arg( z) 
12
12

3. On considère le nombre complexe z  2i  cos 

a. arg( z ) 

b. arg( z ) 
12

12
i

4. On considère le nombre complexe z  2e 19 alors z 2014 est un nombre :
a. imaginaire pur b. réel positif
c. réel négatif c. On ne peut pas le savoir
5. L’ensemble des solutions, dans
, de l’inéquation  ln( x  1)  ln( x  2)   0 est :
b. ]3;  [
a. ]2; e[]3;  [
c. ]0; e[]3;  [
d. ]2; [
6. On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [-1 ; 2]. Alors la probabilité qu’il soit compris
entre 1 et 
a.
1
est :
2
1
3
b.
1
4
c.
1
5
d.
1
6
7. La VAR X suit la loi uniforme sur [-1 ; 1]. Alors son espérance mathématique est :
a. E ( X )  2
b. E ( X ) 1
c. E ( X )  0

d. E( X ) 
1
2

8. La valeur moyenne de f ( x)  sin(2 x) sur l’intervalle 0 ;  est :
2

a.
1

b.
2

c. 0
d. 
1

1
Exercice 2 : (candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points.
Les Trois parties sont indépendantes.
Partie A :
Pour tout entier naturel n non nul, on définit : un  (3  2 2)n .
1. Montrer que l’on peut écrire les premiers termes de la suite (un ) sous la forme :
u1  a1  b1 2 et u2  a2  b2 2 où les nombres a1 , a2 , b1 et b2 sont des entiers à déterminer.
2. Montrer par récurrence que un  an  bn 2 avec an  3an1  4bn1 et bn  2an1  3bn1
 an 

 bn 
3. Déterminer la matrice A telle que : 
 an 1 
A
 et vérifier les résultats obtenus pour a2 et b2 .
 bn 1 
Partie B : Un algorithme permettant de définir une matrice M
n et p sont des entiers naturels non nuls
saisir(n)
saisir(p)
Pour j de 1 à p faire
Pour i de 1 à n faire
aij = 2i – j
afficher(aij)
FinPour
FinPour
Donner, sans aucune justification, la matrice M obtenue lorsque l’on choisit en en entrée n = 4 et p = 3.
Partie C : Le principe de chiffrement de Hill :
On associe à chaque lettre de l’alphabet un entier de l’ensemble E = 0;1;2;3;........;25 .
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
 2 5
 . On va chiffrer le mot « INDICE »
 1 3
1. On se donne pour clé de chiffrement la matrice A = 
ce qui donne 8 – 13 – 3 – 8 – 2 - 4 . On regroupe ensuite les lettres deux à deux et on forme les
matrices colonnes
8 
 3
 2
U1   , U 2   et U 3   .
13 
8
 4
a. Calculer les matrices V1  AU1 , V2  AU 2 et V3  AU3 .
b. En remplaçant chaque coefficient de ces matrices colonnes V1 , V2 etV3 par son représentant dans E
modulo 26, déterminer le mot codé correspondant à « INDICE »
2. Déterminer la matrice B, inverse de A, pour décoder selon le même principe, le message « YOWPEE »
2
Exercice 4 : (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) : 5 points.
 v0  1

On considère la suite numérique  vn  définie pour tout entier naturel n par 
9 .
 vn1  6  v
n

Partie A
1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la
suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme No 1
Algorithme No 2
Algorithme No 3
Variables : v est un réel, i et n sont des entiers naturels
Début de l’algorithme
Début de l’algorithme
Début de l’algorithme
Saisir(n)
Saisir(n)
Saisir(n)
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
9
Afficher v
Afficher v
v prend la valeur
6v
9
9
v prend la valeur
v prend la valeur
Fin pour
6v
6v
Afficher v
Fin pour
Finpour
Fin algorithme
Fin algorithme
Afficher v
Fin algorithme
2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :
1
1,800
2,143
2,333
2,455
2,538
2,600
2,647
2,684
2,714
Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :
2,967
2,968
2,968
2,968
2,969
2,969
2,969
2,970
2,970
2,970
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite  vn  ?
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0  vn  3 .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn1  vn 
 3  vn 2 . La suite
6  vn
 vn  est-elle monotone ?
c. Démontrer que la suite  vn  est convergente.
Partie B Recherche de la limite de la suite  vn 
On considère la suite  wn  définie pour tout n entier naturel par wn 
1
.
vn  3
1
3
1. Démontrer que  wn  est une suite arithmétique de raison  .
2. En déduire l’expression de  wn  , puis celle de  vn  en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite  vn  .
3
Exercice 3 : . (Communs à tous les candidats). 5 points
Partie A
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle  0 ;    par f  x   x ln  x  .
1. Déterminer les limites de f en 0 et en  .
2. On appelle f  la fonction dérivée de f sur  0 ;    . Montrer que f '  x   ln  x   1 .
3. Déterminer les variations de f sur  0 ;    .
Partie B
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal.
Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C et
les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode dite « des rectangles », une valeur approchée de
l’aire A. (voir la figure ci-après).
Algorithme
Variables : k, n sont des entiers naturels ; U, V
sont des nombres réels.
Initialisation :
U prend la valeur 0, V la valeur 0, n la valeur 4.
Traitement :
Pour k allant de 0 à n – 1 :
Affecter à U la valeur
1 
k
U  f  1 
n 
n
Affecter à V la valeur
1 
k 1 
V  f  1
n 
n 
Fin pour
Affichage :
Afficher U, Afficher V.
1. a. Que représentent U et V sur le graphique précédent ?
b. Quelles sont les valeurs U et V affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur
approchée de U par défaut à 10–4 près et une valeur approchée par excès de V à 10–4 près) ?
c. En déduire un encadrement de A.
2. Soient les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier n non nul par :
1
1 
2
n 1  


Un   f  1   f  1    f  1    ...  f  1 
;
n
n 
n
n  



1 
1 
2
n 1 

Vn   f  1    f  1    ...  f  1 
f 2.

n 
n 
n
n 


On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, Un  A  Vn .
a. Trouver le plus petit entier n tel que Vn  Un  0,1 .
b. Comment modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de A
d’amplitude inférieure à 0,1 ?
Partie C
Soit F la fonction dérivable, définie sur  0 ;    par F x  
1. Montrer que F est une primitive de f sur  0 ;    .
2. Calculer la valeur exacte de A.
x2
x2
.
ln  x  
2
4
4
Exercice 4 : (Communs à tous les candidats) : 6 points.
On considère une requête informatique. Deux serveurs A et B peuvent la traiter. Pour chaque requête, la
probabilité que le serveur A la traite est de 0,3 et la probabilité que le serveur B la traite est de 0,7
 Le serveur A traite la requête en un temps T1 , exprimé en minutes, qui suit une loi exponentielle de
paramètre
1
2

Le serveur B fait le même travail en un temps T2 , exprimé en minutes, qui suit une loi exponentielle de
paramètre 1.
Pour une requête, on notera : A l’événement « le serveur A a été sollicité pour traiter la requête » et
B l’événement « le serveur B a été sollicité pour traiter la requête »
Partie I : ROC
Soit Z une variable aléatoire réelle (VAR) qui suit une loi exponentielle de paramètre   0 .
1. Pour tout x  0 , on pose : F ( x)  P( Z  x) 

x
0
 et dt . Démontrer que pour tout x  0 :
P( Z  x )  1  e   x
2. Démontrer que pour tout réels t  0 et h  0 on a : PZ h (Z  t  h)  1  F (t ) .
(On pourra par la suite de l’exercice utiliser ces résultats sans démonstration)
Partie II : Application.
1. Quel est le serveur le plus rapide en moyenne ? (Justifier par le calcul votre réponse).
2. T est la VAR égale au temps de traitement de la requête (en minutes).
(Dans les questions 2.a, 2.c et 2.d les résultats seront arrondis au centième près)
a. Calculer PA (T  1) .
b. Recopier et compléter le début de l’arbre de probabilités suivant : (on mettra les valeurs exactes)
c. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(T  1) .
d. Sachant que le traitement a été inférieur à 1 minute, calculer la probabilité que le serveur A ait été
choisi.
3. Plusieurs requêtes successives sont effectuées indépendamment les unes des autres.
On admet que pour chaque requête, la probabilité que le temps de traitement soit inférieur à une minute
est p = 0,56. Sur une série de n requêtes. On note X est la variable aléatoire réelle égale au nombre
de requêtes traitées en moins d’une minute.
a. Justifier que la VAR X suit une loi binomiale. Préciser ces paramètres et donner sa variance V ( X ) et
son espérance mathématique E ( X ) .
b.
Démontrer que P( X  1)  0,999 équivaut à : q n  0, 001 où q  1  p
c. Calculer la petite valeur de n vérifiant q n  0,001 .
d. Écrire un algorithme, en langage naturel ou en un langage de votre choix qui permet de retrouver
cette valeur de n.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Le serveur B est momentanément en panne, ainsi seul le serveur A est opérationnel. L’utilisateur attend
au moins depuis une minute le traitement d’une requête faite au serveur A. Impatient, l’utilisateur
souhaite arrêter la procédure et formuler de nouveau une autre requête. Par rapport au temps d’attente
supplémentaire, est-ce plus avantageux de procéder ainsi ?
5

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